Toto je jeden z mnoha článků zabývajících se analytickou geometrii na tomto portálu. Jejich přehled naleznete v článku Analytická geometrie - Úvod.
Velikost vektoru
Z předchozích článků umíme již určit vzdálenost dvou bodů. Jestliže tedy umíme spočítat velikost úsečky AB, umíme zároveň spočítat velikost vektoru daného body orientovanou úsečkou AB. Velikost vektoru označujeme symbolem .
Pokud má vektor velikost 1
, nazýváme tento vektor jednotkovým.
Je dán vektor . Určete velikost tohoto vektoru:
Skalární součin
Skalární součin vektorů budeme značit jako . Jestliže máme vektor , spočítá se skalární součin jako:
Pokud počítáme v prostoru, přibude samozřejmě další člen .
Vypočítejte skalární součin vektorů , :
Výsledek je 0
.
Skalární součin je komutativní (tj. nezávisí na pořadí operandů) a proto pro každé vektory a číslo
x
z množiny reálných čísel platí:
Odchylka dvou vektorů
Pokud počítáme odchylku vektorů , mohou nastat tři případy:
V prvních dvou nemusíme nic počítat, odchylka je jasná, ale v třetím případě již budeme muset počítat. A právě proto jsme si definovali skalární součin.
Pokud máme vektory a umístíme je tak, že oba budou mít počáteční bod v počátku O
a vektor bude ležet na kladné poloose x
a vektor bude ležet v kladné polorovině, která obsahuje kladnou část osy y
.
Vektor má souřadnice . Vypočítat souřadnice vektoru je sice těžší, nicméně zas taková překážka to není. Využijeme znalostí o pravoúhlém trojúhelníku:
Nyní musí platit:
Z tohoto vztahu již lehce určíme velikost úhlu :
Jsou dány body A[1; 1], B[3; 0] a C[0; 3]
. Vypočtěte velikost úhlu :
Posuneme vektor , tak aby kopíroval osu x:
Tento krok byl sice zbytečný, ale procvičování je důležité. Nyní už přistoupíme k samotnému výpočtu:
Kolmý vektor
Ke každému vektoru v rovině existují dva kolmé vektory. Jeden v polorovině nad vektorem a druhý v polorovině pod vektorem. Kolmý vektor získáme prohozením souřadnic vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice.
Máme-li vektor , tak kolmé vektory jsou:
Procvičování
1) Vypočítejte skalární součin vektorů .
2) Vypočítejte skalární součin vektorů , když a vzájemný úhel je .
3) Vypočítejte úhel vektorů .
4) Nalezněte kolmý vektor k vektoru .
, popř.
Příště si vysvětlíme vektorový součin (přejít na článek Vektorový součin).