Vektor je veličina, která má kromě velikosti i směr: posunutí, síla, rychlost. Kreslí se jako šipka, tedy orientovaná úsečka, a v analytické geometrii se zapisuje souřadnicemi. Vektor z bodu `A` do bodu `B` dostaneme tak, že od souřadnic koncového bodu odečteme souřadnice počátečního bodu, a jeho velikost spočítáme Pythagorovou větou:

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(b_1-a_1;\ b_2-a_2) \\[6pt] |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\end{gathered}`
123456712345A[1; 1]B[5; 4]u1 = 5 − 1 = 4u2 = 4 − 1 = 3|u| = 5

Třeba pro `A[1;\ 1]` a `B[5;\ 4]` je `\vec{u}=(5-1;\ 4-1)=(4;\ 3)` a `|\vec{u}|=\sqrt{16+9}=5`. V prostoru přibude třetí souřadnice a pod odmocninou třetí člen `u_3^2`.

Na pořadí bodů záleží. Vektor `\overrightarrow{BA}=A-B=(-4;\ {-3})` je stejně dlouhý, ale míří opačně.

S vektory se počítá po souřadnicích: sčítají se a odčítají první s první a druhá s druhou a číslem se násobí každá souřadnice zvlášť. Podrobně to probírá článek Sčítání, odčítání a násobení vektorů.

Co je vektor

Ve fyzice se veličiny dělí na skalární a vektorové. Skalár je jen číslo s jednotkou: hmotnost 5 kg, teplota 20 °C, čas 3 s. U vektorové veličiny nestačí říct „kolik“, musí se říct i „kam“: síla 10 N svisle dolů, rychlost 50 km/h na sever, posunutí o 3 m doprava. Tenhle směr i velikost znázorňuje vektor.

Orientovaná úsečka `AB` je úsečka, u které víme, který krajní bod je počáteční (`A`) a který koncový (`B`). Kreslí se jako šipka mířící do `B`. Orientovaná úsečka `BA` je jiná, míří opačně.

Vektor je pak množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou délku, jsou rovnoběžné a míří stejným směrem. Každá z nich je jedno umístění vektoru. Vektor tedy neříká, kde šipka leží, jen o kolik a kterým směrem posouvá. Proto se značí malým písmenem se šipkou, `\vec{u}`, nebo dvojicí bodů `\overrightarrow{AB}`, když chceme říct, které umístění máme na mysli.

12345678912345ABuCDuEFuGH−u

Na obrázku jsou `\overrightarrow{AB}`, `\overrightarrow{CD}` a `\overrightarrow{EF}` tři umístění téhož vektoru `\vec{u}=(3;\ 1)`: každá šipka vede o 3 doprava a o 1 nahoru. Šipka `\overrightarrow{GH}` je stejně dlouhá a rovnoběžná, ale míří opačně, takže je to jiný vektor, opačný vektor `-\vec{u}=(-3;\ {-1})`.

Kdy dvě orientované úsečky určují stejný vektor

Orientované úsečky `AB` a `CD` určují stejný vektor, když jsou stejně dlouhé, rovnoběžné a stejně orientované. Na čtverečkovaném papíře to poznáte od oka, jinak pomůže rovnoběžník: úsečky `AB` a `CD` určují stejný vektor právě tehdy, když je `ABDC` rovnoběžník, a v rovnoběžníku se úhlopříčky `AD` a `BC` navzájem půlí. Stačí tedy porovnat středy úseček `AD` a `BC`.

12345612345ABCDSuu

Pro `A[1;\ 3]`, `B[4;\ 4]`, `C[2;\ 1]`, `D[5;\ 2]` je střed `AD` bod `\left[\frac{1+5}{2};\ \frac{3+2}{2}\right]=[3;\ 2{,}5]` a střed `BC` je `\left[\frac{4+2}{2};\ \frac{4+1}{2}\right]=[3;\ 2{,}5]`. Středy splývají, úsečky určují stejný vektor. Střed úsečky se počítá jako průměr souřadnic, viz Střed úsečky.

Podmínku se středy lze rozepsat po souřadnicích a upravit:

`\begin{gathered}\dfrac{a_1+d_1}{2}=\dfrac{b_1+c_1}{2} \\[10pt] \Longleftrightarrow\quad b_1-a_1=d_1-c_1\end{gathered}`

a stejně pro druhou (v prostoru i třetí) souřadnici. Druhý řádek je přesně `B-A=D-C`: dvě orientované úsečky určují stejný vektor, když mají stejné souřadnice. To je nejrychlejší test a funguje i tehdy, když obě úsečky leží na jedné přímce a „rovnoběžník“ je zploštělý do úsečky, kde se shoda středů od oka špatně posuzuje. Zde `B-A=(3;\ 1)` a `D-C=(3;\ 1)`.

Souřadnice vektoru

Souřadnice vektoru jsou rozdíly souřadnic koncového a počátečního bodu, vždy konec minus začátek:

`\begin{gathered}\vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A \\[6pt] \text{v rovině: } \vec{u}=(b_1-a_1;\ b_2-a_2) \\[6pt] \text{v prostoru: } \vec{u}=(b_1-a_1;\ b_2-a_2;\ b_3-a_3)\end{gathered}`

Body se zapisují do hranatých závorek, `A[1;\ 3]`, vektory do kulatých, `\vec{u}=(4;\ 3)`. Rozlišovat to má smysl: bod říká, kde něco je, vektor, o kolik se posunout. Obráceně, když známe počáteční bod a vektor, koncový bod dostaneme přičtením:

`B=A+\vec{u}`

Příklad 1

V prostoru jsou dány body `A[1;\ 3;\ 7]` a `B[-1;\ 1;\ 2]`. Určete souřadnice vektoru `\vec{u}=B-A`.

`\vec{u}=(-1-1;\ 1-3;\ 2-7)=(-2;\ {-2};\ {-5})`

Kontrola: `A+\vec{u}=[1-2;\ 3-2;\ 7-5]=[-1;\ 1;\ 2]`, což je opravdu bod `B`. Vektor `\overrightarrow{BA}` by vyšel opačný, `(2;\ 2;\ 5)`. Stejné zadání si můžete projít v kalkulačce vektor ze dvou bodů, která navíc spočítá vzdálenost bodů a střed úsečky.

Příklad 2

Je dán bod `A[1;\ 2;\ 3]` a vektor `\vec{u}=(5;\ {-4};\ 2)`. Určete bod `B=A+\vec{u}`.

`B=[1+5;\ 2+(-4);\ 3+2]=[6;\ {-2};\ 5]`

Kontrola: `B-A=(6-1;\ {-2}-2;\ 5-3)` `=(5;\ {-4};\ 2)=\vec{u}`.

Velikost vektoru

Velikost (délka) vektoru je délka kterékoli jeho orientované úsečky. Souřadnice `u_1` a `u_2` jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a vektor je jeho přepona (obrázek nahoře), takže podle Pythagorovy věty:

`\begin{gathered}|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \\[6pt] |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\quad\text{(v prostoru)}\end{gathered}`

Velikost vektoru `\overrightarrow{AB}` je totéž co vzdálenost bodů `A` a `B`, se kterou pracuje článek Analytická geometrie - Úvod.

Příklad 3

Určete velikost vektoru `\vec{u}=(3;\ {-4})` a vektoru z příkladu 1.

`\begin{aligned}|\vec{u}|&=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5\\[10pt]|\overrightarrow{AB}|&=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-5)^2}\\[6pt]&=\sqrt{33}\doteq 5{,}74\end{aligned}`

Pozor na záporné souřadnice: umocňuje se celá souřadnice i se znaménkem, `(-4)^2=16`. Pod odmocninou proto nikdy nic neodečítáte a velikost vektoru nemůže vyjít záporná. Ověřit si to můžete v kalkulačce velikost vektoru.

Vektor o velikosti 1 se nazývá jednotkový. Z libovolného nenulového vektoru ho dostaneme vydělením jeho velikostí: z `(3;\ {-4})` je to `\left(\frac{3}{5};\ {-\frac{4}{5}}\right)=(0{,}6;\ {-0{,}8})`, což umí i kalkulačka jednotkový vektor.

Nulový, opačný a rovnoběžné vektory

  • Nulový vektor `\vec{o}=(0;\ 0)` vzniká z „orientované úsečky“ `AA`, jejíž počáteční a koncový bod splývají. Má velikost 0 a žádný směr.
  • Opačný vektor k `\vec{u}` je `-\vec{u}`: stejná velikost, opačný směr, všechny souřadnice s opačným znaménkem. Platí `\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}`.
  • Rovnoběžné (kolineární) vektory jsou násobky jeden druhého, `\vec{v}=k\cdot\vec{u}`. Například `(6;\ {-2})=2\cdot(3;\ {-1})`. Při `k\gt 0` míří stejně, při `k\lt 0` opačně. Zda jsou dva vektory rovnoběžné nebo kolmé, ověří kalkulačka kolmost a rovnoběžnost vektorů.

Vektory - přehled vzorců

Pro vektory `\vec{u}=(u_1;\ u_2)`, `\vec{v}=(v_1;\ v_2)` a číslo `k`. V prostoru se ke každému vzorci přidá třetí souřadnice stejným způsobem.

Co počítámeVzorec
vektor z bodu `A` do `B``\overrightarrow{AB}=B-A`
koncový bod`B=A+\vec{u}`
velikost vektoru`|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}`
jednotkový vektor`\vec{u}^{\,0}=\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}`
opačný vektor`-\vec{u}=(-u_1;\ {-u_2})`
součet`\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1;\ u_2+v_2)`
rozdíl`\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1;\ u_2-v_2)`
násobek číslem`k\cdot\vec{u}=(k u_1;\ k u_2)`
skalární součin`\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2`
úhel vektorů`\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`
kolmé vektory`\vec{u}\cdot\vec{v}=0`
rovnoběžné vektory`\vec{v}=k\cdot\vec{u}`

Vektorový součin, který existuje jen v prostoru, má vlastní článek Vektorový součin.

Úhel mezi vektory

Úhel dvou nenulových vektorů (v učebnicích také odchylka vektorů) je úhel, který svírají jejich orientované úsečky umístěné do společného počátečního bodu. Počítá se ze skalárního součinu, tedy součtu součinů odpovídajících souřadnic:

`\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}=\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}`

Úhel vektorů leží v intervalu `\langle 0^\circ;\ 180^\circ\rangle`. Kladný skalární součin znamená ostrý úhel, nula pravý úhel (vektory jsou kolmé) a záporný tupý úhel.

123451234Pu = (1; 2)v = (3; 1)φ = 45°

Příklad 4

Určete úhel vektorů `\vec{u}=(1;\ 2)` a `\vec{v}=(3;\ 1)`.

`\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 3+2\cdot 1=5 \\[10pt] |\vec{u}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},\quad |\vec{v}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \\[10pt] \cos\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[10pt] \varphi=45^\circ\end{gathered}`

Kontrola na obrázku: `\vec{u}` svírá s osou `x` úhel asi 63°, `\vec{v}` asi 18°, rozdíl je 45°. Výpočet se dá zopakovat v kalkulačce úhel dvou vektorů. Víc o skalárním součinu a kolmých vektorech je v článku Skalární součin.

Úhel vektorů není totéž co odchylka přímek. Přímky nemají orientaci, a jejich odchylka proto leží jen v intervalu `\langle 0^\circ;\ 90^\circ\rangle`. Když vyjde úhel směrových vektorů tupý, třeba 135°, odchylka přímek je `180^\circ-135^\circ=45^\circ` (viz Odchylka přímek).

Vektory ve fyzice

Síla, rychlost, zrychlení, posunutí nebo intenzita pole jsou vektorové veličiny, a fyzika s nimi počítá stejně jako geometrie. Velikost vektoru je to, co se udává jako „síla 100 N“, a souřadnice jsou složky do zvolených směrů, obvykle vodorovného a svislého. Skládání sil je sčítání vektorů. Opačný postup, rozklad síly na složky, dělá goniometrie.

Příklad 5

Dítě táhne sáňky za provaz silou 100 N. Provaz svírá s vodorovnou rovinou úhel 30°. Jakou silou sáňky táhne dopředu a jakou je nadlehčuje?

30°F = 100 NFx = 86,6 NFy = 50 N

Síla je přepona pravoúhlého trojúhelníku, složky jsou jeho odvěsny:

`\begin{gathered}F_x=F\cdot\cos 30^\circ=100\cdot 0{,}866\doteq 86{,}6\ \mathrm{N} \\[6pt] F_y=F\cdot\sin 30^\circ=100\cdot 0{,}5=50\ \mathrm{N}\end{gathered}`

Dopředu táhne jen asi 86,6 N, zbytek síly sáňky nadzvedává. Kontrola velikostí: `\sqrt{86{,}6^2+50^2}\doteq 100\ \mathrm{N}`. Jak se síly skládají, když na těleso působí dvě najednou, ukazuje článek o sčítání vektorů.

Časté chyby

  • Konec minus začátek, ne naopak. `\overrightarrow{AB}=B-A`, ne `A-B`. Opačné pořadí dá opačný vektor. Kontrola: `A+\overrightarrow{AB}` musí dát bod `B`.
  • Záporná souřadnice na druhou. `(-4)^2=16`, zatímco `-4^2=-16`. Ve vzorci pro velikost se umocňuje celá souřadnice se znaménkem.
  • Velikost součtu není součet velikostí. `|(3;\ 0)+(0;\ 4)|=|(3;\ 4)|=5`, ne `3+4=7`. Rovnost platí jen pro vektory, které míří stejným směrem.
  • Bod a vektor. Bod má hranaté závorky a polohu, vektor kulaté a jen posun. Dva body se nesčítají, bod plus vektor je bod, bod minus bod je vektor.
  • Úhel vektorů a odchylka přímek. Úhel vektorů může být tupý, odchylka přímek nikdy.

Příklady k procvičení

1. Jsou dány body `A[2;\ {-1}]` a `B[5;\ 3]`. Určete souřadnice vektoru `\overrightarrow{AB}` a jeho velikost.

2. Určete velikost vektoru `\vec{u}=(2;\ {-3};\ 6)`.

3. Je dán bod `A[-1;\ 4]` a vektor `\vec{u}=(3;\ {-2})`. Najděte bod `B`, pro který `\overrightarrow{AB}=\vec{u}`, a bod `C`, pro který `\overrightarrow{CA}=\vec{u}`.

4. Určují orientované úsečky `AB` a `CD` stejný vektor? `A[1;\ 1]`, `B[4;\ 3]`, `C[-2;\ 0]`, `D[1;\ 2]`.

5. Určete úhel vektorů `\vec{u}=(1;\ 3)` a `\vec{v}=(-2;\ {-1})`.

6. Letadlo letí vůči vzduchu přímo na sever rychlostí 200 km/h. Vítr fouká od západu na východ rychlostí 50 km/h. Jak rychle se letadlo pohybuje vůči zemi a o jaký úhel ho vítr odchýlí od severu?

Kam dál

Sčítání, odčítání a násobení vektorů číslem si procvičíte v procvičování počítání s vektory. Vlastní zadání spočítají kalkulačky vektor ze dvou bodů, velikost vektoru a úhel dvou vektorů, všechny ostatní jsou v přehledu kalkulaček pro vektory.

Na tento článek navazují Sčítání, odčítání a násobení vektorů, Skalární součin a Vektorový součin. S vektorem jako směrem přímky pracuje parametrické vyjádření přímky.