Analytická geometrie - Parabola

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 107 503

Naučíme se parabolu zapsat pomocí vrcholové a obecné rovnice a nakonec spočítáme několik příkladů.


S pojmem parabola se většina z vás již setkala. Ano, parabola je grafem kvadratické funkce f: y = ax2+bx+c. V analytické geometrii je parabola definována jako množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od přímky p. Bod F se nazývá ohnisko a přímka p se nazývá řídící přímka paraboly.

Parabola spadá do kategorie kuželoseček. Na tomto webu naleznete články zabývající se kuželosečkami Analytická geometrie - Kružnice a Analytická geometrie - Elipsa.

Analytická geometrie - Parabola

Přímka tvořená body V a F se nazývá osou paraboly.

Obecná rovnice paraboly

Rovnice ve tvaru (x-m)^2=\pm 4p(y-n) nebo (y-n)^2 = \pm 4p(x-m) se nazývá obecnou rovnicí paraboly. Takováto parabola má vrchol v bodě V[m; n] a ohnisko je od vrcholu ve vzdálenosti p.

Je mi jasné, že z těchto definic se toho moc nedá pochopit a proto raději přejdu k několika vyřešeným příkladům, které by vám měli pomoci danou látku vysvětlit.

1) Najděte vrchol, ohnisko a řídící přímku paraboly dané rovnicí x^2=4y.

Začneme tím, že najdeme vrchol paraboly. Obecná rovnice této paraboly je (x-m)^2=\pm 4p(y-n), kde m; n jsou souřadnice vrcholu. Naše rovnice ale nemá žádné členy m; n, respektive jsou tyto členy nevyjádřené, protože se rovnají nule. Souřadnice vrcholu tedy jsou V[m; n] = V[0; 0]. Dalším krokem je nalezení hodnoty proměnné p. Tu nalezneme pomocí rovnice 4p = 4p = 1. Souřadnice ohniska jsou F[0; 1] a řídící přímka má rovnici y = -1.

Analytická geometrie - Parabola
Některým z vás možná vrtá hlavou, jaký je rozdíl mezi rovnice (x-m)^2=\pm 4p(y-n) a . Odpověď je jednoduchá. Tyto rovnice se liší v orientaci paraboly → je-li osa paraboly rovnoběžná s osou x nebo s osou y. V první rovnici je kvadratický člen x - přímka je rovnoběžná s osou y. Ve druhé rovnici je tomu naopak, osa paraboly je rovnoběžná s osou x

V předchozím ukázkovém příkladě jsem bez vysvětlení napsal souřadnice ohniska a rovnici řídící přímky. Tyto údaje se dají získat buď logickým závěrem nebo dosazením do vzorečku.

VrcholOhniskoŘídící přímkaOsa paraboly
(x-m)^2=\pm 4p(y-n)V[m; n]F[m; n+p]y=n-px=m
(y-n)^2 = \pm 4p(x-m)V[m; n]F[m+p; n]x=m-py=n

Směr, kterým se parabola otevírá určuje hodnota proměnné p:

p < 0p > 0
y=px^2DolůNahoru
x=py^2DolevaDoprava

2) Napište obecnou rovnici paraboly s vrcholem v bodě V[-3; 4] a řídící přímkou y=6.

Předpis obecné rovnice paraboly je (x-m)^2=\pm 4p(y-n). Do tohoto předpisu stačí dosadit hodnoty m, n a p. Získat hodnoty proměnných m a n není problém → m=-3, n=4, ale nalezení hodnotu proměnné p by mohlo někomu způsobit menší problém.

Stačí, když se podíváte do první tabulky, jak je definována řídící přímka. Tato definice je y=n-p.

y=n-p
6=4-p
p = -2

Výsledná rovnice tedy vypadá takto: (x+3)^2=-8(y-4)

Vrcholová rovnice

Parabolu lze popsat více způsoby než pouze obecnou rovnicí. Další způsob je právě vrcholová rovnice paraboly, která má tvar x^2+2rx+2sy+t=0\ \ (s\ne0) nebo y^2+2rx+2sy+t=0\ \ (r\ne0). Tato rovnice není nic jiného, než roznásobená obecná rovnice paraboly.

3) Nalezněte vrchol, ohnisko a řídící přímku paraboly určené rovnicí 2y^2-4y+x+4=0.

Nejlehčí je převést vrcholovou rovnici na obecnou rovnici, ze které již dané údaje získáme velmi lehce. Abychom získali obecnou rovnici musíme naši rovnici upravit na čtverec:

\begin{array}{rcl}2y^2-4y+x+4&amp;=&amp;0\\2y^2-4y&amp;=&amp;-x-4\\2*(y^2-2y)&amp;=&amp;-x-4\\2*(y-1)^2&amp;=&amp;-x-4+2\\2*(y-1)^2&amp;=&amp;-x-2\\(y-1)^2&amp;=&amp;-\frac{1}{2}(x+2)\end{array}

Nyní, když známe obecnou rovnici, není problém nalézt vrchol, ohnisko a řídící přímku: V[-2, 1], F[-2-\frac{1}{8}; 1] \rightarrow F[-\frac{17}{8}; 1], x=-2+\frac{1}{8} \rightarrow x=-\frac{15}{8}.

4) Napište vrcholovou rovnici paraboly s vrcholem V[5; 2] a ohniskem F[3; 2].

Začneme tím, že nalezneme obecnou rovnici této paraboly. Ale nejprve musíme zjistit hodnotu proměnné p: p=-2

Obecná rovnice této paraboly tedy je (y-2)^2=-8(x-5). Roznásobením získáme vrcholovou rovnici:

\begin{array}{rcl}(y-2)^2&amp;=&amp;-8(x-5)\\y^2-4y+4&amp;=&amp;-8x+40\\y^2-4y+8x-36&amp;=&amp;0\end{array}

5) Nalezněte obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[3; 0] a víte, že vzdálenost vrcholu a ohniska je p=2 a že osa paraboly je vertikální.

Osa paraboly je rovnoběžná s osou y a hodnota proměnné p je kladná a proto stačí, když naše hodnoty dosadíme do rovnice: (x-m)^2=4p(y-n)(x-3)^2=8y.

6) Nalezněte obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[2; -6], p=-2 a osou paraboly x=2.

Máme všechny potřebné hodnoty, jediné co musíme zjistit je, do jaké rovnice tyto hodnoty dosadit. Osa paraboly je rovnoběžná s osou y a proto víme, že dosazujeme do rovnice (x-m)^2=\pm 4p(y-n)(x-2)^2=-8(y+6).

Využití paraboly

S parabolou se setkáváme v reálném životě poměrně často. Nejčastější příklad je trajektorie tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli je právě parabola. Pokud do toho pohybu započítáme odpor vzduchu, říkáme že se těleso pohybuje po balistické křivce.

Analytická geometrie - Parabola

Předchozí obrázek je odpovědí na to, proč jsou satelity ve tvaru paraboly. Jakýkoliv paprsek, který dorazí do paraboly se odrazí do jednoho bodu - do ohniska.

Test

Určete definiční obor funkce y=-\sqrt{x^2-2x+1}


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...