Analytická geometrie - Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny v prostoru má tvar `ax+by+cz+d=0`, kde a, b, c, d jsou reálná čísla a aspoň jedno z čísel a, b, c není nula. Koeficienty u x, y, z tvoří normálový vektor roviny `\vec{n}=(a;\ b;\ c)`, tedy vektor kolmý k rovině. Bod leží v rovině právě tehdy, když jeho souřadnice rovnici splňují.

`\rho:\ ax+by+cz+d=0,\quad \vec{n}=(a;\ b;\ c)\ne\vec{o}`

Normálový vektor je kolmý na každý vektor, který v rovině leží. Kolmost se v analytické geometrii poznává skalárním součinem: dva vektory jsou na sebe kolmé, právě když je jejich skalární součin roven nule. Z této jediné podmínky celá rovnice vychází, a kdo zná obecnou rovnici přímky v rovině, zná vlastně i tuto, jen přibude třetí souřadnice.

Například rovina `2x+y+2z-6=0` má normálový vektor `\vec{n}=(2;\ 1;\ 2)` a leží v ní bod `A[1;\ 2;\ 1]`, protože `2\cdot 1+2+2\cdot 1-6=0`. Bod `[1;\ 1;\ 1]` v ní neleží, dosazením vyjde `2+1+2-6=-1`, a ne nula.

Pozor na záměnu, kterou často hlásí vyhledávání: v rovině (ve dvou souřadnicích) popisuje rovnice `ax+by+c=0` přímku, ne rovinu. Ta je v článku Obecná rovnice přímky. Tady jde o rovinu v trojrozměrném prostoru, se souřadnicemi x, y, z.

Normálový vektor roviny a odkud se rovnice bere

Rovinu určuje jeden její bod `A[x_0;\ y_0;\ z_0]` a normálový vektor `\vec{n}=(a;\ b;\ c)`. Bod `X[x;\ y;\ z]` leží v rovině právě tehdy, když vektor `\overrightarrow{AX}` v rovině leží, tedy když je kolmý na `\vec{n}`:

`\begin{gathered}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AX}=0 \\[6pt] a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\end{gathered}`

Po roznásobení a sečtení čísel, která neobsahují x, y ani z, dostanete obecnou rovnici. Číslo d je tedy

`d=-(ax_0+by_0+cz_0)`

V praxi se d počítá ještě jednodušeji: napíšete `ax+by+cz+d=0` se známými a, b, c, dosadíte souřadnice bodu A a d dopočítáte jako jedinou neznámou.

Normálový vektor není jediný. Kterýkoli jeho nenulový násobek je také kolmý k rovině, a proto lze celou rovnici vynásobit nebo vydělit nenulovým číslem: `2x+y+2z-6=0` a `-4x-2y-4z+12=0` jsou tatáž rovina. Obvykle se rovnice zjednoduší tak, aby koeficienty byly co nejmenší celá čísla.

Příklad 1

Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází bodem `A[2;\ 1;\ {-4}]` a má normálový vektor `\vec{n}=(3;\ {-2};\ 1)`.

Koeficienty a, b, c opíšeme z normálového vektoru a dosadíme bod A:

`\begin{gathered}3x-2y+z+d=0 \\[6pt] 3\cdot 2-2\cdot 1+(-4)+d=0 \\[6pt] 6-2-4+d=0\ \Rightarrow\ d=0\end{gathered}`

Rovina má rovnici `\rho:\ 3x-2y+z=0`. Vyšlo `d=0`, takže rovina prochází počátkem soustavy souřadnic `[0;\ 0;\ 0]`; to je v pořádku, nula za d je běžný výsledek. Kontrola: dosazením A do hotové rovnice vyjde `6-2-4=0`.

Obecná rovnice roviny ze tří bodů

Nejčastější zadání: rovina prochází třemi body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Normálový vektor zadaný není, musíte ho najít. Postup má tři kroky:

1. Spočítejte dva vektory roviny, `\vec{u}=B-A` a `\vec{v}=C-A`.
2. Normálový vektor je kolmý na oba, dostanete ho vektorovým součinem `\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}`.
3. Napište `ax+by+cz+d=0` a dosazením jednoho z bodů dopočítejte d.

Vektorový součin se počítá podle vzorce níže. Jak si ho snadno zapamatovat a proč dává kolmý vektor, vysvětluje článek Vektorový součin.

`\begin{aligned}\vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v}=(n_1;\ n_2;\ n_3) \\[4pt] n_1&=u_2v_3-u_3v_2 \\[4pt] n_2&=u_3v_1-u_1v_3 \\[4pt] n_3&=u_1v_2-u_2v_1\end{aligned}`

Příklad 2

Napište obecnou rovnici roviny ABC, když `A[1;\ 0;\ 2]`, `B[-1;\ 1;\ {-2}]` a `C[3;\ 2;\ 0]`.

1. Vektory roviny:

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(-2;\ 1;\ {-4}) \\[6pt] \vec{v}=C-A=(2;\ 2;\ {-2})\end{gathered}`

2. Normálový vektor, souřadnici po souřadnici:

`\begin{aligned}n_1&=1\cdot(-2)-(-4)\cdot 2=-2+8=6 \\[4pt] n_2&=(-4)\cdot 2-(-2)\cdot(-2)=-8-4=-12 \\[4pt] n_3&=(-2)\cdot 2-1\cdot 2=-4-2=-6\end{aligned}`

Vyšlo `\vec{n}=(6;\ {-12};\ {-6})`. Všechny souřadnice jsou dělitelné šesti, takže stačí kratší vektor `(1;\ {-2};\ {-1})`. Než budete pokračovat, ověřte kolmost: `\vec{n}\cdot\vec{u}=6\cdot(-2)+(-12)\cdot 1+(-6)\cdot(-4)=0` a `\vec{n}\cdot\vec{v}=12-24+12=0`. Kdyby některý součin nebyl nula, je chyba ve vektorovém součinu.

3. Číslo d z bodu A:

`\begin{gathered}x-2y-z+d=0 \\[6pt] 1-2\cdot 0-2+d=0\ \Rightarrow\ d=1\end{gathered}`

Rovina má rovnici `x-2y-z+1=0`. Kontrola zbylými body: pro B vyjde `-1-2+2+1=0`, pro C vyjde `3-4-0+1=0`. Rovina prochází všemi třemi body. Kdybyste vektor nezkrátili, dostali byste `6x-12y-6z+6=0`, což je tatáž rovina vynásobená šesti.

Celý výpočet i se zkouškou udělá kalkulačka rovnice roviny ze tří bodů, už vyplněná body z tohoto příkladu. Samotný vektorový součin si můžete ověřit v kalkulačce vektorového součinu.

Vyjde-li vektorový součin nulový, `\vec{n}=(0;\ 0;\ 0)`, jsou vektory `\vec{u}` a `\vec{v}` rovnoběžné. Pak tři body leží na jedné přímce a rovinu neurčují: takových rovin je nekonečně mnoho.

Jde to i bez vektorového součinu: dosadíte všechny tři body do `ax+by+cz+d=0` a řešíte soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých, kde jednu neznámou zvolíte. Je to ale delší a snáz se v tom chybuje, proto se ve škole používá vektorový součin.

Převod z parametrického vyjádření na obecnou rovnici

Z parametrického vyjádření `X=A+t\vec{u}+s\vec{v}` přečtete bod A (čísla bez parametrů) a dva vektory roviny (koeficienty u t a u s). Pak je to stejná úloha jako ze tří bodů, od druhého kroku.

Příklad 3

Napište obecnou rovnici roviny ρ s parametrickým vyjádřením `x=1-t`, `y=-3+s`, `z=t-s`.

Bod a vektory roviny:

`\begin{gathered}A[1;\ {-3};\ 0] \\[6pt] \vec{u}=(-1;\ 0;\ 1),\quad \vec{v}=(0;\ 1;\ {-1})\end{gathered}`

Normálový vektor je vektorový součin:

`\begin{aligned}\vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v} \\[4pt] &=(0-1;\ 0-1;\ {-1}-0) \\[4pt] &=(-1;\ {-1};\ {-1})\end{aligned}`

Místo `(-1;\ {-1};\ {-1})` vezmeme opačný vektor `(1;\ 1;\ 1)`:

`\begin{gathered}x+y+z+d=0 \\[6pt] 1-3+0+d=0\ \Rightarrow\ d=2\end{gathered}`

Rovina má rovnici `x+y+z+2=0`.

Druhý způsob, vyloučení parametrů. Z první rovnice `t=1-x`, z druhé `s=y+3`. Dosadíme do třetí: `z=(1-x)-(y+3)`, tedy `x+y+z+2=0`. Vyšlo totéž, a to je zároveň nejlepší kontrola. Vylučování se hodí, když se parametr dá z některé rovnice vyjádřit hned, jako tady.

Podrobně, i s ověřováním bodů a dopočítáváním souřadnic, se parametrickým zápisem zabývá článek Parametrické vyjádření roviny.

Jak převést obecnou rovnici na parametrickou

Obráceně je to ještě jednodušší. Z obecné rovnice vyjádřete jednu neznámou a za zbylé dvě zvolte parametry t a s.

Příklad 4

Převeďte rovnici `2x+y+2z-6=0` na parametrické vyjádření.

Nejsnáze se vyjádří y, má koeficient 1: `y=6-2x-2z`. Zvolíme `x=t` a `z=s`:

`\begin{aligned}x&=t \\[4pt] y&=6-2t-2s \\[4pt] z&=s,\quad t,s\in\mathbb{R}\end{aligned}`

Bod roviny je `[0;\ 6;\ 0]` a vektory jsou `\vec{u}=(1;\ {-2};\ 0)` a `\vec{v}=(0;\ {-2};\ 1)`. Kontrola: oba musí být kolmé na normálový vektor `(2;\ 1;\ 2)`, a jsou: `2-2+0=0` a `0-2+2=0`.

Jiná cesta: najděte tři body roviny (zvolte dvě souřadnice a třetí dopočítejte), například `[0;\ 6;\ 0]`, `[1;\ 4;\ 0]` a `[0;\ 4;\ 1]`, a sestavte parametrické vyjádření z nich. Výsledek vypadá jinak, ale je to tatáž rovina.

Leží bod v rovině?

S obecnou rovnicí je to jedno dosazení. Vyjde-li nula, bod v rovině leží. Vyjde-li jiné číslo, neleží, a znaménko navíc řekne, na kterou stranu od roviny bod padne: body s kladným výsledkem leží v jednom poloprostoru, body se záporným v druhém.

Příklad 5

Zjistěte, zda body `M[1;\ 1;\ {-1}]` a `N[2;\ 1;\ 0]` leží v rovině `\rho:\ 3x-2y+z=0` z příkladu 1.

`\begin{gathered}M:\ 3\cdot 1-2\cdot 1+(-1)=0 \\[6pt] N:\ 3\cdot 2-2\cdot 1+0=4\ne 0\end{gathered}`

Bod M v rovině leží, bod N ne. Výsledek 4 ale není vzdálenost bodu od roviny; tu dostanete, až ho vydělíte velikostí normálového vektoru, `4:\sqrt{14}\doteq 1{,}07`. Vzorec i postup jsou v článku Vzdálenost bodu od roviny a spočítá ji kalkulačka vzdálenosti bodu od roviny, vyplněná bodem N a touto rovinou.

Co se dá z rovnice vyčíst: zvláštní polohy a průsečíky s osami

Chybí-li v rovnici některá neznámá, je normálový vektor kolmý na příslušnou osu a rovina s ní proto běží rovnoběžně. Chybí-li d, prochází rovina počátkem.

Rovnice `z=0` je tedy celá rovina xy, ne bod ani přímka: x a y mohou být libovolné.

Průsečíky s osami dostanete tak, že dvě souřadnice položíte rovny nule a třetí dopočítáte. Pro rovinu `2x+y+2z-6=0` z úvodu:

`\begin{gathered}y=z=0:\ 2x=6,\ x=3\ \Rightarrow\ P[3;\ 0;\ 0] \\[6pt] x=z=0:\ y=6\ \Rightarrow\ Q[0;\ 6;\ 0] \\[6pt] x=y=0:\ 2z=6,\ z=3\ \Rightarrow\ R[0;\ 0;\ 3]\end{gathered}`

Trojúhelník PQR je ta část roviny, která leží v prvním oktantu, a právě tak se rovina kreslí. Vydělíte-li rovnici číslem 6, dostanete úsekovou rovnici roviny `\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{3}=1`, ve které jsou úseky na osách vidět přímo ve jmenovatelích. Úsekový tvar existuje jen pro rovinu, která protíná všechny tři osy mimo počátek.

Rovina rovnoběžná s rovinou, kolmá k přímce a rovnoběžná s přímkou

Ve všech třech úlohách stačí najít normálový vektor a pak dosadit bod:

• Rovnoběžná s danou rovinou: převezmete její normálový vektor beze změny, jiné bude jen d. Rovina bodem `[0;\ 1;\ 2]` rovnoběžná s `x-4y+z+7=0` je `x-4y+z+d=0` s `d=-(0-4+2)=2`.
• Kolmá k přímce: směrový vektor přímky je zároveň normálovým vektorem roviny.
• Rovnoběžná s přímkou a procházející dvěma body: směrový vektor přímky leží v rovině, druhý vektor dá dvojice bodů, normálový vektor je jejich vektorový součin.

Příklad 6

Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem `P[2;\ 0;\ {-1}]` a je kolmá k přímce `p:\ x=1+t,\ y=4-2t,\ z=3t`.

Směrový vektor přímky je `(1;\ {-2};\ 3)` a ten je normálovým vektorem roviny:

`\begin{gathered}x-2y+3z+d=0 \\[6pt] 2-0-3+d=0\ \Rightarrow\ d=1\end{gathered}`

Rovina má rovnici `x-2y+3z+1=0`.

Příklad 7

Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body `A[2;\ 4;\ 7]` a `B[1;\ 6;\ 0]` a je rovnoběžná s přímkou CD, kde `C[3;\ 1;\ 5]` a `D[-1;\ 0;\ 4]`.

Jeden vektor roviny dají body A a B, druhý je směrový vektor přímky CD:

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(-1;\ 2;\ {-7}) \\[6pt] \vec{v}=C-D=(4;\ 1;\ 1) \\[6pt] \begin{aligned}\vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v} \\[4pt] &=(2+7;\ {-28}+1;\ {-1}-8) \\[4pt] &=(9;\ {-27};\ {-9})\end{aligned}\end{gathered}`

Vektor vydělíme devíti, `\vec{n}=(1;\ {-3};\ {-1})`, a dosadíme bod A:

`\begin{gathered}x-3y-z+d=0 \\[6pt] 2-12-7+d=0\ \Rightarrow\ d=17\end{gathered}`

Rovina má rovnici `\rho:\ x-3y-z+17=0`. Kontrola: bod B dá `1-18-0+17=0` a směrový vektor přímky je kolmý na normálový, `4-3-1=0`. Bez krácení by vyšlo `9x-27y-9z+153=0`, správně, ale zbytečně s velkými čísly.

Příklad ze života: výška šikmé střechy

Příklad 8

Pultová střecha garáže je rovina. Okap vede ve výšce 3 m od bodu `A[0;\ 0;\ 3]` do bodu `B[8;\ 0;\ 3]`, horní hrana střechy prochází bodem `C[0;\ 5;\ 6]` (souřadnice v metrech, osa z míří svisle vzhůru). Jak vysoko nad zemí je střecha v místě, kde je `x=6` a `y=2`?

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(8;\ 0;\ 0) \\[6pt] \vec{v}=C-A=(0;\ 5;\ 3) \\[6pt] \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(0;\ {-24};\ 40)\end{gathered}`

Vydělíme osmi, `\vec{n}=(0;\ {-3};\ 5)`, a dosadíme A: `-3\cdot 0+5\cdot 3+d=0`, tedy `d=-15`. Střecha je rovina `-3y+5z-15=0`. V rovnici chybí x, takže střecha je rovnoběžná s osou x, s okapem; výška tedy na x nezávisí. Vyjádříme z a dosadíme `y=2`:

`z=\dfrac{15+3y}{5}=\dfrac{15+6}{5}=4{,}2`

Střecha je v tom místě 4,2 m nad zemí. Kontrola rozumnosti: střecha stoupá z 3 m u okapu na 6 m ve vzdálenosti 5 m, tedy o 0,6 m na každý metr. Po 2 m je to `3+1{,}2=4{,}2` m, souhlasí.

Časté chyby

• Špatné znaménko u d. Z `2x+y+2z+d=0` a bodu `[1;\ 2;\ 1]` vyjde `6+d=0`, tedy `d=-6`, ne 6. Kontrola dosazením do hotové rovnice tuhle chybu odhalí vždy.
• Vektor roviny místo normálového. Do koeficientů a, b, c patří vektor kolmý k rovině, ne vektor `B-A`, který v ní leží. Ze dvou vektorů roviny je normálový až jejich vektorový součin.
• Chyba ve vektorovém součinu. Prostřední souřadnice je `u_3v_1-u_1v_3`, v tomto pořadí; prohození dá opačné znaménko jen u ní a rovina vyjde špatně. Proto vždy ověřte `\vec{n}\cdot\vec{u}=0` a `\vec{n}\cdot\vec{v}=0`.
• Tři body na jedné přímce. Vektorový součin vyjde nulový a rovnice `0=0` žádnou rovinu nepopisuje. Takové zadání rovinu neurčuje.
• Obecná rovnice přímky v prostoru. V prostoru je `ax+by+cz+d=0` vždy rovina. Přímka v prostoru jednu obecnou rovnici nemá, zadává se parametricky nebo jako průsečnice dvou rovin, viz Parametrické vyjádření přímky v prostoru.
• Výsledek vypadá jinak než v učebnici. Rovnice `x-2y-z+1=0` a `-6x+12y+6z-6=0` jsou stejná rovina. Než začnete hledat chybu, zkuste jednu rovnici vydělit tak, aby koeficienty souhlasily.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačka rovnice roviny ze tří bodů: obecná i parametrická rovnice, normálový vektor a zkouška.
• Kalkulačka vektorového součinu a procvičování skalárního součinu, na kterém stojí kolmost.
• Vzájemná poloha dvou rovin, odchylka dvou rovin a vzdálenost bodu od roviny: kalkulačky, které berou obecnou rovnici nebo normálový vektor.
• Články Parametrické vyjádření roviny, Vektorový součin, Vzájemná poloha rovin a Metrické úlohy v prostoru.