Analytická geometrie - Parabola

S pojmem parabola se většina z vás již setkala. Ano, parabola je grafem kvadratické funkce f: y = ax2+bx+c. V analytické geometrii je parabola definována jako množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od přímky p. Bod F se nazývá ohnisko a přímka p se nazývá řídící přímka paraboly.

Parabola spadá do kategorie kuželoseček. Na tomto webu naleznete články zabývající se kuželosečkami Analytická geometrie - Kružnice a Analytická geometrie - Elipsa.

Přímka tvořená body V a F se nazývá osou paraboly.

Obecná rovnice paraboly

Rovnice ve tvaru `(x-m)^2=\pm 4p(y-n)` nebo `(y-n)^2 = \pm 4p(x-m)` se nazývá obecnou rovnicí paraboly. Takováto parabola má vrchol v bodě V[m; n] a ohnisko je od vrcholu ve vzdálenosti p.

Je mi jasné, že z těchto definic se toho moc nedá pochopit a proto raději přejdu k několika vyřešeným příkladům, které by vám měli pomoci danou látku vysvětlit.

1) Najděte vrchol, ohnisko a řídící přímku paraboly dané rovnicí `x^2=4y`.

Začneme tím, že najdeme vrchol paraboly. Obecná rovnice této paraboly je `(x-m)^2=\pm 4p(y-n)`, kde m; n jsou souřadnice vrcholu. Naše rovnice ale nemá žádné členy m; n, respektive jsou tyto členy nevyjádřené, protože se rovnají nule. Souřadnice vrcholu tedy jsou V[m; n] = V[0; 0]. Dalším krokem je nalezení hodnoty proměnné p. Tu nalezneme pomocí rovnice `4p = 4` → p = 1. Souřadnice ohniska jsou F[0; 1] a řídící přímka má rovnici y = -1.

Některým z vás možná vrtá hlavou, jaký je rozdíl mezi rovnice `(x-m)^2=\pm 4p(y-n)` a . Odpověď je jednoduchá. Tyto rovnice se liší v orientaci paraboly → je-li osa paraboly rovnoběžná s osou x nebo s osou y. V první rovnici je kvadratický člen x - přímka je rovnoběžná s osou y. Ve druhé rovnici je tomu naopak, osa paraboly je rovnoběžná s osou x

V předchozím ukázkovém příkladě jsem bez vysvětlení napsal souřadnice ohniska a rovnici řídící přímky. Tyto údaje se dají získat buď logickým závěrem nebo dosazením do vzorečku.

Směr, kterým se parabola otevírá určuje hodnota proměnné `p`:

2) Napište obecnou rovnici paraboly s vrcholem v bodě V[-3; 4] a řídící přímkou y=6.

Předpis obecné rovnice paraboly je `(x-m)^2=\pm 4p(y-n)`. Do tohoto předpisu stačí dosadit hodnoty m, n a p. Získat hodnoty proměnných m a n není problém → m=-3, n=4, ale nalezení hodnotu proměnné p by mohlo někomu způsobit menší problém.

Stačí, když se podíváte do první tabulky, jak je definována řídící přímka. Tato definice je y=n-p.

y=n-p
6=4-p
p = -2

Výsledná rovnice tedy vypadá takto: `(x+3)^2=-8(y-4)`

Vrcholová rovnice

Parabolu lze popsat více způsoby než pouze obecnou rovnicí. Další způsob je právě vrcholová rovnice paraboly, která má tvar `x^2+2rx+2sy+t=0\ \ (s\ne0)` nebo `y^2+2rx+2sy+t=0\ \ (r\ne0)`. Tato rovnice není nic jiného, než roznásobená obecná rovnice paraboly.

3) Nalezněte vrchol, ohnisko a řídící přímku paraboly určené rovnicí `2y^2-4y+x+4=0`.

Nejlehčí je převést vrcholovou rovnici na obecnou rovnici, ze které již dané údaje získáme velmi lehce. Abychom získali obecnou rovnici musíme naši rovnici upravit na čtverec:

`\begin{array}{rcl}2y^2-4y+x+4&=&0\\2y^2-4y&=&-x-4\\2*(y^2-2y)&=&-x-4\\2*(y-1)^2&=&-x-4+2\\2*(y-1)^2&=&-x-2\\(y-1)^2&=&-\frac{1}{2}(x+2)\end{array}`

Nyní, když známe obecnou rovnici, není problém nalézt vrchol, ohnisko a řídící přímku: V[-2, 1], `F[-2-\frac{1}{8}; 1] \rightarrow F[-\frac{17}{8}; 1]`, `x=-2+\frac{1}{8} \rightarrow x=-\frac{15}{8}`.

4) Napište vrcholovou rovnici paraboly s vrcholem V[5; 2] a ohniskem F[3; 2].

Začneme tím, že nalezneme obecnou rovnici této paraboly. Ale nejprve musíme zjistit hodnotu proměnné p: `p=-2`

Obecná rovnice této paraboly tedy je `(y-2)^2=-8(x-5)`. Roznásobením získáme vrcholovou rovnici:

`\begin{array}{rcl}(y-2)^2&=&-8(x-5)\\y^2-4y+4&=&-8x+40\\y^2-4y+8x-36&=&0\end{array}`

5) Nalezněte obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[3; 0] a víte, že vzdálenost vrcholu a ohniska je p=2 a že osa paraboly je vertikální.

Osa paraboly je rovnoběžná s osou y a hodnota proměnné p je kladná a proto stačí, když naše hodnoty dosadíme do rovnice: `(x-m)^2=4p(y-n)` → `(x-3)^2=8y`.

6) Nalezněte obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[2; -6], p=-2 a osou paraboly x=2.

Máme všechny potřebné hodnoty, jediné co musíme zjistit je, do jaké rovnice tyto hodnoty dosadit. Osa paraboly je rovnoběžná s osou y a proto víme, že dosazujeme do rovnice `(x-m)^2=\pm 4p(y-n)` → `(x-2)^2=-8(y+6)`.

Využití paraboly

S parabolou se setkáváme v reálném životě poměrně často. Nejčastější příklad je trajektorie tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli je právě parabola. Pokud do toho pohybu započítáme odpor vzduchu, říkáme že se těleso pohybuje po balistické křivce.

Předchozí obrázek je odpovědí na to, proč jsou satelity ve tvaru paraboly. Jakýkoliv paprsek, který dorazí do paraboly se odrazí do jednoho bodu - do ohniska.