Analytická geometrie - Elipsa

Elipsa je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných bodů E a F stálý součet vzdáleností. Body E a F se jmenují ohniska elipsy a ten stálý součet se značí 2a, kde a je délka hlavní poloosy.

`|XE|+|XF|=2a`

Leží-li střed elipsy v počátku a hlavní osa na ose x, má elipsa rovnici

`\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1`

kde a je hlavní a b vedlejší poloosa. Obsah elipsy je `S=\pi ab`. Níže je vše po kouscích: části elipsy, odkud se rovnice bere, posunutá elipsa, obecná rovnice, obvod a řešené příklady.

Co je elipsa

Elipsa je uzavřená křivka tvaru „zploštělé kružnice“. Přesná definice ale nemluví o zploštění, mluví o vzdálenostech: vezměte libovolný bod X na elipse, změřte jeho vzdálenost k oběma ohniskům a sečtěte je. Vyjde vždy totéž číslo 2a, ať je bod X kdekoli.

Aby vznikla elipsa, musí být součet 2a větší než vzdálenost ohnisek |EF|. Kdyby se jí rovnal, body se stálým součtem by vyplnily jen úsečku EF. Kdyby byl menší, takový bod by neexistoval vůbec, protože v trojúhelníku EFX je součet dvou stran vždy větší než třetí strana.

Z definice plyne i to, jak elipsu nakreslit. Do prkna zatlučte dva hřebíky (ohniska), přivažte k nim konce provázku délky 2a, napněte ho tužkou a obtáhněte. Provázek drží součet vzdáleností stálý, takže tužka kreslí elipsu. Tomu se říká zahradnická konstrukce, protože se tak vytyčují oválné záhony.

Kružnice je zvláštní případ elipsy: když ohniska splynou v jeden bod, je vzdálenost od něj pořád a a vznikne kružnice s poloměrem a.

Části elipsy: osy, vrcholy, ohniska

• Střed S je střed úsečky EF. Elipsa je podle něj souměrná.
• Hlavní osa je přímka procházející ohnisky, vedlejší osa je na ni kolmá a jde středem. Obě jsou osami souměrnosti elipsy.
• Hlavní vrcholy A, B jsou průsečíky elipsy s hlavní osou, vedlejší vrcholy C, D s vedlejší osou.
• Hlavní poloosa `a=|SA|=|SB|` je nejdelší vzdálenost bodu elipsy od středu. Celá hlavní osa (úsečka AB) měří 2a.
• Vedlejší poloosa `b=|SC|=|SD|` je nejkratší vzdálenost bodu elipsy od středu. Platí `b\le a`, rovnost nastane jen u kružnice.
• Výstřednost (excentricita) `e=|SE|=|SF|` je vzdálenost ohniska od středu. Někdy se jí říká lineární výstřednost, aby se nepletla s číselnou výstředností níže.

Mezi a, b a e platí jednoduchý vztah. Pro vedlejší vrchol C je `|CE|=|CF|`, a protože se jejich součet rovná 2a, je každá z těch vzdáleností rovna a. Trojúhelník SFC je pravoúhlý s odvěsnami e, b a přeponou a, takže podle Pythagorovy věty:

`a^2=b^2+e^2`

Kdo zná dvě z čísel a, b, e, dopočítá třetí. Nejčastěji hledáme ohniska: `e=\sqrt{a^2-b^2}`. Pozor, hlavní poloosa je přepona, takže je ze všech tří největší.

Rovnice elipsy

Umístíme elipsu tak, aby střed ležel v počátku a hlavní osa na ose x. Ohniska jsou pak `E[-e;0]` a `F[e;0]`. Bod `X[x;y]` leží na elipse právě tehdy, když

`\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a`

Odmocniny odstraníme dvojím umocněním. Jednu odmocninu převedeme na pravou stranu a obě strany umocníme. Po roznásobení se `x^2`, `y^2` a `e^2` odečtou a zbude

`a\sqrt{(x-e)^2+y^2}=a^2-ex`

Druhé umocnění a úprava dají

`(a^2-e^2)\,x^2+a^2y^2=a^2(a^2-e^2)`

Dosadíme `a^2-e^2=b^2` a celou rovnici vydělíme `a^2b^2`. Vyjde osová rovnice elipsy:

`\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1`

Z rovnice se dá leccos vyčíst hned. Pro `y=0` vyjde `x=\pm a`, to jsou hlavní vrcholy `[\pm a;0]`. Pro `x=0` vyjde `y=\pm b`, vedlejší vrcholy `[0;\pm b]`. A protože oba zlomky jsou nezáporné a dávají dohromady 1, je `|x|\le a` a `|y|\le b`: elipsa se celá vejde do obdélníku `2a\times 2b`.

Leží-li hlavní osa na ose y, prohodí se jmenovatele. Větší číslo je pak pod `y^2`:

`\displaystyle\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1`

Podle toho se také pozná, kudy vede hlavní osa: leží ve směru té proměnné, pod kterou je větší jmenovatel. Leží-li bod `[x_0;y_0]` na elipse, dá levá strana po dosazení přesně 1. Vyjde-li méně než 1, bod leží uvnitř elipsy, vyjde-li víc, leží vně.

Příklad 1

Napište rovnici elipsy s ohnisky `E[-3;0]`, `F[3;0]` a hlavní poloosou `a=5`.

Střed je v počátku a výstřednost `e=\frac{|EF|}{2}=3`. Vedlejší poloosa:

`b=\sqrt{a^2-e^2}=\sqrt{25-9}=4`

Ohniska leží na ose x, takže větší jmenovatel patří pod `x^2`:

`\displaystyle\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1`

Kontrola: vedlejší vrchol `C[0;4]` má od každého ohniska vzdálenost `\sqrt{9+16}=5`, součet 10 je opravdu `2a`.

Příklad 2

Napište rovnici elipsy s ohnisky `E[-1;0]` a `F[1;0]`, která prochází bodem `X\left[1;\frac{8}{3}\right]`.

Nejkratší cesta vede přes definici: součet vzdáleností bodu X od ohnisek je 2a.

`\begin{gathered}|XF|=\frac{8}{3} \\[10pt] |XE|=\sqrt{2^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3} \\[10pt] 2a=\frac{10}{3}+\frac{8}{3}=6\end{gathered}`

Tedy `a=3`, `e=1` a `b^2=9-1=8`. Rovnice je

`\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1`

Stejný výsledek dá dosazení bodu do rovnice `\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-1}=1`, jen je to delší: vyjde bikvadratická rovnice `9a^4-82a^2+9=0` s kořeny `a^2=9` a `a^2=\frac{1}{9}`. Druhý kořen nevyhovuje, protože by dal záporné `b^2`. Kontrola: `\frac{1}{9}+\frac{64}{9\cdot 8}=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1`.

Příklad 3

Určete vrcholy, ohniska a výstřednost elipsy `\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1`.

Větší jmenovatel je pod `y^2`, hlavní osa tedy leží na ose y. Hlavní poloosa `a=5`, vedlejší `b=3` a

`e=\sqrt{25-9}=4`

Hlavní vrcholy `[0;5]` a `[0;-5]`, vedlejší vrcholy `[3;0]` a `[-3;0]`, ohniska `[0;4]` a `[0;-4]`.

Středy a poloosy z rovnic tohoto typu si můžete rychle vyzkoušet v procvičování elipsy.

Elipsa se středem mimo počátek

Posuneme-li elipsu tak, aby její střed byl v bodě `S[m;n]` a osy zůstaly rovnoběžné s osami souřadnic, nahradí se x výrazem x - m a y výrazem y - n. Vznikne středová rovnice elipsy:

`\displaystyle\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1`

Stejně jako u rovnice kružnice se střed čte s opačnými znaménky: v rovnici `\frac{(x+4)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{7}=1` je střed `[-4;1]`. Souřadnice vrcholů a ohnisek závisí na tom, kudy vede hlavní osa.

Hlavní osa rovnoběžná s osou x (větší jmenovatel pod x):

Hlavní osa rovnoběžná s osou y (větší jmenovatel pod y):

Ve všech případech je `a\gt b` a `e=\sqrt{a^2-b^2}`.

Příklad 4

Napište rovnici elipsy s ohnisky `E[2;5]`, `F[10;5]`, která prochází bodem `M[6;7]`.

Střed je střed úsečky EF, tedy `S[6;5]`, a výstřednost `e=|SF|=4`. Ohniska mají stejnou souřadnici y, hlavní osa je proto rovnoběžná s osou x. Bod M leží přímo nad středem, takže je to vedlejší vrchol a `b=|SM|=2`. Pak

`\begin{gathered}a^2=b^2+e^2=4+16=20 \\[10pt] \frac{(x-6)^2}{20}+\frac{(y-5)^2}{4}=1\end{gathered}`

Kontrola přes definici: `|ME|=|MF|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}` a součet `2\sqrt{20}` je opravdu 2a.

Příklad 5

Napište rovnici elipsy s ohnisky `E[2;5]`, `F[2;1]`, která prochází bodem `M[5;1]`.

Střed `S[2;3]`, výstřednost `e=2`. Ohniska mají stejnou souřadnici x, hlavní osa je tedy svislá. Tentokrát nejrychleji pomůže definice, protože vzdálenosti bodu M od ohnisek jsou celá čísla:

`|MF|=3`
`|ME|=\sqrt{3^2+4^2}=5`
`2a=3+5=8,\quad a=4`

Vedlejší poloosa `b^2=a^2-e^2=16-4=12`. Větší jmenovatel patří pod y:

`\displaystyle\frac{(x-2)^2}{12}+\frac{(y-3)^2}{16}=1`

Hlavní poloosa je 4 a leží svisle, vedlejší poloosa je `\sqrt{12}=2\sqrt{3}\doteq 3{,}46`. Kontrola: dosazením M vyjde `\frac{9}{12}+\frac{4}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1`.

Obecná rovnice elipsy

Roznásobením středové rovnice a převedením všeho na jednu stranu vznikne obecná rovnice elipsy

`Ax^2+By^2+Cx+Dy+F=0`

kde koeficienty A a B mají stejné znaménko, tedy `AB\gt 0`. Když `A=B`, jde o rovnici kružnice. Obráceně to neplatí automaticky: ne každá rovnice tohoto tvaru popisuje elipsu. Rozhodne se to až doplněním na čtverec, stejně jako u kružnice (kalkulačka pro kružnici ukazuje ten postup krok po kroku).

Příklad 6

Ukažte, že `x^2+4y^2-6x+32y+48=0` je obecná rovnice elipsy, a určete její střed, poloosy a ohniska.

Seskupíme členy s x a s y, u y vytkneme čtyřku a doplníme na čtverec:

`(x^2-6x)+4(y^2+8y)+48=0`
`(x-3)^2-9+4\left[(y+4)^2-16\right]+48=0`
`(x-3)^2+4(y+4)^2=25`

Pravá strana je kladná, jde tedy o elipsu. Vydělíme 25:

`\displaystyle\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y+4)^2}{\frac{25}{4}}=1`

Střed `S[3;-4]`, hlavní poloosa `a=5` (vodorovně), vedlejší `b=\frac{5}{2}`. Výstřednost

`\displaystyle e=\sqrt{25-\frac{25}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\doteq 4{,}33`

Ohniska `\left[3-\frac{5\sqrt{3}}{2};-4\right]\doteq[-1{,}33;-4]` a `\left[3+\frac{5\sqrt{3}}{2};-4\right]\doteq[7{,}33;-4]`.

Kdyby po doplnění vyšla na pravé straně nula, rovnici by splňoval jen střed (například `x^2+4y^2-6x+32y+73=0` je jediný bod `[3;-4]`). Záporné číslo vpravo znamená, že rovnici nesplňuje žádný bod.

Obsah elipsy (obsah oválu)

Obsah elipsy s poloosami a a b je

`S=\pi ab`

Vzorec má jednoduché zdůvodnění. Elipsa vznikne z kružnice o poloměru a tak, že ji ve svislém směru stlačíme v poměru `\frac{b}{a}`. Každý kousek plochy se stlačí ve stejném poměru, takže obsah `\pi a^2` se změní na `\pi a^2\cdot\frac{b}{a}=\pi ab`. Pro `a=b=r` dostaneme známé `\pi r^2` (kalkulačka pro kruh).

V běžné řeči se oválem myslí leccos, i tvar vejce, který elipsou není. Vzorec `\pi ab` platí pro ovál, který je elipsou: oválný stůl, ubrus, záhon, zrcadlo. Pozor, a a b jsou poloosy, tedy polovina délky a polovina šířky.

Příklad 7

Oválný stůl je dlouhý 180 cm a široký 110 cm a má tvar elipsy. Jaký má obsah a kam zatlouct hřebíky, aby se jeho tvar dal obkreslit provázkem na desku?

Poloosy jsou `a=90\ \mathrm{cm}` a `b=55\ \mathrm{cm}`.

`S=\pi\cdot 90\cdot 55\doteq 15\,551\ \mathrm{cm^2}\doteq 1{,}56\ \mathrm{m^2}`
`e=\sqrt{90^2-55^2}=\sqrt{5075}\doteq 71{,}2\ \mathrm{cm}`

Hřebíky patří na delší osu stolu, 71,2 cm na každou stranu od středu, a provázek mezi nimi musí mít délku `2a=180\ \mathrm{cm}`. Kontrola: obdélník `180\times 110` má obsah `19\,800\ \mathrm{cm^2}` a elipsa v něm vepsaná zabírá `\frac{\pi}{4}\doteq 79\ \%` z toho, což odpovídá.

Obvod elipsy

Na obvod elipsy žádný jednoduchý přesný vzorec neexistuje. Počítá se integrálem, který se nedá vyjádřit pomocí známých funkcí. V praxi stačí přibližný Ramanujanův vzorec, jehož chyba je u běžných elips menší než setina procenta:

`o\doteq\pi\left[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]`

Pro kružnici (`a=b=r`) dá přesně `2\pi r`. Pro stůl z příkladu 7:

`o\doteq\pi\left[3\cdot 145-\sqrt{325\cdot 255}\right]\doteq 462{,}2\ \mathrm{cm}`

Přesná hodnota se liší až na čtvrtém desetinném místě. Oblíbený odhad `\pi(a+b)` dává `455{,}5\ \mathrm{cm}`, tedy o 7 cm méně, a čím protáhlejší elipsa, tím víc se plete.

Číselná výstřednost: jak je elipsa zploštělá

Tvar elipsy popisuje číselná výstřednost

`\displaystyle\varepsilon=\frac{e}{a},\qquad 0\le\varepsilon\lt 1`

Pro `\varepsilon=0` splynou ohniska se středem a elipsa je kružnice. Čím blíž je `\varepsilon` k jedné, tím dál od sebe jsou ohniska a tím je elipsa protáhlejší.

Planety obíhají kolem Slunce po elipsách a Slunce je v jednom jejich ohnisku (1. Keplerův zákon). Dráha Země má `\varepsilon\doteq 0{,}017`, od kružnice by se na obrázku nedala rozeznat. Země je Slunci nejblíž začátkem ledna (asi 147 milionů km) a nejdál začátkem července (asi 152 milionů km). Halleyova kometa má `\varepsilon\doteq 0{,}97` a její dráha je velmi protáhlá.

Elipsa má i užitečnou optickou vlastnost: paprsek vyslaný z jednoho ohniska se od elipsy odrazí vždy do druhého ohniska. Proto v eliptickém sále slyší šepot z jednoho ohniska člověk stojící ve druhém.

Časté chyby

• Pod zlomky jsou druhé mocniny. V rovnici `\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1` jsou poloosy 5 a 3, ne 25 a 9.
• Záměna `e^2=a^2+b^2`. Hlavní poloosa je přepona trojúhelníku SFC, správně `e^2=a^2-b^2`. Ohnisko leží vždy uvnitř elipsy, takže `e\lt a`.
• Hlavní osa „vždycky na ose x“. Hlavní osa leží ve směru té proměnné, pod kterou je větší jmenovatel. V příkladu 5 je hlavní poloosa 4 svislá, i když jmenovatel 12 stojí pod x jako první.
• Znaménka středu. `(x+4)^2` znamená `m=-4`. Stejná past jako u kružnice.
• Průměry místo poloos. Stůl 180 × 110 cm má poloosy 90 a 55 cm. S rozměry 180 a 110 by vyšel čtyřnásobný obsah.
• Obecná rovnice bez kontroly pravé strany. Po doplnění na čtverec musí vpravo vyjít kladné číslo, jinak rovnice elipsu nepopisuje.

Příklady k procvičení

Kam dál

Čtení středu a poloos z rovnice si procvičíte v procvičování elipsy, stejnou úlohu pro kružnici v procvičování kružnice. Vzdálenosti bodu od ohnisek si ověříte kalkulačkou pro vzdálenost dvou bodů (odkaz má předvyplněné M a E z příkladu 5) a střed elipsy z ohnisek kalkulačkou pro střed úsečky (ohniska z příkladu 4).

Na elipsu navazuje článek Elipsa a přímka (tečna, sečna, průsečíky). Další kuželosečky: Kružnice a Parabola. Základy souřadnic a vzdáleností jsou v článku Analytická geometrie - Úvod.