Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Skalární součin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 76 586

Naučíme se počítat skalární součin, určit délku vektoru, najít kolmý vektor a spoustu dalších věcí.


Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.

Velikost vektoru

Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem |\vec{u}|. 

|AB|\ =\ \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\\\vec{u}\ =\ (b_1-a_1;\ b_2-a_2;\ b_3-a_3)\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{u_1^2;\ u_2^2;\ u_3^2}

Pokud má vektor \vec{u} velikost 1, nazýváme tento vektor jednotkovým.

Je dán vektor \vec{u}\ =\ (2;\ -6;\ 3). Určete velikost tohoto vektoru:

|\vec{u}|\ =\ \sqrt{u_1^2;\ u_2^2;\ u_3^2}\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{4+36+9}\\|\vec{u}|\ =\ 7

Skalární součin

Skalární součin vektorů \vec{u}, \vec{v} budeme značit jako \vec{u}\cdot\vec{v}. Jestliže máme vektor \vec{u}=(u_1;\ u_2), \vec{v}=(v_1;\ v_2) spočítá se skalární součin jako:

\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ u_1\cdot v_1\ +\ u_2\cdot v_2

Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen \ldots\ +\ u_3\cdot v_3.

Vypočítejte skalární součin vektorů \vec{u}\ =\ (2;\ 4;\ -2), \vec{v}\ =\ (6;\ 2;\ 10):

\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 2\cdot6+4\cdot2+(-2)\cdot10\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 12+8-20\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 0

Výsledek je 0.

Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory \vec{v},\ \vec{u},\ \vec{w},\ \vec{z} a číslo x z množiny reálných čísel platí:

  • \vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ \vec{v}\cdot\vec{u}
  • (x\cdot\vec{u})\cdot\vec{v}\ =\ x\cdot(\vec{u}\cdot\vec{v})
  • \vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})\ =\ \vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}
  • (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{w}+\vec{z}) \ =\ \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{z}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{z}

Odchylka dvou vektorů

Pokud počítáme odchylku vektorů \vec{u},\ \vec{v}, mohou nastat tři případy:

Vektory

V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.

Pokud máme vektory \vec{u},\ \vec{v} a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O a vektor \vec{u} bude ležet na kladné poloose x a vektor \vec{v} bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y.

Vektor

Vektor \vec{u} má souřadnice \vec{u}\ =\ (|\vec{u}|;\ 0). Vypočítat souřadnice vektoru \vec{v} je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:

\vec{v}\ =\ (|\vec{v}|\cdot\cos\alpha;\ |\vec{v}|\cdot\sin\alpha)

Nyní musí platit:

\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha\ +\ 0\cdot|\vec{v}|\sin\alpha\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha

Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu \alpha:

\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]. Vypočtěte velikost úhlu \alpha\ =\ |\angle BAC|:

Vektor

Posuneme vektor \vec{u}, tak aby kopíroval osu x:

Vektor

Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:

\vec{u}\ =\ B-A\ =\ (2;\ -1)\\\vec{v}\ =\ C-A\ =\ (-1;\ 2)\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{2^2+(-1)^2}\ =\ \sqrt{5}\\|\vec{v}|\ =\ \sqrt{-1^2+2^2}\ =\ \sqrt{5}\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 2\cdot(-1)+(-1)\cdot2\ =\ -4\\\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\\cos\alpha\ =\ \frac{-4}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = -\frac{4}{5}\\\fbox{\alpha\ =\ 143^{\circ}7'}

Kolmý vektor

Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.

Máme-li vektor \vec{u}\ =\ (u_1;\ u_2), tak kolmé vektory jsou:

  1. \vec{v}\ =\ (-u_2;\ u_1)
  2. \vec{w}\ =\ (u_2;\ -u_1)
Vektory

Procvičování

1) Vypočítejte skalární součin vektorů \vec{u}\ =\ (3;\ 4;\ -5),\ \vec{v}\ =\ (1;\ 2;\ 3).

\vec{u}\cdot\vec{v}\ = 3\cdot1+4\cdot2+(-5)\cdot3\ =\ -4

2) Vypočítejte skalární součin vektorů \vec{u},\ \vec{v}, když |\vec{u}|\ =\ 4,\ |\vec{v}|\ =\ 1 a vzájemný úhel je \alpha\ =\ 90^{\circ}.

\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ \cos\alpha\cdot|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 0\cdot4\cdot1\ =\ 0

3) Vypočítejte úhel vektorů u=(1,5,6), v=(7,8,1).

|\vec{u}|\ =\ \sqrt{1^2+5^2+6^2}\ =\ \sqrt{1+25+36}\\ |\vec{u}|\ =\ \sqrt{62}\\ |\vec{v}|\ =\ \sqrt{7^2+8^2+1^2}\ =\ \sqrt{49+64+1}\\ |\vec{v}|\ =\ \sqrt{114}\\ u\cdot\vec{v}\ =\ 1\cdot7+5\cdot8+6\cdot1\\ u\cdot\vec{v}\ =\ 53\\ \cos\alpha\ =\  \frac{u\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\ \cos\alpha\ =\  \frac{53}{\sqrt{62}\cdot\sqrt{114}}\\\fbox{\alpha\ =\ 51^{\circ}}

4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru \vec{u}\ =\ (1;\ 2).

\vec{v}\ =\ (2;\ -1), popř. \vec{w}\ =\ (-2;\ 1)

Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Vektorový součin).

Test

Vypočtěte \int_0^1\frac{x}{(x^2+1)^2}\mathrm{d}x


Hlavolam

Dvě věže mají každá svůj vlastní výtah, ale mají sdílenou šachtu. Pokud jede jeden výtah nahoru, druhý nemůže jet dolů a naopak. Jakým způsobem lze zajistit, aby oba výtahy fungovaly bez čekání?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček