Analytická geometrie - Vzájemná poloha dvou kružnic

Vzájemnou polohu dvou kružnic určíte podle vzdálenosti jejich středů `d = |S_1S_2|`, kterou porovnáte se součtem a s rozdílem poloměrů `r_1` a `r_2`. Dvě různé kružnice mají buď dva společné body (protínají se), nebo jeden (dotýkají se), nebo žádný:

`\begin{gathered}d \gt r_1 + r_2:\ \text{vně sebe} \\[4pt] d = r_1 + r_2:\ \text{vnější dotyk} \\[4pt] |r_1 - r_2| \lt d \lt r_1 + r_2:\ \text{protínají se} \\[4pt] d = |r_1 - r_2|:\ \text{vnitřní dotyk} \\[4pt] d \lt |r_1 - r_2|:\ \text{jedna uvnitř druhé}\end{gathered}`

Ke všemu potřebujete střed a poloměr obou kružnic. Ze středové rovnice `(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2` je přečtete rovnou, obecnou rovnici `x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0` nejdřív doplníte na čtverec. Průsečíky kružnic pak najdete tak, že jejich rovnice od sebe odečtete: kvadratické členy zmizí a zbude rovnice přímky, na které společné body leží.

Jak mohou ležet dvě kružnice

Představte si, že menší kružnici posouváte zdaleka k větší a pak do ní. Nejdřív leží každá zvlášť, pak se zvenku dotknou, protnou se, zevnitř se dotknou a nakonec je menší celá uvnitř větší. Když jí posunete střed až do středu větší, vzniknou kružnice soustředné.

Totéž v tabulce. Poloměry nemusíte řadit, rozdíl je v absolutní hodnotě:

Soustředné kružnice jsou tedy zvláštní případ polohy „jedna uvnitř druhé“, ne polohy „vně sebe“. Totožné kružnice jsou jedna a tatáž kružnice zapsaná dvakrát, třeba jednou středovou a jednou obecnou rovnicí.

Proč právě tyto podmínky: bod dotyku leží vždy na přímce spojující středy. Při vnějším dotyku jde úsečka `S_1S_2` přes bod dotyku a skládá se ze dvou poloměrů, takže `d = r_1 + r_2`. Při vnitřním dotyku leží oba středy na stejné straně od bodu dotyku a `d` je rozdíl poloměrů.

Postup krok za krokem

1. Střed a poloměr obou kružnic. Ze středové rovnice je přečtete, obecnou doplníte na čtverec (podrobně v článku Kružnice). Pozor na znaménka: `(x + 2)^2` znamená `m = -2`.
2. Vzdálenost středů `d = \sqrt{(m_2 - m_1)^2 + (n_2 - n_1)^2}`.
3. Součet a rozdíl poloměrů, `r_1 + r_2` a `|r_1 - r_2|`.
4. Porovnání podle tabulky. Když vychází odmocnina, porovnávejte druhé mocniny, obě strany jsou kladné.
5. Průsečíky nebo bod dotyku, pokud je úloha chce (další kapitola).

Střed a poloměr z obecné rovnice vám spočítá kalkulačka střed a poloměr kružnice, vzdálenost středů kalkulačka vzdálenost dvou bodů. Čtení středu a poloměru z rovnice si procvičíte v drilu Kružnice: střed a poloměr.

Řešené příklady na vzájemnou polohu

Příklad 1

Určete vzájemnou polohu kružnic `k_1: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9` a `k_2: (x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 49`.

Středy a poloměry přečteme: `S_1[1;\ {-2}]`, `r_1 = 3`, `S_2[7;\ 6]`, `r_2 = 7`.

`\begin{gathered}d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (6 + 2)^2} \\[4pt] d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \\[4pt] r_1 + r_2 = 3 + 7 = 10\end{gathered}`

Vzdálenost středů je přesně součet poloměrů, kružnice mají vnější dotyk. Bod dotyku leží na úsečce `S_1S_2` ve vzdálenosti `r_1 = 3` od `S_1`, tedy ve `\frac{3}{10}` cesty ze `S_1` do `S_2`:

`\begin{gathered}T = S_1 + \dfrac{r_1}{d}\,(S_2 - S_1) \\[10pt] T = [1;\ {-2}] + \dfrac{3}{10} \cdot (6;\ 8) \\[10pt] T = [2{,}8;\ 0{,}4]\end{gathered}`

Zkouška: `1{,}8^2 + 2{,}4^2 = 3{,}24 + 5{,}76 = 9` a `(-4{,}2)^2 + (-5{,}6)^2 = 17{,}64 + 31{,}36 = 49`, bod leží na obou kružnicích. Vzdálenost středů si ověříte v kalkulačce vzdálenost dvou bodů.

Příklad 2

Určete vzájemnou polohu kružnic `k_1: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0` a `k_2: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 = 0`.

Obě rovnice doplníme na čtverec:

`\begin{gathered}k_1: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 + 4 + 20 = 25 \\[4pt] k_2: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + 9 - 12 = 1\end{gathered}`

Tedy `S_1[1;\ 2]`, `r_1 = 5`, `S_2[2;\ 3]`, `r_2 = 1`. (Ověřit si to můžete v kalkulačce střed a poloměr kružnice.)

`\begin{gathered}d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \doteq 1{,}41 \\[4pt] |r_1 - r_2| = 5 - 1 = 4\end{gathered}`

Protože `d \lt |r_1 - r_2|`, leží menší kružnice `k_2` celá uvnitř kružnice `k_1` a společný bod nemají. Kontrola selským rozumem: nejvzdálenější bod `k_2` od `S_1` je ve vzdálenosti `d + r_2 \doteq 2{,}41`, a to je méně než poloměr 5.

Příklad 3

Jakou vzájemnou polohu mají kružnice `k_1: x^2 + y^2 = 25` a `k_2: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 100`?

`S_1[0;\ 0]`, `r_1 = 5`, `S_2[3;\ 4]`, `r_2 = 10`. Vzdálenost středů je `d = \sqrt{9 + 16} = 5`, rozdíl poloměrů `10 - 5 = 5`. Platí `d = |r_1 - r_2|`, kružnice mají vnitřní dotyk: menší `k_1` se zevnitř dotýká větší `k_2`.

Bod dotyku leží na přímce středů, na opačné straně od `S_1` než `S_2`: jdeme z `S_2` přes `S_1` ještě o `r_1` dál. Protože `|S_2S_1| = 5 = r_1`, je to přesně dvojnásobek vektoru `S_1 - S_2 = (-3;\ {-4})`:

`T = S_2 + 2 \cdot (-3;\ {-4}) = [-3;\ {-4}]`

Zkouška: `9 + 16 = 25` a `(-6)^2 + (-8)^2 = 100`.

Průsečíky dvou kružnic

Společné body dvou kružnic jsou řešení soustavy jejich dvou rovnic. Postup je vždy stejný:

1. Obě rovnice napište v obecném tvaru (roznásobte závorky).
2. Odečtěte je. Členy `x^2` a `y^2` se odečtou a zbude lineární rovnice, tedy rovnice přímky.
3. Z ní vyjádřete jednu neznámou a dosaďte do kterékoli z původních rovnic kružnic. Vyjde kvadratická rovnice.
4. Její diskriminant rozhodne: `D \gt 0` dva průsečíky, `D = 0` dotyk, `D \lt 0` žádný společný bod.
5. Dopočítejte druhou souřadnici a udělejte zkoušku dosazením do obou kružnic.

Přímka z kroku 2 prochází oběma průsečíky (a u dotyku je to společná tečna obou kružnic). Samotná ale ještě není výsledek: každé dvě kružnice s různými středy takovou přímku mají, i když se vůbec neprotínají, proto je krok 3 nutný. Dosazení přímky do kružnice je tatáž úloha jako v článku Kružnice a přímka.

Příklad 4

Vypočítejte průsečíky kružnic `k_1: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 = 0` a `k_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0`.

Odečteme druhou rovnici od první:

`\begin{gathered}(-2y + 3) - (-4y + 7) = 0 \\[4pt] 2y - 4 = 0 \\[4pt] y = 2\end{gathered}`

Dosadíme do `k_1`:

`\begin{gathered}x^2 + 4 - 4x - 4 + 3 = 0 \\[4pt] x^2 - 4x + 3 = 0 \\[4pt] (x - 1)(x - 3) = 0\end{gathered}`

Průsečíky jsou `X_1[1;\ 2]` a `X_2[3;\ 2]`. Zkouška v `k_2`: `1 + 4 - 4 - 8 + 7 = 0` a `9 + 4 - 12 - 8 + 7 = 0`.

Že vyjdou dva body, sedí i s polohou: `S_1[2;\ 1]`, `r_1 = \sqrt{2} \doteq 1{,}41`, `S_2[2;\ 2]`, `r_2 = 1`, takže `d = 1` leží mezi `0{,}41` a `2{,}41`.

Příklad 5

Určete průsečíky kružnic `k_1: x^2 + y^2 - 5x - 10 = 0` a `k_2: x^2 + y^2 + 5y - 40 = 0`.

Tady se poloměry nevyplatí počítat (vyjdou `\frac{\sqrt{65}}{2}` a `\frac{\sqrt{185}}{2}`), počet řešení soustavy řekne polohu sám. Odečteme první rovnici od druhé:

`\begin{gathered}5y + 5x - 30 = 0 \\[4pt] y = 6 - x\end{gathered}`

Dosadíme do `k_1`:

`\begin{gathered}x^2 + (6 - x)^2 - 5x - 10 = 0 \\[10pt] 2x^2 - 17x + 26 = 0 \\[10pt] D = 17^2 - 4 \cdot 2 \cdot 26 = 289 - 208 = 81 \\[10pt] x_{1,2} = \dfrac{17 \pm 9}{4}\end{gathered}`

Tedy `x_1 = 2` a `x_2 = \frac{13}{2}`, k nim `y_1 = 4` a `y_2 = -\frac{1}{2}`. Kružnice se protínají v bodech `X_1[2;\ 4]` a `X_2\left[\frac{13}{2};\ {-\frac{1}{2}}\right]`.

Zkouška `X_2` v `k_2`: `\frac{169}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} - 40 = \frac{170 - 10 - 160}{4} = 0`. Kvadratickou rovnici si můžete nechat spočítat v kalkulačce kvadratická rovnice.

Příklad 6 (ze života)

Dvě kozy jsou uvázané u kolíků, které stojí 6 m od sebe. První má provaz dlouhý 4 m, druhá 3 m. Mohou se kozy potkat? A jak daleko od sebe by musely být kolíky, aby na sebe nedosáhly?

Každá koza se pohybuje v kruhu kolem svého kolíku, okraj je kružnice s poloměrem délky provazu. Tady `d = 6`, `r_1 + r_2 = 7` a `|r_1 - r_2| = 1`. Platí `1 \lt 6 \lt 7`, kružnice se protínají a kruhy se překrývají: kozy se potkají a o trávu v prostředním pruhu se podělí.

Aby se nepotkaly, musí mít kružnice polohu „vně sebe“, tedy `d \gt 7\ \mathrm{m}`. Kontrola: při 7 m by se kozy právě dotkly čumáky na spojnici kolíků, 4 m od jednoho a 3 m od druhého.

Časté chyby

• Porovnání jen se součtem poloměrů. Z `d \lt r_1 + r_2` ještě neplyne, že se kružnice protínají. V příkladu 2 je `d \doteq 1{,}41 \lt 6`, a přesto nemají společný bod, protože jedna leží uvnitř druhé. Vždy porovnejte i s rozdílem.
• Soustředné kružnice zařazené mezi „vně sebe“. Mají společný střed, menší leží celá uvnitř větší. Při odečtení rovnic zmizí i `x` a `y` a vyjde nepravda typu `0 = 24`.
• Znaménka při čtení středu. Z `(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 36` je střed `[-1;\ 2]`, ne `[1;\ {-2}]`. A poloměr je `6`, ne 36.
• Přímka po odečtení považovaná za výsledek. Rovnice `x + y = 16`, která vyjde odečtením rovnic z příkladu 2, žádné průsečíky neznamená: po dosazení do `k_2` vyjde `x^2 - 15x + 86 = 0` s diskriminantem `-119`. O počtu společných bodů rozhoduje až tato kvadratická rovnice.
• Odečtení rovnic ve středovém tvaru bez roznásobení. Závorky `(x - 1)^2` a `(x - 7)^2` se neodečtou; nejdřív je roznásobte, pak se odečtou `x^2` a `y^2`.
• Zkouška jen v jedné kružnici. Bod, který jste dopočítali z rovnice, do které jste dosazovali, ji splní skoro vždy. Chybu odhalí až druhá kružnice.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Střed a poloměr z rovnice rychle a bez chyb ve znaménkách: dril Kružnice: střed a poloměr.
• Kalkulačky střed a poloměr kružnice, vzdálenost dvou bodů a kvadratická rovnice.
• Kvadratické rovnice, které vyjdou po dosazení, procvičíte v drilu Kořeny kvadratické rovnice.
• Články Kružnice, Kružnice a přímka, Kvadratická rovnice a Elipsa.