Přímka a kružnice mají v rovině buď dva společné body (přímka je sečna), nebo jeden (tečna), nebo žádný (vnější přímka). Nejrychleji to rozhodne vzdálenost `d` středu `S[m;\ n]` od přímky `ax + by + c = 0`, kterou porovnáte s poloměrem `r`:

`\begin{gathered}d = \dfrac{|am + bn + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\[10pt] d \lt r:\ \text{sečna} \\[10pt] d = r:\ \text{tečna} \\[10pt] d \gt r:\ \text{vnější přímka}\end{gathered}`

Druhá cesta je vyřešit soustavu rovnice kružnice a rovnice přímky. Z rovnice přímky vyjádříte jednu neznámou, dosadíte do rovnice kružnice a vyjde kvadratická rovnice. Její diskriminant `D` říká totéž co vzdálenost, a navíc z ní dostanete souřadnice společných bodů:

`\begin{gathered}D \gt 0:\ \text{sečna} \\[4pt] D = 0:\ \text{tečna} \\[4pt] D \lt 0:\ \text{vnější přímka}\end{gathered}`

Tečna kružnice se středem `S[m;\ n]` a poloměrem `r` v jejím bodě `T[x_0;\ y_0]` má rovnici

`(x_0 - m)(x - m) + (y_0 - n)(y - n) = r^2`

Ke všemu potřebujete střed a poloměr. Když je kružnice zadaná obecnou rovnicí `x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0`, převeďte ji nejdřív doplněním na čtverec na středový tvar `(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2`. Jak na to, ukazuje článek Kružnice, a výsledek si můžete ověřit v kalkulačce střed a poloměr kružnice.

Sečna, tečna a vnější přímka

Vzájemná poloha přímky a kružnice má jen tři možnosti a všechny tři poznáte podle toho, jak daleko je přímka od středu.

S r d
sečna
`d \lt r`, dva společné body
S r d
tečna
`d = r`, jeden společný bod
S r d
vnější přímka
`d \gt r`, žádný společný bod
  • Sečna protíná kružnici ve dvou bodech. Její vzdálenost od středu je menší než poloměr. Úsečka mezi oběma průsečíky se jmenuje tětiva.
  • Tečna má s kružnicí jediný společný bod, bod dotyku. Vzdálenost od středu je přesně rovna poloměru a tečna je kolmá na poloměr vedený do bodu dotyku.
  • Vnější přímka nemá s kružnicí žádný společný bod, její vzdálenost od středu je větší než poloměr.
polohavzdálenostdiskriminantspolečné body
sečna`d \lt r``D \gt 0`2
tečna`d = r``D = 0`1
vnější přímka`d \gt r``D \lt 0`0

Vzájemná poloha přes vzdálenost středu od přímky

Tahle metoda je nejkratší, když chcete znát jen polohu a ne průsečíky. Vzorec pro vzdálenost bodu od přímky platí pro obecnou rovnici přímky `ax + by + c = 0`. Je-li přímka zadaná jinak, například jako `y = 2x + 3`, převeďte ji nejdřív na `2x - y + 3 = 0` (viz Obecná rovnice přímky).

Příklad 1

Určete vzájemnou polohu kružnice `k: x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0` a přímky `p: 2x - y = 0`.

Nejdřív střed a poloměr. Doplníme na čtverec:

`\begin{gathered}(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 1 + 9 \\[4pt] (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10\end{gathered}`

Střed je `S[1;\ {-3}]` a poloměr `r = \sqrt{10} \doteq 3{,}16`. Přímka má `a = 2`, `b = -1`, `c = 0`, takže

`\begin{aligned} d &= \dfrac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) + 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \\[8pt] &= \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \doteq 2{,}24 \end{aligned}`

Protože `\sqrt{5} \lt \sqrt{10}`, je přímka sečnou kružnice. Vzdálenost si můžete přepočítat v kalkulačce vzdálenost bodu od přímky.

Ze vzdálenosti se dá rovnou spočítat i délka tětivy. Střed, pata kolmice a jeden průsečík tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou `r`, takže podle Pythagorovy věty je

`|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{10 - 5} = 2\sqrt{5}`

Průsečíky přímky a kružnice dosazením

Když úloha chce i společné body, řešte soustavu. Z rovnice přímky vyjádřete tu neznámou, u které to jde nejsnáz, a dosaďte ji do rovnice kružnice. Vyjde kvadratická rovnice (viz Kvadratická rovnice). Kolik má kořenů, tolik společných bodů mají přímka a kružnice.

Příklad 2

Najděte průsečíky kružnice `k: x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0` a přímky `p: 2x - y = 0` z příkladu 1.

Z rovnice přímky `y = 2x`. Dosadíme:

`\begin{gathered}x^2 + (2x)^2 - 2x + 6 \cdot 2x = 0 \\[4pt] 5x^2 + 10x = 0 \\[4pt] 5x(x + 2) = 0\end{gathered}`

Kořeny jsou `x_1 = 0` a `x_2 = -2`, dopočítáme `y = 2x`: `y_1 = 0`, `y_2 = -4`. Průsečíky jsou `A[0;\ 0]` a `B[-2;\ {-4}]`, dva body, tedy sečna, stejně jako v příkladu 1.

Zkouška: bod `B` do rovnice kružnice: `4 + 16 + 4 - 24 = 0`. Sedí. A délka tětivy `|AB| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}`, jak vyšlo ze vzdálenosti.

Příklad 3

Určete vzájemnou polohu kružnice `(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5` a přímky `x + 2y - 9 = 0`, případně bod dotyku.

Střed `S[2;\ 1]`, poloměr `r = \sqrt{5}`. Vzdálenost:

`d = \dfrac{|2 + 2 \cdot 1 - 9|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} = r`

Přímka je tečna. Bod dotyku najdeme dosazením `x = 9 - 2y`:

`\begin{gathered}(7 - 2y)^2 + (y - 1)^2 = 5 \\[4pt] 5y^2 - 30y + 45 = 0 \\[4pt] y^2 - 6y + 9 = 0 \\[4pt] (y - 3)^2 = 0\end{gathered}`

Diskriminant je nula a rovnice má jediný (dvojnásobný) kořen `y = 3`, z něj `x = 9 - 6 = 3`. Bod dotyku je `T[3;\ 3]`. Zkouška: `1^2 + 2^2 = 5`.

Příklad 4: přímka s parametrem

Pro která `c` je přímka `p: 2x - y + c = 0` sečnou, tečnou a vnější přímkou kružnice `k: x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0`?

Kružnice je ta z příkladu 1, `S[1;\ {-3}]`, `r = \sqrt{10}`. Vzdálenost středu od přímky:

`d = \dfrac{|2 + 3 + c|}{\sqrt{5}} = \dfrac{|c + 5|}{\sqrt{5}}`

Tečna nastane pro `d = r`, tedy `|c + 5| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}`:

`\begin{gathered}c_1 = -5 + 5\sqrt{2} \doteq 2{,}07 \\[4pt] c_2 = -5 - 5\sqrt{2} \doteq -12{,}07\end{gathered}`
  • sečna pro `c \in (-5 - 5\sqrt{2};\ {-5} + 5\sqrt{2})`, tedy mezi oběma tečnami,
  • tečna pro `c = c_1` nebo `c = c_2`,
  • vnější přímka pro `c \lt -5 - 5\sqrt{2}` nebo `c \gt -5 + 5\sqrt{2}`.

Pro kontrolu dosazením: `y = 2x + c` dá rovnici `5x^2 + (4c + 10)x + c^2 + 6c = 0` s diskriminantem

`\begin{aligned} D &= (4c + 10)^2 - 20(c^2 + 6c) \\ &= -4c^2 - 40c + 100 \end{aligned}`

Ten je kladný přesně pro `c^2 + 10c - 25 \lt 0`, tedy mezi kořeny `c_1` a `c_2`. Obě metody se shodují. Rozumná kontrola: přímka `2x - y = 0` (tedy `c = 0`) byla v příkladu 1 sečna a nula opravdu leží mezi `-12{,}07` a `2{,}07`.

Rovnice tečny ke kružnici v daném bodě

Tečna je kolmá na poloměr v bodě dotyku. Vektor `\vec{ST} = (x_0 - m;\ y_0 - n)` je proto normálový vektor tečny a tečna prochází bodem `T`:

`(x_0 - m)(x - x_0) + (y_0 - n)(y - y_0) = 0`

Napíšeme `x - x_0 = (x - m) - (x_0 - m)` a stejně pro `y`. Po roznásobení zbude `(x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2`, a to je `r^2`, protože `T` leží na kružnici. Vyjde rovnice tečny v obvyklém tvaru:

`t:\ (x_0 - m)(x - m) + (y_0 - n)(y - n) = r^2`

Je to rovnice kružnice, v níž se jeden činitel každého čtverce nahradí souřadnicí bodu dotyku. Pro kružnici se středem v počátku `x^2 + y^2 = r^2` se zjednoduší na `x_0 x + y_0 y = r^2`.

−2 −1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 x y T[1; 2] S n x + 2y − 5 = 0 x² + y² = 5

Příklad 5

Napište rovnici tečny ke kružnici `x^2 + y^2 = 5` v bodě `T[1;\ 2]`.

Nejdřív ověříme, že `T` na kružnici leží: `1 + 4 = 5`. Střed je v počátku, `r^2 = 5`, takže

`\begin{gathered}1 \cdot x + 2 \cdot y = 5 \\[4pt] t:\ x + 2y - 5 = 0\end{gathered}`

Zkouška: normálový vektor tečny `(1;\ 2)` je právě `\vec{ST}`, a bod `T` rovnici splňuje, `1 + 4 - 5 = 0`. Poloměr nemusíte odmocňovat: do vzorce jde `r^2`, tedy přesně 5, ne zaokrouhlené `2{,}24^2`.

Příklad 6: tečny v průsečících a jejich odchylka

Napište rovnice tečen ke kružnici `k: x^2 + y^2 + 4x - 10y - 140 = 0` v jejích průsečících s přímkou `p: x = 3` a určete odchylku tečen.

Úloha z písemek, která prověří tři věci najednou. Střed a poloměr:

`(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4 + 25 + 140 = 169`

Tedy `S[-2;\ 5]`, `r = 13`. Průsečíky s přímkou `x = 3`:

`\begin{gathered}9 + y^2 + 12 - 10y - 140 = 0 \\[4pt] y^2 - 10y - 119 = 0 \\[4pt] (y - 17)(y + 7) = 0\end{gathered}`

Body dotyku jsou `T_1[3;\ 17]` a `T_2[3;\ {-7}]`. Tečny podle vzorce:

`\begin{aligned} t_1:\ &5(x + 2) + 12(y - 5) = 169 \\ &5x + 12y - 219 = 0 \\[10pt] t_2:\ &5(x + 2) - 12(y - 5) = 169 \\ &5x - 12y - 99 = 0 \end{aligned}`

Zkouška dosazením bodů dotyku: `15 + 204 - 219 = 0` a `15 + 84 - 99 = 0`. Odchylka tečen je odchylka jejich normálových vektorů `(5;\ 12)` a `(5;\ {-12})`, s absolutní hodnotou, aby vyšel ostrý úhel:

`\begin{gathered}\cos\varphi = \dfrac{|5 \cdot 5 + 12 \cdot (-12)|}{13 \cdot 13} = \dfrac{119}{169} \\[10pt] \varphi \doteq 45^\circ 14'\end{gathered}`

Výsledek si můžete ověřit v kalkulačce odchylka dvou přímek.

Tečny z bodu mimo kružnici a polára

Z bodu `M` vně kružnice vedou ke kružnici vždy dvě tečny. Z bodu na kružnici jen jedna (tečna v tom bodě) a z bodu uvnitř kružnice žádná. Kde bod leží, zjistíte dosazením do středového tvaru: levá strana větší než `r^2` znamená vně.

Na dvě tečny z bodu `M[x_1;\ y_1]` je šikovná polára, přímka procházející oběma body dotyku. Její rovnice vypadá stejně jako rovnice tečny, jen místo bodu dotyku dosadíte `M`:

`(x_1 - m)(x - m) + (y_1 - n)(y - n) = r^2`

Proč to platí: je-li `T[x_0;\ y_0]` bod dotyku, tečna v `T` prochází bodem `M`, takže `(x_0 - m)(x_1 - m) + (y_0 - n)(y_1 - n) = r^2`. Tatáž rovnost říká, že `T` leží na poláře. Postup je tedy: polára, její průsečíky s kružnicí (to jsou body dotyku), tečny v nich.

2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 x y M[2; 1] S T₁ T₂ x = 2 4x − 3y − 5 = 0 polára

Příklad 7

Veďte bodem `M[2;\ 1]` tečny ke kružnici `k: (x - 5)^2 + (y - 10)^2 = 9`.

Bod leží vně: `(2 - 5)^2 + (1 - 10)^2 = 90 \gt 9`. Polára:

`\begin{gathered}(2 - 5)(x - 5) + (1 - 10)(y - 10) = 9 \\[4pt] -3x - 9y + 96 = 0 \\[4pt] x + 3y - 32 = 0\end{gathered}`

Průsečíky poláry s kružnicí, dosadíme `x = 32 - 3y`:

`\begin{gathered}(27 - 3y)^2 + (y - 10)^2 = 9 \\[10pt] 10y^2 - 182y + 820 = 0 \\[10pt] 5y^2 - 91y + 410 = 0 \\[10pt] D = 91^2 - 4 \cdot 5 \cdot 410 = 81 \\[10pt] y_{1,2} = \dfrac{91 \pm 9}{10}\end{gathered}`

Tedy `y_1 = 10`, `y_2 = \frac{41}{5}` a body dotyku `T_1[2;\ 10]`, `T_2\left[\frac{37}{5};\ \frac{41}{5}\right]`. Tečny:

`\begin{aligned} t_1:\ &{-3}(x - 5) + 0 \cdot (y - 10) = 9 \\ &x = 2 \\[10pt] t_2:\ &\tfrac{12}{5}(x - 5) - \tfrac{9}{5}(y - 10) = 9 \\ &4x - 3y - 5 = 0 \end{aligned}`

Zkouška: obě tečny musí procházet bodem `M`. První zjevně, druhá `8 - 3 - 5 = 0`. A délka úseku tečny z `M` k bodu dotyku je `\sqrt{|MS|^2 - r^2} = \sqrt{90 - 9} = 9`, což u `T_1[2;\ 10]` vidíte na první pohled.

Druhý způsob a jeho past. Tečnu bodem `M` lze hledat i jako přímku `y - 1 = k(x - 2)` se směrnicí `k` a podmínkou `d = r`:

`\begin{gathered}\dfrac{|3k - 9|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3 \\[10pt] (3k - 9)^2 = 9(k^2 + 1) \\[10pt] k = \dfrac{4}{3}\end{gathered}`

Vyjde jen jedna tečna, `4x - 3y - 5 = 0`. Druhá, `x = 2`, je svislá a směrnici nemá, takže ji tahle metoda nenajde. Když vám z bodu vně kružnice vyjde jediná tečna, hledejte tu svislou.

Časté chyby

  • Znaménko v diskriminantu. Při dosazení s parametrem se snadno ztratí minus a sečna s vnější přímkou se prohodí. Kontrola: dosaďte jednu konkrétní hodnotu parametru a ověřte ji vzdáleností, jako v příkladu 4.
  • Vzorec tečny pro bod, který na kružnici neleží. Dosadíte-li do `(x_0 - m)(x - m) + (y_0 - n)(y - n) = r^2` bod mimo kružnici, nevyjde tečna, ale polára. Bod vždy nejdřív dosaďte do rovnice kružnice.
  • Vzorec vzdálenosti na směrnicový tvar. Vzorec pro `d` potřebuje obecnou rovnici `ax + by + c = 0`. Z `y = 2x + 3` je `a = 2`, `b = -1`, `c = 3`.
  • Srovnání `d` s `r^2`. Z rovnice kružnice se čte `r^2`; s `d` porovnávejte odmocninu, nebo porovnejte `d^2` s `r^2`.
  • Znaménka středu. Kružnice `(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 169` má střed `[-2;\ 5]`, ne `[2;\ {-5}]`. Čtení středu z rovnice procvičíte v drilu Kružnice: střed a poloměr.
  • Chybějící svislá tečna, když tečny hledáte přes směrnici (příklad 7).

Příklady k procvičení

1. Určete vzájemnou polohu kružnice `(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25` a přímky `3x + 4y - 30 = 0`. Je-li to tečna, najděte bod dotyku.

2. Najděte průsečíky kružnice `x^2 + y^2 = 25` a přímky `x - y + 1 = 0`.

3. Napište rovnici tečny ke kružnici `x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0` v bodě `T[6;\ 2]`.

4. Pro která `q` je přímka `y = x + q` tečnou kružnice `x^2 + y^2 = 8`? Pro která je sečnou?

5. Veďte bodem `M[7;\ 1]` tečny ke kružnici `x^2 + y^2 = 25`.

6. Kruhový park má poloměr 50 m a jeho střed je v počátku soustavy souřadnic (jednotka 1 m). Parkem vede rovná cesta `3x + 4y - 150 = 0`. Jak dlouhý úsek cesty je v parku?

Kam dál