Analytická geometrie - Vzájemná poloha rovin

Dvě roviny v prostoru mohou být rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod), totožné (splývají v jednu rovinu) nebo různoběžné. Různoběžné roviny se protínají v přímce, které se říká průsečnice rovin.

Kterou možnost máte před sebou, poznáte z normálových vektorů. Pro roviny v obecném tvaru `\rho:\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0` a `\sigma:\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0` platí:

`\begin{gathered}\vec{n}_2=k\cdot\vec{n}_1,\ d_2=k\cdot d_1\ \Rightarrow\ \text{totožné}\\[4pt]\vec{n}_2=k\cdot\vec{n}_1,\ d_2\neq k\cdot d_1\ \Rightarrow\ \text{rovnoběžné}\\[4pt]\vec{n}_2\neq k\cdot\vec{n}_1\ \Rightarrow\ \text{různoběžné}\end{gathered}`

Směrový vektor průsečnice je vektorový součin normál `\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2`. Stačí k němu najít jeden společný bod obou rovin a průsečnici zapíšete parametricky. Obojí si níže ukážeme krok za krokem, stejně jako polohu tří rovin a jejich průsečík.

Článek počítá s tím, že umíte zapsat obecnou rovnici roviny a převést na ni parametrické vyjádření roviny. Stejnou otázku bez souřadnic, tedy konstrukčně třeba na krychli, řeší článek Vzájemná poloha rovin ve stereometrii.

Tři možnosti vzájemné polohy dvou rovin

Proč právě normály: normálový vektor je kolmý na rovinu, takže určuje, jak je rovina v prostoru „natočená“. Dvě roviny se stejným natočením jsou rovnoběžné, a o tom, jestli splývají, rozhodne až absolutní člen `d`, který rovinu posouvá. Jiná možnost než tyto tři neexistuje. Na rozdíl od přímek nemohou být dvě roviny mimoběžné, dvě nerovnoběžné roviny se v prostoru vždy protnou.

Jak určit vzájemnou polohu dvou rovin

1. Z obecných rovnic přečtěte normálové vektory `\vec{n}_1=(a_1;b_1;c_1)` a `\vec{n}_2=(a_2;b_2;c_2)`.
2. Zjistěte, zda existuje číslo `k`, pro které `\vec{n}_2=k\cdot\vec{n}_1`. Porovnejte podíly odpovídajících souřadnic, všechny musí vyjít stejně.
3. Pokud ne, roviny jsou různoběžné a hotovo.
4. Pokud ano, zkontrolujte absolutní členy: platí-li i `d_2=k\cdot d_1`, jsou roviny totožné, jinak rovnoběžné různé.

Místo porovnávání podílů můžete spočítat vektorový součin `\vec{n}_1\times\vec{n}_2`. Vyjde-li nulový vektor, normály jsou rovnoběžné. Tento způsob se nenechá zmást nulovými souřadnicemi (příklad 3) a navíc rovnou dává směr průsečnice.

Příklad 1

Jsou roviny `\rho:\ 2x+y+4z-5=0` a `\sigma:\ -4x-2y-8z+4=0` rovnoběžné?

Normálové vektory jsou `\vec{n}_1=(2;1;4)` a `\vec{n}_2=(-4;-2;-8)`. Podíly souřadnic:

`\dfrac{-4}{2}=\dfrac{-2}{1}=\dfrac{-8}{4}=-2`

Normály jsou násobky, `k=-2`. Absolutní členy: `k\cdot d_1=-2\cdot(-5)=10`, ale `d_2=4`. Roviny jsou tedy rovnoběžné různé. Kontrola: bod `[0;5;0]` leží v rovině `\rho`, protože `5-5=0`, ale do `\sigma` dá `-10+4=-6\neq 0`. Kdyby byly roviny totožné, musel by ležet v obou.

Příklad 2

Určete vzájemnou polohu rovin `\rho:\ 2x+3y-4z+2=0` a `\sigma:\ -x-\frac{3}{2}y+2z-1=0`.

Normály `\vec{n}_1=(2;3;-4)` a `\vec{n}_2=\left(-1;-\frac{3}{2};2\right)` splňují `\vec{n}_1=-2\cdot\vec{n}_2`. Pro absolutní členy platí totéž: `d_1=2=-2\cdot(-1)`. Celá rovnice `\rho` je tedy násobkem rovnice `\sigma` s `k=-2` a roviny jsou totožné. Vynásobte rovnici `\sigma` číslem `-2` a dostanete přesně rovnici `\rho`.

Příklad 3

Určete vzájemnou polohu rovin `\rho:\ x+2y-3=0` a `\sigma:\ 2x+4y+z-1=0`.

Na první pohled to vypadá na násobky: `2=2\cdot 1`, `4=2\cdot 2`. Jenže rovina `\rho` neobsahuje `z`, takže `\vec{n}_1=(1;2;0)`, zatímco `\vec{n}_2=(2;4;1)`. Dvojnásobek nuly je nula, ne jednička, a normály násobky nejsou. Roviny jsou různoběžné. Vektorový součin to potvrdí:

`\begin{gathered}w_1=2\cdot 1-0\cdot 4=2\\[4pt]w_2=0\cdot 2-1\cdot 1=-1\\[4pt]w_3=1\cdot 4-2\cdot 2=0\\[4pt]\vec{n}_1\times\vec{n}_2=(2;-1;0)\end{gathered}`

Není nulový, takže roviny rovnoběžné nejsou. Mimochodem: když od rovnice `\sigma` odečtete dvojnásobek rovnice `\rho`, zbude `z+5=0`. Průsečnice tedy leží celá ve výšce `z=-5` a je to přímka `x=3+2t,\ y=-t,\ z=-5`. Její směr `(2;-1;0)` je přesně vektorový součin výše.

Vlastní dvojici rovin si ověříte v kalkulačce vzájemné polohy dvou rovin (odkaz má roviny z tohoto příkladu předvyplněné). U různoběžných rovin dopočítá i odchylku, u rovnoběžných jejich vzdálenost.

Když je jedna rovina zadaná parametricky

Rovinu v parametrickém tvaru můžete převést na obecnou rovnici (normála je vektorový součin jejích dvou směrových vektorů, viz příklad 8). Často je ale rychlejší parametrické vyjádření rovnou dosadit do obecné rovnice druhé roviny. Vyjde rovnice pro parametry `t` a `s` a podle ní poznáte polohu:

• vyjde nepravda typu `0=5`: žádný bod první roviny neleží ve druhé, roviny jsou rovnoběžné různé,
• vyjde `0=0`: každý bod první roviny leží ve druhé, roviny jsou totožné,
• vyjde vztah mezi parametry: roviny jsou různoběžné a po dosazení tohoto vztahu zpět dostanete rovnou průsečnici.

Příklad 4

Určete vzájemnou polohu rovin `\rho:\ x=1+t+s,\ y=2-t,\ z=3+2s` a `\sigma:\ 2x+y-z-4=0`.

Dosadíme `x`, `y`, `z` z parametrického vyjádření do rovnice `\sigma`:

`\begin{gathered}2(1+t+s)+(2-t)-(3+2s)-4=0\\[4pt]2+2t+2s+2-t-3-2s-4=0\\[4pt]t-3=0\end{gathered}`

Parametr `s` se odečetl a zbylo `t=3`. To není ani nepravda, ani `0=0`, takže roviny jsou různoběžné. Body průsečnice jsou ty body roviny `\rho`, pro které `t=3`:

`p:\ x=4+s,\ y=-1,\ z=3+2s,\ s\in\mathbb{R}`

Zkouška v rovině `\sigma`, pro každé `s`:

`\begin{aligned}&2(4+s)+(-1)-(3+2s)-4\\ &=8+2s-1-3-2s-4=0\end{aligned}`

Rovina rovnoběžná s danou rovinou a vzdálenost rovnoběžných rovin

Rovnoběžné roviny mohou mít stejný normálový vektor, takže se jejich rovnice liší jen v absolutním členu `d`. Rovinu rovnoběžnou s danou rovinou a procházející daným bodem proto najdete tak, že opíšete `a`, `b`, `c` a dopočítáte `d` dosazením bodu.

Příklad 5

Bodem `Q[1;-2;3]` veďte rovinu `\rho` rovnoběžnou s rovinou `\pi:\ 3x-y+2z-1=0`.

`\begin{gathered}\rho:\ 3x-y+2z+d=0\\[4pt]3\cdot 1-(-2)+2\cdot 3+d=0\\[4pt]3+2+6+d=0\ \Rightarrow\ d=-11\\[4pt]\rho:\ 3x-y+2z-11=0\end{gathered}`

Zkouška: `3+2+6-11=0`, bod `Q` v rovině leží.

Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin `ax+by+cz+d_1=0` a `ax+by+cz+d_2=0` se stejnými koeficienty `a`, `b`, `c` je

`v=\dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}`

Pro roviny z příkladu 5 to je `v=\frac{|-1-(-11)|}{\sqrt{9+1+4}}=\frac{10}{\sqrt{14}}\doteq 2{,}67`. Pozor, vzorec platí jen tehdy, když mají obě rovnice stejné `a`, `b`, `c`. V příkladu 1 je proto nejdřív potřeba vydělit rovnici `\sigma` číslem `-2`, vyjde `2x+y+4z-2=0`, a teprve potom `v=\frac{|-5-(-2)|}{\sqrt{21}}=\frac{3}{\sqrt{21}}\doteq 0{,}65`. Totéž dostanete jako vzdálenost bodu od roviny pro libovolný bod jedné z rovin.

Průsečnice dvou rovin

Průsečnice je přímka, ve které se protínají dvě různoběžné roviny. Její body splňují obě rovnice zároveň, takže řešíme soustavu dvou rovnic o třech neznámých. Taková soustava má nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem, a to je právě parametrické vyjádření přímky. Vést k němu mohou dvě cesty.

Postup A, vektorový součin a jeden bod:

1. Směrový vektor průsečnice je `\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2`. Průsečnice leží v obou rovinách, takže je kolmá na obě normály, a vektor kolmý na dva vektory dává právě vektorový součin. Můžete ho zkrátit na nejmenší celočíselný násobek.
2. Najděte jeden bod průsečnice: jednu souřadnici zvolte (nejčastěji 0) a zbylé dvě dopočítejte ze soustavy dvou rovnic.
3. Zapište `p:\ X=A+t\cdot\vec{s}`.

Postup B, jedna neznámá jako parametr: položte třeba `z=t` a ze soustavy vyjádřete `x` a `y` pomocí `t`. Vyjde rovnou parametrické vyjádření.

Příklad 6

Určete průsečnici rovin `\rho:\ x+2y+z-1=0` a `\sigma:\ 2x+3y-2z+2=0`.

Postup A. Normály jsou `\vec{n}_1=(1;2;1)` a `\vec{n}_2=(2;3;-2)`, nejsou to násobky, takže průsečnice existuje.

`\begin{gathered}w_1=2\cdot(-2)-1\cdot 3=-7\\[4pt]w_2=1\cdot 2-1\cdot(-2)=4\\[4pt]w_3=1\cdot 3-2\cdot 2=-1\\[4pt]\vec{n}_1\times\vec{n}_2=(-7;4;-1)\end{gathered}`

Opačný vektor `\vec{s}=(7;-4;1)` je hezčí a směr určuje stejně. Bod: zvolíme `x=0` a řešíme

`\begin{gathered}2y+z=1\\[4pt]3y-2z=-2\end{gathered}`

Z první rovnice `z=1-2y`, dosazením do druhé `3y-2+4y=-2`, tedy `y=0` a `z=1`. Bod průsečnice je `A[0;0;1]` a průsečnice

`p:\ x=7t,\ y=-4t,\ z=1+t,\ t\in\mathbb{R}`

Postup B. Položíme `z=t` a převedeme ho na pravou stranu:

`\begin{gathered}x+2y=1-t\\[4pt]2x+3y=-2+2t\end{gathered}`

Dvojnásobek první rovnice minus druhá dává `y=4-4t` a zpětně `x=1-t-2(4-4t)=-7+7t`. Průsečnice je

`p:\ x=-7+7t,\ y=4-4t,\ z=t,\ t\in\mathbb{R}`

Vypadá to jinak, ale je to tatáž přímka: směrový vektor je stejný `(7;-4;1)` a bod `[-7;4;0]` dostanete z prvního zápisu pro `t=-1`. Parametrické vyjádření přímky není jednoznačné, každý bod přímky i každý nenulový násobek směrového vektoru vede k jinému, stejně správnému zápisu. Zkouška: bod `[-7;4;0]` dává v `\rho` `-7+8+0-1=0` a v `\sigma` `-14+12-0+2=0`.

Průsečnici si pro jiné roviny spočítáte v kalkulačce průsečnice dvou rovin, která ukáže i zkoušku dosazením. Její zápis se může od vašeho lišit bodem i násobkem vektoru, jako tady.

Příklad 7

Určete průsečnici rovin `\rho:\ 2x-3y+z-4=0` a `\sigma:\ 4x+y-5z+3=0`.

`\begin{gathered}w_1=(-3)(-5)-1\cdot 1=14\\[4pt]w_2=1\cdot 4-2\cdot(-5)=14\\[4pt]w_3=2\cdot 1-(-3)\cdot 4=14\\[4pt]\vec{n}_1\times\vec{n}_2=(14;14;14)=14\cdot(1;1;1)\end{gathered}`

Směrový vektor je `\vec{s}=(1;1;1)`. Bod: zvolíme `z=0`, tedy `2x-3y=4` a `4x+y=-3`. Z druhé rovnice `y=-3-4x`, po dosazení `2x+9+12x=4`, tedy `x=-\frac{5}{14}` a `y=-3+\frac{20}{14}=-\frac{11}{7}`.

`p:\ x=-\dfrac{5}{14}+t,\ y=-\dfrac{11}{7}+t,\ z=t`

Zlomky nejsou chyba. Na této přímce je rozdíl `x-y` pořád `\frac{17}{14}`, takže nemá žádný bod s celočíselnými souřadnicemi a hezčí zápis neexistuje. Zkouška v `\rho`: členy s `t` dají `2t-3t+t=0` a zbytek

`\begin{gathered}2\cdot\left(-\dfrac{5}{14}\right)-3\cdot\left(-\dfrac{11}{7}\right)-4\\[10pt]=-\dfrac{5}{7}+\dfrac{33}{7}-4=0\end{gathered}`

V `\sigma` vyjde stejně nula.

Pozor na volbu souřadnice

Volba `x=0` funguje, jen když průsečnice rovinu `x=0` opravdu protíná, tedy když má směrový vektor nenulovou první souřadnici. Průsečnice rovin `x+y-z-2=0` a `2x-y+z-1=0` má směr `(0;1;1)` a všechny její body mají `x=1`. Kdo zvolí `x=0`, dostane soustavu bez řešení (cvičení 3). Podívejte se proto nejdřív na `\vec{s}` a nulujte souřadnici, ve které má `\vec{s}` nenulové číslo. Nejbezpečnější je ta, kde je největší.

Vzájemná poloha tří rovin a průsečík rovin

Dvě různoběžné roviny mají společnou přímku. Přidáte-li třetí rovinu, která tuto přímku protne, zbude jediný společný bod, průsečík tří rovin. Najdete ho jako řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých, třeba Gaussovou eliminační metodou. Tři roviny se ale mohou potkat i jinak:

Jsou-li některé dvě roviny totožné, úloha se zredukuje na polohu dvou rovin. Jediný společný bod mají tři roviny právě tehdy, když jejich normály neleží v jedné rovině, tedy když je jejich smíšený součin `(\vec{n}_1\times\vec{n}_2)\cdot\vec{n}_3` nenulový. U hranolu i svazku je nulový.

Příklad 8

Určete průsečík rovin `\rho:\ 3x-y+z+1=0`, `\pi:\ -x+2y-z-5=0` a `\varphi:\ x=-8+r-3s,\ y=-1+r,\ z=2+3s`.

Všechny tři roviny chceme v obecném tvaru, takže nejdřív převedeme `\varphi`. Její směrové vektory jsou `\vec{u}=(1;1;0)` a `\vec{v}=(-3;0;3)`, normála

`\begin{gathered}w_1=1\cdot 3-0\cdot 0=3\\[4pt]w_2=0\cdot(-3)-1\cdot 3=-3\\[4pt]w_3=1\cdot 0-1\cdot(-3)=3\\[4pt]\vec{u}\times\vec{v}=(3;-3;3)\end{gathered}`

Zkrátíme ji na `(1;-1;1)` a dosadíme bod `[-8;-1;2]`: `-8+1+2+d=0`, tedy `d=5` a `\varphi:\ x-y+z+5=0`. Soustava:

`\begin{gathered}3x-y+z=-1\\[4pt]-x+2y-z=5\\[4pt]x-y+z=-5\end{gathered}`

Sečtením první a druhé rovnice zmizí `z`: `2x+y=4`. Sečtením druhé a třetí také: `y=0`. Pak `x=2` a ze třetí rovnice `2-0+z=-5`, tedy `z=-7`. Průsečík je `P[2;0;-7]`.

Zkouška: `\rho:\ 6-0-7+1=0`, `\pi:\ -2+0+7-5=0`, `\varphi` v parametrickém tvaru: `y=-1+r=0` dává `r=1`, `z=2+3s=-7` dává `s=-3` a pak `x=-8+1+9=2`. Sedí.

Úlohu můžeme ještě rozšířit: bodem `P` veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou `\delta:\ x=6-5t+3u,\ y=2+4t-u,\ z=1-t`. Normála `\delta` je `(-5;4;-1)\times(3;-1;0)=(-1;-3;-7)`, opačný vektor `(1;3;7)`. Hledaná rovina `x+3y+7z+d=0` prochází bodem `P`: `2+0-49+d=0`, tedy `d=47`.

`x+3y+7z+47=0`

Odchylka dvou rovin

U různoběžných rovin se často ptáme ještě na úhel, který svírají. Odchylka dvou rovin je odchylka jejich normál, vzatá z intervalu `\langle 0^\circ;90^\circ\rangle`, proto je v čitateli absolutní hodnota:

`\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}`

Pro roviny z příkladu 6: `\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=2+6-2=6`, `|\vec{n}_1|=\sqrt{6}`, `|\vec{n}_2|=\sqrt{17}`, takže `\cos\varphi=\frac{6}{\sqrt{102}}\doteq 0{,}594` a `\varphi\doteq 53^\circ 33'`. Rovnoběžné a totožné roviny mají odchylku `0^\circ`. Víc v článku Metrické úlohy v prostoru, stejnou úlohu bez souřadnic řeší článek Odchylka dvou rovin ve stereometrii. Spočítat si ji můžete v kalkulačce odchylky dvou rovin.

Časté chyby

• Chybějící člen znamená nulu, ne vynechanou souřadnici. Rovina `x+2y-3=0` má normálu `(1;2;0)`, ne `(1;2)`. Porovnáním jen dvou souřadnic vyjdou násobky i tam, kde nejsou (příklad 3).
• Rovnoběžnost normál nestačí na totožnost. Vždy zkontrolujte i absolutní člen, nebo dosaďte jeden bod první roviny do druhé.
• Průsečnice se nedá určit „z normál“ přímo. Normály jsou na průsečnici kolmé, ne s ní rovnoběžné. Směrem průsečnice je jejich vektorový součin.
• Chyba ve zkracování směrového vektoru. `\left(\frac{22}{14};\frac{11}{7};\frac{11}{7}\right)` je `\frac{11}{7}\cdot(1;1;1)`, ne `(2;1;1)`, protože `\frac{22}{14}=\frac{11}{7}`. Zlomky nejdřív zkraťte, teprve pak vytýkejte.
• Nulování souřadnice, kterou průsečnice nemá. Když je některá souřadnice `\vec{s}` nulová, tuto souřadnici nenulujte, jeden bod byste tak nedostali.
• Jiný zápis není chyba. Dvě parametrická vyjádření popisují tutéž přímku, když mají rovnoběžné směrové vektory a bod jednoho leží na druhém.
• Vzorec pro vzdálenost rovin s různými koeficienty. Rovnice nejdřív převeďte na stejné `a`, `b`, `c`.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered}v=\dfrac{\left|1-\left(-\frac{5}{2}\right)\right|}{\sqrt{9+1+4}}=\dfrac{\frac{7}{2}}{\sqrt{14}}\\[10pt]v=\dfrac{\sqrt{14}}{4}\doteq 0{,}94\end{gathered}`

Kam dál

Polohu dvou rovin z obecných rovnic určí kalkulačka vzájemné polohy dvou rovin, parametrické vyjádření průsečnice i se zkouškou kalkulačka průsečnice dvou rovin a úhel mezi nimi kalkulačka odchylky dvou rovin. Normálu roviny ze dvou směrových vektorů spočítá kalkulačka vektorového součinu. Odchylky přímek a rovin na krychli si procvičíte v procvičování odchylky přímky a roviny.

Vzájemnou polohu dvou přímek v prostoru a přímky s rovinou probírá článek Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou. Dále se hodí Obecná rovnice roviny, Odchylka dvou rovin ve stereometrii a Metrické úlohy v prostoru.