Analytická geometrie - Parametrické vyjádření přímky v prostoru

Parametrická rovnice přímky v prostoru má stejný tvar jako v rovině: přímku popíšete jedním jejím bodem A a směrovým vektorem `\vec{u}`, tedy nenulovým vektorem ve směru přímky. Každý bod X přímky dostanete tak, že k bodu A přičtete t-násobek vektoru `\vec{u}`. Rozdíl proti rovině je jediný: bod i vektor mají tři souřadnice, takže místo dvou rovnic máte tři.

`\begin{gathered}p:\ X=A+t\cdot\vec{u},\quad t\in\mathbb{R} \\[6pt] x=a_1+t\cdot u_1 \\[6pt] y=a_2+t\cdot u_2 \\[6pt] z=a_3+t\cdot u_3\end{gathered}`

Například přímka bodem `A[1;\ 2;\ 3]` se směrovým vektorem `\vec{u}=(2;\ 1;\ {-1})` má parametrické vyjádření `x=1+2t,\ y=2+t,\ z=3-t`. Pro `t=0` dostanete bod A, pro `t=1` bod `[3;\ 3;\ 2]`, pro `t=2` bod `[5;\ 4;\ 1]` a pro `t=-1` bod `[-1;\ 1;\ 4]`. Každé reálné t dá jeden bod přímky a každý bod přímky patří k právě jednomu t.

Níže najdete, jak rovnici sestavit ze dvou bodů, jak ověřit, zda bod leží na přímce, kde přímka protíná souřadnicové roviny, proč v prostoru nemá přímka obecnou rovnici a jak převést dvě obecné rovnice rovin na parametrickou, jak poznat mimoběžky a jak spočítat vzdálenost bodu od přímky. Parametrický zápis v rovině podrobně vysvětluje článek Parametrické vyjádření přímky; tady stavíme na něm.

Směrový vektor přímky

Směrový vektor je jakýkoli nenulový vektor, který leží na přímce nebo je s ní rovnoběžný. Známe-li dva různé body přímky A a B, je jedním z nich vektor `\vec{u}=B-A`, tedy „konec minus začátek“:

`\vec{u}=B-A=(b_1-a_1;\ b_2-a_2;\ b_3-a_3)`

Směrový vektor není jediný. Každý jeho nenulový násobek určuje stejný směr, takže `(4;\ {-6};\ 2)`, `(2;\ {-3};\ 1)` i `(-2;\ 3;\ {-1})` jsou směrové vektory téže přímky. Vyplatí se vektor zkrátit na co nejmenší celá čísla, počítá se pak snáz. Stejně tak lze za A vzít kterýkoli bod přímky. Jedna přímka má proto nekonečně mnoho parametrických vyjádření a dvě na pohled různé rovnice mohou popisovat tutéž přímku.

Vektor ze dvou bodů vám spočítá i kalkulačka vektoru ze dvou bodů, se třemi souřadnicemi. Počítání s vektory si můžete zopakovat v článku Vektory.

Parametrická rovnice přímky ze dvou bodů

Příklad 1

Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází body `A[-3;\ 8;\ {-3}]` a `B[1;\ 2;\ {-1}]`.

Směrový vektor je rozdíl bodů:

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A \\[6pt] =(1+3;\ 2-8;\ {-1}+3) \\[6pt] =(4;\ {-6};\ 2)\end{gathered}`

Všechny souřadnice jsou sudé, vektor tedy vydělíme dvěma a použijeme `\vec{u}=(2;\ {-3};\ 1)`. Za bod dosadíme A:

`\begin{gathered}p:\ x=-3+2t \\[6pt] y=8-3t \\[6pt] z=-3+t,\quad t\in\mathbb{R}\end{gathered}`

Kontrola: přímka musí procházet i bodem B. Pro `t=2` vyjde `x=-3+4=1`, `y=8-6=2`, `z=-3+2=-1`, což je právě B. Kdybyste nechali vektor `(4;\ {-6};\ 2)`, dostali byste B pro `t=1`; přímka by byla stejná, jen s jiným číslováním bodů.

Rovnici ze dvou bodů, i s parametrickým tvarem, sestaví kalkulačka přímky ze dvou bodů, ta ale počítá v rovině, tedy se dvěma souřadnicemi. Dosazování parametru si procvičíte v procvičování parametrického vyjádření přímky.

Leží bod na přímce?

Bod leží na přímce právě tehdy, když existuje jedno t, pro které platí všechny tři rovnice najednou. Dosadíte tedy souřadnice bodu, z každé rovnice vypočtete t a porovnáte. Vyjdou-li tři stejná čísla, bod na přímce leží. Stačí, aby se jedno lišilo, a neleží.

Příklad 2

Leží na přímce p z příkladu 1 body `C[5;\ {-4};\ 1]` a `D[3;\ {-1};\ 1]`?

`\begin{gathered}C:\ 5=-3+2t\ \Rightarrow\ t=4 \\[6pt] -4=8-3t\ \Rightarrow\ t=4 \\[6pt] 1=-3+t\ \Rightarrow\ t=4\end{gathered}`

Všechny tři rovnice dávají `t=4`, bod C na přímce leží.

`\begin{gathered}D:\ 3=-3+2t\ \Rightarrow\ t=3 \\[6pt] -1=8-3t\ \Rightarrow\ t=3 \\[6pt] 1=-3+t\ \Rightarrow\ t=4\end{gathered}`

První dvě rovnice dávají `t=3`, třetí `t=4`. Bod D na přímce neleží. Všimněte si, že v rovině (jen x a y) by bod prošel; v prostoru rozhodla až třetí souřadnice. Proto je potřeba vždy dopočítat všechny tři.

Příklad 3

Určete čísla m a n tak, aby bod `C[m;\ n;\ 1]` ležel na přímce AB, kde `A[0;\ 1;\ 0]` a `B[3;\ 2;\ {-1}]`.

Směrový vektor je `\vec{u}=B-A=(3;\ 1;\ {-1})`, přímka AB má tedy rovnice `x=3t,\ y=1+t,\ z=-t`. Jedinou známou souřadnicí bodu C je `z=1`, z ní určíme parametr:

`\begin{gathered}1=-t\ \Rightarrow\ t=-1 \\[6pt] m=3\cdot(-1)=-3 \\[6pt] n=1+(-1)=0\end{gathered}`

Bod je `C[-3;\ 0;\ 1]`. Postup je vždy stejný: z rovnice, ve které je jen t, zjistíte parametr a ten dosadíte do ostatních.

Úsečka a polopřímka

Parametr lze omezit. Je-li `\vec{u}=B-A` (nezkrácený), pak:

• `t\in\langle 0;\ 1\rangle` dává úsečku AB, `t=\frac{1}{2}` její střed,
• `t\in\langle 0;\ \infty)` dává polopřímku AB, která začíná v A a míří k B,
• `t\in(-\infty;\ 0\rangle` dává opačnou polopřímku.

Pozor na zkrácený vektor. Pro přímku z příkladu 1 s vektorem `(2;\ {-3};\ 1)` leží bod B až u `t=2`, úsečka AB je proto `t\in\langle 0;\ 2\rangle`.

Kde přímka protíná souřadnicové roviny

Rovina xy je množina bodů se souřadnicí `z=0`, rovina xz má `y=0` a rovina yz má `x=0`. Průsečík přímky s nimi najdete stejně jako v příkladu 3: položíte příslušnou rovnici rovnou nule, vypočtete t a dosadíte. Podobně se hledá průsečík s libovolnou rovinou, jen se parametrické rovnice dosadí do její obecné rovnice.

Příklad 4 (stín)

Lampa visí v bodě `L[1;\ 2;\ 5]`, vrchol sloupku je v bodě `T[3;\ 3;\ 3]` a podlaha je rovina `z=0` (souřadnice v metrech). Kde na podlaze bude stín vrcholu sloupku?

Stín leží na paprsku, který vychází z lampy a prochází vrcholem sloupku. Jeho směrový vektor je `\vec{u}=T-L=(2;\ 1;\ {-2})`:

`x=1+2t,\quad y=2+t,\quad z=5-2t`

Na podlaze je `z=0`, tedy `5-2t=0` a `t=2{,}5`. Dosadíme:

`\begin{gathered}x=1+2\cdot 2{,}5=6 \\[6pt] y=2+2{,}5=4{,}5\end{gathered}`

Stín je v bodě `[6;\ 4{,}5;\ 0]`. Kontrola: vrchol sloupku odpovídá `t=1` a stín `t=2{,}5`, tedy za ním; stín leží dál od lampy než sloupek, jak má.

Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje

V rovině má přímka obecnou rovnici `ax+by+c=0`. V prostoru ale jedna rovnice `ax+by+cz+d=0` popisuje rovinu, ne přímku. Přímku v prostoru proto zapíšete buď parametricky, nebo jako průsečnici dvou rovin, tedy soustavou dvou obecných rovnic. Obecnou rovnici roviny vysvětluje článek Obecná rovnice roviny.

Příklad 5: z parametrického tvaru na dvě rovnice

Přímku `x=-3+2t,\ y=8-3t,\ z=-3+t` z příkladu 1 zapište bez parametru.

Z nejjednodušší rovnice vyjádříme parametr, `t=z+3`, a dosadíme ho do zbylých dvou:

`\begin{gathered}x=-3+2(z+3)\ \Rightarrow\ x-2z-3=0 \\[6pt] y=8-3(z+3)\ \Rightarrow\ y+3z+1=0\end{gathered}`

Přímka je průsečnicí rovin `x-2z-3=0` a `y+3z+1=0`. Kontrola bodem B: `1-2\cdot(-1)-3=0` a `2+3\cdot(-1)+1=0`. V některých učebnicích najdete tentýž výsledek zapsaný jako tzv. kanonický tvar, kde se z každé rovnice vyjádří t:

`\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-8}{-3}=\dfrac{z+3}{1}`

Příklad 6: ze dvou obecných rovnic na parametrický tvar

Přímka je průsečnicí rovin `\rho:\ x+2y-z-3=0` a `\sigma:\ 2x-y+z-1=0`. Najděte její parametrické vyjádření.

Potřebujeme bod a směrový vektor. Směrový vektor je kolmý na oba normálové vektory `\vec{n}_1=(1;\ 2;\ {-1})` a `\vec{n}_2=(2;\ {-1};\ 1)`, takže je to jejich vektorový součin:

`\begin{gathered}u_1=2\cdot 1-(-1)\cdot(-1)=1 \\[6pt] u_2=(-1)\cdot 2-1\cdot 1=-3 \\[6pt] u_3=1\cdot(-1)-2\cdot 2=-5 \\[6pt] \vec{u}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=(1;\ {-3};\ {-5})\end{gathered}`

Bod najdeme tak, že jednu souřadnici zvolíme, třeba `z=0`, a dopočítáme zbylé dvě ze soustavy `x+2y=3,\ 2x-y=1`. Vyjde `x=1,\ y=1`, bod je `A[1;\ 1;\ 0]`:

`x=1+t,\quad y=1-3t,\quad z=-5t`

Kontrola pro `t=1`, bod `[2;\ {-2};\ {-5}]`: `2-4+5-3=0` a `4+2-5-1=0`, leží v obou rovinách. Kdo vektorový součin ještě nezná, může rovnou položit `z=t` a soustavu dvou rovnic vyřešit pro x a y; vyjde `x=1-\frac{t}{5},\ y=1+\frac{3t}{5}`, tedy směr `(-\frac{1}{5};\ \frac{3}{5};\ 1)`, což je jen `-\frac{1}{5}`-násobek vektoru `(1;\ {-3};\ {-5})`. Celý výpočet i se zkouškou udělá kalkulačka průsečnice dvou rovin.

Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru

V rovině se dvě přímky buď protínají, nebo jsou rovnoběžné. V prostoru přibývá třetí možnost: přímky, které nejsou rovnoběžné, a přesto se nikde nepotkají. Říká se jim mimoběžky.

Postup: nejdřív porovnáte směrové vektory. Nejsou-li rovnoběžné, položíte souřadnice obou přímek sobě rovné. Vzniknou tři rovnice pro dva parametry; ty musí mít různá jména, třeba t a s. Ze dvou rovnic parametry vypočtete a třetí rovnicí ověříte.

Příklad 7

Určete vzájemnou polohu přímky p z příkladu 1 a přímek `q:\ x=1+s,\ y=s,\ z=2` a `r:\ x=3+s,\ y=4+s,\ z=1+s`.

Směrový vektor p je `(2;\ {-3};\ 1)`, u q je `(1;\ 1;\ 0)` a u r je `(1;\ 1;\ 1)`. Žádný není násobkem jiného, rovnoběžnost tedy nepřichází v úvahu. Pro p a q:

`\begin{gathered}-3+t=2\ \Rightarrow\ t=5 \\[6pt] 8-3t=s\ \Rightarrow\ s=-7 \\[6pt] -3+2t=1+s\ \Rightarrow\ 7=-6\end{gathered}`

Poslední rovnost neplatí, společný bod neexistuje. Přímky p a q jsou mimoběžné. Pro p a r:

`\begin{gathered}-3+t=1+s\ \Rightarrow\ s=t-4 \\[6pt] -3+2t=3+(t-4)\ \Rightarrow\ t=2,\ s=-2 \\[6pt] 8-3\cdot 2=4+(-2)\ \Rightarrow\ 2=2\end{gathered}`

Třetí rovnice platí, přímky jsou různoběžné. Průsečík dostanete dosazením `t=2` do p: je to bod `[1;\ 2;\ {-1}]`, tedy náš bod B. Kontrola dosazením `s=-2` do r dá tentýž bod. Více o poloze přímek, i o poloze přímky a roviny, najdete v článku Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou. Úhel dvou přímek spočítá kalkulačka odchylky dvou přímek.

Vzdálenost bodu od přímky v prostoru

V rovině se vzdálenost bodu od přímky počítá vzorcem z obecné rovnice. V prostoru obecná rovnice není, pomůže ale parametrický tvar. Hledáte na přímce bod F, patu kolmice, pro který je vektor `M-F` kolmý na směrový vektor, tedy jejich skalární součin je nula. Vzdálenost je pak `d=|MF|`.

Příklad 8

Vypočtěte vzdálenost bodu `M[2;\ 7;\ {-2}]` od přímky p z příkladu 1.

Obecný bod přímky je `F[-3+2t;\ 8-3t;\ {-3}+t]`, takže

`M-F=(5-2t;\ {-1}+3t;\ 1-t)`

Tento vektor musí být kolmý na `\vec{u}=(2;\ {-3};\ 1)`:

`\begin{gathered}2(5-2t)-3(-1+3t)+(1-t)=0 \\[6pt] 14-14t=0\ \Rightarrow\ t=1\end{gathered}`

Pata kolmice je `F[-1;\ 5;\ {-2}]`, vektor `M-F=(3;\ 2;\ 0)` a

`d=\sqrt{3^2+2^2+0^2}=\sqrt{13}\doteq 3{,}61`

Kontrola jiným vzorcem, přes vektorový součin:

`d=\dfrac{|\overrightarrow{AM}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}`

Zde `\overrightarrow{AM}=(5;\ {-1};\ 1)`, `\overrightarrow{AM}\times\vec{u}=(2;\ {-3};\ {-13})` a `d=\sqrt{182}/\sqrt{14}=\sqrt{13}`. Obojí vyjde stejně. Totéž, i s patou kolmice, spočítá kalkulačka vzdálenosti bodu od přímky v prostoru. Další vzdálenosti a úhly v prostoru ukazuje článek Metrické úlohy v prostoru.

Časté chyby

• Kontrola jen dvou souřadnic. Bod D z příkladu 2 by v x a y prošel, na přímce přesto neleží. Počítejte t ze všech tří rovnic.
• Stejné jméno parametru u dvou přímek. Když napíšete obě přímky s t, hledáte bod, do kterého obě přímky „dojdou ve stejném čase“, a průsečík, který existuje, nenajdete. U druhé přímky vždy použijte jiné písmeno.
• Nulový směrový vektor. Vznikne, když omylem odečtete bod sám od sebe. Nulový vektor žádný směr neurčuje.
• Úsečka se zkráceným vektorem. `t\in\langle 0;\ 1\rangle` dává úsečku AB jen pro `\vec{u}=B-A`. Po vydělení vektoru se změní i interval.
• Hledání obecné rovnice přímky. Rovnice `ax+by+cz+d=0` je rovina. Přímka v prostoru potřebuje rovnice dvě.
• Nerovnoběžné znamená různoběžné. V rovině ano, v prostoru ne. Dvě přímky s různým směrem mohou být mimoběžné, jak ukázal příklad 7.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování parametrického vyjádření přímky: dosazení parametru a výpočet bodu.
• Průsečnice dvou rovin, vzdálenost bodu od přímky v prostoru a odchylka dvou přímek: kalkulačky s postupem.
• Parametrické vyjádření přímky v rovině a Parametrické vyjádření roviny.
• Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou a Metrické úlohy v prostoru.