Vy bystě již měli umět parametrické vyjádření přímky v rovině. V prostoru je to velmi podobné. Podobně jako v rovině se přímka určuje buď dvěma body, nebo bodem a vektorem. Tento vektor se nazývá směrový vektor.
X=A+u*t
Toto je parametrická rovnice přímky. Proměnné X, A představují body, u je směrový vektor přímky a t je parametr.
Napište parametrickou rovnici přímky p dané body A[-3;8;-3], B[1;2;-1].
Směrový vektor je u=B-A, tedy:
u=B-A u=(4;-6;2)
Parametrická rovnice je tedy:
X=A+u*t x1 = -3 + 4t x2 = 8 - 6t x3 = -3 + 2t
Určete, zda se na přímce z následujícího příkladu nachází bod X[1;2;-1]. Aby na té přímce ležel, muselo by platit:
1 = -3 + 4t 2 = 8 - 6t -1 = -3 + 2t
Vypočtením všech tří rovnic dojdeme k výsledku, že parametr t = 1. Proto bod X leží na přímce p.
Procvičování
Parametrické vyjádření přímky v prostoru je velmi jednoduché a proto můžeme přijít od teorie k příkladům.
1) Určete čísla p, q, tak aby bod C[p;q;1 ležel na přímce A[0;1;0], B[3;2;-1].
u=B-A u=(3;1;-1) X=A+u*t x = 3t y = 1 + t z = -t
Nyní dosadíme za souřadnice bodu X souřadnice bodu C:
p = 3t q = 1 + t 1 = -t
Z poslední rovnice vidíte, že t = -1. Dosazením této hodnoty do předchozích rovnic dostaneme:
t=1 p=-3 q=0
2) Najděte parametrické vyjádření těžnic trojúhelníku A[1;1;3], B[2;0;-1], C[1;3;2].
Body M, N, O budou středy stran AB, BC, AC. Na výpočet souřadnic těchto bodů použijeme známý vzorec pro střed úsečky:
M=[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2; (a3+b3)/2] M=[1.5;0.5;1] N=[1.5;1.5;0.5] O=[1;2;2.5]
Nyní stačí napsat parametrické rovnice přímek.
Těžnice ta: u=A-N u=(-0.5;-0.5;2.5) X=A+u*t x = 1 - 0.5t y = 1 - 0.5t z = 3 + 2.5t Těžnice tb: v=B-O v=(1;-2;-3.5) X=B+v*t x = 2 + t y = - 2t z = -1 - 3.5t Těžnice tc: w=C-M w=(-0.5;2.5;1) X=C+w*t x = 1 - 0.5t y = 3 + 2.5t z = 2 + t
