Parabola je množina všech bodů roviny, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu F a od pevné přímky d. Bod F se jmenuje ohnisko, přímka d řídicí přímka a vzdálenost ohniska od řídicí přímky je parametr paraboly p.

`|XF|=|Xd|`

Parabola s vrcholem `V[m;\ n]`, která se otevírá nahoru, má vrcholovou rovnici

`(x-m)^2=2p\,(y-n)`

Její ohnisko je `F\left[m;\ n+\frac{p}{2}\right]` a řídicí přímka `y=n-\frac{p}{2}`. Níže jsou všechny čtyři polohy paraboly, obecná rovnice a převod na vrcholovou, parabola jako graf kvadratické funkce, parabola a přímka a osm řešených příkladů.

Co je parabola

Parabolu většina z vás zná jako graf kvadratické funkce `y=ax^2+bx+c`. Analytická geometrie ji ale definuje jinak, pomocí vzdáleností: vezměte libovolný bod X paraboly, změřte jeho vzdálenost od ohniska a jeho vzdálenost od řídicí přímky. Obě vyjdou vždy stejně.

FVXDp|XF||Xd|řídicí přímka dosa|XF| = |Xd| pro každý bod X paraboly

Na obrázku je parabola `x^2=4y`, bod `X[4;\ 4]` má od ohniska `F[0;\ 1]` i od řídicí přímky `y=-1` vzdálenost 5. Vzdálenost bodu od přímky se měří vždy kolmo, proto úsečka XD svírá s přímkou d pravý úhel.

Z definice plynou další pojmy:

  • Osa paraboly je přímka, která prochází ohniskem a je kolmá k řídicí přímce. Parabola je podle ní souměrná.
  • Vrchol V je průsečík paraboly s osou. Leží přesně v polovině mezi ohniskem a řídicí přímkou, takže `|VF|=\frac{p}{2}`.
  • Parametr p je vzdálenost ohniska od řídicí přímky, vždy kladné číslo. Čím je p větší, tím je parabola „rozevřenější“.

Ohnisko leží vždy uvnitř paraboly a řídicí přímka vně, na opačné straně od vrcholu. Správně česky je „řídicí přímka“, často se ale píše i „řídící přímka“. Myslí se totéž.

Parabola patří mezi kuželosečky spolu s kružnicí, elipsou a hyperbolou. Vznikne, když kužel řízneme rovinou rovnoběžnou s jednou jeho površkou. Její číselná výstřednost je `\varepsilon=1`, to je právě poměr `|XF|:|Xd|` z definice (elipsa má `\varepsilon\lt 1`, hyperbola `\varepsilon\gt 1`).

Vrcholová rovnice paraboly

Rovnici odvodíme přímo z definice. Položíme vrchol do počátku a osu na osu x, takže ohnisko je `F\left[\frac{p}{2};\ 0\right]` a řídicí přímka `x=-\frac{p}{2}`. Pro bod `X[x;\ y]` má platit `|XF|=|Xd|`:

`\begin{gathered}\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}=x+\frac{p}{2} \\[10pt] x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} \\[10pt] y^2=2px\end{gathered}`

Umocnit jsme mohli, protože obě strany jsou nezáporné: body paraboly leží napravo od řídicí přímky. Když vrchol posuneme do bodu `V[m;\ n]`, nahradíme x výrazem `x-m` a y výrazem `y-n`. Otočením o pravý úhel dostaneme zbylé tři polohy.

Fd(x − m)² = 2p(y − n)
Fd(x − m)² = −2p(y − n)
Fd(y − n)² = 2p(x − m)
Fd(y − n)² = −2p(x − m)

Polohu poznáte podle toho, která proměnná je na druhou. Je-li na druhou x, je osa svislá (`x=m`) a parabola se otevírá nahoru nebo dolů. Je-li na druhou y, je osa vodorovná (`y=n`) a parabola se otevírá doprava nebo doleva. Znaménko před 2p říká, kterým směrem: plus znamená ve směru rostoucí souřadnice.

Svislá osa `x=m`:

RovniceOhnisko FŘídicí přímka
nahoru
`(x-m)^2=2p\,(y-n)`		`\left[m;\ n+\dfrac{p}{2}\right]``y=n-\dfrac{p}{2}`
dolů
`(x-m)^2=-2p\,(y-n)`		`\left[m;\ n-\dfrac{p}{2}\right]``y=n+\dfrac{p}{2}`

Vodorovná osa `y=n`:

RovniceOhnisko FŘídicí přímka
doprava
`(y-n)^2=2p\,(x-m)`		`\left[m+\dfrac{p}{2};\ n\right]``x=m-\dfrac{p}{2}`
doleva
`(y-n)^2=-2p\,(x-m)`		`\left[m-\dfrac{p}{2};\ n\right]``x=m+\dfrac{p}{2}`

Tabulku se nemusíte učit nazpaměť. Stačí si pamatovat, že ohnisko je od vrcholu `\frac{p}{2}` směrem dovnitř paraboly a řídicí přímka stejně daleko na druhou stranu.

Pozor na jiné značení: v některých učebnicích, hlavně zahraničních, se píše `(x-m)^2=4c\,(y-n)`, kde c je vzdálenost vrcholu od ohniska. Je to tatáž rovnice, jen `c=\frac{p}{2}`. Než do vzorce dosadíte, ověřte si, co v něm p znamená.

Příklad 1

Určete vrchol, ohnisko a řídicí přímku paraboly `x^2=4y`.

Na druhou je x a na pravé straně je plus, parabola se tedy otevírá nahoru. Rovnice nemá žádné posunutí, takže `V[0;\ 0]`. Parametr porovnáním se vzorcem: `2p=4`, tedy `p=2` a `\frac{p}{2}=1`.

Ohnisko je o 1 nad vrcholem, `F[0;\ 1]`, řídicí přímka o 1 pod ním, `y=-1`. Osou paraboly je osa y.

Kontrola: bod `[2;\ 1]` leží na parabole (`4=4\cdot 1`). Od ohniska má vzdálenost 2 a od přímky `y=-1` také 2.

Příklad 2

Napište vrcholovou rovnici paraboly s vrcholem `V[-3;\ 4]` a řídicí přímkou `y=6`.

Řídicí přímka je vodorovná a leží nad vrcholem. Ohnisko je na opačné straně, takže se parabola otevírá dolů a má svislou osu `x=-3`. Vzdálenost vrcholu od řídicí přímky je `6-4=2=\frac{p}{2}`, proto `p=4` a `2p=8`.

`(x+3)^2=-8\,(y-4)`

Ohnisko je o 2 pod vrcholem, `F[-3;\ 2]`. Kontrola: pro `x=1` vychází `16=-8(y-4)`, tedy `y=2`. Bod `[1;\ 2]` má od F vzdálenost 4 a od přímky `y=6` také 4.

Příklad 3

Napište rovnici paraboly s vrcholem `V[5;\ 2]` a ohniskem `F[3;\ 2]`.

Vrchol i ohnisko mají stejnou souřadnici y, osa je tedy vodorovná, `y=2`. Ohnisko leží vlevo od vrcholu, parabola se otevírá doleva. `|VF|=5-3=2=\frac{p}{2}`, takže `p=4`.

`(y-2)^2=-8\,(x-5)`

Řídicí přímka je o 2 vpravo od vrcholu: `x=7`. Kontrola: bod `[3;\ 6]` vyhovuje rovnici (`16=-8\cdot(-2)`), od ohniska má vzdálenost 4 a od přímky `x=7` také 4.

Příklad 4

Parabola má ohnisko `F[1;\ 3]` a řídicí přímku `y=-1`. Napište její rovnici.

F[1; 3]V[1; 1]X[5; 3]44d: y = −1xyx = 1

Osa jde ohniskem kolmo k řídicí přímce, je to `x=1`. Vzdálenost ohniska od přímky je `p=3-(-1)=4`. Vrchol leží v polovině, `V[1;\ 1]`. Ohnisko je nad řídicí přímkou, parabola se otevírá nahoru:

`(x-1)^2=8\,(y-1)`

Kontrola na obrázku: bod `X[5;\ 3]` leží na parabole (`16=8\cdot 2`) a má od ohniska i od řídicí přímky vzdálenost 4. Vzdálenost |XF| si můžete přepočítat kalkulačkou pro vzdálenost dvou bodů, odkaz má body předvyplněné.

Úlohu jde řešit i bez vzorců, rovnou z definice: `\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=|y+1|`, po umocnění `(x-1)^2+y^2-6y+9=y^2+2y+1`, a to je po úpravě `(x-1)^2=8y-8`. Vyjde totéž.

Obecná rovnice paraboly

Když ve vrcholové rovnici roznásobíte závorky a vše převedete na jednu stranu, dostanete obecnou rovnici paraboly:

`\begin{gathered}x^2+2rx+2sy+t=0,\quad s\ne 0 \\[4pt] y^2+2rx+2sy+t=0,\quad r\ne 0\end{gathered}`

První tvar patří parabole se svislou osou, druhý parabole s vodorovnou osou. Rovnici paraboly poznáte podle toho, že je v ní na druhou právě jedna proměnná. Jsou-li na druhou obě, jde o kružnici, elipsu nebo hyperbolu.

Podmínka `s\ne 0` není formalita. Rovnice `x^2-4x+3=0` neobsahuje y, takže popisuje dvě svislé přímky `x=1` a `x=3`, žádnou parabolu.

V příkladu 3 je obecná rovnice:

`\begin{aligned}(y-2)^2&=-8\,(x-5)\\[4pt] y^2-4y+4&=-8x+40\\[4pt] y^2+8x-4y-36&=0\end{aligned}`

Opačný převod, z obecné rovnice na vrcholovou, se dělá doplněním na čtverec, stejně jako u kružnice. Z vrcholové rovnice se pak vrchol, ohnisko i řídicí přímka čtou přímo.

Příklad 5

Určete vrchol, ohnisko a řídicí přímku paraboly `2y^2-4y+x+4=0`.

Na druhou je y, osa bude vodorovná. Členy s y necháme vlevo, zbytek převedeme doprava a vytkneme dvojku, aby u `y^2` byla jednička:

`\begin{aligned}2y^2-4y&=-x-4\\[4pt] 2\,(y^2-2y)&=-x-4\\[4pt] 2\,\big[(y-1)^2-1\big]&=-x-4\\[4pt] 2\,(y-1)^2&=-x-2\\[4pt] (y-1)^2&=-\tfrac{1}{2}\,(x+2)\end{aligned}`

Vrchol `V[-2;\ 1]`, parabola se otevírá doleva. `2p=\frac{1}{2}`, tedy `p=\frac{1}{4}` a `\frac{p}{2}=\frac{1}{8}`. Ohnisko je o `\frac{1}{8}` vlevo od vrcholu, řídicí přímka o `\frac{1}{8}` vpravo:

`F\left[-\dfrac{17}{8};\ 1\right],\qquad d:\ x=-\dfrac{15}{8}`

Kontrola: bod `X[-10;\ 3]` leží na parabole, protože `(3-1)^2=4` a `-\frac{1}{2}(-10+2)=4`. Jeho vzdálenost od ohniska je `\sqrt{\left(\frac{63}{8}\right)^2+2^2}=\frac{65}{8}` a od řídicí přímky `\left|-10+\frac{15}{8}\right|=\frac{65}{8}`.

Parabola jako graf kvadratické funkce

Graf funkce `y=ax^2+bx+c` je parabola se svislou osou. Vrchol leží na ose `x=-\frac{b}{2a}` a druhou souřadnici dostanete dosazením. Funkce se dá zapsat ve vrcholovém tvaru

`y=a\,(x-m)^2+n`

a po vydělení číslem a z něj je vidět rovnice paraboly `(x-m)^2=\frac{1}{a}\,(y-n)`. Porovnáním `2p=\frac{1}{|a|}`, takže ohnisko je od vrcholu vzdálené `\frac{1}{4|a|}`:

`F\left[m;\ n+\dfrac{1}{4a}\right],\qquad d:\ y=n-\dfrac{1}{4a}`

Pro `a\gt 0` je parabola otevřená nahoru, pro `a\lt 0` dolů (vzorec to ohlídá sám, zlomek `\frac{1}{4a}` je pak záporný). Čím větší `|a|`, tím užší parabola a tím blíž je ohnisko k vrcholu.

Příklad 6

Najděte vrchol, ohnisko a řídicí přímku grafu funkce `y=x^2-4x+1`.

Vrchol: `x=-\frac{-4}{2}=2`, `y=4-8+1=-3`, tedy `V[2;\ {-}3]`. Doplněním na čtverec `y=(x-2)^2-3`, neboli `(x-2)^2=y+3`. Tady `2p=1`, `\frac{p}{2}=\frac{1}{4}`:

`F\left[2;\ {-}\dfrac{11}{4}\right],\qquad d:\ y=-\dfrac{13}{4}`

Kontrola: bod `[0;\ 1]` leží na grafu. Od ohniska má vzdálenost `\sqrt{4+\left(\frac{15}{4}\right)^2}=\frac{17}{4}` a od přímky `y=-\frac{13}{4}` také `1+\frac{13}{4}=\frac{17}{4}`. Vrchol, osu i vrcholový tvar spočítá kalkulačka vrcholu paraboly (odkaz má tento příklad předvyplněný) a čtení vrcholu z předpisu si procvičíte v procvičování vrcholu paraboly.

Obráceně to neplatí: parabola otevřená doprava nebo doleva, třeba `y^2=x`, grafem funkce `y=f(x)` není. Pro `x=4` by musela mít dvě hodnoty, `y=2` a `y=-2`.

Parabola a přímka

Společné body přímky a paraboly najdeme dosazením rovnice přímky do rovnice paraboly. Obvykle vyjde kvadratická rovnice a o poloze rozhodne její diskriminant:

  • `D\gt 0`: dva průsečíky, přímka je sečna,
  • `D=0`: jeden společný bod, přímka je tečna,
  • `D\lt 0`: žádný společný bod, přímka je vnější.

Jedna výjimka: přímka rovnoběžná s osou paraboly ji protne v jediném bodě, a přesto to tečna není, prochází parabolou skrz. Po dosazení vyjde lineární rovnice, ne kvadratická, takže se to pozná hned.

Příklad 7

Určete vzájemnou polohu paraboly `y^2=4x` a přímek `y=x-3` a `y=x+1`.

První přímka: z `x=y+3` dosadíme a dostaneme `y^2=4y+12`, tedy `y^2-4y-12=0`. `D=16+48=64\gt 0`, kořeny `y_1=6`, `y_2=-2`. Průsečíky jsou `[9;\ 6]` a `[1;\ {-}2]`, přímka je sečna. Kontrola: `36=4\cdot 9` a `4=4\cdot 1`.

Druhá přímka: `x=y-1`, takže `y^2=4y-4`, tedy `y^2-4y+4=(y-2)^2=0`. `D=0`, jediný společný bod `[1;\ 2]`, přímka je tečna.

Kvadratickou rovnici i s diskriminantem vám zkontroluje kalkulačka kvadratické rovnice, postup je rozepsaný v článku Kvadratická rovnice.

Kde se parabola používá

Míč nebo kámen hozený šikmo letí po parabole, pokud zanedbáme odpor vzduchu. S ním se dráha zkracuje a mluví se o balistické křivce.

Důležitější je odrazová vlastnost: paprsek, který dopadne na parabolu rovnoběžně s její osou, se odrazí přímo do ohniska. Platí to i obráceně, světlo ze zdroje v ohnisku se odrazí do rovnoběžného svazku.

ohnisko Fpaprsky z družice

Proto má satelitní talíř tvar paraboly (přesněji rotačního paraboloidu) a přijímač sedí v ohnisku. Stejně fungují reflektory aut, kapesní svítilny, solární vařiče a zrcadlové dalekohledy.

Příklad 8

Satelitní talíř má průměr 60 cm a hloubku 9 cm. Jak daleko od středu talíře musí být přijímač?

Řez talířem vedený osou je parabola. Vrchol dáme do počátku a osu na osu y: `x^2=2py`. Okraj talíře je bod `[30;\ 9]`, protože poloměr je 30 cm a hloubka 9 cm. Dosadíme:

`\begin{gathered}30^2=2p\cdot 9 \\[4pt] 900=18p\quad\Rightarrow\quad p=50\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Ohnisko je od vrcholu `\frac{p}{2}=25\ \mathrm{cm}`. Přijímač tedy musí být 25 cm nad středem talíře.

Kontrola z definice: okraj `[30;\ 9]` má od ohniska `[0;\ 25]` vzdálenost `\sqrt{900+256}=34` a od řídicí přímky `y=-25` vzdálenost `9+25=34`.

Časté chyby

  • Ohnisko vzdálené od vrcholu p místo `\frac{p}{2}`. Parametr je vzdálenost ohniska od řídicí přímky, vrchol je v polovině. U `x^2=4y` je ohnisko `[0;\ 1]`, ne `[0;\ 2]` ani `[0;\ 4]`.
  • Parametr přečtený před vydělením. Z `2(y-1)^2=-(x+2)` nelze číst `2p=1`. Nejdřív celou rovnici vydělte dvěma, pak `2p=\frac{1}{2}`.
  • Záměna osy. Parabola `y^2=2px` se otevírá doprava, ne nahoru. Kdo si není jistý, dosadí jeden bod: pro `x=-1` by `y^2` vyšlo záporné, takže vlevo od osy y parabola neleží.
  • Znaménko ve vrcholu. Z `(x+3)^2` je `m=-3`, ne 3. Závorka má tvar `x-m`.
  • Řídicí přímka na stejné straně jako ohnisko. Leží vždy na opačné straně od vrcholu. Parabola ohnisko „obtéká“, řídicí přímku nikdy neprotne.
  • Přímka rovnoběžná s osou jako tečna. Má s parabolou jeden společný bod, ale je to sečna. Tečna je jen ta, u které vyjde `D=0`.
  • Jiné značení z jiné učebnice. Ve tvaru `(x-m)^2=4c\,(y-n)` je c přímo vzdálenost vrcholu od ohniska. Obě značení dávají stejné ohnisko, jen je nesmíte míchat.

Příklady k procvičení

1. Určete vrchol, ohnisko, řídicí přímku a osu paraboly `y^2=12x`.

2. Napište rovnici paraboly s vrcholem `V[3;\ 0]` a svislou osou, otevřené nahoru, jejíž ohnisko je od vrcholu vzdálené 2.

3. Napište rovnici paraboly s vrcholem `V[2;\ {-}6]` a ohniskem `F[2;\ {-}8]`. Jakou rovnici má řídicí přímka?

4. Převeďte obecnou rovnici `x^2+4x-4y+8=0` na vrcholovou a určete vrchol, ohnisko a řídicí přímku.

5. Najděte ohnisko a řídicí přímku grafu funkce `y=-\frac{1}{2}x^2+2x+1`.

6. Zrcadlo svítilny má tvar paraboly (v řezu osou), průměr 12 cm a hloubku 4 cm. Kam je potřeba umístit žárovku, aby svítilna dávala rovnoběžný svazek?

Kam dál

Vrchol paraboly z předpisu kvadratické funkce si procvičíte v procvičování vrcholu paraboly a spočítáte kalkulačkou vrcholu paraboly. Vzdálenosti bodu od ohniska ověříte kalkulačkou pro vzdálenost dvou bodů.

Další kuželosečky: Kružnice (doplnění na čtverec funguje stejně) a Elipsa. Parabolu jako graf funkce a řešení rovnic probírá článek Kvadratická rovnice, souřadnice a vzdálenosti Analytická geometrie - Úvod.