Analytická geometrie - Polohové úlohy v rovině

Dvě přímky v rovině jsou kolmé, když jsou na sebe kolmé jejich normálové vektory, tedy když je skalární součin normálových vektorů roven nule. Pro přímky zadané obecnou rovnicí to znamená:

`\begin{gathered}p:\ a_1x+b_1y+c_1=0 \\[6pt] q:\ a_2x+b_2y+c_2=0 \\[6pt] p\perp q \iff a_1a_2+b_1b_2=0\end{gathered}`

Ve směrnicovém tvaru `y=kx+q` se totéž pozná podle směrnic: přímky jsou kolmé, když `k_1\cdot k_2=-1`. Z kolmosti vychází většina úloh, které se v analytické geometrii v rovině počítají: kolmice daným bodem, pata kolmice, souměrně sdružený bod, osa úsečky a výšky trojúhelníku. Všechny se řeší stejným trikem: normálový vektor jedné přímky je směrovým vektorem přímky na ni kolmé.

Polohové úlohy se ptají, jak leží body a přímky vůči sobě (rovnoběžné, kolmé, průsečík, obraz bodu), metrické úlohy na velikosti (vzdálenost a odchylka). Oboje stojí na dvou vektorech, které se z obecné rovnice `ax+by+c=0` přečtou hned: normálový `\vec{n}=(a;\ b)` a směrový `\vec{u}=(-b;\ a)`.

Kolmost vektorů a přímek

Dva nenulové vektory jsou kolmé právě tehdy, když je jejich skalární součin nula:

`\vec{u}\perp\vec{v} \iff u_1v_1+u_2v_2=0`

Například `\vec{u}=(5;\ 4)` a `\vec{v}=(-4;\ 5)`: `5\cdot(-4)+4\cdot 5=-20+20=0`, vektory jsou kolmé. Všimněte si, jak `\vec{v}` vznikl: souřadnice se prohodily a u jedné se změnilo znaménko. Tak se v rovině dostane kolmý vektor k libovolnému vektoru, `(a;\ b)\to(-b;\ a)` nebo `(b;\ {-a})`. Ověřit dvojici vektorů můžete i v kalkulačce kolmost a rovnoběžnost vektorů.

U přímek záleží na tom, v jakém tvaru jsou zadané. Vždy jde o to najít dva vektory, které mají být kolmé (nebo rovnoběžné):

Pravidlo se směrnicemi má jednu výjimku: svislá přímka `x=c` směrnici nemá. Svislá a vodorovná přímka jsou kolmé, i když součin směrnic napsat nejde. Proto je bezpečnější počítat s vektory.

Příklad 1

Jsou přímky `p:\ 2x+4y-2=0` a `q:\ 4x-2y+4=0` kolmé?

Normálové vektory přečteme z koeficientů: `\vec{n}_p=(2;\ 4)`, `\vec{n}_q=(4;\ {-2})`. Skalární součin:

`\vec{n}_p\cdot\vec{n}_q=2\cdot 4+4\cdot(-2)=8-8=0`

Přímky jsou kolmé. Kontrola směrnicemi: `p:\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}`, `q:\ y=2x+2`, a `-\frac{1}{2}\cdot 2=-1`. Na obrázku jsou normálové vektory zkrácené na polovinu, `(1;\ 2)` a `(2;\ {-1})`, na kolmosti to nic nemění.

Příklad 2

Jsou kolmé přímky `p:\ x=1+2t,\ y=3-t` a `q:\ 2x-y+5=0`?

Přímka p je zadaná parametricky, má směrový vektor `\vec{u}_p=(2;\ {-1})`. Přímka q má normálový vektor `\vec{n}_q=(2;\ {-1})`. Směrový vektor p je stejný jako normálový vektor q, takže p míří přesně kolmo na q: přímky jsou kolmé.

Kdo chce mít jistotu, převede q na směrový vektor `\vec{u}_q=(1;\ 2)` a spočítá `\vec{u}_p\cdot\vec{u}_q=2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0`. Častá chyba je vynásobit směrový vektor jedné přímky normálovým vektorem druhé a z nuly usoudit na kolmost. Nula tu znamená opak: `\vec{u}_p\cdot\vec{n}_q=0` má rovnoběžné přímky.

Kolmice daným bodem k přímce

Kolmice k k přímce `p:\ ax+by+c=0` má za směrový vektor normálový vektor přímky p. Její normálový vektor je tedy kolmý na `(a;\ b)`, třeba `(b;\ {-a})`, a obecná rovnice kolmice má tvar:

`k:\ bx-ay+c'=0`

Koeficienty a a b se prohodí a u jednoho se změní znaménko. Zbývá číslo `c'`, které se dopočítá dosazením bodu, kterým má kolmice procházet.

Příklad 3

Veďte bodem `X[5;\ 5]` kolmici k k přímce `p:\ x+y+1=0`.

Přímka p má `\vec{n}=(1;\ 1)`. Kolmice má normálový vektor `(1;\ {-1})`, takže:

`\begin{gathered}k:\ x-y+c'=0 \\[6pt] 5-5+c'=0 \ \Rightarrow\ c'=0 \\[6pt] k:\ x-y=0\end{gathered}`

Kolmice je osa prvního a třetího kvadrantu, `y=x`. Zkouška: `[5;\ 5]` na ní leží a součin normálových vektorů je `1\cdot 1+1\cdot(-1)=0`. Celou úlohu i s převodem do všech tvarů spočítá kalkulačka kolmice daným bodem.

Pokud je přímka zadaná parametricky, je to ještě jednodušší: její směrový vektor je přímo normálovým vektorem kolmice. U přímky `x=2+t,\ y=3t` se směrem `(1;\ 3)` má každá kolmice rovnici `x+3y+c'=0`.

Pata kolmice: kolmý průmět bodu na přímku

Pata kolmice P je bod, ve kterém kolmice z bodu X protne přímku p. Je to bod přímky nejbližší bodu X, a vzdálenost `|XP|` je proto vzdálenost bodu od přímky. Postup má tři kroky:

1. rovnice kolmice bodem X,
2. průsečík kolmice s přímkou p (to je pata P),
3. případně vzdálenost `|XP|`.

Rychlejší cesta vede přes parametrické vyjádření kolmice `X+t\cdot\vec{n}`: dosadí se do rovnice přímky a vyjde jedno t.

Příklad 4

Najděte patu kolmice z bodu `X[2;\ 3]` na přímku `p:\ 4x-2y+1=0` a vzdálenost bodu X od přímky.

Normálový vektor přímky je `\vec{n}=(4;\ {-2})`. Kolmice bodem X má tento vektor za směrový:

`x=2+4t, \quad y=3-2t`

Dosadíme do rovnice přímky p:

`\begin{gathered}4(2+4t)-2(3-2t)+1=0 \\[10pt] 8+16t-6+4t+1=0 \\[10pt] 20t+3=0 \ \Rightarrow\ t=-\frac{3}{20}\end{gathered}`

Pata kolmice je `P=\left[2-\frac{12}{20};\ 3+\frac{6}{20}\right]=\left[\frac{7}{5};\ \frac{33}{10}\right]=[1{,}4;\ 3{,}3]`. Zkouška: `4\cdot 1{,}4-2\cdot 3{,}3+1=5{,}6-6{,}6+1=0`, bod na přímce leží.

Vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky XP:

`\begin{aligned}|XP|&=\sqrt{(1{,}4-2)^2+(3{,}3-3)^2}\\[6pt]&=\sqrt{0{,}36+0{,}09}=\sqrt{0{,}45}\doteq 0{,}67\end{aligned}`

Stejné číslo dá přímo vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, `d=\frac{|4\cdot 2-2\cdot 3+1|}{\sqrt{16+4}}=\frac{3}{\sqrt{20}}\doteq 0{,}67`. Ten je podrobně vysvětlený v článku Vzdálenost bodu od přímky a patu kolmice k němu vypíše i kalkulačka vzdálenosti bodu od přímky.

Souměrně sdružený bod podle přímky

Bod A′ je souměrně sdružený s bodem A podle přímky p (je jeho obrazem v osové souměrnosti s osou p), když úsečka AA′ je kolmá na p a její střed leží na p. Tím středem je právě pata kolmice P, a proto:

`\begin{gathered}A'=2P-A \\[6pt] a'_1=2p_1-a_1, \quad a'_2=2p_2-a_2\end{gathered}`

Postup je tedy stejný jako u paty kolmice, jen s jedním krokem navíc: od A k P a ještě jednou tolik dál.

Příklad 5

Určete bod A′ souměrně sdružený s bodem `A[5;\ 1]` podle přímky `p:\ 2x-y-4=0`.

Kolmice bodem A má směrový vektor `\vec{n}=(2;\ {-1})`, tedy normálový `(1;\ 2)`:

`\begin{gathered}q:\ x+2y+c=0 \\[6pt] 5+2\cdot 1+c=0 \ \Rightarrow\ c=-7 \\[6pt] q:\ x+2y-7=0\end{gathered}`

Patu kolmice dostaneme jako průsečík p a q. Z rovnice p je `y=2x-4`, dosadíme do q:

`\begin{gathered}x+2(2x-4)-7=0 \\[6pt] 5x-15=0 \ \Rightarrow\ x=3,\ y=2\end{gathered}`

Pata je `P[3;\ 2]` a souměrně sdružený bod:

`A'=[2\cdot 3-5;\ 2\cdot 2-1]=[1;\ 3]`

Zkouška má dvě části. Střed úsečky AA′ je `\left[\frac{5+1}{2};\ \frac{1+3}{2}\right]=[3;\ 2]` a leží na p: `6-2-4=0`. Vektor `A'-A=(-4;\ 2)` je násobkem `(2;\ {-1})`, takže je na p kolmý. Poslední krok, bod souměrný podle bodu, umí i kalkulačka středu úsečky: pro krajní body A a P vypíše bod souměrný s A podle P.

Podle souřadnicových os se nic počítat nemusí: podle osy x je obraz bodu `[x;\ y]` bod `[x;\ {-y}]`, podle osy y bod `[-x;\ y]` a podle přímky `y=x` bod `[y;\ x]`. Tyhle případy si můžete vyzkoušet v procvičování osové a středové souměrnosti.

Osa úsečky

Osa úsečky AB je přímka kolmá na AB, která prochází jejím středem. Vektor `B-A` je proto jejím normálovým vektorem a bod, který se dosadí, je střed úsečky.

Příklad 6

Napište rovnici osy úsečky AB, kde `A[2;\ 0]` a `B[4;\ 4]`.

`\begin{gathered}S=\left[\frac{2+4}{2};\ \frac{0+4}{2}\right]=[3;\ 2] \\[10pt] \vec{n}=B-A=(2;\ 4) \\[10pt] 2x+4y+c=0 \\[10pt] 6+8+c=0 \ \Rightarrow\ c=-14 \\[10pt] 2x+4y-14=0, \ \text{tedy}\ x+2y-7=0\end{gathered}`

Zkouška jiným postupem: osa je množina bodů, které mají od A i B stejnou vzdálenost. Z rovnosti `(x-2)^2+y^2=(x-4)^2+(y-4)^2` po roznásobení zbude `4x+8y-28=0`, což je po vydělení čtyřmi tatáž přímka `x+2y-7=0`.

Osy stran trojúhelníku se protínají ve středu kružnice opsané. Ze dvou os se tak dá spočítat střed kružnice, která prochází třemi danými body.

Výšky trojúhelníku a průsečík výšek

Výška trojúhelníku je kolmice z vrcholu na protější stranu. Výška `v_a` tedy prochází vrcholem A a jejím normálovým vektorem je vektor strany `C-B`. Všechny tři výšky se protínají v jednom bodě, průsečíku výšek (ortocentru). U tupoúhlého trojúhelníku leží mimo něj.

Příklad 7

Z trojúhelníku ABC známe vrcholy `A[1;\ 2]`, `B[-1;\ 0]` a průsečík výšek `V[1;\ {-1}]`. Určete vrchol C.

Úloha jde obráceně: výšky známe (každá prochází vrcholem a bodem V) a strany jsou na ně kolmé.

1. Výška `v_a` prochází body A a V, má směr `A-V=(0;\ 3)`. Strana a (přímka BC) je na ni kolmá, takže `(0;\ 3)` je její normálový vektor: `3y+c=0`, a protože prochází bodem B, je `c=0`. Strana a leží na přímce `y=0`.
2. Výška `v_b` prochází body B a V, má směr `B-V=(-2;\ 1)`. Strana b (přímka AC) má tento normálový vektor: `-2x+y+c=0`, dosadíme A: `-2+2+c=0`, `c=0`. Strana b leží na přímce `y=2x`.
3. Vrchol C leží na obou stranách: `y=0` a `y=2x` dává `C[0;\ 0]`.

Zkouška: třetí výška `v_c` musí také projít bodem V. Vektor `V-C=(1;\ {-1})` a strana `B-A=(-2;\ {-2})` dávají `-2+2=0`, jsou kolmé, takže výška z C opravdu prochází V. Bod V leží mimo trojúhelník, protože úhel u vrcholu C je tupý.

Odchylka dvou přímek

Odchylka dvou přímek je menší z úhlů, které spolu svírají, takže je vždy v intervalu `\langle 0^\circ;\ 90^\circ\rangle`. Počítá se ze směrových vektorů, nebo stejně dobře z normálových, podle vzorce pro úhel dvou vektorů, jen s absolutní hodnotou v čitateli:

`\cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`

Absolutní hodnota zaručí, že vyjde ostrý úhel. Bez ní by se mohl objevit tupý úhel, který spolu přímky svírají také, ale za odchylku se nepovažuje. Rovnoběžné přímky mají odchylku `0^\circ`, kolmé `90^\circ`.

Příklad 8

Určete odchylku přímek `p:\ x=1+t,\ y=2+3t` a `q:\ 2x+y-1=0`.

Přímka p má směrový vektor `\vec{u}=(1;\ 3)`. Přímka q má normálový vektor `(2;\ 1)`, takže směrový `\vec{v}=(-1;\ 2)`.

`\begin{gathered}\cos\varphi=\dfrac{|1\cdot(-1)+3\cdot 2|}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[10pt] \varphi=45^\circ\end{gathered}`

Příklad 9

Jaký úhel svírají přímky `p:\ 3x-4y+7=0` a `q:\ x+2y-1=0`?

Obě jsou v obecném tvaru, takže stačí normálové vektory `(3;\ {-4})` a `(1;\ 2)`:

`\begin{gathered}\begin{aligned}\cos\varphi&=\dfrac{|3\cdot 1+(-4)\cdot 2|}{5\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{5}{5\sqrt{5}}\\[8pt]&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\doteq 0{,}4472\end{aligned} \\[10pt] \varphi\doteq 63^\circ 26'\end{gathered}`

Druhý úhel, který přímky na obrázku svírají, má `180^\circ-63^\circ 26'=116^\circ 34'`. Ten by vyšel bez absolutní hodnoty. Kontrola přes směrnice: `k_1=\frac{3}{4}`, `k_2=-\frac{1}{2}` a podle vzorce

`\operatorname{tg}\varphi=\left|\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|=\left|\dfrac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}}\right|=2`

dává `\varphi=\operatorname{arctg}2\doteq 63^\circ 26'`, totéž. Odchylku z obecných rovnic spočítá i kalkulačka odchylky dvou přímek.

Vzdálenost bodu od přímky a dvou rovnoběžek

Vzdálenost bodu `X[x_0;\ y_0]` od přímky `ax+by+c=0` je délka úsečky z bodu k patě kolmice. Místo hledání paty se dá použít vzorec:

`d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}`

Dvě rovnoběžky `ax+by+c_1=0` a `ax+by+c_2=0` (se stejnými a a b) mají od sebe vzdálenost

`d=\dfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}`

Například `3x+4y-5=0` a `3x+4y+10=0` jsou od sebe `\frac{|-5-10|}{5}=3`. Odvození i příklady v prostoru jsou v článku Vzdálenost bodu od přímky.

Přehled: jak se která úloha řeší

Rovnoběžnost, průsečík a vzájemnou polohu dvou přímek řeší článek Obecná rovnice přímky, pro parametrické rovnice Vzájemná poloha přímek daných parametrickými rovnicemi. Průsečík z obecných rovnic spočítá i kalkulačka průsečíku dvou přímek, zde s přímkami z příkladu 5.

Časté chyby

• Normálový vektor místo směrového. Z rovnice `ax+by+c=0` se čte normálový vektor `(a;\ b)`, ne směrový. Kdo ho použije jako směr přímky, dostane kolmici místo rovnoběžky a naopak. Kontrola: dosaďte do rovnice dva body přímky, oba musí vyjít nula.
• Kolmý vektor bez změny znaménka. Z `(2;\ 4)` se prohozením stane `(4;\ 2)`, a to kolmé není: `8+8=16`. Kolmý je `(4;\ {-2})` nebo `(-4;\ 2)`.
• Odchylka bez absolutní hodnoty. Když vyjde `\cos\varphi` záporný, vyšel tupý úhel. Odchylka přímek je ten druhý, `180^\circ` minus výsledek.
• Pata kolmice místo souměrného bodu. Průsečík kolmice s přímkou je teprve střed úsečky AA′. Souměrný bod je ještě jednou tak daleko, `A'=2P-A`.
• Zaokrouhlování v půlce postupu. V příkladu 9 je `\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}`. Kdo zaokrouhlí na 0,45, dostane `63^\circ 15'` místo `63^\circ 26'`. Zaokrouhlujte až výsledek.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Skalární součin, na kterém stojí každá kolmost, si procvičíte v procvičování skalárního součinu.
• Kalkulačky: kolmice daným bodem, rovnoběžka daným bodem, odchylka dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky a průsečík dvou přímek.
• Články: Obecná rovnice přímky, Vzdálenost bodu od přímky, Poloha bodu vůči přímce a stejné úlohy v prostoru v článku Metrické úlohy v prostoru.