Vektorový součin

Vektorový součin dvou vektorů u a v v prostoru je nový vektor `\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}`, který je kolmý na oba původní vektory. Spočítá se po souřadnicích takto:

`\begin{gathered}\vec{u}\times\vec{v}=(w_1;w_2;w_3)\\ w_1=u_2v_3-u_3v_2\\ w_2=u_3v_1-u_1v_3\\ w_3=u_1v_2-u_2v_1\end{gathered}`

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku, který vektory u a v určují: `|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\varphi`, kde `\varphi` je úhel mezi nimi. Směr výsledku určuje pravidlo pravé ruky.

Vektorový součin se proto používá na tři věci: najít vektor kolmý ke dvěma vektorům (typicky normálový vektor roviny), spočítat obsah rovnoběžníku nebo trojúhelníku v prostoru a poznat, že jsou dva vektory rovnoběžné.

Pozor na název: „součin vektorů“ může znamenat dvě různé věci. Skalární součin dává číslo, vektorový součin dává vektor. Rozdíly shrnuje tabulka níže.

Vzorec pro vektorový součin

Pro vektory `\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)` a `\vec{v}=(v_1;v_2;v_3)` má vektorový součin `\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}` souřadnice

`w_1=u_2v_3-u_3v_2`
`w_2=u_3v_1-u_1v_3`
`w_3=u_1v_2-u_2v_1`

Vektorový součin je definován jen pro vektory v trojrozměrném prostoru. Vektory v rovině se do prostoru doplní třetí souřadnicí 0 (příklad 4).

Jak si vzorec zapamatovat

Souřadnice obou vektorů napište pod sebe dvakrát za sebou a škrtněte první a poslední sloupec. Zbudou čtyři sloupce:

`\begin{array}{cccc} u_2 & u_3 & u_1 & u_2 \\ v_2 & v_3 & v_1 & v_2 \end{array}`

Každá souřadnice výsledku je „křížek“ ze dvou sousedních sloupců: součin po hlavní úhlopříčce minus součin po vedlejší. Z prvního a druhého sloupce vyjde `w_1=u_2v_3-u_3v_2`, z druhého a třetího `w_2=u_3v_1-u_1v_3`, ze třetího a čtvrtého `w_3=u_1v_2-u_2v_1`. Díky tomu se nemusíte učit, u které souřadnice je jaké znaménko.

Na vysoké škole se tentýž vzorec zapisuje jako determinant s jednotkovými vektory `\vec{i},\vec{j},\vec{k}` v prvním řádku a rozvíjí se podle tohoto řádku. Výsledek je stejný:

`\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}`

Příklad 1

Jsou dány vektory `\vec{a}=(1;3;-1)` a `\vec{b}=(2;4;5)`. Určete jejich vektorový součin.

Dosadíme do vzorce, souřadnici po souřadnici:

`w_1=3\cdot 5-(-1)\cdot 4=15+4=19`
`w_2=(-1)\cdot 2-1\cdot 5=-2-5=-7`
`w_3=1\cdot 4-3\cdot 2=4-6=-2`
`\vec{a}\times\vec{b}=(19;-7;-2)`

Zkouška: výsledek musí být kolmý na oba vektory, takže oba skalární součiny musí vyjít nula. `\vec{a}\cdot\vec{w}=19-21+2=0` a `\vec{b}\cdot\vec{w}=38-28-10=0`. Sedí. Tuto kontrolu stojí za to udělat vždy, zabere půl minuty a odhalí skoro každou chybu ve znaménku. Stejný výpočet i se zkouškou udělá kalkulačka vektorového součinu (odkaz má vektory z tohoto příkladu předvyplněné).

Proč je výsledek kolmý a kam míří

Kolmost se dá ověřit obecně. Skalární součin `\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})` je

`\begin{gathered}u_1(u_2v_3-u_3v_2)\\ {}+u_2(u_3v_1-u_1v_3)\\ {}+u_3(u_1v_2-u_2v_1)\end{gathered}`

a po roznásobení se všech šest členů navzájem odečte, takže vyjde 0. Stejně to dopadne s vektorem v. Vektorový součin je tedy kolmý na u i na v, a tím i na celou rovinu, kterou tyto dva vektory určují.

Kolmé směry jsou ale v prostoru pořád dva: „nahoru“ a „dolů“ z roviny. Který z nich vektorový součin vybere, říká pravidlo pravé ruky: prsty pravé ruky stočte od vektoru u k vektoru v (kratší cestou) a vztyčený palec ukazuje směr `\vec{u}\times\vec{v}`. Když pořadí prohodíte, ruka se otočí a palec míří opačně:

`\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})`

Pro jednotkové vektory os platí `\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}`, `\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}` a `\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}`. V opačném pořadí vyjde vždy opačný vektor, například `\vec{j}\times\vec{i}=-\vec{k}`. Proto se souřadnicové osy kreslí „pravotočivě“: osa z míří tam, kam ukazuje palec, když prsty stáčíte od osy x k ose y.

Velikost vektorového součinu a obsah rovnoběžníku

Velikost vektorového součinu je

`|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\varphi`

kde `\varphi\in\langle 0^\circ;180^\circ\rangle` je úhel vektorů. Přesně tolik měří obsah rovnoběžníku se stranami u a v: strana `|\vec{u}|` je základna a výška na ni je `|\vec{v}|\cdot\sin\varphi`, jak ukazuje obrázek. Trojúhelník ABD je přesně polovina rovnoběžníku, takže pro obsah trojúhelníku stačí výsledek vydělit dvěma.

`S_{\text{rovnoběžníku}}=|\vec{u}\times\vec{v}|`
`S_{\text{trojúhelníku}}=\dfrac{1}{2}\,|\vec{u}\times\vec{v}|`

Úhel přitom znát nemusíte. Stačí vektorový součin spočítat po souřadnicích a určit jeho velikost. Pro kontrolu se hodí vztah, který spojuje oba součiny a nepotřebuje žádnou odmocninu:

`|\vec{u}\times\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2\cdot|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2`

Příklad 2

Určete obsah rovnoběžníku ABCD, jsou-li dány vrcholy `A[2;3;-5]`, `B[4;1;4]` a `D[-8;-2;-3]`.

Strany rovnoběžníku vycházející z vrcholu A jsou AB a AD (vektor ze dvou bodů je koncový bod minus počáteční):

`\vec{u}=B-A=(2;-2;9)`
`\vec{v}=D-A=(-10;-5;2)`

`w_1=(-2)\cdot 2-9\cdot(-5)=-4+45=41`
`w_2=9\cdot(-10)-2\cdot 2=-90-4=-94`
`w_3=2\cdot(-5)-(-2)\cdot(-10)=-30`

`S=\sqrt{41^2+(-94)^2+(-30)^2}`
`S=\sqrt{1681+8836+900}`
`S=\sqrt{11417}\doteq 106{,}85`

Kontrola: `|\vec{u}|^2=4+4+81=89`, `|\vec{v}|^2=100+25+4=129` a `\vec{u}\cdot\vec{v}=-20+10+18=8`. Podle vztahu výše `89\cdot 129-8^2=11\,481-64=11\,417`, stejné číslo pod odmocninou. Kdo chce jít přes úhel, dostane `\cos\varphi=\frac{8}{\sqrt{89}\cdot\sqrt{129}}\doteq 0{,}0747`, tedy `\varphi\doteq 85^\circ 43'`, a `\sqrt{89}\cdot\sqrt{129}\cdot\sin\varphi` dá zase 106,85. Je to ale delší cesta a zaokrouhlování úhlu do ní vnáší chybu.

Čtvrtý vrchol ke zadání potřeba nebyl. Kdybyste ho chtěli, je `C=B+D-A=[-6;-4;6]`.

Příklad 3

Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC s vrcholy `A[1;3;1]`, `B[4;1;3]`, `C[1;4;-1]`.

Dvě strany z vrcholu A jsou `\vec{u}=B-A=(3;-2;2)` a `\vec{v}=C-A=(0;1;-2)`. Jejich vektorový součin:

`w_1=(-2)\cdot(-2)-2\cdot 1=4-2=2`
`w_2=2\cdot 0-3\cdot(-2)=0+6=6`
`w_3=3\cdot 1-(-2)\cdot 0=3`

`|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{4+36+9}=\sqrt{49}=7`
`S_{ABC}=\dfrac{7}{2}=3{,}5`

Kontrola odhadem: obsah trojúhelníku nemůže být větší než `\frac{1}{2}|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|=\frac{1}{2}\sqrt{17}\cdot\sqrt{5}\doteq 4{,}61`, to by byl pravý úhel. 3,5 je méně, výsledek je věrohodný.

Příklad 4: trojúhelník v rovině

Vypočtěte obsah trojúhelníku `A[-1;-1]`, `B[2;0]`, `C[1;3]`.

Vektory `\vec{u}=B-A=(3;1)` a `\vec{v}=C-A=(2;4)` leží v rovině. Doplníme je třetí souřadnicí 0, tedy `(3;1;0)` a `(2;4;0)`, a vynásobíme:

`w_1=1\cdot 0-0\cdot 4=0`
`w_2=0\cdot 2-3\cdot 0=0`
`w_3=3\cdot 4-1\cdot 2=10`
`\vec{u}\times\vec{v}=(0;0;10)`
`S_{ABC}=\dfrac{10}{2}=5`

První dvě souřadnice vyjdou u vektorů v rovině vždy nulové (výsledek je kolmý na rovinu xy), takže pro rovinu stačí zkrácený vzorec `S=\frac{1}{2}|u_1v_2-u_2v_1|`.

Kontrola jinou cestou: trojúhelník se vejde do obdélníku 3 × 4 s obsahem 12. Odečtou se tři pravoúhlé trojúhelníky kolem něj, s obsahy 1,5, 1,5 a 4, a zbyde `12-7=5`.

Kolmý vektor ke dvěma vektorům a normála roviny

Nejčastější použití ve škole: hledáte vektor kolmý ke dvěma daným vektorům. Vektorový součin ho dá rovnou. Každý jeho nenulový násobek je kolmý také, takže výsledek můžete klidně zkrátit nebo vynásobit `-1`.

Tak se hledá normálový vektor roviny zadané třemi body nebo bodem a dvěma směrovými vektory, a z něj obecná rovnice roviny.

Příklad 5

Napište obecnou rovnici roviny procházející body `A[1;0;2]`, `B[3;1;0]`, `C[0;2;1]`.

Směrové vektory roviny jsou `\vec{u}=B-A=(2;1;-2)` a `\vec{v}=C-A=(-1;2;-1)`. Normálový vektor je jejich vektorový součin:

`n_1=1\cdot(-1)-(-2)\cdot 2=-1+4=3`
`n_2=(-2)\cdot(-1)-2\cdot(-1)=2+2=4`
`n_3=2\cdot 2-1\cdot(-1)=4+1=5`

Rovnice má tedy tvar `3x+4y+5z+d=0`. Po dosazení bodu A: `3+0+10+d=0`, takže `d=-13`.

`\rho:\ 3x+4y+5z-13=0`

Zkouška: bod B dává `9+4+0-13=0`, bod C dává `0+8+5-13=0`. Všechny tři body v rovině leží.

Rovnoběžné vektory: vektorový součin je nulový

Když jsou vektory rovnoběžné, svírají úhel 0° nebo 180° a `\sin\varphi=0`. Rovnoběžník se „zplácne“ do úsečky a jeho obsah je nula. Platí to i obráceně:

`\vec{u}\times\vec{v}=\vec{o}\iff \vec{u},\vec{v}\ \text{jsou rovnoběžné}`

Například pro `(2;-4;6)` a `(-1;2;-3)` vyjde `w_1=(-4)(-3)-6\cdot 2=0`, `w_2=6\cdot(-1)-2\cdot(-3)=0` a `w_3=2\cdot 2-(-4)(-1)=0`. Vektory jsou rovnoběžné, první je `(-2)`-násobkem druhého. Když naopak vyjde nulový skalární součin, jsou vektory kolmé. Obojí najednou ověří kalkulačka kolmosti a rovnoběžnosti vektorů.

Vlastnosti vektorového součinu

Poslední řádek znamená, že u tří vektorů záleží na závorkách. Zápis `\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w}` bez závorek nemá smysl.

Vektorový a skalární součin: rozdíly

Úhel mezi vektory se počítá ze skalárního součinu, ne z vektorového. Sinus totiž nerozliší ostrý a tupý úhel: `\sin 60^\circ=\sin 120^\circ`. Kosinus je na intervalu `\langle 0^\circ;180^\circ\rangle` jednoznačný. Výpočet i s převodem na stupně a minuty udělá kalkulačka úhlu dvou vektorů.

Smíšený součin a objem

Vektorový součin dvou vektorů lze ještě skalárně vynásobit třetím. Tomu se říká smíšený součin a jeho absolutní hodnota je objem rovnoběžnostěnu, který tři vektory určují. Čtyřstěn s týmiž hranami má šestinu tohoto objemu.

`V=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|`

S vektory z příkladu 5 a třetím vektorem `\vec{w}=(1;1;1)` vyjde `(3;4;5)\cdot(1;1;1)=12`. Rovnoběžnostěn má objem 12, čtyřstěn `12:6=2`. Když smíšený součin vyjde nula, leží všechny tři vektory v jedné rovině. Počítá to kalkulačka smíšeného součinu.

Vektorový součin ve fyzice

Ve fyzice se vektorový součin objevuje všude, kde se něco otáčí. Moment síly je `\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}`, kde `\vec{r}` vede od osy otáčení k místu, kde síla působí. Když za klíč dlouhý 0,3 m táhnete silou 50 N kolmo na něj, tedy `\vec{r}=(0{,}3;0;0)\ \mathrm{m}` a `\vec{F}=(0;50;0)\ \mathrm{N}`, vyjde `\vec{M}=(0;0;15)\ \mathrm{N\cdot m}`. Velikost 15 N·m je známé „síla krát rameno“ a vektor míří podél osy šroubu. Stejně vzniká magnetická síla na pohybující se náboj, `\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}`.

Časté chyby

• Prohozené pořadí. `\vec{v}\times\vec{u}` je opačný vektor k `\vec{u}\times\vec{v}`. Pro obsah nebo kolmost to nevadí, pro směr (třeba normálu mířící „ven“) ano.
• Znaménko u prostřední souřadnice. Správně je `w_2=u_3v_1-u_1v_3`. Kdo ji napíše „podle pořadí indexů“ jako `u_1v_3-u_3v_1`, má prostřední souřadnici s opačným znaménkem. Schéma se čtyřmi sloupci výše tuto chybu nedovolí a zkouška skalárním součinem ji odhalí.
• Úhlopříčka místo strany. V rovnoběžníku ABCD jsou strany z vrcholu A vektory AB a AD. Vektor AC je úhlopříčka. U trojúhelníku ABC se naopak berou AB a AC.
• Zapomenutá polovina. Velikost vektorového součinu je obsah rovnoběžníku. Trojúhelník má obsah poloviční.
• Obsah jako vektor. Vektorový součin je vektor, obsah je jeho velikost. „Obsah je `(2;6;3)`“ je nesmysl, obsah je `\sqrt{49}=7`.
• Kolmost ověřená vektorovým součinem. Kolmé vektory mají nulový skalární součin. Nulový vektorový součin znamená rovnoběžnost, tedy něco úplně jiného.

Příklady k procvičení

Kam dál

Vektory z vlastního zadání si spočítáte v kalkulačce vektorového součinu. Ukáže souřadnice po krocích, velikost, obsah rovnoběžníku i trojúhelníku a zkoušku kolmosti. Objem ze tří vektorů spočítá kalkulačka smíšeného součinu a ostatní výpočty s vektory najdete v přehledu kalkulaček pro vektory. Skalární součin, bez kterého se zkouška kolmosti neobejde, si procvičíte v procvičování skalárního součinu, sčítání a odčítání vektorů v procvičování počítání s vektory.

Souvisí s tím články Skalární součin, Sčítání, odčítání a násobení vektorů a Obecná rovnice roviny. Základy souřadnic vektorů shrnuje článek Analytická geometrie - Vektory.