Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.

Velikost vektoru

Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem `|\vec{u}|`. 

`|AB|\ =\ \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\\\vec{u}\ =\ (b_1-a_1;\ b_2-a_2;\ b_3-a_3)\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{u_1^2;\ u_2^2;\ u_3^2}`

Pokud má vektor `\vec{u}` velikost 1, nazýváme tento vektor jednotkovým.

Je dán vektor `\vec{u}\ =\ (2;\ -6;\ 3)`. Určete velikost tohoto vektoru:

`|\vec{u}|\ =\ \sqrt{u_1^2;\ u_2^2;\ u_3^2}\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{4+36+9}\\|\vec{u}|\ =\ 7`

Skalární součin

Skalární součin vektorů `\vec{u}, \vec{v}` budeme značit jako `\vec{u}\cdot\vec{v}`. Jestliže máme vektor `\vec{u}=(u_1;\ u_2)`, `\vec{v}=(v_1;\ v_2)` spočítá se skalární součin jako:

`\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ u_1\cdot v_1\ +\ u_2\cdot v_2`

Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen `\ldots\ +\ u_3\cdot v_3`.

Vypočítejte skalární součin vektorů `\vec{u}\ =\ (2;\ 4;\ -2)`, `\vec{v}\ =\ (6;\ 2;\ 10)`:

`\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 2\cdot6+4\cdot2+(-2)\cdot10\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 12+8-20\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 0`

Výsledek je 0.

Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory `\vec{v},\ \vec{u},\ \vec{w},\ \vec{z}` a číslo x z množiny reálných čísel platí:

  • `\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ \vec{v}\cdot\vec{u}`
  • `(x\cdot\vec{u})\cdot\vec{v}\ =\ x\cdot(\vec{u}\cdot\vec{v})`
  • `\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})\ =\ \vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}`
  • `(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{w}+\vec{z}) \ =\ \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{z}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{z}`

Odchylka dvou vektorů

Pokud počítáme odchylku vektorů `\vec{u},\ \vec{v}`, mohou nastat tři případy:

Vektory

V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.

Pokud máme vektory `\vec{u},\ \vec{v}` a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O a vektor `\vec{u}` bude ležet na kladné poloose x a vektor `\vec{v}` bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y.

Vektor

Vektor `\vec{u}` má souřadnice `\vec{u}\ =\ (|\vec{u}|;\ 0)`. Vypočítat souřadnice vektoru `\vec{v}` je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:

`\vec{v}\ =\ (|\vec{v}|\cdot\cos\alpha;\ |\vec{v}|\cdot\sin\alpha)`

Nyní musí platit:

`\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha\ +\ 0\cdot|\vec{v}|\sin\alpha\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha`

Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu `\alpha`:

`\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`

Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]. Vypočtěte velikost úhlu `\alpha\ =\ |\angle BAC|`:

Vektor

Posuneme vektor `\vec{u}`, tak aby kopíroval osu x:

Vektor

Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:

`\vec{u}\ =\ B-A\ =\ (2;\ -1)\\\vec{v}\ =\ C-A\ =\ (-1;\ 2)\\|\vec{u}|\ =\ \sqrt{2^2+(-1)^2}\ =\ \sqrt{5}\\|\vec{v}|\ =\ \sqrt{-1^2+2^2}\ =\ \sqrt{5}\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 2\cdot(-1)+(-1)\cdot2\ =\ -4\\\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\\cos\alpha\ =\ \frac{-4}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = -\frac{4}{5}\\\boxed{\alpha\ =\ 143^{\circ}7'}`

Kolmý vektor

Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.

Máme-li vektor `\vec{u}\ =\ (u_1;\ u_2)`, tak kolmé vektory jsou:

  1. `\vec{v}\ =\ (-u_2;\ u_1)`
  2. `\vec{w}\ =\ (u_2;\ -u_1)`
Vektory

Procvičování

1) Vypočítejte skalární součin vektorů `\vec{u}\ =\ (3;\ 4;\ -5),\ \vec{v}\ =\ (1;\ 2;\ 3)`.

`\vec{u}\cdot\vec{v}\ = 3\cdot1+4\cdot2+(-5)\cdot3\ =\ -4`

2) Vypočítejte skalární součin vektorů `\vec{u},\ \vec{v}`, když `|\vec{u}|\ =\ 4,\ |\vec{v}|\ =\ 1` a vzájemný úhel je `\alpha\ =\ 90^{\circ}`.

`\cos\alpha\ =\ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ \cos\alpha\cdot|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\\\vec{u}\cdot\vec{v}\ =\ 0\cdot4\cdot1\ =\ 0`

3) Vypočítejte úhel vektorů `u=(1,5,6), v=(7,8,1)`.

`|\vec{u}|\ =\ \sqrt{1^2+5^2+6^2}\ =\ \sqrt{1+25+36}\\ |\vec{u}|\ =\ \sqrt{62}\\ |\vec{v}|\ =\ \sqrt{7^2+8^2+1^2}\ =\ \sqrt{49+64+1}\\ |\vec{v}|\ =\ \sqrt{114}\\ u\cdot\vec{v}\ =\ 1\cdot7+5\cdot8+6\cdot1\\ u\cdot\vec{v}\ =\ 53\\ \cos\alpha\ =\  \frac{u\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\\ \cos\alpha\ =\  \frac{53}{\sqrt{62}\cdot\sqrt{114}}\\\boxed{\alpha\ =\ 51^{\circ}}`

4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru `\vec{u}\ =\ (1;\ 2)`.

`\vec{v}\ =\ (2;\ -1)`, popř. `\vec{w}\ =\ (-2;\ 1)`

Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Vektorový součin).