Matematika pro každého
Přímku můžeme určit pomocí dvou bodů A, B. Tyto dva body tvoří vektor u=B-A. Tento vektor se nazývá směrový vektor.
Přímku lze určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. To ale neznamená, že by přímka měla nekonečně mnoho směrových vektor, protože každý z těchto směrových vektorů je nenulovým násobkem jiného směrového vektoru. Parametricky se tedy každá přímka p daná body A, B dá zapsat pomocí jednoho bodu a směrového vektoru.
`\vec{u} = B - A\\p:\ X = A + t\cdot\vec{u},\ t\in \mathbb{R}`
Jedná se tedy o parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr a je z množiny reálných čísel. Tato rovnice se dá i trochu rozepsat pro jednotlivé souřadnice.
`x=a_1+t\cdot\vec{u}_1\\y=a_2+t\cdot\vec{u}_2`
Procvičování
1) Zjistěte zda body `R[3;\ 1],\ P[4;\ 2]` leží na přímce q s parametrickým vyjádřením:
x=2-t y=3+2t
Aby bod R mohl ležet na přímce T, musel by existovat takový parametr t, aby platilo:
3 = 2 - t 1 = 3 + 2*t
Vypočítáním první rovnice dostaneme t = -1 a z druhé rovnice dostaneme t = -1. Protože je v obou rovnicích hodnota proměnné t stejná, leží bod R na přímce q. Pro druhý bod se postupuje obdobně:
4 = 2 - t t = -2 2 = 3 + 2*t t = -0.5
Hodnota proměnné t je různá a proto bod P neleží na přímce q.
2) Zjistěte zda vektory `\vec{u}=(2;4),\ \vec{w}=(1;-1),\ \vec{z}=(2;-2)` jsou směrovými vektory přímky AB, když A[1;3] a B[-1;5].
Nejprve spočítáme vektor daný body B-A, tedy vektor o němž můžeme určitě říci, že je směrovým vektorem.
`\vec{v}=B-A\\\vec{v}=(-1-1;\ 5-3)\\\vec{v}=(-2;\ 2)`
Aby mohl být vektor `\vec{u}` směrovým vektorem přímky, muselo by existovat takové reálné číslo k, aby platilo:
`\vec{v}=k\cdot\vec{u},\ \ k\in\mathbb{R}`
Rozepsáním pro jednotlivé souřadnice:
-2 = k*2 2 = k*4
Pokud spočítáme první rovnici vyjde nám, že k = -1 a z druhé rovnice dostaneme k = 0.5. Protože se výsledky nerovnají, není vektor `\vec{u}` směrovým vektorem přímky AB.
Obdobně se bude postupovat při ověřování dalších vektorů:
`\vec{v}=k\cdot\vec{w}`
`\begin{array}{rcl}-2&=&k\cdot1\\2&=&k\cdot(-1)\end{array}`
Proměnná k je stejná a proto je vektor `\vec{w}` směrovým vektorem přímky AB.
`\vec{v}=k\cdot\vec{z}`
`\begin{array}{rcl}-2&=&k\cdot2\\2&=&k\cdot(-2)\end{array}`
Opět vyšla proměnná k v obou případech stejná, takže vektor `\vec{z}` je směrovým vektorem přímky AB.
3) V trojúhelníku ABC určeném body `A[1;\ 1],\ B[4;\ 3],\ C[3;\ -2]` najděte těžiště.
Označme bod P jako střed strany BC. Dále víme, že těžiště, tedy bod T, leží na 2/3 vektoru P-A. Takže můžeme souřadnice bodu T vyjádřit jako:
`T=A+\frac{2}{3}(P-A)`
Takže když spočítáme souřadnice bodu P a dosadíme tyto souřadnice do předchozího vzorečku, získáme souřadnice těžiště.
`P=[\frac{b_1+c_1}{2};\ \frac{b_2+c_2}{2}]\\P=[\frac{7}{2};\ \frac{1}{2}]`
`t_1=a_1+\frac{2}{3}(p_1-a_1)\\t_2=a_2+\frac{2}{3}(p_2-a_2)\\\\t_1=a_1+\frac{2}{3}p_1-\frac{2}{3}a_1\\t_1=\frac{1}{3}a_1+\frac{2}{3}p_1\\t_1=\frac{a_1+2p_1}{3}\\t_2=\frac{a_2+2p_2}{3}\\t_1=\frac{8}{3}\\t_2=\frac{2}{3}\\T[\frac{8}{3};\ \frac{2}{3}]`
4) Určete číslo p, aby vektor `\vec{v}=(1-p;\ p+\frac{1}{6}` byl směrovým vektorem přímky `A[-1;\ 2],\ B[3;\ 5]`.
Nejprve musíme najít směrový vektor `\vec{u}=B-A`.
`\vec{u}=B-A\\\vec{u}=(4;\ 3)`
A nyní musíme vyřešit soustavu rovnic o dvou neznámých:
`k\cdot\vec{u}=\vec{v},\ k\in\mathbb{R}`
tedy:
`\begin{array}{rcl}4k&=&1-p\\3k&=&p+\frac{1}{6}\end{array}`
Vypočítáním této soustavy dojdeme k výsledku, že `p=\frac{1}{3}`.
5) Určete číslo p, tak aby bod C[p+1; -p] ležel na přímce A[-1;3], B[1;1].
Nejprve musíme určit směrový vektor `\vec{u}\ =\ B\ -\ A`:
`\vec{u}\ =\ B\ -\ A\\\vec{u}\ =\ (2;\ -2)`
Nyní zkusíme dosadit souřadnice bodu C dosadit do parametrické rovnice přímky AB:
`\begin{array}{rcl}p+1&=&-1+2t\\-p&=&3-2t\end{array}`
Jelikož tato soustava nemá řešení, nemůže bod C ležet na přímce AB.
6) Je dán vrchol A[3;-1], bod S[1;0], který je středem strany AB a těžiště T[2;1]. Určete zbývající vrcholy trojúhelníku ABC.
Nejprve určíme souřadnice bodu B:
B=[2*s1-a1; 2*s2-a2] B=[-1; 1]
Nyní musíme určit souřadnice bodu P, který je ve středu strany BC. Použijeme vzorec ze třetího příkladu:
`T=A+\frac{2}{3}(P-A)\\T=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}P\\P=\frac{3T-A}{2}`
Dosadíme-li do tohoto vzorce souřadnice bodu T a bodu A, získáme souřadnice bodu P:
P=[1.5; 2]
A spočítat souřadnice bodu C již není problém:
C=[2*p1-b1; 2*p2-b2] C=[4; 3]
Bod C má souřadnice [4;3].
Mohlo by Vás zajímat