Analytická geometrie - Parametrické vyjádření roviny

Parametrické vyjádření roviny popisuje rovinu jedním jejím bodem A a dvěma vektory `\vec{u}` a `\vec{v}`, které v rovině leží a nejsou rovnoběžné. Každý bod X roviny dostanete tak, že k bodu A přičtete t-násobek vektoru `\vec{u}` a s-násobek vektoru `\vec{v}`. Proti přímce je tu tedy jeden parametr navíc: t a s volíte nezávisle na sobě.

`\begin{aligned}\rho:\ X&=A+t\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v},\quad t,s\in\mathbb{R} \\[4pt] x&=a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1 \\[4pt] y&=a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2 \\[4pt] z&=a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{aligned}`

Například rovina bodem `A[1;\ 0;\ 2]` s vektory `\vec{u}=(2;\ 1;\ {-2})` a `\vec{v}=(-1;\ 2;\ {-1})` má parametrickou rovnici `x=1+2t-s`, `y=t+2s`, `z=2-2t-s`. Pro `t=0,\ s=0` dostanete bod A, pro `t=1,\ s=0` bod `[3;\ 1;\ 0]`, pro `t=0,\ s=1` bod `[0;\ 2;\ 1]` a pro `t=2,\ s=1` bod `[4;\ 4;\ {-3}]`. Každá dvojice čísel t, s dá jeden bod roviny, jako souřadnice na šikmé síti z obrázku.

Níže najdete, jak rovnici sestavit ze tří bodů nebo z bodu a přímky, jak ověřit, zda bod v rovině leží, jak dopočítat chybějící souřadnici bodu a jak převést parametrické vyjádření na obecnou rovnici a zpět. Parametrický zápis přímky, na kterém to celé stojí, vysvětlují články Parametrické vyjádření přímky a Parametrické vyjádření přímky v prostoru.

Proč dva parametry a dva vektory

Parametrická rovnice obecně znamená, že souřadnice bodů vyjádříte pomocí čísel, která můžete volně měnit, parametrů. Přímka je jednorozměrná, stačí jí jeden parametr: z bodu A se pohybujete jen tam a zpět po jednom směru. Rovina je dvourozměrná, potřebuje dva: po vektoru `\vec{u}` dojdete t kroků, po vektoru `\vec{v}` dalších s kroků a takto se dostanete do kteréhokoli bodu roviny.

Oba vektory proto musí ukazovat různými směry. Je-li `\vec{v}` násobkem `\vec{u}`, například `\vec{u}=(1;\ 2;\ 3)` a `\vec{v}=(-2;\ {-4};\ {-6})`, vedou oba kroky po téže přímce a rovnice popisuje jen přímku, ne rovinu. Takovým vektorům se říká kolineární. Nulový vektor nepoužijte vůbec, žádný směr neurčuje.

Stejně jako u přímky není parametrické vyjádření roviny jediné. Za A lze vzít kterýkoli bod roviny a za vektory kterékoli dva nekolineární vektory, které v ní leží. Jedna rovina má tedy nekonečně mnoho parametrických rovnic, a dvě na pohled různé rovnice mohou popisovat tutéž rovinu. Zda to tak je, nejsnáze poznáte z obecné rovnice, viz převod níže.

Parametrická rovnice roviny ze tří bodů

Tři body, které neleží na jedné přímce, určují právě jednu rovinu. Jeden z nich vezmete jako A a vektory dostanete jako rozdíly bodů, „konec minus začátek“:

`\vec{u}=B-A,\quad \vec{v}=C-A`

Příklad 1

Napište parametrické vyjádření roviny `\rho=ABC`, kde `A[1;\ 2;\ {-1}]`, `B[3;\ 1;\ 1]` a `C[-1;\ 1;\ 0]`.

`\begin{aligned}\vec{u}&=B-A=(3-1;\ 1-2;\ 1+1) \\ &=(2;\ {-1};\ 2) \\[8pt] \vec{v}&=C-A=(-1-1;\ 1-2;\ 0+1) \\ &=(-2;\ {-1};\ 1)\end{aligned}`

Vektory nejsou násobky jeden druhého (u první souřadnice by koeficient byl `-1`, u druhé `1`), body tedy neleží na přímce a rovina existuje. Za bod dosadíme A:

`\begin{aligned}\rho:\ x&=1+2t-2s \\[4pt] y&=2-t-s \\[4pt] z&=-1+2t+s,\quad t,s\in\mathbb{R}\end{aligned}`

Kontrola: pro `t=1,\ s=0` vyjde `[3;\ 1;\ 1]`, tedy B, a pro `t=0,\ s=1` vyjde `[-1;\ 1;\ 0]`, tedy C. Rovina prochází všemi třemi body. Kdybyste za výchozí bod vzali C a vektory nechali, dostali byste `x=-1+2t-2s`, `y=1-t-s`, `z=2t+s`. To je jiný zápis téže roviny.

Totéž, i s obecnou rovnicí a normálovým vektorem, spočítá kalkulačka rovnice roviny ze tří bodů, už vyplněná body z tohoto příkladu. Rozdíly bodů si můžete zopakovat v článku Vektory.

Rovina daná bodem a přímkou nebo dvěma přímkami

Rovina nemusí být zadaná třemi body. Vždy ale stačí najít jeden její bod a dva nekolineární vektory, které v ní leží. Přímku p s bodem P a směrovým vektorem `\vec{w}` zapisujeme `p(P,\ \vec{w})`.

U rovnoběžek nestačí vzít oba směrové vektory, protože jsou kolineární. Druhý vektor proto vede z bodu jedné přímky do bodu druhé. Mimoběžky žádnou rovinu neurčují, neleží v jedné rovině; jak je poznat, ukazuje článek Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou.

Příklad 2

Napište parametrické vyjádření roviny ρ, která je dána bodem `A[1;\ 1;\ 3]` a přímkou `p(P,\ \vec{w})`, kde `P[3;\ {-1};\ {-7}]` a `\vec{w}=(1;\ 1;\ 1)`.

Nejdřív ověříme, že A na přímce neleží, jinak by rovina nebyla určena jednoznačně. Z rovnice `x=3+t=1` plyne `t=-2`, pak by ale `y=-1-2=-3`, a ne 1. Bod na přímce neleží. Druhý vektor vede z A do P:

`P-A=(2;\ {-2};\ {-10})`

Všechny souřadnice jsou sudé, vydělíme dvěma a vezmeme `\vec{v}=(1;\ {-1};\ {-5})`. Za vektor `\vec{u}` poslouží `\vec{w}`:

`\begin{aligned}\rho:\ x&=1+t+s \\[4pt] y&=1+t-s \\[4pt] z&=3+t-5s,\quad t,s\in\mathbb{R}\end{aligned}`

Kontrola: pro `t=0,\ s=2` vyjde `[3;\ {-1};\ {-7}]`, tedy P. Kdybyste vektor nezkrátili, dostali byste P pro `s=1`; rovina by byla stejná.

Leží bod v rovině?

Bod leží v rovině právě tehdy, když existuje jedna dvojice t, s, pro kterou platí všechny tři rovnice najednou. Postup:

1. Dosaďte souřadnice bodu za x, y, z. Vzniknou tři rovnice o dvou neznámých t, s.
2. Dvě z nich vyřešte jako soustavu.
3. Nalezená t a s dosaďte do třetí rovnice. Platí-li, bod v rovině leží. Neplatí-li, neleží.

Příklad 3

Leží body `X[-1;\ {-1};\ 3]` a `Y[3;\ 0;\ 2]` v rovině ABC z příkladu 1?

Pro bod X:

`\begin{aligned}-1&=1+2t-2s \\[4pt] -1&=2-t-s \\[4pt] 3&=-1+2t+s\end{aligned}`

Z první rovnice `t-s=-1`, z druhé `t+s=3`. Sečtením dostaneme `2t=2`, tedy `t=1` a `s=2`. Třetí rovnice: `-1+2\cdot 1+2=3`. Platí, bod X v rovině leží, a to pro `t=1,\ s=2`.

Pro bod Y dají první dvě rovnice `2t-2s=2` a `t+s=2`, tedy `t=\frac{3}{2}` a `s=\frac{1}{2}`. Třetí rovnice by pak dala `z=-1+3+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}`, bod Y má ale `z=2`. Bod Y v rovině neleží, i když první dvě rovnice šly vyřešit bez potíží. Proto se třetí rovnice nikdy nevynechává.

Příklad 4

Leží bod `M[3;\ 0;\ 1]` v rovině ρ z příkladu 2?

`\begin{aligned}3&=1+t+s \\[4pt] 0&=1+t-s \\[4pt] 1&=3+t-5s\end{aligned}`

Z prvních dvou rovnic `t+s=2` a `t-s=-1`, tedy `t=\frac{1}{2}`, `s=\frac{3}{2}`. Do třetí: `3+\frac{1}{2}-\frac{15}{2}=-4`, a ne 1. Bod M v rovině ρ neleží.

Někdy se dvě rovnice nedají vyřešit, protože v nich t a s vystupují ve stejném poměru, nebo v jedné z nich chybí úplně. Pak vezměte jinou dvojici rovnic. Rovnice, ve které parametry nejsou vůbec (třeba `y=1`), rozhoduje sama: bod s jiným y v rovině být nemůže.

Jak dopočítat chybějící souřadnici bodu

Častá úloha: známe dvě souřadnice bodu a třetí máme určit tak, aby bod ležel v rovině. Postup je stejný jako výše, jen třetí rovnice neslouží ke kontrole, ale k výpočtu.

Příklad 5

Určete souřadnici z bodu `D[3;\ {-2};\ z]` tak, aby ležel v rovině dané body `A[4;\ {-1};\ 2]`, `B[5;\ 2;\ 0]` a `C[0;\ 1;\ {-4}]`.

`\begin{aligned}\vec{u}&=B-A=(1;\ 3;\ {-2}) \\[4pt] \vec{v}&=C-A=(-4;\ 2;\ {-6})\end{aligned}`

Rovina je `x=4+t-4s`, `y=-1+3t+2s`, `z=2-2t-6s`. Dosadíme `x=3` a `y=-2`:

`\begin{aligned}3&=4+t-4s\ \Rightarrow\ t-4s=-1 \\[4pt] -2&=-1+3t+2s\ \Rightarrow\ 3t+2s=-1\end{aligned}`

Z první rovnice `t=4s-1`, po dosazení do druhé `12s-3+2s=-1`, tedy `s=\frac{1}{7}` a `t=-\frac{3}{7}`. Třetí souřadnice:

`\begin{aligned}z&=2-2\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right)-6\cdot\dfrac{1}{7} \\[8pt] &=2+\dfrac{6}{7}-\dfrac{6}{7}=2\end{aligned}`

Bod je `D[3;\ {-2};\ 2]`. Kontrola přes obecnou rovnici této roviny `-x+y+z+3=0`: `-3-2+2+3=0`. Sedí.

Pozor na rovinu, ve které jedna souřadnice na parametrech nezávisí. Rovina bodů `[1;\ 1;\ 0]`, `[3;\ 1;\ {-1}]` a `[-1;\ 1;\ 2]` má vektory `(2;\ 0;\ {-1})` a `(-2;\ 0;\ 2)`, takže v ní platí `y=1` pro všechna t a s. Je to rovina rovnoběžná se souřadnicovou rovinou xz. Hledáte-li z bodu `[2;\ 1;\ z]`, vyhoví každé reálné číslo, protože každý bod s `y=1` v té rovině leží. Pro bod `[2;\ 3;\ z]` naopak nevyhoví žádné.

Z parametrického vyjádření na obecnou rovnici

Obecná rovnice roviny má tvar `ax+by+cz+d=0`, kde `\vec{n}=(a;\ b;\ c)` je normálový vektor, kolmý k rovině. Je kolmý k oběma vektorům `\vec{u}` a `\vec{v}`, a takový vektor dává vektorový součin. Pro rovinu z příkladu 1:

`\begin{aligned}\vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v}=(2;\ {-1};\ 2)\times(-2;\ {-1};\ 1) \\[8pt] n_1&=(-1)\cdot 1-2\cdot(-1)=1 \\[4pt] n_2&=2\cdot(-2)-2\cdot 1=-6 \\[4pt] n_3&=2\cdot(-1)-(-1)\cdot(-2)=-4 \\[8pt] \vec{n}&=(1;\ {-6};\ {-4})\end{aligned}`

Rovnice tedy je `x-6y-4z+d=0`. Číslo d dopočítáme dosazením bodu `A[1;\ 2;\ {-1}]`: `1-12+4+d=0`, takže `d=7`.

`\rho:\ x-6y-4z+7=0`

Kontrola bodem `B[3;\ 1;\ 1]`: `3-6-4+7=0`. A obecná rovnice hned potvrdí i příklad 3: bod `X[-1;\ {-1};\ 3]` dá `-1+6-12+7=0`, leží; bod `Y[3;\ 0;\ 2]` dá `3-0-8+7=2`, neleží.

Bez vektorového součinu jde totéž vyloučením parametrů. Rovnice sčítáme tak, aby zmizelo t:

`\begin{aligned}x+2y&=5-4s \\[4pt] z+2y&=3-s\end{aligned}`

Z druhé `s=3-z-2y`, po dosazení do první `x+2y=5-12+4z+8y`, a po úpravě znovu `x-6y-4z+7=0`. Podrobněji o obecné rovnici, normálovém vektoru a dalších příkladech píše článek Obecná rovnice roviny.

Z obecné rovnice na parametrické vyjádření

Opačný převod je ještě jednodušší. Z obecné rovnice vyjádřete jednu proměnnou a za zbylé dvě zvolte parametry.

Příklad 6

Převeďte rovinu `2x-y+3z-6=0` na parametrický tvar.

Nejsnáz se vyjadřuje y, protože má koeficient `-1`: `y=2x+3z-6`. Zvolíme `x=t` a `z=s`:

`\begin{aligned}\rho:\ x&=t \\[4pt] y&=-6+2t+3s \\[4pt] z&=s,\quad t,s\in\mathbb{R}\end{aligned}`

Bod je `A[0;\ {-6};\ 0]` a vektory `\vec{u}=(1;\ 2;\ 0)`, `\vec{v}=(0;\ 3;\ 1)`. Kontrola: oba vektory musí být kolmé k normálovému vektoru `\vec{n}=(2;\ {-1};\ 3)`: `2-2+0=0` a `0-3+3=0`. Bod A dá `0+6+0-6=0`.

Druhá cesta: najděte tři body roviny a postupujte jako v příkladu 1. Nejrychleji se hledají průsečíky s osami, kde jsou dvě souřadnice nulové: `[3;\ 0;\ 0]`, `[0;\ {-6};\ 0]` a `[0;\ 0;\ 2]`. Vyjde jiný zápis, ale tatáž rovina.

Tři souřadnicové roviny mají parametrické vyjádření, které stojí za zapamatování:

Rovnoběžník a trojúhelník

Když parametry omezíte, nedostanete celou rovinu, ale její část. Pro rovinu ABC s vektory `\vec{u}=B-A` a `\vec{v}=C-A`:

• `t,s\in\langle 0;\ 1\rangle` dává rovnoběžník ABDC, jehož čtvrtý vrchol je `D=A+\vec{u}+\vec{v}=B+C-A`.
• `t\ge 0,\ s\ge 0,\ t+s\le 1` dává trojúhelník ABC.

Funguje to jen s vektory přímo z bodů, `B-A` a `C-A`. Jakmile vektor zkrátíte nebo prodloužíte, změní se i meze parametrů, stejně jako u úsečky v parametrickém tvaru.

Časté chyby

• Kolineární vektory. Když `\vec{v}` vyjde násobkem `\vec{u}`, tři zadané body leží na přímce a rovinu neurčují. Zkontrolujte to hned po výpočtu vektorů.
• Jeden parametr pro oba vektory. Zápis `X=A+t\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}` je jen přímka se směrem `\vec{u}+\vec{v}`. Parametry musí být dva a různé.
• Kontrola jen dvou rovnic. Bod Y z příkladu 3 by prošel prvními dvěma, v rovině přesto neleží. Třetí rovnice rozhoduje.
• Vektor obráceně nebo z jiného bodu. Vektor `A-B` místo `B-A` rovinu nezkazí, jen otočí znaménko parametru u tohoto vektoru. Chyba je vzít vektor z bodu, který v rovině neleží.
• Dvě různé rovnice, tedy dvě různé roviny. Neplatí. Převeďte obě na obecnou rovnici: jsou-li to násobky jedna druhé, jde o tutéž rovinu.
• Rovina určená mimoběžkami. Mimoběžky v žádné rovině neleží. Vezmete-li bod jedné a oba směrové vektory, vznikne rovina, která obsahuje jen jednu z nich.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačka rovnice roviny ze tří bodů: obecná i parametrická rovnice, normálový vektor a zkouška.
• Procvičování parametrického vyjádření přímky: dosazení parametru a výpočet bodu.
• Obecná rovnice roviny a Vzájemná poloha rovin, včetně průsečnice.
• Parametrické vyjádření přímky v prostoru a průsečík přímky s rovinou.