Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Parametrické vyjádření přímky

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 118 612

Parametrické vyjádření přímky je způsob, jak popsat přímku v rovině nebo prostoru pomocí parametrů. Tento přístup se často používá k zjednodušení výpočtů a analýzy.


Přímku můžeme určit pomocí dvou bodů A, B. Tyto dva body tvoří vektor u=B-A. Tento vektor se nazývá směrový vektor.

Přímka

Přímku lze určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. To ale neznamená, že by přímka měla nekonečně mnoho směrových vektor, protože každý z těchto směrových vektorů je nenulovým násobkem jiného směrového vektoru. Parametricky se tedy každá přímka p daná body A, B dá zapsat pomocí jednoho bodu a směrového vektoru.

\vec{u} = B - A\\p:\ X = A + t\cdot\vec{u},\ t\in \mathbb{R}

Jedná se tedy o parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr a je z množiny reálných čísel. Tato rovnice se dá i trochu rozepsat pro jednotlivé souřadnice.

x=a_1+t\cdot\vec{u}_1\\y=a_2+t\cdot\vec{u}_2

Procvičování

1) Zjistěte zda body R[3;\ 1],\ P[4;\ 2] leží na přímce q s parametrickým vyjádřením:

x=2-t
y=3+2t

Aby bod R mohl ležet na přímce T, musel by existovat takový parametr t, aby platilo:

3 = 2 - t
1 = 3 + 2*t

Vypočítáním první rovnice dostaneme t = -1 a z druhé rovnice dostaneme t = -1. Protože je v obou rovnicích hodnota proměnné t stejná, leží bod R na přímce q. Pro druhý bod se postupuje obdobně:

4 = 2 - t
t = -2
2 = 3 + 2*t
t = -0.5

Hodnota proměnné t je různá a proto bod P neleží na přímce q.

2) Zjistěte zda vektory \vec{u}=(2;4),\ \vec{w}=(1;-1),\ \vec{z}=(2;-2) jsou směrovými vektory přímky AB, když A[1;3] a B[-1;5].

Nejprve spočítáme vektor daný body B-A, tedy vektor o němž můžeme určitě říci, že je směrovým vektorem.

\vec{v}=B-A\\\vec{v}=(-1-1;\ 5-3)\\\vec{v}=(-2;\ 2)

Aby mohl být vektor \vec{u} směrovým vektorem přímky, muselo by existovat takové reálné číslo k, aby platilo: 

\vec{v}=k\cdot\vec{u},\ \ k\in\mathbb{R}

Rozepsáním pro jednotlivé souřadnice:

-2 = k*2
2 = k*4

Pokud spočítáme první rovnici vyjde nám, že k = -1 a z druhé rovnice dostaneme k = 0.5. Protože se výsledky nerovnají, není vektor \vec{u} směrovým vektorem přímky AB.

Obdobně se bude postupovat při ověřování dalších vektorů:

\vec{v}=k\cdot\vec{w}
\begin{array}{rcl}-2&=&k\cdot1\\2&=&k\cdot(-1)\end{array}

Proměnná k je stejná a proto je vektor \vec{w} směrovým vektorem přímky AB. 

\vec{v}=k\cdot\vec{z}
\begin{array}{rcl}-2&=&k\cdot2\\2&=&k\cdot(-2)\end{array}

Opět vyšla proměnná k v obou případech stejná, takže vektor \vec{z} je směrovým vektorem přímky AB.

3) V trojúhelníku ABC určeném body A[1;\ 1],\ B[4;\ 3],\ C[3;\ -2] najděte těžiště.

Trojúhelník

Označme bod P jako střed strany BC. Dále víme, že těžiště, tedy bod T, leží na 2/3 vektoru P-A. Takže můžeme souřadnice bodu T vyjádřit jako:

T=A+\frac{2}{3}(P-A)

Takže když spočítáme souřadnice bodu P a dosadíme tyto souřadnice do předchozího vzorečku, získáme souřadnice těžiště.

P=[\frac{b_1+c_1}{2};\ \frac{b_2+c_2}{2}]\\P=[\frac{7}{2};\ \frac{1}{2}]
t_1=a_1+\frac{2}{3}(p_1-a_1)\\t_2=a_2+\frac{2}{3}(p_2-a_2)\\\\t_1=a_1+\frac{2}{3}p_1-\frac{2}{3}a_1\\t_1=\frac{1}{3}a_1+\frac{2}{3}p_1\\t_1=\frac{a_1+2p_1}{3}\\t_2=\frac{a_2+2p_2}{3}\\t_1=\frac{8}{3}\\t_2=\frac{2}{3}\\T[\frac{8}{3};\ \frac{2}{3}]

4) Určete číslo p, aby vektor \vec{v}=(1-p;\ p+\frac{1}{6} byl směrovým vektorem přímky A[-1;\ 2],\ B[3;\ 5].

Nejprve musíme najít směrový vektor \vec{u}=B-A.

\vec{u}=B-A\\\vec{u}=(4;\ 3)

A nyní musíme vyřešit soustavu rovnic o dvou neznámých:

k\cdot\vec{u}=\vec{v},\ k\in\mathbb{R}
tedy:
\begin{array}{rcl}4k&=&1-p\\3k&=&p+\frac{1}{6}\end{array}

Vypočítáním této soustavy dojdeme k výsledku, že p=\frac{1}{3}.

5) Určete číslo p, tak aby bod C[p+1; -p] ležel na přímce A[-1;3], B[1;1].

Nejprve musíme určit směrový vektor \vec{u}\ =\ B\ -\ A:

\vec{u}\ =\ B\ -\ A\\\vec{u}\ =\ (2;\ -2)

Nyní zkusíme dosadit souřadnice bodu C dosadit do parametrické rovnice přímky AB:

\begin{array}{rcl}p+1&=&-1+2t\\-p&=&3-2t\end{array}

Jelikož tato soustava nemá řešení, nemůže bod C ležet na přímce AB.

6) Je dán vrchol A[3;-1], bod S[1;0], který je středem strany AB a těžiště T[2;1]. Určete zbývající vrcholy trojúhelníku ABC.

Nejprve určíme souřadnice bodu B:

B=[2*s1-a1; 2*s2-a2]
B=[-1; 1]

Nyní musíme určit souřadnice bodu P, který je ve středu strany BC. Použijeme vzorec ze třetího příkladu:

T=A+\frac{2}{3}(P-A)\\T=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}P\\P=\frac{3T-A}{2}

Dosadíme-li do tohoto vzorce souřadnice bodu T a bodu A, získáme souřadnice bodu P:

P=[1.5; 2]

A spočítat souřadnice bodu C již není problém:

C=[2*p1-b1; 2*p2-b2]
C=[4; 3]

Bod C má souřadnice [4;3].

Mohlo by Vás zajímat

Test

Najděte vektor opačný k vektoru \vec{u}=(1;\ -2\sqrt{2})


Hlavolam

Akce! Tma, bouřka, silný déšť. Podminovaná lávka přes širokou rozvodněnou řeku. Dvoučlené komadno prozatím uspělo. Oba politici držení v zajetí teroristy byli osvobozeni. Ještě je třeba se dostat na druhou stranu lávky, která exploduje za 17 minut. Víc času není. Lávka je ale moc úzká a bambus víc jak dva lidi najednou neunese. A pak, je hrozná tma a oni mají jenom jednu baterku (asi nízkorozpočtový film). Bez baterky se lávka prostě přejít nedá. To by byla sebevražda. Oba komandos jsou celkem ve formě: první přeběhne lávku za 1 minutu, druhý za 2 minuty. Politici jsou na tom, ale hůř: jeden přejde lávku za 5 a druhý za 10 minut. Přes lávku mohou jít jen dva najednou a ten rychlejší samozřejmě musí čekat na toho pomalejšího. Jak to stihnou? Nebo to nebude americkej happyend?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček