Analytická geometrie - Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi

Pokud máme dvě přímky p a q, mohou nastat čtyři situace:

• rovnoběžné - žádný společný bod
• totožné - nekonečně mnoho společných bodů
• různoběžné - jeden společný bod
• mimoběžné (tato situace nás nemusí zajímat, protože pracujeme zatím pouze v rovině)- žádný společný bod

V tomto článku pracujeme s přímkou danou parametrickou rovnicí (přejít na článek Parametrické vyjádření přímky)

Dvě přímky jsou totožné právě tehdy, když směrový vektor je násobkem vektoru a bod B leží na přímce p.

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když směrový vektor je násobkem vektoru a bod B neleží na přímce p. Ale dost bylo teorie, nejlepší je procvičit si vše na příkladech.

Rozhodněte, zda přímky p a q jsou totožné, rovnoběžné nebo různoběžné.

Přímka p je zadána a přímka q je zadána:

Nejprve otestujeme zda jsou přímky rovnoběžné, tj. vektor je násobkem vektoru :

Jestliže nám jako v tomto případě vyjde, že vektor je násobkem vektoru ještě nevíme jistě, zda jsou přímky rovnoběžné, protože ještě můžou být totožné. Proto musíme otestovat, zda bod Q leží a přímce p. Aby na ni mohl ležet, musel by vektor Q-P být směrovým vektorem přímky p.

Vektor není směrovým vektorem přímky p a proto nejsou přímky q, p totožné.

Zkusíme si stejný příklad s jiným zadáním. Přímka p má směrový vektor a leží na ní bod . Přímka q má směrový vektor a leží na ní bod .

Budeme postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Otestujeme tedy jestli je vektor násobkem .

Vektor není násobkem vektoru takže přímky jsou různoběžné.

Do třetice všeho dobrého a zlého si zkusíme spočítat ještě jeden podobný příklad. Přímka p má směrový vektor a je určena bodem . Přímka q má směrový vektor a je určena bodem .

Přímky jsou tedy asi rovnoběžné, musíme otestovat zda nejsou totožné.

Vektor je směrovým vektorem přímky p, takže jsou přímky totožné.

Průsečík přímek

Už umíme určit zda jsou přímky rovnoběžné, různoběžné nebo totožné, ale stále neumíme počítat průsečík různoběžných přímek. Průsečík přímek se spočítá na základě jejich parametrických rovnic.

Máme přímky a , kde . Určete souřadnice jejich průsečíku.

Přímky jsou různoběžné, ale pokud bychom toto nevěděli, museli bychom testovat, zda vektor není násobkem vektoru . Nejprve musíme určit parametrické rovnic obou přímek:

pro přímku p:

pro přímku q:

Abychom získali jejich průsečík, musíme dát obě parametrické rovnice do rovnice. Vznikne tak soustava dvou rovnic o dvou neznámých:

Pokud tuto soustavu spočítáme, dostaneme výsledek: a když dosadíme parametr s do parametrické rovnice přímky p, dostaneme souřadnice průsečíku: . Stejný výsledek bychom samozřejmě dostali, kdybychom dosadili parametr t do parametrické rovnice přímky q.

1) Napište parametrickou rovnici přímky z procházející bodem a průsečíkem přímek a , kde .

Nejprve musíme samozřejmě spočítat průsečík přímek p, q. Určíme tedy jejich parametrické rovnice:

pro přímku p:

pro přímku q:

Dáme jejich parametrické rovnice do rovnice:

Dosadíme hodnotu proměnné t do parametrické rovnice přímky p:

Nyní, když máme vypočtený bod X můžeme určit parametrickou rovnic přímky z:

přímka z:

2) V trojúhelníku najděte těžiště jako průsečík dvou těžnic.

Nejprve musíme nalézt body M, N, středy stran BC, AC:

Abychom nalezli těžiště, musíme určit parametrické rovnice těžnic ta, tb.

pro těžnici ta:

pro těžnici tb:

Dáme-li obě parametrické rovnice do jedné soustavy rovnic o dvou neznámých, získáme souřadnice těžiště:

Vyřešením této soustavy dostaneme výsledek . Dosazením parametru t do parametrické rovnice těžnice ta, dostaneme souřadnice těžiště