Jak už jste si mohli přečíst v úvodu tohoto článku, výsledkem vektorového součinu je třetí vektor, který je kolmý na oba předešlé vektory.
Vektorový součin vektorů u, v se značí: u × v.
a × b = (a2b3-a3b2; a3b1-a1b3; a1b2-a2b1)
Jsou dány vektory a=(1;3;-1), b=(2;4;5). Určete jejich vektorový součin.
Je to vlastně jenom dosazení do vzorce:
a × b = (3*5-(-1)*4;(-1)*2-1*5;1*4-3*2) a × b = (19;-7;-2)
Význam vektorového součinu
Kromě toho, že pomocí vektorového součinu určíte vektor kolmý na oba původní vektory (čehož využijeme například přu určování obecné rovnice roviny), můžeme také spočítat obsah rovnoběžníku daného původními vektory:
Obsah rovnoběžníku ABCD z předchozího obrázku by se spočítal jako velikost vektorového součinu:
S=|u × v|
Určete obsah rovnoběžníku ABCD, jsou-li dány body A[2;3;-5], B[4;1;4], C[-8;-2;-3].
Nejprve určíme vektory u, v a pak vektorový součin z:
u=B-A u=(2;-2;9) v=C-A v=(-10;-5;2) z = u × v z = (-4+45;-90-4;-10-20) z = (41;-94;-30)
Obsah se vypočítá jako velikost vektorového součinu, tedy:
S=√(z12+z22+z32) S=√(412+(-942)+(-302)) S=√11417 S ≈ 106.8
Tento výsledek si můžeme relativně lehce ověřit vypočítáním pomocí standardního vzorečku pro výpočet obsahu rovnoběžníku:
S=a*va
My stranu a můžeme určit jako velikost vektoru u, ale výšku musíme dopočítat.
Jak jste mohli vidět na předchozím obrázku, výška rovnoběžníku se spočítá jako |v|*sin(α). Takže musíme určit velikosti vektorů u, v a úhel který svírají:
|u|2 = 4+4+81 |u| ≈ 9.4 |v|2 = 100+25+4 |v| ≈ 11.3 cos α = (u*v)/(|u|*|v|) cos α = (-20+10+18)/(9.4*11.3) cos α = 8/106.22 α = 85°40'
Nyní, když máme všechny hodnoty vypočítané, můžeme je dosadit do vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku:
S=|u|*|v|*sin α S=9.4*11.4*sin(85°40') S ≈ 106.91
Z toho plyne: |a × b| = |a|*|b|*sin(α).
Vypočtěte obsah trojúhelníka A[1;3;1], B[4;1;3], C[1;4;-1].
Nastala trochu jiná situace. Vektorovým součinem dokážeme spočítat obsah rovnoběžníku, ale nyní musíme spočítat obsah trojúhelníku. Naštěstí pro nás to není těžký příklad. Pokud totiž složíme dva trojúhelníky ze zadání vedle sebe, vznikne rovnoběžník.
Pokud tedy spočítáme obsah rovnoběžníku daného vektory u, v a vydělíme ho dvěma, získáme obsah trojúhelníku ABC.
u=B-A u=(3;-2;2) v=C-A v=(0;1;-2) z = u × v z=(4-2;6;3) z=(2;6;3) S=√(22+62+32) S=√49 S=7
Obsah rovnoběžníku ABCD je 7. My ale potřebujeme pouze obsah trojúhelníku ABC.
SABC=S/2 SABC = 3.5
Vektorový součin lze sice aplikovat pouze na vektoru ve prostoru, ale stejně můžeme zjistit obsah rovnoběžníku/trojúhelníku v rovině.
Vypočítejte obsah trojúhelníku A[-1;-1], B[2;0], C[1;3].
u=B-A u=(3;1) v=C-A v=(2;4)
Schází z-ová souřadnice. Jenomže to není problém, protože stačí jako třetí souřadnici dosadit 0.
z = u × v z = (0;0;12-2) z = (0;0;10) SABCD = 10 SABC = 10/2 = 5
Podobná operace vektorovému součinu je Skalární součin.
je rovna: