Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině má tvar `ax+by+c=0`, kde čísla a a b nejsou obě zároveň nulová. Koeficienty a, b jsou souřadnice normálového vektoru `\vec{n}=(a;\ b)`, tedy vektoru kolmého k přímce, a číslo c (absolutní člen) se dopočítá dosazením jednoho bodu přímky.

`ax+by+c=0,\qquad \vec{n}=(a;\ b)\ne(0;\ 0)`

Například přímka `x+2y-4=0` má normálový vektor `\vec{n}=(1;\ 2)` a prochází body `[0;\ 2]`, `[2;\ 1]` i `[4;\ 0]`: po dosazení kteréhokoli z nich vyjde levá strana nula.

Obecná rovnice popíše úplně každou přímku v rovině: i svislou, kterou směrnicový tvar zapsat neumí, i přímky rovnoběžné s osami nebo procházející počátkem, na které nestačí úsekový tvar. Proto se s ní v analytické geometrii počítá nejčastěji: vzdálenost bodu od přímky, odchylka i vzájemná poloha dvou přímek se z ní spočítají přímo.

Níže najdete, jak obecnou rovnici sestavit z bodu a vektoru, ze dvou bodů i z parametrického vyjádření, jak zjistit, zda bod na přímce leží, a jak určit vzájemnou polohu dvou přímek.

Normálový a směrový vektor přímky

Směrový vektor `\vec{u}` leží ve směru přímky, normálový vektor `\vec{n}` je k ní kolmý. Dva vektory jsou kolmé, právě když je jejich skalární součin nulový, a jeden z druhého dostanete prohozením souřadnic a změnou jednoho znaménka:

`\vec{u}=(u_1;\ u_2)\quad\Rightarrow\quad \vec{n}=(-u_2;\ u_1)`

Zkouška: `u_1\cdot(-u_2)+u_2\cdot u_1=0`. Stejně dobře poslouží `(u_2;\ {-u_1})`, je to jen opačný vektor. Obráceně, z obecné rovnice `ax+by+c=0` přečtete normálový vektor `(a;\ b)` a směrový vektor je `(-b;\ a)`.

Pro přímku `x+2y-4=0` z obrázku je `\vec{n}=(1;\ 2)` a `\vec{u}=(-2;\ 1)`, nebo opačně orientovaný `(2;\ {-1})`. Skalární součin `1\cdot 2+2\cdot(-1)=0` potvrzuje, že jsou kolmé.

Normálový vektor není jediný. Každý jeho nenulový násobek je také normálový, a proto má přímka nekonečně mnoho obecných rovnic: `x+2y-4=0`, `2x+4y-8=0` i `-x-2y+4=0` popisují tutéž přímku. Obvykle se rovnice vydělí tak, aby koeficienty byly co nejmenší celá čísla.

Proč rovnice vypadá právě takhle

Přímka p prochází bodem `A[x_0;\ y_0]` a má normálový vektor `\vec{n}=(a;\ b)`. Bod `X[x;\ y]` na ní leží právě tehdy, když vektor `X-A` míří podél přímky, tedy je kolmý k `\vec{n}`:

`\begin{gathered}\vec{n}\cdot(X-A)=0 \\[6pt] a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 \\[6pt] ax+by\underbrace{-ax_0-by_0}_{c}=0\end{gathered}`

Číslo `c=-ax_0-by_0` tedy není nic tajemného, jen se do něj schovaly souřadnice známého bodu. Proto ho v příkladech nepočítáme vzorcem, ale dosazením bodu do rovnice.

Jak sestavit obecnou rovnici přímky

Postup je vždy stejný: najdete normálový vektor, napíšete `ax+by+c=0` a c dopočítáte dosazením bodu.

Příklad 1: bod a normálový vektor

Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem `A[3;\ {-1}]` a má normálový vektor `\vec{n}=(1;\ 2)`.

`\begin{gathered}x+2y+c=0 \\[6pt] 3+2\cdot(-1)+c=0 \\[6pt] c=-1\end{gathered}`

Rovnice je `x+2y-1=0`. Zkouška jiným bodem: `[1;\ 0]` dává `1+0-1=0`, leží na ní, a vektor `(-2;\ 1)` z A do `[1;\ 0]` je opravdu kolmý k `(1;\ 2)`.

Příklad 2: přímka ze dvou bodů

Napište obecnou rovnici přímky AB, je-li `A[1;\ 2]` a `B[-2;\ 3]`.

Směrový vektor je `\vec{u}=B-A=(-3;\ 1)`, normálový dostaneme prohozením souřadnic a změnou znaménka: `\vec{n}=(1;\ 3)` (vzorec výše dá opačný vektor `(-1;\ {-3})`, který vede k téže přímce).

`\begin{gathered}x+3y+c=0 \\[6pt] 1+3\cdot 2+c=0 \\[6pt] c=-7\end{gathered}`

Rovnice je `x+3y-7=0`. Zkouška druhým bodem: `-2+3\cdot 3-7=0`, bod B leží na přímce. Kdo zkoušku druhým bodem vynechá, nepozná, že se spletl ve vektoru. Výsledek ověří i kalkulačka přímka ze dvou bodů, která vypíše všechny tvary rovnice najednou.

Příklad 3: z parametrického vyjádření

Převeďte na obecnou rovnici přímku zadanou parametricky:

`\begin{gathered}x=5+4t \\[4pt] y=1-2t\end{gathered}`

Přímka prochází bodem `[5;\ 1]` a má směrový vektor `(4;\ {-2})`. Ten si nejdřív zkrátíme na `(2;\ {-1})`, normálový vektor je pak `(1;\ 2)`.

`\begin{gathered}x+2y+c=0 \\[6pt] 5+2\cdot 1+c=0 \\[6pt] c=-7\end{gathered}`

Rovnice je `x+2y-7=0`. Bez zkrácení by vyšlo `2x+4y-14=0`, což je tatáž přímka. Jiná cesta je parametr vyloučit: z první rovnice `t=\frac{x-5}{4}`, po dosazení do druhé `2y=2-(x-5)` a znovu `x+2y-7=0`.

Ze směrnicového tvaru

Ve směrnicové rovnici stačí převést vše na jednu stranu: z `y=2x-3` je `2x-y-3=0`. Opačný převod i úsekový a parametrický tvar vypíše kalkulačka převod rovnice přímky mezi tvary.

Co prozradí nulový koeficient

• `a=0`: rovnice je `by+c=0`, tedy `y=-\frac{c}{b}`. Přímka je rovnoběžná s osou x (vodorovná), například `y-3=0`.
• `b=0`: rovnice je `x=-\frac{c}{a}`, přímka je rovnoběžná s osou y (svislá), například `x+2=0`. Tu směrnicový tvar zapsat neumí.
• `c=0`: bod `[0;\ 0]` rovnici splňuje, přímka prochází počátkem.
• Rovnice osy x je `y=0`, rovnice osy y je `x=0`.

Leží bod na přímce? Průsečíky s osami

Bod na přímce leží, právě když po dosazení jeho souřadnic do obecné rovnice vyjde nula. Průsečík s osou x dostanete dosazením `y=0`, průsečík s osou y dosazením `x=0`. Tyto dva body jsou také nejrychlejší způsob, jak přímku nakreslit.

Příklad 4

Určete průsečíky přímky `p:\ 2x+4y-5=0` s osami a rozhodněte, zda na ní leží body `K[3;\ {-\frac{1}{4}}]` a `L[2;\ 1]`.

`\begin{gathered}y=0:\quad 2x-5=0,\quad x=\frac{5}{2} \\[10pt] x=0:\quad 4y-5=0,\quad y=\frac{5}{4}\end{gathered}`

Přímka protíná osu x v bodě `[\frac{5}{2};\ 0]` a osu y v bodě `[0;\ \frac{5}{4}]`. Pro K vyjde `2\cdot 3+4\cdot(-\frac{1}{4})-5=6-1-5=0`, bod na přímce leží. Pro L vyjde `4+4-5=3\ne 0`, neleží.

Znaménko té nenuly není náhoda: body s kladným výsledkem leží v jedné polorovině, body se záporným v druhé. Podrobněji to rozebírá článek Poloha bodu vůči přímce.

Vzájemná poloha dvou přímek

Dvě přímky v rovině jsou buď rovnoběžné různé, totožné, nebo různoběžné. Z obecných rovnic `p:\ a_1x+b_1y+c_1=0` a `q:\ a_2x+b_2y+c_2=0` to poznáte bez kreslení:

V prvním řádku je `(3;\ {-12})=3\cdot(1;\ {-4})`, ale trojnásobek první rovnice by byl `3x-12y+3=0`, ne `+1`. Přímky mají stejný směr a žádný společný bod.

Příklad 5: průsečík dvou přímek

Určete vzájemnou polohu přímek `p:\ x+2y+3=0` a `q:\ 4x-5y+1=0`.

Vektory `(1;\ 2)` a `(4;\ {-5})` nejsou násobky, přímky jsou různoběžné. Průsečík je řešením soustavy dvou rovnic. Z první rovnice `x=-3-2y` a po dosazení do druhé:

`\begin{gathered}4(-3-2y)-5y+1=0 \\[6pt] -13y-11=0 \\[6pt] y=-\frac{11}{13},\qquad x=-3+\frac{22}{13}=-\frac{17}{13}\end{gathered}`

Průsečík je `X[-\frac{17}{13};\ {-\frac{11}{13}}]`. Zkouška v první rovnici: `-\frac{17}{13}-\frac{22}{13}+\frac{39}{13}=0`. Zlomky tu nejsou chyba, průsečík celočíselný být nemusí. Kalkulačka průsečík dvou přímek ho spočítá i se zkouškou.

Odchylka dvou přímek

Úhel dvou různoběžných přímek je úhel jejich normálových vektorů, a protože odchylka přímek je nejvýš `90^\circ`, bere se skalární součin v absolutní hodnotě:

`\displaystyle \cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2}}`

Pro přímky `x+2y-4=0` a `3x+y-2=0` vyjde `\cos\varphi=\frac{|3+2|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{2}`, tedy `\varphi=45^\circ`. Ověřit si to můžete v kalkulačce odchylka dvou přímek.

Rovnoběžka, kolmice a vzdálenost bodu od přímky

Rovnoběžka má stejný normálový vektor, liší se jen číslem c. Kolmice má za normálový vektor směrový vektor původní přímky, tedy koeficienty prohodíte a u jednoho změníte znaménko.

Příklad 6

Bodem `M[2;\ 3]` veďte rovnoběžku a kolmici k přímce `p:\ x-3y+2=0`.

Rovnoběžka: `x-3y+c=0`, dosazením `2-9+c=0` vyjde `c=7` a rovnice je `x-3y+7=0`.

Kolmice: `p` má směrový vektor `(3;\ 1)`, ten je normálovým vektorem kolmice. `3x+y+c=0`, dosazením `6+3+c=0` vyjde `c=-9` a rovnice je `3x+y-9=0`. Kontrola kolmosti: `1\cdot 3+(-3)\cdot 1=0`.

Obojí si ověříte v kalkulačkách rovnoběžka daným bodem a kolmice daným bodem k přímce.

Vzdálenost bodu `M[x_0;\ y_0]` od přímky se počítá přímo z obecné rovnice. Tento vzorec funguje jen s obecným tvarem, se směrnicovým ne:

`\displaystyle v(M,p)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}`

Pro bod `M[2;\ 3]` a přímku `x-3y+2=0` je `v=\frac{|2-9+2|}{\sqrt{1+9}}=\frac{5}{\sqrt{10}}\doteq 1{,}58`. Pata kolmice je průsečík p s kolmicí z příkladu 6, bod `[\frac{5}{2};\ \frac{3}{2}]`. Více v článku Polohové úlohy v rovině a v kalkulačce vzdálenost bodu od přímky.

Časté chyby

• Směrový vektor místo normálového. Kdo z bodů `A[1;\ 2]` a `B[-2;\ 3]` napíše rovnou `-3x+y+c=0`, dostane přímku kolmou ke správné. Zkouška druhým bodem to odhalí vždy: `-3\cdot(-2)+3+c` s `c=1` dá 10, ne nulu.
• Znaménko u c. Z `1+6+c=0` je `c=-7`, ne `+7`. Po dopočítání dosaďte bod ještě jednou do hotové rovnice.
• Chybějící „= 0“. Zápis `x-3y+2` je výraz, ne rovnice přímky. Rovnice je až `x-3y+2=0`.
• Rovnoběžné, nebo totožné? Nestačí porovnat a a b. Přímky `2x-y+1=0` a `-4x+2y-2=0` vypadají různě, ale druhá je `(-2)`-násobkem první, jsou totožné. Násobek může být i záporný.
• Vzorec pro vzdálenost se směrnicovým tvarem. Z `y=2x-3` nelze dosadit a, b, c „tak, jak jsou“. Nejdřív převeďte na `2x-y-3=0`.

Příklady k procvičení

Kam dál

Kolmost vektorů, na které celá obecná rovnice stojí, si procvičíte v procvičování skalárního součinu, dosazování do parametrického vyjádření v procvičování parametrického vyjádření přímky. Výsledky si ověříte v kalkulačkách převod rovnice přímky mezi tvary, přímka ze dvou bodů a průsečík dvou přímek. Všechny kalkulačky pro přímku a kružnici jsou pohromadě v analytické geometrii.

Ostatní tvary rovnice přímky mají vlastní články: Parametrické vyjádření přímky, Směrnicová rovnice přímky a Úseková rovnice přímky. Na obecnou rovnici navazují Polohové úlohy v rovině a Poloha bodu vůči přímce.