Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Skalární součin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 80 074

Naučíme se počítat skalární součin, určit délku vektoru, najít kolmý vektor a spoustu dalších věcí.


Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.

Velikost vektoru

Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem |\vec{u}|. 

|AB|\ =\ \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\\\vec{u}\ =\ (b_1-a_1;\ b_2-a_2;\ b_3-a_3)\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{u_1^2;\ u_2^2;\ u_3^2}

Pokud má vektor \vec{u} velikost 1, nazýváme tento vektor jednotkovým.

Je dán vektor \vec{u}\ =\ (2;\ -6;\ 3). Určete velikost tohoto vektoru:

|\vec{u}|\ =\ \sqrt{u_1^2;\ u_2^2;\ u_3^2}\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{4+36+9}\\|\vec{u}|\ =\ 7

Skalární součin

Skalární součin vektorů \vec{u}, \vec{v} budeme značit jako \vec{u}\cdot\vec{v}. Jestliže máme vektor \vec{u}=(u_1;\ u_2), \vec{v}=(v_1;\ v_2) spočítá se skalární součin jako:

\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ u_1\cdot v_1\ +\ u_2\cdot v_2

Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen \ldots\ +\ u_3\cdot v_3.

Vypočítejte skalární součin vektorů \vec{u}\ =\ (2;\ 4;\ -2), \vec{v}\ =\ (6;\ 2;\ 10):

\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 2\cdot6+4\cdot2+(-2)\cdot10\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 12+8-20\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 0

Výsledek je 0.

Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory \vec{v},\ \vec{u},\ \vec{w},\ \vec{z} a číslo x z množiny reálných čísel platí:

  • \vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ \vec{v}\cdot\vec{u}
  • (x\cdot\vec{u})\cdot\vec{v}\ =\ x\cdot(\vec{u}\cdot\vec{v})
  • \vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})\ =\ \vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}
  • (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{w}+\vec{z}) \ =\ \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{z}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{z}

Odchylka dvou vektorů

Pokud počítáme odchylku vektorů \vec{u},\ \vec{v}, mohou nastat tři případy:

Vektory

V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.

Pokud máme vektory \vec{u},\ \vec{v} a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O a vektor \vec{u} bude ležet na kladné poloose x a vektor \vec{v} bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y.

Vektor

Vektor \vec{u} má souřadnice \vec{u}\ =\ (|\vec{u}|;\ 0). Vypočítat souřadnice vektoru \vec{v} je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:

\vec{v}\ =\ (|\vec{v}|\cdot\cos\alpha;\ |\vec{v}|\cdot\sin\alpha)

Nyní musí platit:

\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha\ +\ 0\cdot|\vec{v}|\sin\alpha\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha

Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu \alpha:

\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]. Vypočtěte velikost úhlu \alpha\ =\ |\angle BAC|:

Vektor

Posuneme vektor \vec{u}, tak aby kopíroval osu x:

Vektor

Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:

\vec{u}\ =\ B-A\ =\ (2;\ -1)\\\vec{v}\ =\ C-A\ =\ (-1;\ 2)\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{2^2+(-1)^2}\ =\ \sqrt{5}\\|\vec{v}|\ =\ \sqrt{-1^2+2^2}\ =\ \sqrt{5}\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 2\cdot(-1)+(-1)\cdot2\ =\ -4\\\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\\cos\alpha\ =\ \frac{-4}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = -\frac{4}{5}\\\fbox{\alpha\ =\ 143^{\circ}7'}

Kolmý vektor

Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.

Máme-li vektor \vec{u}\ =\ (u_1;\ u_2), tak kolmé vektory jsou:

  1. \vec{v}\ =\ (-u_2;\ u_1)
  2. \vec{w}\ =\ (u_2;\ -u_1)
Vektory

Procvičování

1) Vypočítejte skalární součin vektorů \vec{u}\ =\ (3;\ 4;\ -5),\ \vec{v}\ =\ (1;\ 2;\ 3).

\vec{u}\cdot\vec{v}\ = 3\cdot1+4\cdot2+(-5)\cdot3\ =\ -4

2) Vypočítejte skalární součin vektorů \vec{u},\ \vec{v}, když |\vec{u}|\ =\ 4,\ |\vec{v}|\ =\ 1 a vzájemný úhel je \alpha\ =\ 90^{\circ}.

\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ \cos\alpha\cdot|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 0\cdot4\cdot1\ =\ 0

3) Vypočítejte úhel vektorů u=(1,5,6), v=(7,8,1).

|\vec{u}|\ =\ \sqrt{1^2+5^2+6^2}\ =\ \sqrt{1+25+36}\\ |\vec{u}|\ =\ \sqrt{62}\\ |\vec{v}|\ =\ \sqrt{7^2+8^2+1^2}\ =\ \sqrt{49+64+1}\\ |\vec{v}|\ =\ \sqrt{114}\\ u\cdot\vec{v}\ =\ 1\cdot7+5\cdot8+6\cdot1\\ u\cdot\vec{v}\ =\ 53\\ \cos\alpha\ =\  \frac{u\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\ \cos\alpha\ =\  \frac{53}{\sqrt{62}\cdot\sqrt{114}}\\\fbox{\alpha\ =\ 51^{\circ}}

4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru \vec{u}\ =\ (1;\ 2).

\vec{v}\ =\ (2;\ -1), popř. \vec{w}\ =\ (-2;\ 1)

Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Vektorový součin).

Test

Jsou dány vektory \vec{u}=(1; -2), \vec{v}=(3; 1) a \vec{w}=(-\frac{3}{2}; 2). Najděte vektor \vec{s}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.


Hlavolam

Dva závodní automobily se účastní závodu na okruhu. Jeden automobil je schopen projet celý okruh za 60 sekund, zatímco druhý za 80 sekund. Jak dlouho potrvá, než se opět setkají na startovní čáře?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2026 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček