Souřadnice vektoru určeného dvěma body spočítáme tak, že od souřadnic koncového bodu odečteme souřadnice počátečního bodu. Vektor z bodu A do bodu B je tedy `\overrightarrow{AB}=B-A`, v prostoru má tři souřadnice, v rovině dvě:

`\overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;\ b_2-a_2;\ b_3-a_3)`

Třeba pro `A[1;\ 4;\ 2]` a `B[3;\ 1;\ 2]` vyjde `\overrightarrow{AB}=(3-1;\ 1-4;\ 2-2)=(2;\ {-3};\ 0)`. Z vektoru se pak počítá skoro všechno ostatní: jeho velikost je vzdálenost bodů A a B, ze dvou vektorů se stejným počátkem dostaneme úhel a z několika bodů třeba těžiště.

Na této stránce je osm řešených příkladů na body a vektory v rovině i v prostoru: souřadnice a velikost vektoru, souřadnice vrcholů krychle, vzdálenost bodů, střed úsečky a chybějící krajní bod, vnitřní úhly trojúhelníku, úhly v krychli, těžiště a jeden důkaz vektorové rovnosti. Výklad jednotlivých vzorců je v článcích Vektory, Střed úsečky a Skalární součin, tady je použijeme na příkladech.

Každý výsledek si můžete ověřit kalkulačkou. Odkazy u příkladů ji otevřou rovnou s jejich čísly.

Vzorce, které budeme potřebovat

Všechny vzorce jsou napsané pro prostor. V rovině stačí třetí souřadnici vynechat.

co počítámevzorec
souřadnice vektoru `\overrightarrow{AB}``B-A`
velikost vektoru `\vec{u}``|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}`
vzdálenost bodů A, B`|AB|=|B-A|`
střed úsečky AB`S=\dfrac{A+B}{2}`
krajní bod, znám-li střed S a bod B`A=2S-B`
úhel vektorů `\vec{u},\ \vec{v}``\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`
těžiště trojúhelníku ABC`T=\dfrac{A+B+C}{3}`

Zápis `\dfrac{A+B}{2}` znamená, že se sečtou odpovídající souřadnice a každý součet se vydělí dvěma. Body se takhle sčítat smí jen v těchto vzorcích, kde se koeficienty sečtou na jedničku. Když se sečtou na nulu, jako v `B-A`, vyjde vektor. Samotný součet `A+B` žádný smysluplný bod není.

Souřadnice a velikost vektoru

Příklad 1

Jsou dány body `A[2;\ {-1};\ 3]` a `B[5;\ 3;\ 3]`. Určete souřadnice vektorů `\overrightarrow{AB}` a `\overrightarrow{BA}` a vzdálenost bodů A, B.

Koncový bod minus počáteční, souřadnici po souřadnici:

`\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=B-A\\[4pt] &=(5-2;\ 3-(-1);\ 3-3)\\[4pt] &=(3;\ 4;\ 0)\\[10pt] \overrightarrow{BA}&=A-B=(-3;\ {-4};\ 0)\end{aligned}`

Vektor `\overrightarrow{BA}` je opačný k `\overrightarrow{AB}`, má stejnou velikost a opačný směr. Vzdálenost bodů je velikost kteréhokoli z nich:

`|AB|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5`

Kontrola: třetí souřadnice obou bodů je stejná, úsečka tedy leží ve vodorovné rovině `z=3` a celý příklad je vlastně rovinný. Odvěsny 3 a 4 dávají známou přeponu 5. Výsledek si můžete ověřit kalkulačkou vektor ze dvou bodů, která k vektoru vypíše i vzdálenost a střed.

Body v prostoru: vrcholy krychle

Příklad 2

Krychle ABCDEFGH má vrcholy `A[0;\ 0;\ 0]`, `B[4;\ 0;\ 0]`, `D[0;\ 4;\ 0]` a `E[0;\ 0;\ 4]`. Určete souřadnice ostatních vrcholů, souřadnice středu P hrany CG a vzdálenost `|AP|`.

xyzABCDEFGHP[0; 0; 0]

Hrana krychle má délku 4 a tři hrany z vrcholu A leží na osách: AB na ose x, AD na ose y a AE na ose z. Vrchol C dostaneme z bodu B posunutím o vektor `\overrightarrow{AD}=(0;\ 4;\ 0)`, horní stěnu posunutím celé podstavy o `\overrightarrow{AE}=(0;\ 0;\ 4)`:

`\begin{gathered}C[4;\ 4;\ 0] \\[6pt] F[4;\ 0;\ 4],\quad G[4;\ 4;\ 4],\quad H[0;\ 4;\ 4]\end{gathered}`

Střed P hrany CG je průměr souřadnic krajních bodů:

`P=\left[\dfrac{4+4}{2};\ \dfrac{4+4}{2};\ \dfrac{0+4}{2}\right]=[4;\ 4;\ 2]`

A vzdálenost bodů A a P podle vzorce:

`\begin{gathered}|AP|=\sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2+(2-0)^2} \\[6pt] |AP|=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6\end{gathered}`

Kontrola bez souřadnic: stěnová úhlopříčka AC má délku `4\sqrt{2}` a úsečka CP je kolmá k podstavě, takže z pravoúhlého trojúhelníku ACP je `|AP|=\sqrt{32+4}=6`. Výsledek je také kratší než tělesová úhlopříčka `|AG|=4\sqrt{3}\doteq 6{,}93`, jak má být. Vzdálenost dvou bodů v prostoru počítá i kalkulačka vzdálenosti bodů v prostoru.

Souřadnice vrcholů vždy závisí na tom, jak je krychle v soustavě položená. Když zadání určí jen některé vrcholy, nakreslete si obrázek s osami a doplňte ostatní posunutím o hranu, jako tady.

Vzdálenost bodů: jaký je to trojúhelník

Příklad 3

Rozhodněte, zda je trojúhelník KLM s vrcholy `K[1;\ 2;\ 0]`, `L[3;\ 3;\ 2]` a `M[3;\ 0;\ {-1}]` rovnoramenný nebo pravoúhlý.

Spočítáme délky všech tří stran. Odmocňovat zatím nemusíme, porovnávat stačí druhé mocniny:

`\begin{aligned}\overrightarrow{KL}&=(2;\ 1;\ 2) & |KL|^2&=9\\[4pt] \overrightarrow{KM}&=(2;\ {-2};\ {-1}) & |KM|^2&=9\\[4pt] \overrightarrow{LM}&=(0;\ {-3};\ {-3}) & |LM|^2&=18\end{aligned}`

Strany KL a KM mají stejnou délku 3, trojúhelník je tedy rovnoramenný se základnou LM. A protože `9+9=18`, platí pro něj Pythagorova věta, takže je i pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu K. Délka přepony je `|LM|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}`.

Kontrola: pravý úhel u K znamená, že vektory `\overrightarrow{KL}` a `\overrightarrow{KM}` jsou kolmé, a to se pozná podle nulového skalárního součinu: `2\cdot 2+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)=0`. Souhlasí.

Střed úsečky a chybějící krajní bod

Příklad 4

Bod `S[-5;\ 4;\ 1]` je středem úsečky AB, kde `B[3;\ {-2};\ 5]`. Určete souřadnice bodu A. Dále určete bod D tak, aby bod `C[4;\ 7;\ 1]` byl středem úsečky DA.

Ze vzorce pro střed `s_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}` vyjádříme neznámou souřadnici: `a_1=2s_1-b_1`, a stejně pro další dvě. Bod A je tedy `A=2S-B`:

`\begin{gathered}A=[2\cdot(-5)-3;\ 2\cdot 4-(-2);\ 2\cdot 1-5] \\[6pt] A=[-13;\ 10;\ {-3}]\end{gathered}`

Úplně stejně najdeme D, jen teď je středem C a známý krajní bod je A:

`\begin{aligned}D&=2C-A\\[4pt] &=[8-(-13);\ 14-10;\ 2-(-3)]\\[4pt] &=[21;\ 4;\ 5]\end{aligned}`

Kontrola dosazením: průměr bodů A a B je opravdu S,

`\left[\dfrac{-13+3}{2};\ \dfrac{10-2}{2};\ \dfrac{-3+5}{2}\right]=[-5;\ 4;\ 1]`

a průměr bodů D a A je `[4;\ 7;\ 1]=C`. Úsečku AB s krajním bodem A si můžete nechat přepočítat kalkulačkou vektoru ze dvou bodů, v posledním řádku vypíše střed S.

Je tu i hezčí kontrola. V trojúhelníku ABD je S střed strany AB a C střed strany AD, takže úsečka SC je jeho střední příčka. Ta je rovnoběžná se třetí stranou BD a je poloviční. Ve vektorech to znamená `D-B=2\,(C-S)`:

ABDSCC − SD − B = 2(C − S)
`\begin{aligned}C-S&=(4-(-5);\ 7-4;\ 1-1)\\[4pt] &=(9;\ 3;\ 0)\\[10pt] D-B&=(21-3;\ 4-(-2);\ 5-5)\\[4pt] &=(18;\ 6;\ 0)\end{aligned}`

Druhý vektor je opravdu dvojnásobkem prvního. Odtud jde D spočítat i jedním krokem jako `D=B+2\,(C-S)`. V rovině umí bod souměrný podle středu i kalkulačka středu úsečky, v řádku „bod souměrný k A podle B“.

Úhel vektorů a vnitřní úhly trojúhelníku

Úhel dvou vektorů se počítá ze skalárního součinu:

`\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`

Když tímto vzorcem chceme vnitřní úhel trojúhelníku, musí oba vektory vycházet ze stejného vrcholu. Pro úhel `\alpha` u vrcholu A to jsou `\overrightarrow{AB}` a `\overrightarrow{AC}`.

Příklad 5

Určete velikosti vnitřních úhlů `\alpha`, `\beta`, `\gamma` trojúhelníku ABC, jestliže `A[0;\ 1]`, `B[-1;\ 2]` a `C[1;\ 3]`.

Úhel `\alpha` u vrcholu A svírají vektory `\vec{u}=B-A` a `\vec{v}=C-A`:

`\begin{gathered}\vec{u}=(-1;\ 1),\quad \vec{v}=(1;\ 2) \\[10pt] \vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot 1+1\cdot 2=1 \\[10pt] |\vec{u}|=\sqrt{2},\quad |\vec{v}|=\sqrt{5} \\[10pt] \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\doteq 0{,}3162 \\[10pt] \alpha\doteq 71{,}57^{\circ}\doteq 71^{\circ}34'\end{gathered}`

Úhel `\beta` u vrcholu B svírají vektory `A-B=(1;\ {-1})` a `C-B=(2;\ 1)`:

`\begin{gathered}\cos\beta=\dfrac{1\cdot 2+(-1)\cdot 1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}} \\[10pt] \beta\doteq 71^{\circ}34'\end{gathered}`

Úhly `\alpha` a `\beta` vyšly stejně, a to není náhoda: `|AC|=|BC|=\sqrt{5}`, trojúhelník je rovnoramenný se základnou AB. Třetí úhel u vrcholu C svírají vektory `A-C=(-1;\ {-2})` a `B-C=(-2;\ {-1})`:

`\begin{gathered}\cos\gamma=\dfrac{(-1)(-2)+(-2)(-1)}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5} \\[10pt] \gamma\doteq 36{,}87^{\circ}\doteq 36^{\circ}52'\end{gathered}`

Kontrola: `71^{\circ}34'+71^{\circ}34'+36^{\circ}52'=180^{\circ}`. Úhel `\gamma` jde spočítat i jako `180^{\circ}-2\alpha`, ale vypočítat ho zvlášť a součtem si ověřit, že je všechno v pořádku, je jistější. Úhel `\alpha` si můžete nechat přepočítat kalkulačkou úhlu dvou vektorů (třetí souřadnice je v rovině nula).

Kdybychom vzali vektory `\overrightarrow{AB}` a `\overrightarrow{BC}`, které na sebe navazují, vyšlo by `\cos\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}` a úhel `108^{\circ}26'`. To je vnější úhel u vrcholu B, tedy `180^{\circ}-\beta`. Když vyjde tupý úhel tam, kde je podle obrázku ostrý, vektory nejspíš nevycházejí ze stejného bodu.

Příklad 6

V krychli z příkladu 2 určete úhel tělesové úhlopříčky AG s hranou AB a úhel úhlopříčky AG s úsečkou AP.

Všechny tři vektory vycházejí z bodu A, který je v počátku, takže jejich souřadnice jsou rovnou souřadnice koncových bodů: `\overrightarrow{AG}=(4;\ 4;\ 4)`, `\overrightarrow{AB}=(4;\ 0;\ 0)` a `\overrightarrow{AP}=(4;\ 4;\ 2)`.

`\begin{gathered}\cos\varphi_1=\dfrac{16+0+0}{4\sqrt{3}\cdot 4}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\doteq 0{,}5774 \\[10pt] \varphi_1\doteq 54^{\circ}44'\end{gathered}`

`\begin{gathered}\cos\varphi_2=\dfrac{16+16+8}{4\sqrt{3}\cdot 6}=\dfrac{5}{3\sqrt{3}}\doteq 0{,}9623 \\[10pt] \varphi_2\doteq 15^{\circ}48'\end{gathered}`

Úhel `54^{\circ}44'` mezi tělesovou úhlopříčkou a hranou vychází v každé krychli stejně, na délce hrany nezáleží. Druhý úhel je malý, protože vektor `\overrightarrow{AP}` se od `\overrightarrow{AG}` liší jen třetí souřadnicí: bod P leží ve výšce 2 přímo pod vrcholem G. Odchylky přímek a rovin v krychli bez souřadnic počítá článek Odchylka přímek.

Těžiště a součet vektorů

Příklad 7

Je dán trojúhelník `A[-2;\ {-1}]`, `B[4;\ 1]`, `C[1;\ 6]`. Určete jeho těžiště T a ukažte, že `(A-T)+(B-T)+(C-T)=\vec{o}`. Platí to pro každý trojúhelník?

Těžiště je průměr souřadnic všech tří vrcholů:

`T=\left[\dfrac{-2+4+1}{3};\ \dfrac{-1+1+6}{3}\right]=[1;\ 2]`

Vektory z těžiště k vrcholům a jejich součet:

`\begin{aligned}A-T&=(-3;\ {-3})\\[4pt] B-T&=(3;\ {-1})\\[4pt] C-T&=(0;\ 4)\\[10pt] \text{součet}&=(-3+3+0;\ {-3}-1+4)\\[4pt] &=(0;\ 0)\end{aligned}`
xyABCTA − TB − TC − T
vektory z těžiště k vrcholům
A − TB − TC − T
součet je nulový vektor

Na druhém obrázku jsou tytéž tři vektory navázané jeden za druhý, šipka na šipku. Skončí přesně tam, kde začaly, a to je obrázek nulového součtu.

Že to platí v každém trojúhelníku, dokážeme jedním řádkem. Rozepíšeme součet a dosadíme `3T=A+B+C`:

`\begin{aligned}&(A-T)+(B-T)+(C-T)\\[4pt] &=A+B+C-3T=\vec{o}\end{aligned}`

Stejný výsledek dává i známá vlastnost těžiště, že dělí každou těžnici v poměru `2:1` od vrcholu. Pro střed `N\left[\tfrac{5}{2};\ \tfrac{7}{2}\right]` strany BC je `T-A=\tfrac{2}{3}\,(N-A)=\tfrac{2}{3}\cdot\left(\tfrac{9}{2};\ \tfrac{9}{2}\right)=(3;\ 3)`, takže `T=[-2+3;\ {-1}+3]=[1;\ 2]`, totéž těžiště. Vzorec `T=\dfrac{A+B+C}{3}` je jen tohle pravidlo zapsané v souřadnicích a v prostoru platí beze změny, se třemi souřadnicemi.

Důkaz vektorové rovnosti

Příklad 8

V trojúhelníku ABC je P střed strany BC. Dokažte, že platí `(B-A)+2\,(C-B)+3\,(A-C)=2\,(A-P)`.

S vektory zapsanými jako rozdíl bodů se počítá jako s výrazy: závorky roznásobíme a sečteme stejné body. Levá strana:

`\begin{aligned}&(B-A)+2\,(C-B)+3\,(A-C)\\[6pt] &=B-A+2C-2B+3A-3C\\[6pt] &=2A-B-C\end{aligned}`

Pravá strana s dosazeným středem `P=\dfrac{B+C}{2}`:

`2\,(A-P)=2A-2\cdot\dfrac{B+C}{2}=2A-B-C`

Obě strany se rovnají `2A-B-C`, rovnost tedy platí pro každý trojúhelník. Celý důkaz se obešel bez souřadnic, i když by šlo psát i je. Takové rozepisování po souřadnicích je delší a chyba se v něm schová snáz.

Kontrola na číslech: pro `A[0;\ 0]`, `B[4;\ 0]`, `C[2;\ 4]` je `P[3;\ 2]`, levá strana `(4;\ 0)+2\cdot(-2;\ 4)+3\cdot(-2;\ {-4})=(-6;\ {-4})` a pravá `2\cdot(-3;\ {-2})=(-6;\ {-4})`. Jeden dosazený příklad nic nedokazuje, ale chybu v úpravách odhalí hned.

Časté chyby

  • Obrácené pořadí bodů. `\overrightarrow{AB}` je `B-A`, koncový minus počáteční. Kdo spočítá `A-B`, dostane opačný vektor. Pro vzdálenost to nevadí, pro úhel a pro vektorové rovnosti ano.
  • Střed místo vektoru a naopak. Střed úsečky je součet souřadnic dělený dvěma, vektor je rozdíl. Pro `A[2;\ 6]` a `B[4;\ 2]` je střed `[3;\ 4]`, ale vektor `\overrightarrow{AB}=(2;\ {-4})`.
  • Záporná souřadnice při umocňování. `(-4)^2=16`, ale `-4^2=-16`. Při dosazování do vzorce pro velikost pište záporná čísla do závorky. Pod odmocninou ve vzorci pro velikost nikdy nemůže vyjít záporné číslo; když vyjde, chyba je v umocnění.
  • Úhel z vektorů, které nemají společný počátek. Vnitřní úhel u vrcholu B svírají `A-B` a `C-B`. S vektory `\overrightarrow{AB}` a `\overrightarrow{BC}` vyjde vnější úhel `180^{\circ}-\beta`, jak ukazuje příklad 5.
  • Stupně s desetinnou částí nejsou minuty. `71{,}57^{\circ}` je `71^{\circ}34'`, ne `71^{\circ}57'`. Desetinnou část vynásobte šedesáti: `0{,}57\cdot 60\doteq 34`.
  • Zaokrouhlování v půlce výpočtu. Kdo do kosinu dosadí `|\vec{u}|\doteq 1{,}4` a `|\vec{v}|\doteq 2{,}2`, dostane `\cos\alpha\doteq 0{,}325` a úhel zhruba o půl stupně menší. Počítejte s odmocninami až do konce, `\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{10}`, a zaokrouhlete jen výsledek.
  • Čtvrtý vrchol rovnoběžníku. V rovnoběžníku ABCD je `D=A+C-B`, protože `\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}`. Častý omyl `A+B-C` dá vrchol rovnoběžníku ACBD, v němž je AB úhlopříčka, ne strana.

Příklady k procvičení

1. Určete souřadnice a velikost vektoru `\overrightarrow{AB}` pro `A[3;\ {-2}]` a `B[-1;\ 1]`.

2. Rovnoběžník ABCD má vrcholy `A[1;\ 2;\ 0]`, `B[4;\ 3;\ 1]` a `C[6;\ 7;\ 3]`. Určete vrchol D.

3. Pro která čísla x je vzdálenost bodů `A[1;\ 2;\ 3]` a `B[x;\ 5;\ 9]` rovna 7?

4. Určete úhel vektorů `\vec{u}=(1;\ 2;\ 2)` a `\vec{v}=(2;\ {-1};\ 2)`.

5. Trojúhelník má vrcholy `A[2;\ {-1};\ 4]`, `B[5;\ 3;\ 0]` a `C[-1;\ 7;\ 2]`. Určete jeho těžiště T a vzdálenost `|AT|`.

6. Pokoj má rozměry 6 m × 4 m a výšku 3 m. Uprostřed stropu visí lampa. Jak dlouhý musí být nejkratší kabel, který od ní vede přímo vzduchem do rohu u podlahy? Zaveďte soustavu souřadnic s počátkem v tomto rohu.

Kam dál