Parametrické vyjádření přímky

Vydáno dne 24. 5. 2008 v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 120 048

Parametrické vyjádření přímky je způsob, jak popsat přímku v rovině nebo prostoru pomocí parametrů. Tento přístup se často používá k zjednodušení výpočtů a analýzy.

Přímku můžeme určit pomocí dvou bodů A, B. Tyto dva body tvoří vektor u=B-A. Tento vektor se nazývá směrový vektor.

Přímku lze určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. To ale neznamená, že by přímka měla nekonečně mnoho směrových vektor, protože každý z těchto směrových vektorů je nenulovým násobkem jiného směrového vektoru. Parametricky se tedy každá přímka p daná body A, B dá zapsat pomocí jednoho bodu a směrového vektoru.

Jedná se tedy o parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr a je z množiny reálných čísel. Tato rovnice se dá i trochu rozepsat pro jednotlivé souřadnice.

Procvičování

1) Zjistěte zda body $R[3;\ 1],\ P[4;\ 2]$ leží na přímce q s parametrickým vyjádřením:

x=2-t
y=3+2t

Aby bod R mohl ležet na přímce T, musel by existovat takový parametr t, aby platilo:

3 = 2 - t
1 = 3 + 2*t

Vypočítáním první rovnice dostaneme t = -1 a z druhé rovnice dostaneme t = -1. Protože je v obou rovnicích hodnota proměnné t stejná, leží bod R na přímce q. Pro druhý bod se postupuje obdobně:

4 = 2 - t
t = -2
2 = 3 + 2*t
t = -0.5

Hodnota proměnné t je různá a proto bod P neleží na přímce q.

2) Zjistěte zda vektory $\vec{u}=(2;4),\ \vec{w}=(1;-1),\ \vec{z}=(2;-2)$ jsou směrovými vektory přímky AB, když A[1;3] a B[-1;5].

Nejprve spočítáme vektor daný body B-A, tedy vektor o němž můžeme určitě říci, že je směrovým vektorem.

Aby mohl být vektor $\vec{u}$ směrovým vektorem přímky, muselo by existovat takové reálné číslo k, aby platilo:

Rozepsáním pro jednotlivé souřadnice:

-2 = k*2
2 = k*4

Pokud spočítáme první rovnici vyjde nám, že k = -1 a z druhé rovnice dostaneme k = 0.5. Protože se výsledky nerovnají, není vektor $\vec{u}$ směrovým vektorem přímky AB.

Obdobně se bude postupovat při ověřování dalších vektorů:

Proměnná k je stejná a proto je vektor $\vec{w}$ směrovým vektorem přímky AB.

Opět vyšla proměnná k v obou případech stejná, takže vektor $\vec{z}$ je směrovým vektorem přímky AB.

3) V trojúhelníku ABC určeném body $A[1;\ 1],\ B[4;\ 3],\ C[3;\ -2]$ najděte těžiště.

Označme bod P jako střed strany BC. Dále víme, že těžiště, tedy bod T, leží na 2/3 vektoru P-A. Takže můžeme souřadnice bodu T vyjádřit jako:

Takže když spočítáme souřadnice bodu P a dosadíme tyto souřadnice do předchozího vzorečku, získáme souřadnice těžiště.

4) Určete číslo p, aby vektor $\vec{v}=(1-p;\ p+\frac{1}{6}$ byl směrovým vektorem přímky $A[-1;\ 2],\ B[3;\ 5]$ .

Nejprve musíme najít směrový vektor $\vec{u}=B-A$ .

A nyní musíme vyřešit soustavu rovnic o dvou neznámých:


tedy:

Vypočítáním této soustavy dojdeme k výsledku, že $p=\frac{1}{3}$ .

5) Určete číslo p, tak aby bod C[p+1; -p] ležel na přímce A[-1;3], B[1;1].

Nejprve musíme určit směrový vektor $\vec{u}\ =\ B\ -\ A$ :

Nyní zkusíme dosadit souřadnice bodu C dosadit do parametrické rovnice přímky AB:

Jelikož tato soustava nemá řešení, nemůže bod C ležet na přímce AB.

6) Je dán vrchol A[3;-1], bod S[1;0], který je středem strany AB a těžiště T[2;1]. Určete zbývající vrcholy trojúhelníku ABC.

Nejprve určíme souřadnice bodu B:

B=[2*s₁-a₁; 2*s₂-a₂]
B=[-1; 1]

Nyní musíme určit souřadnice bodu P, který je ve středu strany BC. Použijeme vzorec ze třetího příkladu:

Dosadíme-li do tohoto vzorce souřadnice bodu T a bodu A, získáme souřadnice bodu P:

P=[1.5; 2]

A spočítat souřadnice bodu C již není problém:

C=[2*p₁-b₁; 2*p₂-b₂]
C=[4; 3]

Bod C má souřadnice [4;3].

Mohlo by Vás zajímat

Parametrické vyjádření přímky

Procvičování

Test

Hlavolam