Analytická geometrie - Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou

Vzájemná poloha dvou přímek

Stejně jako jsme tento problém řešili v rovině, naučíme se ho nyní řešit i v prostoru. Ve stereometrii jsme se naučili, jaké situace mohou nastat, když mám dvě přímky v prostoru:

1. Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů.
2. Rovnoběžné - Žádný společný bod. Přímky leží v jedné rovině.
3. Různoběžné - Jeden společný bod. Přímky opět leží v jedné rovině.
4. Mimoběžné - Žádný společný bod - Přímky neleží v jedné rovině.

Řešení se dá rozdělit do několika fází. Nejprve otestujeme, zda je vektor u násobkem vektoru v. Pokud je, musíme otestovat, zda bod P leží na přímce v. Pokud ano, přímky jsou totožné, v opačném případě jsou rovnoběžné. Pokud vektor v není násobkem vektoru u, tak zkusíme najít jejich průsečík. Pokud průsečík nalezneme, přímky jsou různoběžné, v opačném případě se jedná o mimoběžky.

Předchozí odstavec může někomu připadat trochu složitě, ale nic složitého v tom opravdu není. Možná to lépe pochopíte z příkladů.

1) Určete vzájemnou polohu přímek p(P,u), v(Q,v), když P[1;1;3], u=(2;3;-1), Q[2;1;-2], v=(1;1;-2).

Testujeme, zda vektor v je násobkem vektoru v:

2=1*k
3=1*k
-1=-2*k

Vektory očividně nejsou násobky a proto zkusíme najít průsečík přímek. Proto napíšeme jejich parametrické rovnice:

Pro přímku p:
x=1+2t
y=1+3t
z=3-t
Pro přímku q:
x=2+s
y=1+s
z=-2-2s

Nyní stačí dát obě parametrické rovnice do jedné soustavy rovnic:

1+2t=2+s
1+3t=1+s
3-t=-2-2s

Z prvních dvou rovnic dostaneme výsledek [t; s]=[-1; -3]. Tyto čísla pasují i do třetí rovnice, takže přímky jsou různoběžné. Tím pádem se dá spočítat i jejich průsečík. Stačí dosadit t=-1 do parametrické rovnice přímky p, popřípadě můžeme dosadit s=-3 do parametrické rovnice přímky q.

x=1+2*(-1)
y=1+3*(-1)
z=3-(-1)

Pro průsečík X[x;y;z] tedy získáváme výsledek X[-1;-2;4].

2) Určete vzájemnou polohu přímek AB a CD, když A[3;1;1], B[1;2;2], C[5;0;0], D[-1;3;3].

u=B-A
u=(-2;1;1)
v=D-C
v=(-6;3;3)

Poté, co jsme určili směrové vektory, musíme otestovat, zda je vektor u násobkem vektoru v.

-6=-2*k
3=1*k
3=1*k

Koeficient k vyšel ve všech třech rovnicích k=3. Pokud bod C leží na přímce AB, tak jsou přímky totožné, v opačném případě jsou rovnoběžné.

Parametrická rovnice přímky AB:
x=3-2t
y=1+t
z=1+t
Dosadíme souřadnice bodu C:
5=3-2t
0=1+t
0=1+t

Ve všech třech rovnicích modu dosadit t=-1 a proto bod C leží na přímce AB. Tím pádem se jedná o totožné přímky.

3) Určete vzájemnou polohu přímek AB, CD, když A[1;0;-1], B[2;1;1], C[1;2;-2], D[0;-1;2].

u=B-A
u=(1;1;2)
v=D-C
v=(-1;-3;4)

Otestujeme, zda je vektor v násobkem vektoru u:

-1=k
-3=k
4=2k

Vektor v očividně není násobkem vektoru u a proto zkusíme najít průsečík přímek:

Pro přímku AB:
x=1+t
y=t
z=-1+2t
Pro přímku CD:
x=1-s
y=2-3s
z=-2+4s

Dáme parametrické rovnice do rovnosti:

1+t=1-s
t=2-3s
-1+2t=-2+4s

Z prvních dvou rovnic dostáváme [t;s] = [-1;1]. Dosadíme-li tyto výsledky do třetí rovnice, získáme: -3=2, což pochopitelně neplatí a proto jsou přímky AB, CD mimoběžky.

Vzájemná poloha přímky a roviny

Pokud pracuji s přímkou v prostoru, mohou nastat tři situace:

1. Přímka a rovina jsou rovnoběžné - Žádný společný bod.
2. Přímka a rovina nejsou rovnoběžné - Jeden společný bod.
3. Přímka leží v rovině - Nekonečně mnoho společných bodů.

Podobně jako u vzájemné situace dvou přímek si i nyní nastíníme, jak postupovat při řešení úloh o vzájemné poloze přímky a roviny. Nejprve musíme určit normálový vektor roviny. Pokud není normálový vektor roviny kolmý na směrový vektor přímky, tak je přímka různoběžná s rovinou. Jestliže je normálový vektor roviny kolmý na směrový vektor přímky a nějaký bod přímky leží v rovině, tak leží celá přímka v rovině. V opačném případě jsou přímka a rovina rovnoběžné.

1) Určete vzájemnou polohu roviny ρ: 2x+4y-3z+1 a přímky p(P,u), kde P[0;3;-1], u=(1;-1;2).

Normálový vektor roviny ρ
w=(2;4;-3)

Nyní otestujeme, zda je normálový vektor roviny ρ kolmý na směrový vektor přímky p:

1*2-1*4+2*(-3)=0

Vektory očividně nejsou kolmé a proto přímka a rovina jsou navzájem různoběžné. V tomto případě se dá spočítat průsečík přímky a roviny.

Nejprve určíme parametrickou rovnici přímky p. V této parametrické rovnici získáme souřadnice x,y,z. Pokud tyto proměnné dosadíme do obecné rovnice roviny ρ získáme hodnotu parametru t. Zpětným dosazením parametru t do parametrické rovnice roviny ρ získáme souřadnice průsečíku roviny a přímky.

Parametrická rovnice přímky p:
x=t
y=3-t
z=-1+2t
ρ: 2x+4y-3z+1=0
Dosadíme parametrickou rovnici dosadíme do obecné rovnice:
2*t+4*(3-t)-3*(-1+2t)+1=0
2t+12-4t+3-6t+1=0
t=2

Vypočítali jsme hodnotu parametru t=2. Nyní stačí dosadit tuto hodnotu do parametrické rovnice přímky p:

x=2
y=3-2
z=-1+4

Průsečík má souřadnice X[2;1;3].

2) Určete vzájemnou polohu přímky p:x=1-t,y=t,z=2-3t a roviny ρ: -x+2y+z-1=0.

Směrový vektor přímky p:
u=(-1;1;-3)
Normálový vektor roviny ρ:
v=(-1;2;1)

Otestujeme, zda je vektor u násobkem v:

-1*(-1)+1*2-3*1=0
1+2-3=0

Vektory jsou kolmé. Otestujeme tedy, zda bod P leží v rovině ρ:

P[1;0;2]
ρ: -1+2-1=0

Bod P leží v rovině ρ a proto i celá přímka p leží v rovině ρ.