Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Elipsa

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 120 830

Dnes se naučíme popisovat další objekt z řady kuželoúseček. Bude se jednat o elipsu.


Než si zadefinujeme elipsu pomocí rovnic, měli bychom si uvědomit, co to vlastně elipsa je. Mějme v rovině dva body E a F. Množina všech bodů X dané roviny, pro které platí, že součet |XE| + |XF| je roven nějakému danému číslu, které je větší než vzdálenost bodů |EF| se nazývá elipsa.

Elipsa

Na předchozím obrázku je střed elipsy umístěn v počátku souřadného systému. Elipsa má dvě osy. Hlavní osa je určena body A a B. Vedlejší osa je určena body C a D. Každá elipsa má čtyři vrcholy. V tomto případě to jsou body A, B, C a D. Vrcholy, které leží na hlavní ose elipsy se nazývají hlavní vrcholy elipsy. Vrcholy, které leží na vedlejší ose elipsy se nazývají vedlejší vrcholy elipsy. Body E a F jsou ohniska elipsy. Vzdálenost ohniska od středu elipsy se nazývá výstřednost nebo excentrita.

Kružnice (přejí na článek Analytická geometrie - Kružnice) je speciální případ elipsy. Délka hlavní osy a vedlejší osy je stejná. Výstřednost je nulová.

Označíme-li délku hlavní poloosy elipsy A = |SA| = |FC|, délku vedlejší poloosy b = |SC| a výstřednost e = |SF| plyne z pravoúhlého trojúhelníku SFC rovnost: 

a^2 = b^2 + c^2

Na začátku jsme si řekli, že musí platit |XE| + |XF| > |EF|. Zároveň platí, že |EA| + |FA| = 2*|SA| a proto můžeme říci, že pro všechny body X elipsy platí:

|EX| + |FX| = 2*|SA|, kde |SA| > |SF|

Obecná rovnice elipsy

Rovnice elipsy

Nyní, když jsme si zadefinovali všechny důležité pojmy, je na čase, naučit se vyjádřit elipsu pomocí rovnice. Tu odvodíme, pokud vhodně umístíme elipsu do souřadné systému. Umístíme si elipsu tak, aby hlavní osa ležela na ose x a vedlejší osa ležela na ose y. 

|EX| + |FX| = 2*|SA|
|EX| + |FX| = 2*a
\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a\\\sqrt{(x+e)^2+y^2}*\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a^2-(x^2+y^2+e^2)\\(a^2-e^2)*x^2+a^2y^2=a^2*(a^2-e^2)
a2-e2=b2
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1

Dokázali jsme určit rovnici elipsy, pokud hlavní osa elipsy leží na ose x a střed elipsy S je umístěn v počátku souřadného systému. Za chvíli si ukážeme jak by vypadala obecná rovnice elipsy, ale předtím si ještě procvičíme tuto variantu.

1) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech E[-3; 0] a F[3; 0] a hlavní poloosu a = 5.

Nejprve musíme určit výstřednost elipsy. Ta je rovna e=\frac{|EF|}{2}=3. Jelikož musí platit, že a2=b2+e2, můžeme lehce určit velikost vedlejší poloosy b: b=\sqrt{a^2-e^2}=\sqrt{25-9}=4. Rovnice má předpis \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 a pro tuto konkrétní elipsu bude rovnice vypadat takto: \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} = 1.

2) Napište rovnici elipsy s ohnisky v bodech E[-1; 0] a F[1; 0], která prochází bodem X[1; \frac{8}{3}].

Nejprve musíme opět určit výstřednost e. Tu vypočítáme jako e=\frac{|EF|}{2} = 1. 

e = 1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
b2=a2-e2 = a2 - 1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-1} = 1
Dosadíme bod X:
\frac{1}{a^2}+\frac{64}{9*(a^2-1)} = 1\\9a^2-9+64a^2=9a^4-9a^2\\x=a^2\\9x-9+64x=9x^2-9x\\9x^2-82+9=0\\\sqrt{D}=80\\\\x_1/x_2=\frac{82\pm\80}{18}=[9; \frac{1}{9}]\\a_1^2=9, a_2^2=\frac{1}{9}

Pro proměnnou a nám vyšly dvě hodnoty. Nyní musíme určit, jaká je správná. To zjistíme, pokud dosadíme danou hodnotu do rovnice b2=a2-e2. V druhém případě by hodnota b2 vyšla záporná a proto můžeme s jistotou říci, že délka hlavní poloosy je a2 = 9. Rovnice dané elipsy proto bude \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8} = 1.

3) Dokažte, že vzdálenost každého bodu elipsy z předchozího příkladu od jejích ohnisek E[-1; 0] a F[1; 0] je rovna d = 6.

Víme, že pro každý bod X[x; y] platí:
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8} = 1
Vzdálenost bodu X od bodu E je:
|XE| = \sqrt{(x+1)^2+y^2}
Vzdálenost bodu X od bodu F je:
|XF| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}
Nyní musíme dokázat, že |XE| + |XF| = 6
|XE|+|XF|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2} = \\=\sqrt{x^2+2x+1+y^2}+\sqrt{x^2-2x+1+y^2} =\\=\sqrt{x^2+2x+1+8-\frac{8x^2}{9}}+\sqrt{x^2-2x+1+8-\frac{8x^2}{9}}=\\=\sqrt{\frac{x^2}{9}+2x+9}+\sqrt{\frac{x^2}{9}-2x+9}=\\=|\frac{x}{3}+3|+|\frac{x}{3}-3|

Nyní se musíme zbavit absolutních hodnot. Z rovnice elipsy můžeme určit, jakých hodnot může proměnná x nabývat. Musí platit, že x2 s proto můžeme x vybírat pouze z intervalu <-3; 3>. 

|XE|+|XF|=|\frac{x}{3}+3|+|\frac{x}{3}-3| = \frac{x}{3}-\frac{x}{3}+3+3\\|XE|+|XF|=6

Obecná rovnice elipsy

Doposud jsme měli vždy střed elipsy v počátku. Nyní se naučíme, jak vypadá rovnice elipsy v případě, že jsou osy elipsy rovnoběžné se souřadnými osami, ale střed elipsy se nenachází v počátku. Za předpokladu, že střed S má souřadnice S[m; n], má elipsa rovnici: \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1.

Elipsa

Pokud je elipsa orientovaná jako na předchozím obrázku, tj. 0 < b ≤ a mají ohniska elipsy souřadnice E[m-\sqrt{a^2-b^2};n] a F[m+\sqrt{a^2-b^2};n].

Elipsa

Předchozí obrázek dokumentuje druhý příklad toho, jak může být elipsa umístěna v souřadném systému, tj. 0 < a < b. V tomto případě mají ohniska souřadnice E[m; n+\sqrt{b^2-a^2}] a F[m; n-\sqrt{b^2-a^2}].

Rovnici \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 můžeme upravit na tvar px^2+qy^2+2rx+2sy+t=0, kde pq > 0. Tato rovnice se nazývá obecnou rovnicí elipsy. Podobně jako u kružnice není však každá rovnice tohoto tvaru rovnicí elipsy.

4) Ukažte, že rovnice x2+4y2-6x+32y+48=0 je obecnou rovnicí elipsy. Určete souřadnice středu a ohnisek.

Nejprve musíme rovnici upravit doplněním výrazů x2-6x a 4y2+32y na druhé mocniny dvojčlenů. Vznikne tedy následující rovnice:

(x-3)2+4*(y+4)2=25

Abychom dostali rovnici elipsy, musíme se na pravé straně rovnice zbavit 25 a nahradit ji 1. Proto celou rovnici vydělíme číslem 25. 

\frac{(x-3)}{5^2}+\frac{y+4}{(\frac{5}{2})^2}=1

Střed elipsy má souřadnice S[3; -4]. Délka hlavní poloosy je a = 5 a délka vedlejší poloosy je b=\frac{5}{2}. Jelikož platí, že a > b, tak mají ohniska souřadnice E[3-\frac{5\sqrt{3}}{2};-4] a F[3+\frac{5\sqrt{3}}{2};-4].

5) Napište rovnici elipsy s ohnisky E[2; 5] a F[10; 5], která prochází bodem M[6;7]. Hlavní osa elipsy je tedy rovnoběžná s osou x.

Nejprve určíme, jaké souřadnice bude mít střed elipsy. To určíme pomocí známého vzorečku S=[\frac{a_1+b_1}{2};\frac{a_2+b_2}{2}]=[6;5]. Dále můžeme určit výstřednost elipsy. To je vzdálenost některého ohniska od středu elipsy → e=|ES|=|FS|=4. Nyní můžeme získáné hodnoty dosadit do rovnice:

\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\\\frac{(6-6)^2}{a^2}+\frac{(2)^2}{b^2}=1\\b^2=a^2-e^2=a^2-16\\\frac{(0)^2}{a^2}+\frac{4}{a^2-16}=1\\\frac{4}{a^2-16}=1\\4=a^2-16\\ [a_1;a_2]=[\sqrt{20};-\sqrt{20}]\\b=\sqrt{a^2-e^2}=2\\\frac{(x-6)^2}{20}+\frac{(y-5)^2}{4}=1\\\frac{(x-6)^2}{20}+\frac{5*(y-5)^2}{20}=1\\(x-6)^2+5*(y-5)^2-20=0

6) Napište rovnici elipsy s ohnisky E[2; 5] a F[2; 1], která prochází bodem M[5;1]. Hlavní osa elipsy je tedy rovnoběžná s osou y.

Opět nejdříve určíme souřadnice středu a výstřednost: S[2; 3], e=2. Nyní budeme postupovat skoro stejně jako v předchozím příkladě. Jediný rozdíl je v tom, že hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y a proto platí, že b2=a2+e2.

\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\\\frac{9}{a^2}+\frac{(4}{a^2+4}=1\\a^4-9a^2-36=0\\ [a_1;a_2]=[12; -3]

Jelikož se a2 nemůže rovnat -3, je velikost hlavní poloosy rovna a=√12. Velikost vedlejší poloosy je b=\sqrt{a^2+e^2}=\sqrt{12+4}=4. Rovnice kružnice je tedy \frac{(x-2)^2}{12}+\frac{(y-3)^2}{16}=1.

Test

Určete asymptotu se směrnicí funkce f(x)=x^4+\frac{1}{x}-2


Hlavolam

Na poličce jsou knihy, které jsou vysoké 10 cm a tlusté 2 cm. Kolik knih je potřeba seřadit za sebou, aby se vytvořila věž vysoká 1 metr?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček