Parametrické vyjádření přímky popisuje přímku pomocí jednoho jejího bodu A a směrového vektoru `\vec{u}`, tedy nenulového vektoru, který leží ve směru přímky. Každý bod X přímky dostanete tak, že k bodu A přičtete nějaký násobek vektoru `\vec{u}`. Číslo, kterým vektor násobíte, se jmenuje parametr a značí se obvykle t:

`\begin{gathered}p:\ X=A+t\cdot\vec{u},\quad t\in\mathbb{R} \\[4pt] x=a_1+t\cdot u_1,\qquad y=a_2+t\cdot u_2\end{gathered}`

Zápisu se říká také parametrická rovnice přímky, přesněji parametrické rovnice, protože v rovině jsou dvě: jedna pro x a jedna pro y. Například přímka bodem `A[1;\ 2]` se směrovým vektorem `\vec{u}=(2;\ 1)` má parametrické vyjádření `x=1+2t,\ y=2+t`. Pro `t=0` dostanete bod A, pro `t=1` bod `[3;\ 3]`, pro `t=2` bod `[5;\ 4]`. Každé reálné číslo t dá jeden bod přímky a každý bod přímky patří právě k jednomu t.

Níže najdete, jak parametrické vyjádření sestavit ze dvou bodů, proč směrový vektor není jediný, jak ověřit, zda bod leží na přímce, jak zapsat úsečku a polopřímku, jak přejít na obecnou rovnici a zpět a jak najít průsečík dvou přímek.

Co znamená parametr t

Parametr si můžete představit jako čas. V čase `t=0` stojíte v bodě A a za každou jednotku času se posunete o vektor `\vec{u}`. Záporné t znamená, že se díváte do minulosti, tedy na body ležící na druhé straně od A. Pro přímku `x=1+2t,\ y=2+t`:

`t``x=1+2t``y=2+t`bod
`-1``-1``1``[-1;\ 1]`
`0``1``2``A[1;\ 2]`
`\dfrac{1}{2}``2``2{,}5``[2;\ 2{,}5]`
`1``3``3``[3;\ 3]`
`2``5``4``[5;\ 4]`
−2 −1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 x y t = −1 t = 0 t = 1 t = 2 A[1; 2] u = (2; 1) [5; 4] p

Body pro celá čísla t leží na přímce v pravidelných rozestupech, přesně o délku vektoru `\vec{u}` od sebe. Parametr ale může být jakékoli reálné číslo, i zlomek nebo odmocnina, a teprve všechny hodnoty dohromady vyplní celou přímku.

Dosazování parametru do vyjádření si můžete vyzkoušet v procvičování parametrického vyjádření přímky: dostanete bod a vektor a dopočítáváte bod pro zadané t.

Parametrické vyjádření přímky ze dvou bodů

Nejčastější zadání zní: napište parametrické vyjádření přímky AB. Směrový vektor je rozdíl bodů `\vec{u}=B-A` (souřadnice koncového bodu minus souřadnice počátečního, jak ukazuje článek o vektorech) a za výchozí bod vezmete kterýkoli z obou bodů.

Příklad 1

Napište parametrické vyjádření přímky AB, kde `A[1;\ 3]` a `B[-1;\ 5]`.

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(-1-1;\ 5-3)=(-2;\ 2) \\[4pt] p:\ x=1-2t,\quad y=3+2t,\quad t\in\mathbb{R}\end{gathered}`

Zkouška: pro `t=0` vyjde A, pro `t=1` vyjde `[1-2;\ 3+2]=[-1;\ 5]`, tedy B. Když vyjdou oba body, je vyjádření správně. Totéž vám i se všemi ostatními tvary rovnice vypíše kalkulačka přímka ze dvou bodů.

Směrový vektor není jediný

Přímka nemá jeden směrový vektor, ale nekonečně mnoho: směrovým vektorem je každý nenulový násobek `k\cdot\vec{u}`. V příkladu 1 tedy poslouží i `(-1;\ 1)` nebo `(1;\ {-1})`, a s vektorem `(-1;\ 1)` vyjde jednodušší zápis `x=1-t,\ y=3+t`. Popisuje stejnou přímku, jen se po ní „jde“ poloviční rychlostí.

Proto má jedna přímka mnoho různých parametrických vyjádření: jiný výchozí bod i jiný násobek vektoru dá jiný zápis. Když se vaše řešení liší od výsledku v učebnici, nemusí být špatně. Stačí ověřit, že oba směrové vektory jsou násobky jeden druhého a že výchozí bod jednoho vyjádření leží na druhé přímce.

Dva vektory `(u_1;\ u_2)` a `(v_1;\ v_2)` jsou násobky jeden druhého (říká se kolineární), právě když

`u_1\cdot v_2-u_2\cdot v_1=0`

To je rychlejší než hledat číslo k a funguje i tehdy, když je některá souřadnice nulová. Ověřit to můžete i v kalkulačce kolmost a rovnoběžnost vektorů.

Příklad 2

Jsou vektory `\vec{a}=(2;\ 4)`, `\vec{b}=(1;\ {-1})` a `\vec{c}=(2;\ {-2})` směrovými vektory přímky AB z příkladu 1?

Porovnáváme je s vektorem `\vec{u}=(-2;\ 2)`:

`\begin{gathered}\vec{a}:\ (-2)\cdot 4-2\cdot 2=-12\ne 0 \\[4pt] \vec{b}:\ (-2)\cdot(-1)-2\cdot 1=0 \\[4pt] \vec{c}:\ (-2)\cdot(-2)-2\cdot 2=0\end{gathered}`

Vektor `\vec{a}` směrovým vektorem není, `\vec{b}` a `\vec{c}` ano. Kontrola: `\vec{u}=-2\cdot\vec{b}=-1\cdot\vec{c}`, zatímco u `\vec{a}` by muselo být `k=-1` podle první souřadnice a `k=\frac{1}{2}` podle druhé.

Příklad 3

Určete číslo p tak, aby vektor `\vec{v}=\left(1-p;\ p+\frac{1}{6}\right)` byl směrovým vektorem přímky AB, kde `A[-1;\ 2]` a `B[3;\ 5]`.

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(4;\ 3) \\[10pt] 4\cdot\left(p+\dfrac{1}{6}\right)-3\cdot(1-p)=0 \\[10pt] 4p+\dfrac{2}{3}-3+3p=0 \\[10pt] 7p=\dfrac{7}{3}\quad\Rightarrow\quad p=\dfrac{1}{3}\end{gathered}`

Zkouška: `\vec{v}=\left(\frac{2}{3};\ \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}\cdot(4;\ 3)`, je to tedy opravdu násobek vektoru `\vec{u}`.

Leží bod na přímce?

Bod leží na přímce, právě když k němu existuje parametr t. Dosadíte jeho souřadnice za x a y a z každé rovnice spočítáte t. Vyjde-li v obou rovnicích stejné t, bod na přímce leží. Vyjdou-li dvě různá čísla, neleží.

Příklad 4

Leží body `R[3;\ 1]` a `S[4;\ 2]` na přímce `q:\ x=2-t,\ y=3+2t`?

`\begin{aligned} R:\quad 3&=2-t &&\Rightarrow\ t=-1\\ 1&=3+2t &&\Rightarrow\ t=-1\\[10pt] S:\quad 4&=2-t &&\Rightarrow\ t=-2\\ 2&=3+2t &&\Rightarrow\ t=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}`

Bod R na přímce leží (patří k němu `t=-1`), bod S ne. Kdyby ležel, musel by k němu patřit jeden parametr, a ne dva různé.

Příklad 5

Určete číslo p tak, aby bod `C[p+1;\ p]` ležel na přímce AB, kde `A[-1;\ 3]` a `B[1;\ 1]`.

Směrový vektor je `\vec{u}=B-A=(2;\ {-2})`, přímka má vyjádření `x=-1+2t,\ y=3-2t`. Dosadíme bod C a dostaneme soustavu dvou rovnic o neznámých p a t:

`\begin{gathered}p+1=-1+2t \\[4pt] p=3-2t\end{gathered}`

Sečtením rovnic zmizí t: `2p+1=2`, tedy `p=\frac{1}{2}` a `C\left[\frac{3}{2};\ \frac{1}{2}\right]`. Zkouška: z druhé rovnice `t=\frac{5}{4}` a `-1+2\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{2}`, `3-2\cdot\frac{5}{4}=\frac{1}{2}`.

Taková soustava ale nemusí mít řešení. Kdyby bod byl `C[p+1;\ {-p}]`, vyšlo by po sečtení `1=2`. Všechny takové body totiž leží na přímce `x+y=1`, která je s přímkou AB (`x+y=2`) rovnoběžná, takže žádné p nevyhovuje.

Úsečka a polopřímka

Když za výchozí bod vezmete A a za směrový vektor `\vec{u}=B-A`, odpovídá bodu A parametr 0 a bodu B parametr 1. Omezením parametru pak popíšete i část přímky:

parametrco popisuje
`t\in\mathbb{R}`přímka AB
`t\in\langle 0;\ 1\rangle`úsečka AB
`t\in\langle 0;\ \infty)`polopřímka AB (začíná v A, prochází B)
`t\in(-\infty;\ 0\rangle`polopřímka opačná k polopřímce AB
`t=\dfrac{1}{2}`střed úsečky AB
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 x y A (t = 0) B (t = 1) t < 0 0 ≤ t ≤ 1 t > 1

Pro `t=\frac{1}{3}` dostanete bod, který dělí úsečku v poměru `1:2`, pro `t=\frac{2}{3}` v poměru `2:1`. Na tom stojí výpočet těžiště.

Příklad 6

V trojúhelníku `A[1;\ 1]`, `B[4;\ 3]`, `C[3;\ {-2}]` najděte těžiště T.

Trojúhelník

Těžiště leží na těžnici z vrcholu A do středu P strany BC, ve dvou třetinách její délky od vrcholu. Na úsečce AP mu tedy patří parametr `t=\frac{2}{3}`:

`\begin{gathered}P=\left[\dfrac{4+3}{2};\ \dfrac{3+(-2)}{2}\right]=\left[\dfrac{7}{2};\ \dfrac{1}{2}\right] \\[10pt] P-A=\left(\dfrac{5}{2};\ {-\dfrac{1}{2}}\right) \\[10pt] \begin{aligned} T&=A+\dfrac{2}{3}(P-A)\\[6pt] &=\left[1+\dfrac{5}{3};\ 1-\dfrac{1}{3}\right]=\left[\dfrac{8}{3};\ \dfrac{2}{3}\right] \end{aligned}\end{gathered}`

Zkouška: těžiště je také průměr souřadnic všech tří vrcholů, `\left[\frac{1+4+3}{3};\ \frac{1+3-2}{3}\right]=\left[\frac{8}{3};\ \frac{2}{3}\right]`. Obě cesty dávají stejný bod. Střed úsečky spočítá i kalkulačka střed úsečky.

Převod na obecnou rovnici a zpět

Z parametrického vyjádření na obecnou rovnici. Ze směrového vektoru `\vec{u}=(u_1;\ u_2)` uděláte normálový vektor `\vec{n}=(-u_2;\ u_1)` (prohodit souřadnice, u jedné změnit znaménko), napíšete `ax+by+c=0` s `(a;\ b)=\vec{n}` a číslo c dopočítáte dosazením bodu A. Podrobně to vysvětluje článek obecná rovnice přímky.

Příklad 7

Převeďte `x=1+4t,\ y=2+2t` na obecnou rovnici.

`\begin{gathered}\vec{u}=(4;\ 2)\ \to\ (2;\ 1) \\[4pt] \vec{n}=(-1;\ 2)\ \to\ (1;\ {-2}) \\[4pt] x-2y+c=0 \\[4pt] A[1;\ 2]:\ 1-4+c=0\ \Rightarrow\ c=3 \\[4pt] x-2y+3=0\end{gathered}`

Směrový vektor jsme si před dosazením zkrátili a normálový vynásobili číslem `-1`, aby koeficient u x vyšel kladný. Výsledek to nezmění a počítá se s menšími čísly. Stejně dobře jde t vyloučit: z první rovnice `t=\frac{x-1}{4}`, dosazením do druhé `y=2+\frac{x-1}{2}`, po vynásobení dvěma `2y=4+x-1`, tedy znovu `x-2y+3=0`.

Z obecné rovnice na parametrické vyjádření. Z rovnice `ax+by+c=0` přečtete normálový vektor `(a;\ b)`, směrový vektor je `(-b;\ a)`, a jeden bod najdete tak, že za x (nebo za y) dosadíte nulu.

Příklad 8

Napište parametrické vyjádření přímky `2x-4y+6=0`.

`\begin{gathered}\vec{n}=(2;\ {-4}),\qquad \vec{u}=(4;\ 2) \\[4pt] y=0:\ 2x+6=0\ \Rightarrow\ x=-3 \\[4pt] A[-3;\ 0] \\[4pt] p:\ x=-3+4t,\quad y=2t\end{gathered}`

Zkouška: pro `t=1` vyjde bod `[1;\ 2]` a `2\cdot 1-4\cdot 2+6=0`. Všechny tvary rovnice přímky najednou, i parametrický, vypíše kalkulačka převod rovnice přímky mezi tvary. Ze směrového vektoru se dá přečíst i směrnice: `k=\frac{u_2}{u_1}`, tady `k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}`, viz směrnicová rovnice přímky.

Průsečík dvou přímek

Nejdřív porovnejte směrové vektory. Jsou-li kolineární, přímky jsou rovnoběžné, a pokud navíc bod jedné leží na druhé, jsou totožné. Jinak jsou různoběžné a průsečík najdete tak, že dáte do rovnosti jejich x a jejich y. Každá přímka přitom musí mít svůj vlastní parametr, třeba t a s: průsečík obecně nepatří k témuž číslu na obou přímkách.

Příklad 9

Najděte průsečík přímek `p:\ x=1+2t,\ y=-1+t` a `q:\ x=4-s,\ y=2+s`.

Směrové vektory `(2;\ 1)` a `(-1;\ 1)` nejsou kolineární (`2\cdot 1-1\cdot(-1)=3\ne 0`), přímky jsou různoběžné.

`\begin{gathered}1+2t=4-s \\[4pt] -1+t=2+s\ \Rightarrow\ s=t-3 \\[4pt] 1+2t=4-(t-3)\ \Rightarrow\ 3t=6 \\[4pt] t=2,\quad s=-1\end{gathered}`

Průsečík dostaneme dosazením `t=2` do přímky p: `P[5;\ 1]`. Zkouška v přímce q se `s=-1`: `x=4+1=5`, `y=2-1=1`.

−1 1 2 3 4 5 6 7 −2 −1 1 2 3 4 x y A[1; −1] B[4; 2] P[5; 1] p q

Všechny případy vzájemné polohy, včetně rovnoběžných a totožných přímek, probírá článek vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi. Z obecných rovnic průsečík spočítá kalkulačka průsečík dvou přímek.

Parametrické vyjádření přímky v prostoru

V prostoru se jen přidá třetí souřadnice:

`\begin{gathered}x=a_1+t\cdot u_1 \\[4pt] y=a_2+t\cdot u_2 \\[4pt] z=a_3+t\cdot u_3\end{gathered}`

Tady je parametrické vyjádření ještě důležitější než v rovině, protože přímka v prostoru žádnou obecnou rovnici `ax+by+cz+d=0` nemá: taková rovnice popisuje rovinu. Postup ze dvou bodů i ověření bodu jsou stejné, jen se kontrolují tři rovnice místo dvou. Víc v článku parametrické vyjádření přímky v prostoru.

Časté chyby

  • Odečtení bodů obráceně jen u jedné souřadnice. `B-A` i `A-B` jsou správné směrové vektory, ale v obou souřadnicích musí být odečítáno ve stejném pořadí. Zkouška `t=1` musí dát druhý bod.
  • Dosazení bodu jen do jedné rovnice. Z jedné rovnice vyjde t vždycky. Rozhoduje, zda vyjde stejné i ve druhé.
  • Stejný parametr u dvou přímek. Když obě přímky zapíšete s t a hledáte průsečík, vyjde soustava, která často nemá řešení, i když se přímky protínají. Druhé přímce dejte jiné písmeno.
  • Nulový směrový vektor. Když zadané body splývají, vyjde `\vec{u}=(0;\ 0)` a žádnou přímku to neurčuje.
  • Záměna směrového a normálového vektoru. Koeficienty a, b z obecné rovnice jsou normálový vektor, kolmý k přímce. Do parametrického vyjádření patří vektor `(-b;\ a)`.
  • „Výsledek je jiný než v učebnici.“ Parametrických vyjádření jedné přímky je nekonečně mnoho. Porovnejte směrové vektory podmínkou `u_1v_2-u_2v_1=0` a dosaďte bod jednoho vyjádření do druhého.

Příklady k procvičení

1. Napište parametrické vyjádření přímky AB, kde `A[2;\ {-1}]` a `B[5;\ 3]`.

2. Leží body `K[8;\ 7]` a `L[-1;\ {-4}]` na přímce z úlohy 1?

3. Převeďte přímku `x=3-2t,\ y=1+5t` na obecnou rovnici.

4. Napište parametrické vyjádření přímky `3x-y+2=0`.

5. Najděte průsečík přímek `p:\ x=1+t,\ y=2t` a `q:\ x=4-2s,\ y=1+s`.

6. Loď vyplula z bodu `[2;\ 1]` a jede stálou rychlostí rovně. Za hodinu je v bodě `[5;\ 5]` (souřadnice v kilometrech). Kde bude za 2,5 hodiny, jakou jede rychlostí a vede její trasa přes bod `M[8;\ 9]`?

Kam dál