Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů je číslo, které dostaneme tak, že vynásobíme odpovídající souřadnice a výsledky sečteme. V rovině má dva členy, v prostoru tři:

`\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2 \\[6pt] \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3\end{gathered}`

Třeba pro `\vec{u}=(2;\ 3)` a `\vec{v}=(4;\ {-1})` je `\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 4+3\cdot(-1)=8-3=5`. Výsledkem není vektor, ale obyčejné číslo, v matematice a fyzice se mu říká skalár. Odtud název skalární součin.

Skalární součin se počítá hlavně kvůli úhlu. Pro úhel `\varphi` mezi vektory platí `\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`, a když skalární součin vyjde nula, jsou vektory na sebe kolmé. Obojí rozebíráme níže i s řešenými příklady, včetně velikosti vektoru a hledání kolmého vektoru.

Skalární součin vektorů - vzorec

Pro vektory `\vec{u}=(u_1;\ u_2)` a `\vec{v}=(v_1;\ v_2)` v rovině je skalární součin `\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2`. V prostoru přibude třetí člen `u_3 v_3`. První souřadnice se násobí s první, druhá s druhou a třetí se třetí, nic se nekříží. Značí se tečkou, `\vec{u}\cdot\vec{v}`. Tečku nevynechávejte, zápis `\vec{u}\vec{v}` se nepoužívá.

Příklad 1

Vypočítejte skalární součin vektorů `\vec{u}=(-3;\ 5)` a `\vec{v}=(4;\ 2)`.

`\vec{u}\cdot\vec{v}=(-3)\cdot 4+5\cdot 2=-12+10=-2`

Skalární součin může vyjít záporný. Znaménko má svůj význam: záporné číslo říká, že vektory svírají tupý úhel (viz níže).

Příklad 2

Vypočítejte skalární součin vektorů `\vec{u}=(2;\ 4;\ {-2})` a `\vec{v}=(6;\ 2;\ 10)` v prostoru.

`\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 6+4\cdot 2+(-2)\cdot 10 \\[6pt] \vec{u}\cdot\vec{v}=12+8-20=0\end{gathered}`

Výsledek je nula, vektory jsou tedy na sebe kolmé, ačkoli to z jejich souřadnic na první pohled vidět není. Vlastní zadání spočítá kalkulačka skalárního součinu, v rovině stačí třetí souřadnici nechat nulovou.

Co skalární součin znamená

Skalární součin má i druhý, geometrický vzorec. Pro nenulové vektory, které svírají úhel `\varphi`, platí:

`\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\varphi`

Výraz `|\vec{v}|\cdot\cos\varphi` je délka průmětu vektoru `\vec{v}` do směru vektoru `\vec{u}`. Skalární součin tedy říká, kolik z jednoho vektoru „míří stejným směrem“ jako druhý, vynásobeno délkou toho druhého.

Protože velikosti vektorů jsou kladné, znaménko skalárního součinu je stejné jako znaménko `\cos\varphi`. Z toho plyne pravidlo, které se hodí na kontrolu každého výpočtu úhlu:

• `\vec{u}\cdot\vec{v}\gt 0`: vektory svírají ostrý úhel,
• `\vec{u}\cdot\vec{v}=0`: vektory jsou kolmé,
• `\vec{u}\cdot\vec{v}\lt 0`: vektory svírají tupý úhel.

Proč oba vzorce dávají totéž. Vektory `\vec{u}`, `\vec{v}` a `\vec{u}-\vec{v}` tvoří trojúhelník a podle kosinové věty je `|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\varphi`. Když levou stranu rozepíšeme po souřadnicích, vyjde:

`\begin{aligned}|\vec{u}-\vec{v}|^2&=(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2\\[6pt]&=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2(u_1 v_1+u_2 v_2)\end{aligned}`

Porovnáním obou vyjádření dostaneme `u_1 v_1+u_2 v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\varphi`.

Velikost vektoru - vzorec

Skalární součin vektoru se sebou samým je součet druhých mocnin jeho souřadnic, tedy druhá mocnina jeho velikosti. Velikost vektoru je proto odmocnina z `\vec{u}\cdot\vec{u}`:

`|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}`

V rovině člen `u_3^2` vynecháme. Je to Pythagorova věta, souřadnice jsou odvěsny a velikost přepona. Podrobněji, i s obrázkem, je velikost vektoru vysvětlená v článku Vektory.

Příklad 3

Určete velikost vektoru `\vec{u}=(2;\ {-6};\ 3)` a jednotkový vektor stejného směru.

`\begin{aligned}|\vec{u}|&=\sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}\\[6pt]&=\sqrt{4+36+9}=\sqrt{49}=7\end{aligned}`

Vektor o velikosti 1 se nazývá jednotkový. Dostaneme ho, když každou souřadnici vydělíme velikostí: `\vec{u}_0=\left(\frac{2}{7};\ {-\frac{6}{7}};\ \frac{3}{7}\right)`. Kontrola: `\frac{4+36+9}{49}=1`. Oba výpočty udělá kalkulačka velikost vektoru.

Úhel mezi vektory

Z geometrického vzorce vyjádříme kosinus. Úhel dvou nenulových vektorů (v učebnicích také odchylka vektorů) se pak spočítá takto:

`\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`

Postup je vždy stejný: skalární součin do čitatele, součin velikostí do jmenovatele, a úhel z kosinu dopočítá kalkulačka tlačítkem `\cos^{-1}` (přepnutá na stupně). Úhel vektorů leží v intervalu `\langle 0^\circ;\ 180^\circ\rangle`, takže záporný kosinus je v pořádku a znamená tupý úhel.

Příklad 4

Jsou dány body `A[1;\ 1]`, `B[3;\ 0]` a `C[0;\ 3]`. Vypočtěte velikost úhlu `\alpha=|\angle BAC|`.

Úhel u vrcholu `A` svírají vektory, které z bodu `A` vycházejí:

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(2;\ {-1}) \\[10pt] \vec{v}=C-A=(-1;\ 2) \\[10pt] \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2=-4 \\[10pt] |\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5} \\[10pt] |\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \\[10pt] \cos\alpha=\dfrac{-4}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=-\dfrac{4}{5} \\[10pt] \alpha\doteq 143^\circ 08'\end{gathered}`

Kontrola: skalární součin je záporný, úhel musí být tupý, a na obrázku je. Stejně spočítáme úhly u vrcholů `B` a `C`, oba vyjdou `18^\circ 26'` a součet všech tří je `180^\circ`. Pozor na vektory: u vrcholu `B` jsou to `A-B` a `C-B`, oba musí vycházet z `B`.

Příklad 5

Vypočtěte úhel vektorů `\vec{u}=(1;\ 5;\ 6)` a `\vec{v}=(7;\ 8;\ 1)` v prostoru.

`\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 7+5\cdot 8+6\cdot 1=53 \\[10pt] |\vec{u}|=\sqrt{1+25+36}=\sqrt{62} \\[10pt] |\vec{v}|=\sqrt{49+64+1}=\sqrt{114} \\[10pt] \cos\varphi=\dfrac{53}{\sqrt{62}\cdot\sqrt{114}}\doteq 0{,}6304 \\[10pt] \varphi\doteq 50^\circ 55'\end{gathered}`

Kladný skalární součin, ostrý úhel, souhlasí. Vlastní vektory spočítá kalkulačka úhel dvou vektorů, i v radiánech.

Úhel vektorů není totéž co odchylka přímek. Přímka nemá orientaci, její odchylka leží jen v intervalu `\langle 0^\circ;\ 90^\circ\rangle`, a proto se u přímek do čitatele píše absolutní hodnota skalárního součinu. Kdyby v příkladu 4 šlo o přímky `AB` a `AC`, jejich odchylka by byla `180^\circ-143^\circ 08'=36^\circ 52'`.

Kolmé vektory a kolmý vektor

Dva nenulové vektory jsou kolmé právě tehdy, když je jejich skalární součin roven nule:

`\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0`

V rovině najdeme kolmý vektor k `\vec{u}=(u_1;\ u_2)` tak, že prohodíme souřadnice a u jedné z nich změníme znaménko:

`\vec{v}=(-u_2;\ u_1)\quad\text{nebo}\quad \vec{w}=(u_2;\ {-u}_1)`

Skalární součin je pak `-u_1 u_2+u_2 u_1=0`. Oba mají stejnou velikost jako `\vec{u}` a navzájem míří opačně. Kolmý je i každý jejich nenulový násobek, takže kolmých vektorů je nekonečně mnoho, všechny ale leží na jedné přímce. Tak vzniká normálový vektor v obecné rovnici přímky.

V prostoru je kolmých směrů mnohem víc: všechny vektory kolmé k `\vec{u}` vyplní celou rovinu. Jeden z nich najdeme stejným trikem, jen jednu souřadnici nahradíme nulou. K vektoru `\vec{u}=(2;\ {-1};\ 3)` je kolmý třeba `(1;\ 2;\ 0)`, protože `2-2+0=0`, nebo `(3;\ 0;\ {-2})`, protože `6+0-6=0`. Vektor kolmý ke dvěma vektorům zároveň dává vektorový součin.

Příklad 6

Pro jaké číslo `t` jsou vektory `\vec{u}=(t;\ 3;\ {-2})` a `\vec{v}=(2;\ t;\ 5)` kolmé?

`\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}=2t+3t-10=5t-10 \\[6pt] 5t-10=0\ \Rightarrow\ t=2\end{gathered}`

Zkouška: `(2;\ 3;\ {-2})\cdot(2;\ 2;\ 5)=4+6-10=0`. Jestli jsou dva konkrétní vektory kolmé, nebo rovnoběžné, ověří kalkulačka kolmost a rovnoběžnost vektorů.

Vlastnosti skalárního součinu

Pro libovolné vektory `\vec{u},\ \vec{v},\ \vec{w}` a reálné číslo `k` platí:

• `\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}` (na pořadí nezáleží, součin je komutativní),
• `(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})`,
• `\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}` (závorky se roznásobují jako u čísel),
• `\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\ge 0`, a nula vyjde jen pro nulový vektor.

Něco ale neplatí. Ze `\vec{u}\cdot\vec{v}=0` neplyne, že je jeden z vektorů nulový (příklad 2), a ze `\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}` neplyne `\vec{v}=\vec{w}`, vektorem se krátit nedá. A zápis `\vec{u}\cdot\vec{v}\cdot\vec{w}` bez závorek je nejednoznačný: `(\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{w}` je násobek vektoru `\vec{w}`, kdežto `\vec{u}\,(\vec{v}\cdot\vec{w})` násobek vektoru `\vec{u}`, a to jsou obecně dva různé vektory.

Skalární součin ve fyzice: práce

Mechanická práce je skalární součin síly a posunutí, `W=\vec{F}\cdot\vec{s}=F\cdot s\cdot\cos\alpha`. Proto práci koná jen ta část síly, která míří ve směru pohybu, a síla kolmá k pohybu nekoná práci žádnou.

Příklad 7

Dítě táhne sáňky po vodorovné cestě 20 m daleko silou 100 N. Provaz svírá s cestou úhel 30°. Jakou práci vykoná?

`\begin{gathered}W=F\cdot s\cdot\cos\alpha=100\cdot 20\cdot\cos 30^\circ \\[6pt] W\doteq 100\cdot 20\cdot 0{,}866\doteq 1\,732\ \mathrm{J}\end{gathered}`

Totéž po souřadnicích: síla se rozloží na `\vec{F}\doteq(86{,}6;\ 50)\ \mathrm{N}` (jak, ukazuje článek o vektorech), posunutí je `\vec{s}=(20;\ 0)\ \mathrm{m}` a `\vec{F}\cdot\vec{s}\doteq 86{,}6\cdot 20+50\cdot 0=1\,732\ \mathrm{J}`. Svislá složka síly sáňky jen nadlehčuje a k práci nepřispívá nic. Kontrola: kdyby dítě táhlo vodorovně, bylo by to `100\cdot 20=2\,000\ \mathrm{J}`, šikmým tahem musí vyjít méně. Pro sílu přímo ve směru pohybu stačí kalkulačka výpočet práce.

Časté chyby

• Výsledek zapsaný jako vektor. `(2;\ 3)\cdot(4;\ {-1})` není `(8;\ {-3})`, ale `8-3=5`. Skalární součin je vždy jedno číslo.
• Chybějící závorka u záporné souřadnice. Ve velikosti vektoru je `(-6)^2=36`, kdežto `-6^2=-36` a pod odmocninou by vyšel nesmysl.
• Vektory z vrcholu špatným směrem. Úhel u vrcholu `A` svírají `B-A` a `C-A`. Vezmete-li `A-B` a `C-A`, vyjde doplněk do `180^\circ`: v příkladu 4 by to bylo `36^\circ 52'` místo `143^\circ 08'`.
• Absolutní hodnota tam, kam nepatří. U úhlu vektorů zůstává záporný kosinus záporný. Absolutní hodnotu v čitateli mají jen odchylky přímek a rovin.
• Kalkulačka v radiánech. `\cos^{-1}(-0{,}8)` vrátí `2{,}498`, pokud není přepnutá na stupně. Číslo jako 2,498 místo 143° prozradí, že je potřeba přepnout.
• Zapomenutá třetí souřadnice. V prostoru má skalární součin tři členy a velikost tři druhé mocniny pod odmocninou.

Příklady k procvičení

Skalární součin v rovině si můžete rychle procvičit i v procvičování skalárního součinu, kde se každá odpověď hned vyhodnotí.

Kam dál

Skalární součin si procvičíte v procvičování skalárního součinu a sčítání a násobení vektorů v procvičování počítání s vektory. Vlastní zadání spočítají kalkulačky skalární součin, úhel dvou vektorů, velikost vektoru a kolmost a rovnoběžnost, ostatní jsou v přehledu kalkulaček pro vektory.

Před tímto článkem se hodí Vektory a Sčítání, odčítání a násobení vektorů, po něm Vektorový součin. Skalární součin se dál používá v článcích Odchylka přímek a Metrické úlohy v prostoru.