Analytická geometrie - Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou

Dvě přímky v rovině jsou buď různoběžné (mají jeden společný bod, průsečík), rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod), nebo totožné (splývají). V prostoru přibývá čtvrtá možnost: mimoběžky, tedy přímky, které nejsou rovnoběžné, a přesto se nikde nepotkají, protože neleží v jedné rovině.

Přímka a rovina mají tři možnosti: přímka rovinu protíná v jediném bodě, je s ní rovnoběžná a nemá s ní nic společného, nebo v ní celá leží.

O poloze rozhoduje nejdřív směr, teprve potom společný bod. U dvou přímek se ptáme, zda je jeden směrový vektor násobkem druhého. U přímky a roviny, zda je skalární součin normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky nulový:

`\begin{gathered}\vec{v}=k\cdot\vec{u}\ \Rightarrow\ \text{přímky jsou rovnoběžné nebo totožné} \\[6pt] \vec{n}\cdot\vec{u}=0\ \Rightarrow\ \text{přímka je s rovinou rovnoběžná nebo v ní leží}\end{gathered}`

Všechno ostatní se počítá z parametrického vyjádření přímky: za parametr dosadíme číslo a dostaneme bod přímky, přesně tak, jak se na konci hledá průsečík.

Kolik možností vzájemné polohy existuje

Dvě přímky v prostoru:

Přímka a rovina:

Stejné možnosti z pohledu stereometrie, bez souřadnic, popisují články Vzájemná poloha přímek a Vzájemná poloha přímky a roviny. Tady je počítáme.

Vzájemná poloha přímek v rovině a průsečík přímek

V rovině jsou přímky nejčastěji dané obecnou rovnicí:

`\begin{gathered}p:\ a_1x+b_1y+c_1=0 \\[6pt] q:\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{gathered}`

Koeficienty `a, b` tvoří normálový vektor. Rozhoduje číslo `a_1b_2-a_2b_1`:

• Není-li nula, normálové vektory nejsou násobky a přímky jsou různoběžné. Průsečík je řešení soustavy obou rovnic.
• Je-li nula, přímky jsou rovnoběžné. Je-li navíc jedna celá rovnice (i s `c`) násobkem druhé, jsou totožné, jinak rovnoběžné různé.

Mimoběžky v rovině nejsou: dvě rovnice o dvou neznámých mají řešení vždy, když přímky nejsou rovnoběžné.

Příklad 1

Určete vzájemnou polohu přímek `p:\ 2x-y+1=0` a `q:\ x+y-7=0`.

Číslo `a_1b_2-a_2b_1=2\cdot 1-1\cdot(-1)=3` není nula, přímky jsou různoběžné. Obě rovnice sečteme, `y` zmizí:

`\begin{gathered}3x-6=0\ \Rightarrow\ x=2 \\[6pt] y=7-x=5\end{gathered}`

Průsečík je `X[2;\ 5]`. Zkouška: `2\cdot 2-5+1=0` a `2+5-7=0`. Stejný výpočet i s postupem přes determinanty ukáže kalkulačka průsečíku dvou přímek.

Příklad 2

Jaká je poloha přímky `p:\ 2x-4y+3=0` vůči přímkám `q:\ -x+2y+5=0` a `r:\ -4x+8y-6=0`?

Pro `p` a `q` je `2\cdot 2-(-1)\cdot(-4)=0`, přímky jsou rovnoběžné. Rovnici `q` vynásobíme číslem `-2`:

`2x-4y-10=0`

Koeficienty u `x` a `y` sedí, ale místo `+3` vyšlo `-10`. Přímky `p` a `q` jsou rovnoběžné různé. Rovnice `r` je celá `(-2)`-násobkem rovnice `p`, včetně absolutního členu, takže `p` a `r` jsou totožné.

Přímky zadané parametricky se v rovině řeší stejně jako v prostoru níže, jen se dvěma rovnicemi místo tří. Podrobně to ukazuje článek Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi. U směrnicového tvaru stačí porovnat směrnice: stejné `k` znamená rovnoběžné přímky.

Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru

V prostoru obecná rovnice přímky neexistuje, přímky jsou dané parametricky. Postup má tři kroky:

1. Směrové vektory. Je `\vec{v}` násobkem `\vec{u}`? Číslo `k` musí vyjít stejné ve všech třech souřadnicích.
2. Jsou-li násobky, dosadíme jeden bod druhé přímky do první. Leží na ní? Pak jsou přímky totožné, jinak rovnoběžné různé.
3. Nejsou-li násobky, položíme souřadnice obou přímek sobě rovné. Vzniknou tři rovnice pro dva parametry, které musí mít různá jména, třeba `t` a `s`. Ze dvou rovnic parametry vypočteme a třetí ověříme. Platí-li, jsou přímky různoběžné, jinak mimoběžné.

Rovnoběžnost směrových vektorů ověří i kalkulačka kolmosti a rovnoběžnosti vektorů.

Příklad 3

Určete vzájemnou polohu přímek `p(P,\ \vec{u})` a `q(Q,\ \vec{v})`, kde `P[1;\ 1;\ 3]`, `\vec{u}=(2;\ 3;\ {-1})`, `Q[2;\ 1;\ {-2}]`, `\vec{v}=(1;\ 1;\ {-2})`.

Kdyby platilo `\vec{u}=k\cdot\vec{v}`, muselo by z první souřadnice vyjít `k=2`, z druhé `k=3`. Vektory nejsou násobky, hledáme průsečík. Parametrické rovnice:

`\begin{gathered}p:\ x=1+2t,\quad y=1+3t,\quad z=3-t \\[6pt] q:\ x=2+s,\quad y=1+s,\quad z=-2-2s\end{gathered}`

Položíme souřadnice sobě rovné:

`\begin{gathered}1+2t=2+s \\[6pt] 1+3t=1+s \\[6pt] 3-t=-2-2s\end{gathered}`

Z druhé rovnice `s=3t`, po dosazení do první `1+2t=2+3t`, tedy `t=-1` a `s=-3`. Třetí rovnice: `3-(-1)=4` a `-2-2\cdot(-3)=4`. Platí, přímky jsou různoběžné. Průsečík dostaneme dosazením `t=-1` do `p`:

`X[1-2;\ 1-3;\ 3+1]=[-1;\ {-2};\ 4]`

Kontrola dosazením `s=-3` do `q`: `[2-3;\ 1-3;\ {-2}+6]`, tentýž bod.

Příklad 4

Určete vzájemnou polohu přímek `AB` a `CD`, kde `A[3;\ 1;\ 1]`, `B[1;\ 2;\ 2]`, `C[5;\ 0;\ 0]`, `D[-1;\ 3;\ 3]`.

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(-2;\ 1;\ 1) \\[6pt] \vec{v}=D-C=(-6;\ 3;\ 3)\end{gathered}`

Ve všech třech souřadnicích vychází `\vec{v}=3\cdot\vec{u}`, přímky jsou rovnoběžné nebo totožné. Rozhodne bod `C`. Dosadíme ho do přímky `AB:\ x=3-2t,\ y=1+t,\ z=1+t`:

`\begin{gathered}5=3-2t\ \Rightarrow\ t=-1 \\[6pt] 0=1+t\ \Rightarrow\ t=-1 \\[6pt] 0=1+t\ \Rightarrow\ t=-1\end{gathered}`

Všechny tři rovnice dávají stejné `t`, bod `C` leží na přímce `AB`. Přímky jsou totožné. Kdyby některá rovnice dala jiné `t`, byly by rovnoběžné různé.

Příklad 5

Určete vzájemnou polohu přímek `AB` a `CD`, kde `A[1;\ 0;\ {-1}]`, `B[2;\ 1;\ 1]`, `C[1;\ 2;\ {-2}]`, `D[0;\ {-1};\ 2]`.

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(1;\ 1;\ 2) \\[6pt] \vec{v}=D-C=(-1;\ {-3};\ 4)\end{gathered}`

Z první souřadnice by `k=-1`, z druhé `k=-3`: nejsou to násobky. Parametrické rovnice a soustava:

`\begin{gathered}AB:\ x=1+t,\quad y=t,\quad z=-1+2t \\[6pt] CD:\ x=1-s,\quad y=2-3s,\quad z=-2+4s\end{gathered}`

`\begin{gathered}1+t=1-s \\[6pt] t=2-3s \\[6pt] -1+2t=-2+4s\end{gathered}`

Z první rovnice `t=-s`, ze druhé pak `-s=2-3s`, tedy `s=1` a `t=-1`. Do třetí rovnice: vlevo `-1+2\cdot(-1)=-3`, vpravo `-2+4\cdot 1=2`. Rovnost `-3=2` neplatí, společný bod neexistuje. Přímky jsou mimoběžné.

Jak poznat, že jsou přímky mimoběžky

Mimoběžky se od různoběžek poznají i bez hledání průsečíku. Vezmeme bod `A` první přímky, bod `C` druhé a vektor `\overrightarrow{AC}`. Přímky leží v jedné rovině právě tehdy, když vektory `\overrightarrow{AC}`, `\vec{u}` a `\vec{v}` leží v jedné rovině, tedy když je jejich smíšený součin nulový:

`\left[\overrightarrow{AC},\ \vec{u},\ \vec{v}\right]\neq 0\ \Rightarrow\ \text{mimoběžky}`

Pro příklad 5 je `\overrightarrow{AC}=C-A=(0;\ 2;\ {-1})` a smíšený součin je determinant:

`\begin{aligned}&\begin{vmatrix}0 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 2\\ -1 & -3 & 4\end{vmatrix}\\[8pt] &=0\cdot 10-2\cdot 6+(-1)\cdot(-2)\\[6pt] &=-10\end{aligned}`

Výsledek není nula, přímky jsou mimoběžné, stejně jako vyšlo ze soustavy. U příkladu 3 dá stejný výpočet s `\overrightarrow{PQ}=(1;\ 0;\ {-5})` nulu, přímky tam leží v jedné rovině a protínají se. Determinant spočítá kalkulačka smíšeného součinu. Nulový smíšený součin sám rovnoběžky od různoběžek neodliší, to udělá krok 1 výše.

Smíšený součin dá rovnou i vzdálenost mimoběžek. Je to objem rovnoběžnostěnu dělený obsahem jeho podstavy:

`d=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AC},\ \vec{u},\ \vec{v}\right]\right|}{\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|}`

V příkladu 5 je `\vec{u}\times\vec{v}=(10;\ {-6};\ {-2})`, jeho velikost `\sqrt{140}=2\sqrt{35}`, a tedy `d=\dfrac{10}{2\sqrt{35}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}\doteq 0{,}85`. Úhel, který mimoběžky svírají, spočítá kalkulačka odchylky dvou přímek, podrobně ho vysvětluje článek Odchylka přímek.

Vzájemná poloha přímky a roviny

Rovina je daná obecnou rovnicí `ax+by+cz+d=0` s normálovým vektorem `\vec{n}=(a;\ b;\ c)`, přímka parametricky se směrovým vektorem `\vec{u}`. Normálový vektor je kolmý na rovinu, takže:

• Je-li `\vec{n}\cdot\vec{u}\neq 0`, přímka není s rovinou rovnoběžná a protíná ji v jediném bodě.
• Je-li `\vec{n}\cdot\vec{u}=0`, přímka je s rovinou rovnoběžná. Leží-li v rovině jeden její bod, leží v ní celá.

Rychlejší je jediný krok, který rozhodne všechno najednou: dosadit parametrické vyjádření přímky do rovnice roviny. Vyjde rovnice pro `t` a podle ní:

• jedno řešení `t`: přímka rovinu protíná, průsečík dostaneme dosazením `t` zpět do přímky,
• `0=0`: rovnice platí pro každé `t`, přímka leží v rovině,
• třeba `0=5`: rovnice neplatí pro žádné `t`, přímka je s rovinou rovnoběžná.

Příklad 6

Určete vzájemnou polohu roviny `\rho:\ 2x+4y-3z+1=0` a přímky `p(P,\ \vec{u})`, kde `P[0;\ 3;\ {-1}]` a `\vec{u}=(1;\ {-1};\ 2)`.

Normálový vektor je `\vec{n}=(2;\ 4;\ {-3})` a

`\vec{n}\cdot\vec{u}=2\cdot 1+4\cdot(-1)+(-3)\cdot 2=-8`

Součin není nula, přímka rovinu protíná. Parametrické vyjádření `x=t,\ y=3-t,\ z=-1+2t` dosadíme do rovnice roviny:

`\begin{gathered}2t+4(3-t)-3(-1+2t)+1=0 \\[6pt] 2t+12-4t+3-6t+1=0 \\[6pt] 16-8t=0\ \Rightarrow\ t=2\end{gathered}`

Zpět do přímky: `x=2`, `y=3-2=1`, `z=-1+4=3`. Průsečík je `X[2;\ 1;\ 3]`. Zkouška v rovnici roviny: `4+4-9+1=0`.

Příklad 7

Určete vzájemnou polohu přímky `p:\ x=1-t,\ y=t,\ z=2-3t` a roviny `\rho:\ -x+2y+z-1=0`. A jak je to s rovinou `\sigma:\ -x+2y+z+4=0`?

Směrový vektor je `\vec{u}=(-1;\ 1;\ {-3})`, normálový `\vec{n}=(-1;\ 2;\ 1)`:

`\vec{n}\cdot\vec{u}=1+2-3=0`

Přímka je s rovinou rovnoběžná nebo v ní leží. Dosadíme bod přímky pro `t=0`, tedy `P[1;\ 0;\ 2]`, do `\rho`: `-1+0+2-1=0`. Bod v rovině leží, takže celá přímka leží v rovině `\rho`. Po dosazení celé přímky vyjde totéž: `-(1-t)+2t+(2-3t)-1=0`, tedy `0=0`.

Rovina `\sigma` má stejný normálový vektor, liší se jen absolutním členem. Dosazení dá `-(1-t)+2t+(2-3t)+4=5`, tedy `0=5`, a to neplatí pro žádné `t`. Přímka je s rovinou `\sigma` rovnoběžná. Její vzdálenost od `\sigma` je vzdálenost kteréhokoli jejího bodu, třeba `P`, což spočítá kalkulačka vzdálenosti bodu od roviny.

Příklad 8

Laserové ukazovátko v bodě `L[1;\ 2;\ 6]` svítí ve směru `\vec{u}=(2;\ 1;\ {-2})`. Kde paprsek dopadne na šikmou rampu v rovině `\rho:\ x+2z-8=0`? Souřadnice jsou v metrech.

Paprsek je `x=1+2t,\ y=2+t,\ z=6-2t` pro `t\ge 0`. Do roviny:

`\begin{gathered}(1+2t)+2(6-2t)-8=0 \\[10pt] 5-2t=0\ \Rightarrow\ t=\dfrac{5}{2}\end{gathered}`

Vyšlo kladné `t`, paprsek tedy na rampu opravdu dopadne; záporné `t` by znamenalo, že rampa je za ukazovátkem. Dopadne do bodu `X[1+5;\ 2+2{,}5;\ 6-5]=[6;\ 4{,}5;\ 1]`. Kontrola: `6+2\cdot 1-8=0`. A bod leží níž než ukazovátko (výška 1 proti 6), jak má být u paprsku mířícího dolů.

Je-li rovina zadaná třemi body, nejdřív z nich sestavíme obecnou rovnici: normálový vektor je vektorový součin dvou vektorů roviny (viz poslední cvičení). Poloha dvou rovin se určuje podobně, viz Vzájemná poloha rovin.

Časté chyby

• Stejné jméno parametru u obou přímek. Kdybychom v příkladu 3 napsali obě přímky s `t`, dostali bychom z prvních dvou rovnic `t=1` a `t=0`, a tedy mylně „mimoběžky“. Průsečík nemusí na obou přímkách odpovídat stejné hodnotě parametru.
• Ověřit jen dvě rovnice. Ze dvou rovnic parametry vyjdou vždy. Teprve třetí rozhodne mezi různoběžkami a mimoběžkami (příklad 5).
• Záměna kolmosti a rovnoběžnosti. `\vec{n}\cdot\vec{u}=0` znamená, že přímka je s rovinou rovnoběžná. Kolmá na rovinu je přímka, jejíž směrový vektor je násobkem `\vec{n}`.
• Násobek jen v některých souřadnicích. `(2;\ 0;\ 4)` a `(1;\ 0;\ 2)` jsou násobky, `(2;\ 0;\ 4)` a `(1;\ 1;\ 2)` už ne. Číslo `k` musí sedět všude, i tam, kde je nula.
• Rovnoběžné směry, ale bez kontroly bodu. Stejný směr ještě neznamená rovnoběžné různé přímky, mohou být totožné (příklad 4). V rovině totéž: u obecných rovnic se porovná i absolutní člen `c`.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování parametrického vyjádření přímky: dosadit parametr a dopočítat bod, jak se to dělá u každého průsečíku.
• Kalkulačky: průsečík dvou přímek v rovině, kolmost a rovnoběžnost vektorů, smíšený součin, odchylka dvou přímek, vzájemná poloha dvou rovin.
• Parametrické vyjádření přímky v prostoru, Obecná rovnice roviny a Vzájemná poloha rovin.
• Odchylka přímky a roviny a Metrické úlohy v prostoru, kde se počítají vzdálenosti.