Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od jednoho bodu, středu `S[m;\ n]`, stejnou vzdálenost `r`, poloměr. V analytické geometrii ji popisuje středová rovnice kružnice:

`(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2`

Když závorky roznásobíte, dostanete obecnou rovnici kružnice `x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0`. Z obecné rovnice zjistíte střed a poloměr doplněním na čtverec. Třeba `(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25` je kružnice se středem `S[1;\ {-4}]` a poloměrem `r = 5`.

Níže najdete, odkud rovnice pochází, jak poznat, zda bod leží na kružnici, jak převádět mezi oběma tvary a jak sestavit rovnici kružnice ze tří bodů, z průměru nebo z jiné podmínky. Vzájemné poloze kružnice a přímky a dvou kružnic se věnují samostatné články Kružnice a přímka a Vzájemná poloha dvou kružnic.

Středová rovnice kružnice

Bod `X[x;\ y]` leží na kružnici právě tehdy, když je jeho vzdálenost od středu `S[m;\ n]` rovna poloměru. Vzdálenost dvou bodů spočítáte z Pythagorovy věty: vodorovná odvěsna má délku `|x - m|`, svislá `|y - n|` a přepona je poloměr.

−2 2 4 6 −4 −2 2 4 6 x y S[m; n] X[x; y] x − m y − n r 
`\sqrt{(x - m)^2 + (y - n)^2} = r`

Obě strany jsou nezáporné, takže rovnici můžete umocnit a odmocnina zmizí. Tak vznikne středová rovnice `(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2`. Absolutní hodnoty nejsou potřeba, protože umocněním znaménko zmizí: `|x - m|^2 = (x - m)^2`.

Je-li střed v počátku, `S[0;\ 0]`, rovnice se zjednoduší na

`x^2 + y^2 = r^2`

Například `x^2 + y^2 = 1` je jednotková kružnice, ze které se čtou hodnoty goniometrických funkcí.

Příklad 1

Napište rovnici kružnice se středem `S[2;\ {-3}]` a poloměrem `r = 4`.

Dosadíme `m = 2`, `n = -3` a `r = 4`:

`\begin{gathered}(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \\[4pt] (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\end{gathered}`

Pozor na znaménka: záporná souřadnice středu dává v závorce plus. A na pravé straně je `r^2 = 16`, ne `4`. Kontrola: bod `[6;\ {-3}]` leží 4 jednotky vpravo od středu, a opravdu `4^2 + 0^2 = 16`.

Příklad 2

Kružnice má střed `S[-1;\ 4]` a prochází bodem `A[2;\ 8]`. Napište její rovnici.

Poloměr je vzdálenost `|SA|`. Do rovnice stačí jeho druhá mocnina, takže odmocňovat ani nemusíme:

`\begin{gathered}r^2 = (2 - (-1))^2 + (8 - 4)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \\[4pt] (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25\end{gathered}`

Poloměr je `r = 5`. Vzdálenost bodů si můžete ověřit v kalkulačce vzdálenost dvou bodů.

Leží bod na kružnici?

Souřadnice bodu dosaďte do levé strany středové rovnice. Vyjde druhá mocnina vzdálenosti bodu od středu, a tu porovnáte s `r^2`:

levá strana po dosazeníbod leží
`(x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2 \lt r^2`uvnitř kružnice
`(x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2 = r^2`na kružnici
`(x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2 \gt r^2`vně kružnice

Příklad 3

Rozhodněte, kde leží body `A[2;\ 1]`, `B[4;\ {-1}]` a `C[6;\ 0]` vzhledem ke kružnici `(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16` z příkladu 1.

`\begin{gathered}A:\ (2 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 0 + 16 = 16 \\[4pt] B:\ (4 - 2)^2 + (-1 + 3)^2 = 4 + 4 = 8 \\[4pt] C:\ (6 - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 16 + 9 = 25\end{gathered}`

Bod `A` leží na kružnici (16 = 16), bod `B` uvnitř (8 je méně než 16) a bod `C` vně (25 je více než 16). Obrázek to potvrzuje:

−2 2 −4 −2 x y S A B C

Stejně se dosazuje do obecné rovnice: na kružnici vyjde `0`, uvnitř záporné číslo, vně kladné. Pro bod `B` a rovnici `x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0` je to `16 + 1 - 16 - 6 - 3 = -8`, tedy uvnitř. Číslo `-8` je přesně `8 - 16` ze středového tvaru.

Obecná rovnice kružnice

Roznásobíme závorky ve středové rovnici a všechno převedeme na levou stranu:

`\begin{gathered}x^2 - 2mx + m^2 + y^2 - 2ny + n^2 = r^2 \\[4pt] x^2 + y^2 - 2mx - 2ny + m^2 + n^2 - r^2 = 0\end{gathered}`

Koeficienty pojmenujeme `D = -2m`, `E = -2n` a `F = m^2 + n^2 - r^2`. Vznikne obecná rovnice kružnice

`x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0`

Některé učebnice ji píšou jako `x^2 + y^2 - 2mx - 2ny + p = 0`, kde `p = m^2 + n^2 - r^2`. Je to tatáž rovnice, jen jinak označená.

Na obecné rovnici kružnice je dobře vidět, co ji odlišuje od jiných křivek: u `x^2` a `y^2` je stejný koeficient a chybí člen `xy`. Rovnice `x^2 + 4y^2 = 4` je elipsa, ne kružnice.

Příklad 4

Převeďte kružnici `(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16` na obecný tvar.

`\begin{gathered}x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \\[4pt] x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\end{gathered}`

Kontrola přes vzorce: `D = -2 \cdot 2 = -4`, `E = -2 \cdot (-3) = 6`, `F = 4 + 9 - 16 = -3`. Sedí.

Střed a poloměr z obecné rovnice

Obrácený převod se dělá doplněním na čtverec. Členy s `x` a s `y` seskupíte a každou dvojici doplníte na druhou mocninu dvojčlenu podle vzorce `(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2`. Co jste přičetli navíc, zase odečtete.

Příklad 5

Určete střed a poloměr kružnice `x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0`.

U `x` je `-6x`, polovina z `-6` je `-3`, takže `x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9`. U `y` je `4y`, polovina je `2`, takže `y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4`:

`\begin{gathered}(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 4 = 0 \\[4pt] (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9\end{gathered}`

Střed je `S[3;\ {-2}]`, poloměr `r = \sqrt{9} = 3`. Zkouška: roznásobením `(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9` dostanete zpátky `x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0`. Celý postup s doplněním na čtverec ukáže i kalkulačka střed a poloměr kružnice, do které zadáte koeficienty `D`, `E`, `F`.

Ze vztahů `D = -2m`, `E = -2n`, `F = m^2 + n^2 - r^2` plyne i rychlý vzorec:

`\begin{gathered}m = -\dfrac{D}{2} \\[10pt] n = -\dfrac{E}{2} \\[10pt] r^2 = m^2 + n^2 - F\end{gathered}`

Pro příklad 5: `m = 3`, `n = -2`, `r^2 = 9 + 4 - 4 = 9`. Vzorec je rychlejší, doplnění na čtverec se ale hůř splete a funguje stejně i u elipsy a paraboly.

Příklad 6

Určete střed a poloměr kružnice `2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 6 = 0`.

Doplnění na čtverec i rychlý vzorec platí jen tehdy, když je u `x^2` a `y^2` jednička. Proto nejdřív celou rovnici vydělíme dvěma:

`\begin{gathered}x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \\[4pt] (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 3 = 0 \\[4pt] (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\end{gathered}`

Střed `S[2;\ {-3}]`, poloměr `r = 4`. Je to kružnice z příkladu 1, jen rovnice byla vynásobená dvěma.

Pro nácvik několik rovnic a co z nich vyčtete:

rovnicestředpoloměr
`(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9``[3;\ {-2}]``3`
`(x + 1)^2 + y^2 = 7``[-1;\ 0]``\sqrt{7}`
`x^2 + (y - 5)^2 = 0{,}25``[0;\ 5]``0{,}5`
`x^2 + y^2 = 16``[0;\ 0]``4`
`x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0``[-4;\ 1]``3`

Kdy rovnice není kružnice

Ne každá rovnice tvaru `x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0` popisuje kružnici. Po doplnění na čtverec vyjde vpravo číslo `m^2 + n^2 - F`, a to musí být kladné, protože je to `r^2`:

  • `m^2 + n^2 - F \gt 0`: kružnice s poloměrem `r = \sqrt{m^2 + n^2 - F}`,
  • `m^2 + n^2 - F = 0`: jediný bod `[m;\ n]`,
  • `m^2 + n^2 - F \lt 0`: žádný bod, rovnice nemá řešení.

Příklad 7

Je rovnice `x^2 + y^2 - 4x + 7 = 0` rovnicí kružnice?

`\begin{gathered}(x - 2)^2 - 4 + y^2 + 7 = 0 \\[4pt] (x - 2)^2 + y^2 = -3\end{gathered}`

Součet dvou druhých mocnin nemůže být záporný, takže rovnici nevyhovuje žádný bod a kružnice to není. Kdyby místo `7` bylo `4`, vyšlo by `(x - 2)^2 + y^2 = 0`, a tomu vyhovuje jen bod `[2;\ 0]`.

Kružnice daná třemi body

Třemi body, které neleží na jedné přímce, prochází právě jedna kružnice. Je to kružnice opsaná trojúhelníku z těch tří bodů. Rovnici najdete dvěma způsoby.

Příklad 8

Napište rovnici kružnice, která prochází body `A[2;\ 1]`, `B[3;\ 0]` a `C[0;\ 5]`.

Soustava rovnic. Každý bod musí splňovat obecnou rovnici `x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0`. Dosazením dostaneme tři rovnice o třech neznámých:

`\begin{gathered}A:\ 4 + 1 + 2D + E + F = 0 \\[4pt] B:\ 9 + 0 + 3D + F = 0 \\[4pt] C:\ 0 + 25 + 5E + F = 0\end{gathered}`

Z rovnice `B` je `F = -9 - 3D`, z rovnice `C` je `F = -25 - 5E`. Dosazením do `A` a porovnáním obou vyjádření:

`\begin{gathered}5 + 2D + E - 9 - 3D = 0 \ \Rightarrow\ E = D + 4 \\[4pt] -9 - 3D = -25 - 5(D + 4) \ \Rightarrow\ D = -18\end{gathered}`

Tedy `D = -18`, `E = -14`, `F = 45` a rovnice kružnice je

`x^2 + y^2 - 18x - 14y + 45 = 0`

Rychlým vzorcem: `m = 9`, `n = 7`, `r^2 = 81 + 49 - 45 = 85`. Střed je `S[9;\ 7]` a poloměr `r = \sqrt{85} \doteq 9{,}22`. Zkouška pro bod `C`: `(0 - 9)^2 + (5 - 7)^2 = 81 + 4 = 85`. Soustavy tří rovnic krok za krokem řeší článek Gaussova eliminační metoda.

Osy stran. Střed je od všech tří bodů stejně daleko, leží tedy na ose úsečky `AB` i na ose úsečky `AC`. Osa úsečky prochází jejím středem a je na ni kolmá, takže normálový vektor osy je vektor úsečky:

`\begin{gathered}\text{osa } AB:\ x - y - 2 = 0 \\[4pt] \text{osa } AC:\ x - 2y + 5 = 0\end{gathered}`

Osa `AB` prochází středem `[2{,}5;\ 0{,}5]` s normálovým vektorem `\overrightarrow{AB} = (1;\ {-1})`, osa `AC` středem `[1;\ 3]` s normálovým vektorem `(1;\ {-2})`, což je `\overrightarrow{AC} = (-2;\ 4)` vydělený číslem `-2`. Průsečík os vyjde `[9;\ 7]`, tedy stejný střed. Poloměr je pak vzdálenost `|SA| = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}`.

10 15 10 15 x y A B C S[9; 7] osa AB osa AC

Leží-li tři body na jedné přímce, soustava nemá řešení a osy jsou rovnoběžné. Takovými body kružnice neprochází.

Kružnice s daným průměrem a další podmínky

Většina úloh se vrací k jedné otázce: kde je střed a jak velký je poloměr. Když je znáte, rovnici napíšete hned.

Příklad 9

Úsečka `AB` s krajními body `A[-1;\ 2]` a `B[5;\ 10]` je průměrem kružnice. Napište rovnici kružnice.

Střed kružnice je střed úsečky `AB` a poloměr je polovina její délky:

`\begin{gathered}S = \left[\dfrac{-1 + 5}{2};\ \dfrac{2 + 10}{2}\right] = [2;\ 6] \\[10pt] |AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10, \quad r = 5 \\[10pt] (x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25\end{gathered}`

Zkouška bodem `A`: `(-1 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 9 + 16 = 25`. Střed si můžete spočítat i v kalkulačce střed úsečky.

Příklad 10

Kružnice se středem `S[4;\ 3]` se dotýká osy `x`. Napište její rovnici.

Dotyk s osou `x` znamená, že poloměr je vzdálenost středu od osy `x`, a to je absolutní hodnota jeho `y`-ové souřadnice: `r = |3| = 3`. Rovnice je `(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9`. Dotýká-li se kružnice osy `y`, je poloměr `|m|`. Dotýká-li se obecné přímky, je poloměr vzdálenost středu od ní; to je v článku Kružnice a přímka.

Kružnice jako množina bodů

Kružnice se objeví i tam, kde ji zadání nejmenuje: jako množina bodů, které mají od dvou daných bodů vzdálenosti v pevném poměru (jiném než 1 : 1). Takové kružnici se říká Apolloniova.

Příklad 11

Najděte množinu všech bodů `X[x;\ y]`, které mají od bodu `D[8;\ {-1}]` třikrát větší vzdálenost než od bodu `C[4;\ 7]`.

Podmínka zní `|DX| = 3 \cdot |CX|`. Obě vzdálenosti jsou nezáporné, takže rovnici můžeme umocnit:

`\begin{gathered}|DX|^2 = 9 \cdot |CX|^2 \\[4pt] \begin{aligned} &(x - 8)^2 + (y + 1)^2 \\ &= 9\left[(x - 4)^2 + (y - 7)^2\right] \end{aligned}\end{gathered}`

Levá strana je po roznásobení `x^2 + y^2 - 16x + 2y + 65`, pravá `9x^2 + 9y^2 - 72x - 126y + 585`. Všechno převedeme na pravou stranu a vydělíme osmi:

`\begin{gathered}8x^2 + 8y^2 - 56x - 128y + 520 = 0 \\[4pt] x^2 + y^2 - 7x - 16y + 65 = 0\end{gathered}`

Rychlým vzorcem: `m = \frac{7}{2}`, `n = 8`, `r^2 = \frac{49}{4} + 64 - 65 = \frac{45}{4}`, tedy `r = \frac{3\sqrt{5}}{2} \doteq 3{,}35`. Hledaná množina je kružnice se středem `\left[\frac{7}{2};\ 8\right]`.

Kontrola: na přímce `CD` leží dva body, které podmínku splňují, `[5;\ 5]` a `[2;\ 11]`. U prvního je `|CX| = \sqrt{5}` a `|DX| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}`. Oba body vyhovují i rovnici kružnice a střed úsečky mezi nimi je právě `\left[\frac{7}{2};\ 8\right]`.

2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 x y C D S [5; 5] [2; 11]

Časté chyby

  • Znaménko středu. V rovnici `(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 4` je střed `[-3;\ 1]`, ne `[3;\ {-1}]`. Střed je to číslo, které závorku vynuluje.
  • Poloměr místo jeho druhé mocniny. Napravo je `r^2`. Kružnice `(x - 1)^2 + y^2 = 8` má poloměr `\sqrt{8} = 2\sqrt{2}`, ne 8, a kružnice s poloměrem 3 má napravo 9.
  • Zapomenutá polovina. Z `x^2 - 6x` je `(x - 3)^2`, ne `(x - 6)^2`. Ověřte roznásobením: `(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9`.
  • Nevydělená rovnice. U `2x^2 + 2y^2 + \dots` nejdřív dělte dvěma, jinak vyjde střed i poloměr špatně.
  • Podmínka pro kružnici. Rozhoduje kladné `m^2 + n^2 - F`, ne znaménko čísla `F`. Kružnice `x^2 + y^2 - 1 = 0` má `F = -1` a je to jednotková kružnice, zatímco `x^2 + y^2 - 4x + 7 = 0` má `F = 7` a kružnicí není.
  • Doplnění jen na jedné straně. Když k `x^2 - 6x` přidáte 9, musíte 9 i odečíst (nebo přičíst na druhou stranu). Jinak se změní poloměr.

Čtení středu a poloměru z rovnice si můžete natrénovat v procvičování Kružnice: střed a poloměr.

Příklady k procvičení

1. Napište středovou i obecnou rovnici kružnice se středem `S[-2;\ 5]` a poloměrem `r = 3`.

2. Určete střed a poloměr kružnice `x^2 + y^2 + 10x - 4y - 7 = 0`.

3. Kružnice má rovnici `x^2 + y^2 - 2x + 6y - 15 = 0`. Rozhodněte, zda body `A[4;\ 1]`, `B[0;\ 0]` a `C[-3;\ {-7}]` leží na ní, uvnitř, nebo vně.

4. Které z rovnic jsou rovnicemi kružnice? U kružnice určete střed a poloměr. a) `x^2 + y^2 - 6x + 8y + 30 = 0`, b) `2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y - 8 = 0`

5. Kružnice leží v prvním kvadrantu, dotýká se obou souřadnicových os a prochází bodem `P[2;\ 1]`. Napište její rovnici.

6. Tři obce leží na mapě v bodech `A[1;\ 1]`, `B[7;\ 1]` a `C[1;\ 9]` (v kilometrech). Vysílač má stát stejně daleko od všech tří obcí. Kam ho postavit a jaký dosah musí mít, aby pokryl všechny tři?

Kam dál