Analytická geometrie - Kružnice

V předchozích článcích o analytické geometrii jsme se věnovali hlavně přímkám a rovinám v rovině a prostoru. Je čas rozšířit naši znalost o některé další objekty. Dnes se naučíme popisovat objekt z kategorie kuželoseček a to kružnici.

Vy byste již měly být schopni definovat kružnici jako množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od středu kružnice. Tato vzdálenost se nazývá poloměr.

Středová rovnice kružnice

Z předchozího obrázku je relativně jasné, jak získat poloměr, pokud známe střed S a jeden bod na kružnici Y. Použijeme k tomu Pythagorovu větu, takže vzoreček bude vypadat: r2 = (x-m)2 + (y-n)2. Tento vzorec se nazývá středová rovnice kružnice.

1) Určete středovou rovnici kružnice se středem v počátku S[0; 0] a poloměrem r = 1:

(x-m)2 + (y-n)2 = r2
Dosadíme bod S a poloměr r:
(x-0)2 + (y-0)2 = 12
x2 + y2 = 1

Rozhodněte, zda na této kružnici leží bod A[2; 2].

Ověření provedeme velice jednoduše, stačí dosadit souřadnice bodu A za proměnné x, y:

x2 + y2 = 1
Dosadíme bod A:
22 + 22 = 1
Spočítáme rovnici
8 ≠ 1

Jelikož se nula nerovná jedné, bod A na kružnici neleží. Zkusíme otestovat ještě jeden bod B[0; 1]:

x2 + y2 = 1
02 + 12 = 1
1 = 1

Jelikož rovnice platí, leží B na kružnici.

Obecná rovnice kružnice

Pokud bychom středovou rovnici kružnice dále rozkládali, dostaneme následující rovnici:

(x-m)2 + (y-n)2 = r2
x2 - 2mx + m2 + y2 - 2ny + n2 - r2 = 0
x2 + y2 - 2mx - 2ny + m2 + n2 - r2 = 0

Ve všech členech předchozí rovnice je obsažena proměnná x nebo y, kromě tří členů: m2 + n2 - r2. Tyto členy můžeme dát do jedné proměnné p:

x2 + y2 - 2mx - 2ny + m2 + n2 - r2 = 0
x2+y2-2mx-2ny+p=0

Tato rovnice se nazývá obecnou rovnicí kružnice (pozor, musí platit, že p > 0 , jinak se nejedná o obecnou rovnici kružnice).

2) Otestujte, zda na této kružnici (S[0;0], r=1) leží bod A[2;2].

Opět budeme postupovat stejně jako v předchozím případě, dosadíme tedy za proměnné x, y souřadnice bodu A:

x2 + y2 - 2mx - 2ny + p = 0
22 + 22 - 4m - 4n + p = 0

Vida, pokud chceme určit zda daný bod leží na kružnici, musíme ještě určit hodnoty proměnných m , n. To jsou souřadnice středu kružnice S[m;n]. Tyto hodnoty jsme se říkali už v prvním příkladě a tudíž se jedná o bod S[0;0].

22 + 22 - 4*0 - 4*0 + p = 0
4 + 4 + p = 0
8 + p = 0

Jak vidíte, zbývá určit hodnotu proměnné p. Tato proměnná je definována jako p = m2 + n2 - r2 a proto ji nyní můžeme bez problému určit (poloměr r = 1):

p = m2 + n2 - r2
p = 0 + 0 - 1
p = -1

Dosadíme p:

8 + p = 0
8 - 1 ≠ 0

Vyšlo nám, že daný bod na kružnici neleží. Tato kružnice by měla obecnou rovnici: x2 + y2 - 1 = 0.

3) Určete poloměr a souřadnice středu kružnice k: x2 + y2 - 4x + 4y + 4 = 0.

Začneme s tím, že určíme souřadnice kružnice. Souřadnice středu m, n jsou podle obecného předpisu obsaženy pouze v jednom členu a proto není problém je zjistit:

-2mx = -4x
-2m = -4
m = 2

-2ny = 4y
-2n = 4
n = -2
S[2;-2]

Nyní, když jsme úspěšně určili souřadnice středu, musíme určit poloměr. Ten je obsažen v proměnné p (p = m2 + n2 - r2). Jelikož už známe hodnoty proměnných p, m, n, není problém vypočítat poloměr:

p = m2 + n2 - r2
4 = 22 + (-22) - r2
4 = 8 - r2
-4 = -r2
r = 2

Daná kružnice má střed o souřadnicích S[2;-2] a poloměr r = 2.

4) Převeďte kružnici (x-1)2+(y-1)2 = 1 na obecný tvar kružnice.

Na začátku jsme si ukázali, jak se vytváří obecný tvar kružnice ze středové. Jedná se vlastně o roznásobení závorek.

(x-1)2+(y-1)2 = 1
x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 1
x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0

Daná kružnice přepsaná do obecného tvaru vypadá: x2+y2-2x-2y+1=0.

5) Převeďte kružnici x2+y2-2x-2y+1=0 do středového tvaru.

Pro to, abychom dokázali napsat středovou rovnici kružnice potřebujeme znát dvě věci: souřadnice středu a poloměr. Obě hodnoty se dají celkem lehce získat z obecné rovnice kružnice. Začneme tím, že určíme souřadnice středu:

-2mx = -2x
m = 1

-2ny = -2y
n = 1

S[1;1]

Poloměr se dá určit z rovnice p = m2 + n2-r2:

p = m2 + n2 - r2
1 = 12 + 12 - r2
-1 = -r2
r = 1

Středová rovnice má předpis (x-m)2 + (y-n)2 = r2 a proto bude mít v tomto případě podobu (x-1)2+(y-1)2=1.

Je každá rovnice ve tvaru x2+y2-2mx-2ny+p=0 obecnou rovnicí kružnice?

Ne. Ale proč? Protože odmocnina ze záporného čísla není definována. A právě tato hodnota může občas vyjít jako hodnota poloměru (r2=-3). Otestujte, zda je rovnice x2+y2-4x+7=0 obecnou rovnicí kružnice.

Střed kružnice najdeme lehce; má souřadnice S[2;0]. Nyní zkusíme najít poloměr:

p = m2 + n2 - r2
7 = 4 - r2
3 = -r2
r2 = -3

Odmocnina ze záporného čísla není v množině reálných čísel definována a proto daná rovnice není obecnou rovnicí kružnice.

Složitější příklady

Je na čase přistoupit k trochu složitějším příkladům.

6) Určete obecnou rovnici kružnice, která je dána body A[2;1], B[3;0], C[0;5].

Jsou dva způsoby jak tento příklad řešit. Začneme tím, že si ukážeme to lehčí řešení. Obecná rovnice kružnice má předpis x2+y2-2mx-2ny+p=0. Do této rovnice můžeme dosadit zadané body. A získáme tři rovnice o třech neznámých:

Dosadíme bod A:
5-4m-2n+p=0
Dosadíme bod B:
9-6m+p=0
Dosadíme bod C:
25-10n+p=0

Vyřešením této soustavy rovnic dostaneme výsledek [m;n;p] = [9;7;45]. Rovnice dané kružnice je tedy x2+y2-18x-14y+45=0. Střed kružnice má tedy souřadnice S[9;7] a poloměr je roven .

Druhé řešení je možná o trochu lehčí a logičtější, ale protože se skládá z více kroků, je větší šance, že uděláte nějakou výpočetní chybu. Budeme hledat střed kružnice jako kružnici opsanou trojúhelníku. Střed se najde jako průsečík os jednotlivých stran trojúhelníku.

Průsečík se dá najít pomocí dvou os, například AB, AC. Nebudu tady celý postup rozepisovat, to byla náplň předchozích lekcí o analytické geometrii. Snad bude stačit, když napíšu rovnice os AB, AC:

x-y-2=0
x-2y+5=0

7) Napište množinu všech bodů, které mají od bodu D[8;-1] třikrát větší vzdálenost než od bodu C[4;7].

Příklad není tak složitý, jak se zdá. Jelikož je tento článek o kružnici, tak hledanou množinou bodů je samozřejmě kružnice.

X[x;y]
3*|CX| = |DX|


Roznásobíme závorky


Umocníme celou rovnici


Celou rovnici ještě můžeme vydělit 8

Poslední rovnice z předchozího výpočtu je obecná rovnice hledané kružnice.

Na tomto portálu vyšel článek zabývající se vzájemnou polohou kružnice a přímky (přejít na článek Analytická geometrie - Kružnice a přímka) a také vzájemnou polohou dvou kružnic (přejít na článek Analytická geometrie - Vzájemná poloha dvou kružnic).