Analytická geometrie řeší geometrické úlohy výpočtem místo rýsování. Každý bod popíšeme souřadnicemi, třeba `A[3;\ 2]`, přímku nebo kružnici rovnicí a otázky typu „jak daleko“, „kde se protnou“ nebo „jsou kolmé“ převedeme na rovnice. Úplně nejčastěji se v ní počítá vzdálenost dvou bodů a střed úsečky:

`\begin{gathered}|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}\\[10pt]S = \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2};\ \dfrac{a_2 + b_2}{2}\right]\end{gathered}`

Myšlenka pochází ze 17. století od Reného Descarta a Pierra de Fermata. Tady začneme od začátku: soustava souřadnic v rovině a v prostoru, vzdálenost bodů, střed úsečky a úlohy s neznámou souřadnicí. Na konci je přehled vzorců celé analytické geometrie s odkazy na články, které je vysvětlují podrobně.

Kartézská soustava souřadnic v rovině

Kartézská soustava souřadnic jsou dvě navzájem kolmé číselné osy: vodorovná osa `x` a svislá osa `y`. Protínají se v počátku `O[0;\ 0]` a na obou je stejná jednotka. Každý bod roviny pak má právě jednu dvojici souřadnic: první říká, jak daleko je doprava (záporná doleva), druhá jak vysoko (záporná dolů).

xyI. kvadrantII. kvadrantIII. kvadrantIV. kvadrantA[3; 2]B[−4; −1]O−5−4−3−2−112345−4−3−2−11234

Souřadnice se v české škole píšou do hranatých závorek a oddělují středníkem: `A[3;\ 2]`, `B[{-4};\ {-1}]`. Středník je tam proto, že čárka je u nás desetinná, takže `[2{,}5;\ 1]` je jednoznačné. Kulaté závorky `(u_1;\ u_2)` patří vektorům.

Osy dělí rovinu na čtyři kvadranty, číslované proti směru hodinových ručiček. V I. kvadrantu jsou obě souřadnice kladné, ve II. je `x` záporné, ve III. jsou záporné obě a ve IV. je záporné `y`. Bod na ose do žádného kvadrantu nepatří: na ose `x` má `y = 0`, na ose `y` má `x = 0`.

Soustava souřadnic v prostoru

V prostoru přibude třetí osa `z`, kolmá k oběma předchozím. Bod má tři souřadnice `A[x;\ y;\ z]`. Ve škole se kreslí v volném rovnoběžném promítání: osa `z` míří nahoru, `y` doprava a `x` šikmo dopředu k nám. Bod `A[3;\ 4;\ 2]` je protější vrchol kvádru, jehož hrany leží na osách a mají délky 3, 4 a 2:

xyzOA[3; 4; 2]342

Užitečné je umět poznat polohu bodu ze souřadnic, protože na tom stojí mnoho úloh:

  • bod na ose `z` má tvar `[0;\ 0;\ z]`, na ose `x` tvar `[x;\ 0;\ 0]`,
  • bod v souřadnicové rovině `xy` má `z = 0`, tedy `[x;\ y;\ 0]`,
  • pravoúhlý průmět bodu `[3;\ 4;\ 2]` do roviny `xy` je `[3;\ 4;\ 0]`: stačí vynulovat souřadnici, která chybí.

Analytická geometrie v prostoru používá stejné vzorce jako v rovině, jen s jednou souřadnicí navíc. Proto se nejdřív učí rovina a prostor potom.

Vzdálenost dvou bodů

Vzdálenost bodů v rovině

Vezměme body `A[1;\ 1]` a `B[4;\ 2]`. Doplníme je bodem `C[4;\ 1]` na pravoúhlý trojúhelník. Jeho vodorovná odvěsna měří rozdíl prvních souřadnic, svislá rozdíl druhých, a úsečka `AB` je přepona:

xyA[1; 1]B[4; 2]C[4; 1]|b₁ − a₁| = 3|b₂ − a₂| = 1|AB|123451230

Podle Pythagorovy věty je

`|AB| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \doteq 3{,}16`

A obecně pro body `A[a_1;\ a_2]` a `B[b_1;\ b_2]`:

`|AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}`

Absolutní hodnoty, které byly na obrázku u délek odvěsen, ve vzorci nejsou potřeba: druhá mocnina záporného čísla je kladná. Ze stejného důvodu nezáleží na pořadí bodů, `|AB| = |BA|`. Vzdálenost se dá spočítat i jako velikost vektoru `\vec{AB}`, je to tentýž výpočet.

Příklad 1

Určete vzdálenost bodů `A[{-2};\ 5]` a `B[4;\ {-3}]`.

`\begin{gathered}b_1 - a_1 = 4 - (-2) = 6\\[6pt]b_2 - a_2 = -3 - 5 = -8\\[6pt]\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{6^2 + (-8)^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}\end{gathered}`

Kontrola: odvěsny 6 a 8 s přeponou 10 jsou dvojnásobek známého trojúhelníku 3, 4, 5. Pozor na `4 - (-2)`: odečítáme záporné číslo, takže vyjde 6, ne 2.

Totéž spočítá kalkulačka vzdálenosti dvou bodů, která vypíše i přesný tvar s odmocninou.

Příklad 2 (mapa)

Na plánku obce s mřížkou po kilometrech stojí škola v bodě `[2;\ 1]` a rozhledna v bodě `[8;\ 9]`. Jak daleko je to vzdušnou čarou?

`\begin{aligned} d &= \sqrt{(8 - 2)^2 + (9 - 1)^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} = 10\ \mathrm{km} \end{aligned}`

Po silnici to bude víc, vzdálenost bodů je vždy ta nejkratší možná.

Vzdálenost bodů v prostoru

V prostoru přibude pod odmocninou třetí člen:

`|AB| = \sqrt{(b_1 {-} a_1)^2 + (b_2 {-} a_2)^2 + (b_3 {-} a_3)^2}`

Proč to platí: nejdřív spočítáme vzdálenost průmětů obou bodů v rovině `xy`, to je úhlopříčka podstavy kvádru. Ta je odvěsnou dalšího pravoúhlého trojúhelníku, jehož druhá odvěsna je rozdíl výšek `b_3 - a_3`. Pythagorova věta použitá dvakrát dá právě tři čtverce pod jednou odmocninou, stejně jako u tělesové úhlopříčky kvádru.

Příklad 3

Vypočtěte vzdálenost bodů `A[3;\ 1;\ {-5}]` a `B[1;\ 2;\ {-3}]`.

`\begin{gathered}b_1 - a_1 = 1 - 3 = -2\\[6pt]b_2 - a_2 = 2 - 1 = 1\\[6pt]b_3 - a_3 = -3 - (-5) = 2\\[6pt]\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{9} = 3 \end{aligned}\end{gathered}`

Příklad 4 (dron)

Dron vzlétne z bodu `[0;\ 0;\ 0]` a doletí přímo do bodu `[12;\ 9;\ 20]`, souřadnice jsou v metrech. Jakou dráhu uletěl?

`\begin{aligned} d &= \sqrt{12^2 + 9^2 + 20^2} \\ &= \sqrt{144 + 81 + 400} \\ &= \sqrt{625} = 25\ \mathrm{m} \end{aligned}`

Kontrola rozumnosti: dráha musí být delší než největší z rozdílů souřadnic (20 m) a kratší než jejich součet (41 m). 25 m tomu odpovídá. Pro body v prostoru je kalkulačka vzdálenosti v prostoru.

Střed úsečky

Střed úsečky `AB` má souřadnice rovné průměru souřadnic krajních bodů. V prostoru se stejně zprůměruje i třetí souřadnice.

`S = \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2};\ \dfrac{a_2 + b_2}{2}\right]`

Pro `A[1;\ 3]` a `B[7;\ 5]` je `S[4;\ 4]`. Kontrola: `|AS| = |SB| = \sqrt{10}`, střed je opravdu uprostřed. Podrobně, i s obráceným úkolem (známe střed a jeden krajní bod), to vysvětluje článek Střed úsečky. Počítat se dá s kalkulačkou středu úsečky a procvičit v krátkém testu.

Úlohy s neznámou souřadnicí

Těžší úlohy vzorec obracejí: vzdálenost je zadaná a hledá se souřadnice. Postup je pořád stejný. Dosadíme do vzorce, obě strany umocníme, aby zmizela odmocnina, a vyřešíme rovnici, nejčastěji kvadratickou.

Příklad 5

Určete reálné číslo `p` tak, aby pro body `A[3;\ p;\ 2]` a `B[{-1};\ 0;\ p]` platilo `|AB| = 3\sqrt{2}`.

`\begin{gathered}\sqrt{(-1 - 3)^2 + (0 - p)^2 + (p - 2)^2} = 3\sqrt{2}\\[6pt]16 + p^2 + p^2 - 4p + 4 = 18\\[6pt]2p^2 - 4p + 2 = 0\\[6pt]p^2 - 2p + 1 = 0\\[6pt](p - 1)^2 = 0 \ \Rightarrow\ p = 1\end{gathered}`

Diskriminant je nulový, takže je jen jedno řešení. Zkouška: `A[3;\ 1;\ 2]`, `B[{-1};\ 0;\ 1]`, `|AB| = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}`. Kdyby zadaná vzdálenost byla menší, rovnice by neměla řešení vůbec: body s takovými souřadnicemi se k sobě víc přiblížit nemohou.

Příklad 6

Na ose `z` najděte bod `X`, který má od bodu `A[4;\ {-1};\ {-5}]` třikrát větší vzdálenost než od bodu `B[2;\ 1;\ 1]`.

Bod na ose `z` má tvar `X[0;\ 0;\ z]`. Podmínka zní `|AX| = 3\,|BX|`. Obě vzdálenosti vyjádříme:

`\begin{aligned} |AX| &= \sqrt{4^2 + 1^2 + (-5 - z)^2} \\ &= \sqrt{z^2 + 10z + 42} \\[10pt] |BX| &= \sqrt{2^2 + 1^2 + (1 - z)^2} \\ &= \sqrt{z^2 - 2z + 6} \end{aligned}`

Dosadíme do podmínky a umocníme. Obě strany jsou nezáporné, takže umocnění nic nepřidá:

`\begin{gathered}z^2 + 10z + 42 = 9\,(z^2 - 2z + 6)\\[10pt]8z^2 - 28z + 12 = 0\\[10pt]2z^2 - 7z + 3 = 0\\[10pt]z_1 = 3,\quad z_2 = \dfrac{1}{2}\end{gathered}`

Úloha má dvě řešení, `X_1[0;\ 0;\ 3]` a `X_2\left[0;\ 0;\ \frac{1}{2}\right]`. Zkouška pro `X_1`: `|AX_1| = \sqrt{16 + 1 + 64} = 9` a `|BX_1| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3`, opravdu třikrát víc.

Vzorce analytické geometrie

Přehled toho nejdůležitějšího. Body jsou `A[a_1;\ a_2]`, `B[b_1;\ b_2]`, vektory `\vec{u} = (u_1;\ u_2)`, `\vec{v} = (v_1;\ v_2)` a bod `M[m_1;\ m_2]`. Každý řádek odkazuje na článek, kde je vzorec vysvětlený i s příklady.

Co počítámeVzorec
Vzdálenost bodů`\sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}`
Střed úsečky`\left[\dfrac{a_1 + b_1}{2};\ \dfrac{a_2 + b_2}{2}\right]`
Vektor z bodů`\vec{AB} = B - A`
Velikost vektoru`|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}`
Skalární součin`\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2`
Úhel vektorů`\cos\varphi = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}`
Parametrická rovnice přímky`X = A + t\,\vec{u}`
Obecná rovnice přímky`ax + by + c = 0`
Směrnicový tvar`y = kx + q`
Vzdálenost bodu `M` od přímky`\dfrac{|a m_1 + b m_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}`
Kružnice`(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2`
Elipsa`\dfrac{(x - m)^2}{a^2} + \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1`
Parabola`(x - m)^2 = 2p\,(y - n)`
Rovina v prostoru`ax + by + cz + d = 0`

V prostoru mají vzdálenost, střed, vektor, velikost a skalární součin stejný tvar, jen s třetí souřadnicí navíc. Elipsa a parabola jsou v tabulce v jedné ze svých poloh, ostatní polohy najdete v odkazovaných článcích.

Co všechno analytická geometrie řeší

Na maths.cz je analytická geometrie rozepsaná do řady článků. V tomhle pořadí na sebe navazují:

Na většinu typových úloh jsou i kalkulačky pro přímku a kružnici a kalkulačky pro vektory, které vypíšou celý postup.

K čemu je analytická geometrie v praxi

Kdykoli počítač pracuje s tvarem, dělá analytickou geometrii. GPS počítá polohu ze vzdáleností k družicím, tedy z rovnic přesně typu `|AX| = d`. Počítačová hra nebo program pro kreslení (CAD) ukládá každý objekt jako souřadnice vrcholů a otáčí ho, posouvá a promítá na obrazovku výpočtem. Robot ve skladu plánuje cestu jako úsečky mezi body, mapová aplikace měří vzdálenost na mřížce.

Ve škole se tomu říká analytické řešení úlohy, na rozdíl od konstrukčního (syntetického), kdy se rýsuje kružítkem a pravítkem. Analytické řešení je přesné na libovolný počet desetinných míst a dá se svěřit počítači. Konstrukční je zase názornější. Dobrý postup je obojí kombinovat: náčrtek ukáže, kolik řešení čekat, a výpočet je najde.

Časté chyby

  • Odečítání záporné souřadnice. Pro `A[{-2};\ 5]` a `B[4;\ 1]` je rozdíl `4 - (-2) = 6`, ne 2. Kdo si není jistý, napíše záporné číslo vždy do závorky.
  • Odmocnina ze součtu není součet odmocnin. `\sqrt{36 + 64} = 10`, zatímco `\sqrt{36} + \sqrt{64} = 14`. Nejdřív sečíst, pak odmocnit.
  • Prohozené souřadnice. Bod `[3;\ 2]` je jinde než `[2;\ 3]`: první souřadnice je vždy `x`.
  • Bod na ose má nuly na ostatních místech. Bod na ose `z` je `[0;\ 0;\ z]`, ne `[z;\ z;\ z]`.
  • Zahozený kořen. Když vyjde kvadratická rovnice se dvěma kořeny, má úloha obvykle dvě řešení (jako v příkladu 6). Zkouškou ověřte oba.
  • Zaokrouhlení příliš brzy. Nechte výsledek jako `\sqrt{10}` a zaokrouhlete až na konci, jinak se chyby sčítají.

Příklady k procvičení

1. Určete vzdálenost bodů `A[2;\ {-1}]` a `B[7;\ 11]`.

2. Určete vzdálenost bodů `A[4;\ 3;\ 0]` a `B[1;\ 5;\ 3]`.

3. Úsečka má krajní body `A[{-3};\ 4]` a `B[5;\ {-2}]`. Určete její střed a délku.

4. Rozhodněte, jaký je trojúhelník `ABC` s vrcholy `A[1;\ 1]`, `B[4;\ 5]`, `C[{-3};\ 4]`.

5. Určete reálné číslo `p` tak, aby pro body `A[2 + p;\ 2;\ 1]` a `B[3;\ {-p};\ 2]` platilo `|AB| = \sqrt{10}`.

6. Silnice vede po ose `x`. U ní stojí dva domy, v bodech `A[1;\ 3]` a `B[5;\ 1]` (v kilometrech). Kam na silnici postavit zastávku, aby byla od obou domů stejně daleko?

Kam dál