Úseková rovnice přímky

Úseková rovnice přímky (také úsekový tvar přímky) zapisuje přímku v rovině jako `\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1`. Čísla p a q jsou úseky na osách: přímka protíná osu x v bodě `P[p;\ 0]` a osu y v bodě `Q[0;\ q]`.

`\displaystyle \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1,\qquad p\ne 0,\ q\ne 0`

Například přímka `\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1` protíná osu x v bodě `[3;\ 0]` a osu y v bodě `[0;\ 2]`. Z úsekového tvaru se tak dá přímka nakreslit bez počítání: vyznačíte dva body na osách a spojíte je.

Úsekový tvar ale nemá každá přímka. Chybí přímkám, které procházejí počátkem, a přímkám rovnoběžným s některou osou. Níže je, proč tomu tak je, jak úsekový tvar dostat z obecné rovnice nebo ze dvou bodů a jak se liší od ostatních tvarů rovnice přímky.

Co znamenají čísla p a q

Dosaďte do rovnice bod `P[p;\ 0]`: vyjde `\frac{p}{p}+\frac{0}{q}=1+0=1`, bod na přímce leží. Stejně bod `Q[0;\ q]` dá `0+1=1`. Přímka úsekovou rovnicí zadaná tedy prochází právě těmito dvěma body na osách, a dva body přímku určují.

Úseky mohou být i záporné. Přímka `\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1` protíná osu x nalevo od počátku, v bodě `[-2;\ 0]`. Zápis `\frac{x}{-2}` se často upraví na `-\frac{x}{2}`, rovnice `-\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1` je stále úsekový tvar, jen znaménko je potřeba při čtení vrátit do jmenovatele.

Z úsekového tvaru se dá rovnou přečíst i směrnice. Přímka jde z bodu `[p;\ 0]` do bodu `[0;\ q]`, tedy o `-p` ve směru x a o q ve směru y:

`\displaystyle k=\frac{q-0}{0-p}=-\frac{q}{p}`

Pro červenou přímku z obrázku je `k=-\frac{2}{3}`, pro modrou `k=-\frac{4}{-2}=2`. Číslo q má v úsekovém i ve směrnicovém tvaru `y=kx+q` stejný význam: je to úsek na ose y.

Které přímky úsekový tvar nemají

Ve jmenovatelích stojí p a q, takže žádný z nich nesmí být nula a oba musí existovat. Tím vypadnou tři druhy přímek:

• Přímka procházející počátkem, například `y=\frac{1}{2}x`. Protíná obě osy ve stejném bodě `[0;\ 0]`, úseky by byly nulové.
• Přímka rovnoběžná s osou x, například `y=-2`. Osu x neprotne nikdy, úsek p neexistuje.
• Přímka rovnoběžná s osou y, například `x=-3`. Neprotne osu y, chybí q.

V obecné rovnici `ax+by+c=0` to poznáte hned: úsekový tvar přímka nemá, když `c=0` (prochází počátkem) nebo když `a=0` či `b=0` (je rovnoběžná s osou). Obecná rovnice naproti tomu popíše každou přímku, proto se v analytické geometrii počítá hlavně s ní.

Jak převést obecnou rovnici na úsekový tvar

Postup má dva kroky: absolutní člen převedeme na pravou stranu, kde z něj bude `-c`, a celou rovnici vydělíme právě číslem `-c`, aby vpravo zůstala jednička. Ze zlomku `\dfrac{ax}{-c}` pak uděláme `\dfrac{x}{-\frac{c}{a}}`, aby v čitateli zůstalo samotné x.

`\begin{gathered}ax+by+c=0 \\[10pt] ax+by=-c\qquad /:(-c) \\[10pt] \displaystyle \frac{x}{-\frac{c}{a}}+\frac{y}{-\frac{c}{b}}=1\end{gathered}`

Úseky jsou tedy `p=-\frac{c}{a}` a `q=-\frac{c}{b}`. Vzorec si pamatovat nemusíte, stačí postup.

Příklad 1

Převeďte přímku `4x-3y+12=0` na úsekový tvar a určete, kde protíná osy.

`\begin{gathered}4x-3y=-12\qquad /:(-12) \\[10pt] \displaystyle \frac{4x}{-12}+\frac{-3y}{-12}=1 \\[10pt] \displaystyle \frac{x}{-3}+\frac{y}{4}=1\end{gathered}`

Přímka protíná osu x v bodě `[-3;\ 0]` a osu y v bodě `[0;\ 4]`. Zkouška v původní rovnici: `4\cdot(-3)-0+12=0` a `0-3\cdot 4+12=0`. Oba body na přímce leží.

Nejčastější chyba je dělit číslem `12` místo `-12`. Vyjde `\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=-1`, což není úsekový tvar, protože vpravo musí být `+1`. Kdo pak přečte úseky 3 a `-4`, má obě znaménka špatně.

Převod si ověříte v kalkulačce převod rovnice přímky mezi tvary: zadáte koeficienty obecné rovnice a vypíše se úsekový, směrnicový i parametrický tvar.

Úsekový tvar ze dvou bodů

Leží-li oba body na osách, je hotovo hned: z bodů `A[0;\ 3]` a `B[1;\ 0]` je `p=1`, `q=3` a přímka `AB` má rovnici `\frac{x}{1}+\frac{y}{3}=1`, tedy `x+\frac{y}{3}=1`. Pozor, které číslo kam patří: p je souřadnice x bodu na ose x, q souřadnice y bodu na ose y.

Obvykle ale body na osách neleží. Pak nejprve najdeme obecnou (nebo směrnicovou) rovnici a z ní průsečíky s osami.

Příklad 2

Napište úsekovou rovnici přímky `AB`, je-li `A[-1;\ 3]` a `B[2;\ 1]`.

Směrový vektor je `\vec{u}=B-A=(3;\ {-2})`, normálový vektor dostaneme prohozením souřadnic a změnou jednoho znaménka: `\vec{n}=(2;\ 3)`. Obecná rovnice je `2x+3y+c=0` a dosazením bodu A vyjde `-2+9+c=0`, tedy `c=-7`.

`\begin{gathered}2x+3y-7=0 \\[10pt] 2x+3y=7\qquad /:7 \\[10pt] \displaystyle \frac{x}{\frac{7}{2}}+\frac{y}{\frac{7}{3}}=1\end{gathered}`

Úseky jsou `p=\frac{7}{2}=3{,}5` a `q=\frac{7}{3}\doteq 2{,}33`. Zkouška bodem B: `\frac{2}{3{,}5}+\frac{1}{\frac{7}{3}}=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}=1`.

Rovnici `\frac{2x}{7}+\frac{3y}{7}=1` najdete v některých sbírkách jako výsledek. Je to pravdivá rovnice téže přímky, jen úseky z ní nejsou vidět na první pohled, protože x a y v čitateli mají koeficient. Za úsekový tvar se považuje zápis s holým x a y v čitateli. Stejnou přímku vám spočítá kalkulačka přímky ze dvou bodů.

Trojúhelník, který přímka vytne s osami

Přímka s úsekovým tvarem spolu s osami ohraničuje pravoúhlý trojúhelník s vrcholy `[0;\ 0]`, `[p;\ 0]` a `[0;\ q]`. Jeho odvěsny mají délky `|p|` a `|q|`, takže

`\displaystyle S=\frac{|p|\cdot|q|}{2}`

Tahle úloha je v písemkách oblíbená právě proto, že z úsekového tvaru je hotová na jeden řádek.

Příklad 3

Jaký obsah má trojúhelník, který přímka `3x-4y+12=0` vytíná se souřadnicovými osami?

`\begin{gathered}3x-4y=-12\qquad /:(-12) \\[10pt] \displaystyle \frac{x}{-4}+\frac{y}{3}=1\end{gathered}`

Odvěsny mají délky 4 a 3, obsah je `S=\frac{4\cdot 3}{2}=6`. Přepona, tedy úsečka mezi průsečíky s osami, měří `\sqrt{4^2+3^2}=5`. Kdo by zapomněl na absolutní hodnotu, dostane obsah `-6`, a to je signál chyby.

Příklad 4: vejde se bedna pod žebřík?

Žebřík je opřený o svislou zeď, jeho pata stojí 3 m od zdi a horní konec se opírá ve výšce 4 m. Pod žebřík chceme ke zdi přistrčit bednu hlubokou 1,2 m a vysokou 1,5 m. Vejde se?

Zeď vezmeme jako osu y a podlahu jako osu x. Žebřík pak leží na přímce s úseky 3 a 4:

`\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1`

Rozhoduje horní roh bedny odvrácený od zdi, bod `[1{,}2;\ 1{,}5]`. Body pod žebříkem, na stejné straně jako počátek, mají levou stranu menší než 1 (počátek dává 0):

`\displaystyle \frac{1{,}2}{3}+\frac{1{,}5}{4}=0{,}4+0{,}375=0{,}775\lt 1`

Bedna se vejde. Bedna hluboká 1,6 m a vysoká 2 m by se nevešla: `\frac{1{,}6}{3}+\frac{2}{4}\doteq 1{,}03\gt 1`, její roh by byl nad žebříkem. Víc o tom, na které straně přímky bod leží, je v článku Poloha bodu vůči přímce.

Všechny tvary rovnice přímky

Jedna přímka se dá zapsat několika způsoby a každý z nich ukazuje něco jiného. V tabulce jsou všechny čtyři pro přímku, která prochází body `[3;\ 0]` a `[0;\ {-2}]`.

Oblíbená písemková úloha je napsat jednu přímku ve všech tvarech. Tak se k tabulce dojde.

Příklad 5

Napište všechny tvary rovnice přímky `AB`, kde `A[3;\ 0]` a `B[0;\ {-2}]`.

Úsekový tvar je hned vidět, oba body leží na osách: `\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}=1`, neboli `\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1`.

Parametrické vyjádření. `\vec{u}=B-A=(-3;\ {-2})`, jednodušší je opačný vektor `(3;\ 2)`. S bodem A:

`\begin{gathered}x=3+3t \\[4pt] y=2t,\qquad t\in\mathbb{R}\end{gathered}`

Obecná rovnice. Normálový vektor je kolmý na `(3;\ 2)`, tedy `\vec{n}=(2;\ {-3})`. Z `2x-3y+c=0` a bodu A: `6+c=0`, `c=-6`. Rovnice je `2x-3y-6=0`. Stejně ji dostanete z úsekového tvaru vynásobením šesti: `2x-3y=6`.

Směrnicový tvar vznikne osamostatněním y: `3y=2x-6`, tedy `y=\frac{2}{3}x-2`. Kontrola: `k=-\frac{q}{p}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}` a úsek na ose y je `-2`, jak má být.

Jak se značí přímka, úsečka a polopřímka

Přímka se značí malým písmenem, nejčastěji p, q, r, a rovnice se píše za dvojtečku: `p:\ 2x-3y-6=0`. Přímku určenou body A a B lze psát i jako `\overleftrightarrow{AB}`, v analytické geometrii se ale obvykle píše prostě přímka `AB`.

Úsečka `AB` je jen část přímky mezi body A a B, včetně nich, a má délku `|AB|`. Polopřímka `\mapsto AB` začíná v bodě A a pokračuje přes B do nekonečna. Přímka nemá ani začátek, ani konec. V parametrickém vyjádření `X=A+t\,(B-A)` je rozdíl vidět na parametru: přímce odpovídá každé t, polopřímce `t\ge 0` a úsečce `t\in\langle 0;\ 1\rangle`.

Časté chyby

• Na pravé straně není jednička. `\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=-1` ani `\frac{x}{2}+\frac{y}{5}=3` nejsou úsekové tvary. Rovnici je potřeba vydělit tak, aby vpravo bylo `+1`.
• Záporný úsek přečtený jako kladný. V `\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1` je `q=-2`, ne 2. Pomůže přepsat minus do jmenovatele: `\frac{y}{-2}`.
• Koeficient v čitateli. `\frac{2x}{7}+\frac{3y}{7}=1` ještě neukazuje úseky 7 a 7, ale `\frac{7}{2}` a `\frac{7}{3}`.
• Prohozené p a q. Pod x patří průsečík s osou x. Zkouška dosazením obou průsečíků chybu odhalí hned.
• Úsekový tvar pro přímku počátkem. Když vyjde `c=0`, žádný úsekový tvar neexistuje a správná odpověď je to napsat.

Příklady k procvičení

Kam dál

Výsledky si ověříte v kalkulačkách převod rovnice přímky mezi tvary a přímka ze dvou bodů, obě vypíšou i úsekový tvar. Všechny kalkulačky pro přímku a kružnici jsou pohromadě v analytické geometrii a dosazování do parametrického vyjádření si procvičíte v procvičování parametrického vyjádření přímky.

Ostatní tvary rovnice přímky mají vlastní články: Obecná rovnice přímky, Směrnicová rovnice přímky a Parametrické vyjádření přímky. Na ně navazují Polohové úlohy v rovině.