Sčítání, odčítání a násobení vektorů

Vydáno dne 24. 5. 2008 v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 104 500

Sčítání, odčítání a násobení - prostě počty s vektory.

Sčítání vektorů

Ve fyzice jste možná již vektory (přejít na článek Analytická geometrie - Vektory) sčítali. Pokud na jedno těleso působí dvě síly, hodí se určit jejich výslednici. A právě nyní přijde na řadu sčítání vektorů.

Pokud máme dva vektory u a v a chceme určit jejich součet, vektor w. Vektor w je doslova roven součtu vektorů v a u:

w=(u₁+v₁;u₂+v₂;u₃+v₃)

Součet vektorů se dá znázornit i graficky:

Máme tři body v rovině: A[1;1], B[3;3], C[4;0]. Dále jsou dány vektory: u=B-A a v=C-A. Určete jejich součet, vektor w.

u=(3-1; 3-1)
u=(2;2)
v=(4-1; 0-1)
v=(3;-1)
w=u+v
w=(2+3; 2+(-1))
w=(5;1)

Toto je trochu složitější příklad. Určete vektor u+v+w.

Nejprve si ukážeme grafické řešení a pak si příklad i vypočítáme.

Graficky sečteme vektory w a v. Abychom tyto vektory mohli sečíst, musíme posunout vektor w posunout do stejného počátečního bodu jako má vektor v, tedy do bodu B. Vzniklý vektor pojmenujme w'.

Nyní konečně můžeme graficky sečíst vektory w' a v. Vzniknuvší vektor nazvěme z. Nyní stačí, abychom sečetli vektory z a u a získáme výsledek. Než ale budeme moci vektory sečíst, musíme posunout vektor z do počátečního bodu vektoru u, tedy bodu A.

Nyní už snad každý vidí, že součtem vektorů z' a u vznikne nulový vektor.

Nyní příklad vyřešíme výpočtem. Vektor w=B-D, v=F-B a u=C-A. Výsledný vektor o bude roven: (B-D)+(F-B)+(C-A). V tomto vzorci můžeme vektor u vyjádřit i jako u=D-F.

o=(B-D)+(F-B)+(D-F)
o=B-D+F-B+D-F
o=0

Nyní nám i výpočtem vyšel nulový vektor.

Opačný vektor

Jestliže máme vektor u, existuje k němu opačný vektor -u. Pro tento vektor platí:

u=(u₁;u₂;u₃)
-u=(-u₁;-u₂;-u₃)

Odčítání vektorů

K odčítání vektorů dojde tehdy, kdy budeme sčítat vektor v a vektor -u. Toto se zapíše jako w=v+(-u) a dalším zjednodušením dostaneme w=v-u.

Máme vektory (u=3;2) a v=(3;1). Určete vektor w=u-v.

w=u-v
w=(3-3;2-1)
w=(0;1)

Jsou dány vektory u=(1;-3;2) a v=(2;1;1). Určete jejich součet a rozdíl.

u+v=(1+2;-3+1;2+1)
u+v=(3;-2;3)
u-v=(1-2;-3-1;2-1)
u-v=(-1;-4;1)

Násobení vektoru číslem

Další operací, kterou můžeme s vektory dělat je násobení vektoru reálným číslem k. Toto se hodí například, když na těleso působí nějaká síla a my ji chceme 5x zvýšit.

Pro každý vektor u=(5;1;2) a každé číslo k platí:

k*u=(k*u₁;k*u₂;k*u₂)

Ale pozor, když budeme násobit nulová vektor jakýmkoliv číslem, vždy získáme opět nulový vektor. Toto platí i když násobíme nenulový vektor nulou. Vždy bude výsledek nulový vektor.

Nyní máme bod A a B. Tyto body určují nenulový vektor. Vynásobíme-li tento vektor číslem k, mohou nastat dvě varianty:

Jestliže je k < 0: výsledný vektor bude ležet na polopřímce opačné AB.
Jestliže je k > 0: výsledný vektor bude ležet na polopřímce AB.

Vynásobte vektor u=(1;-1) číslem k=-2:

u*k=(1;-1)*(-2)
u*k=(1*-(2);-1*(-2))
u*k=(-2;2)

Vynásobte vektor u=(1;-1) číslem k=1.5:

u*k=(1;-1)*1.5
u*k=(1*1.5;-1*1.5)
u*k=(1.5;-1.5)

Vypočítejte souřadnice vektoru 2*(3;-1;1)+2*(1;2;5):

w=2*(3;-1;1)+2*(1;2;5)
w=(6;-2;2)+(2;4;10)
w=(8;2;12)

Lineární kombinace vektorů

Ještě bychom si měli vysvětlit pojem lineární kombinace vektorů.

Vektor a*u+b*v+c*w, kde a,b,c jsou reálná čísla se nazývá lineární kombinace vektorů u,v,w. Lineární kombinaci samozřejmě může tvořit libovolné množství vektorů.

Zjistěte, zda vektor u = (-4;8;-12) je lineární kombinací vektorů a=(2;6;-4), b=(4;2;2).

Aby mohla existovat lineární kombinace vektorů a, b, musí existovat taková reálná čísla x, y, aby platilo:

u=x*a+y*b

Z toho nám vyplynou tři rovnice:

Vypočítat je snad není problém, výsledky jakékoliv kombinace dvou rovnic jsou:

[x;y] = [2;-2]

Dosazením těchto čísel do všech třetí zbývající rovnic dojdeme k výsledku, že vektor u je lineární kombinací vektorů a, b.

Procvičování

Vypočítejte lineární kombinaci 2*u+(-1)*v vektorů u=(1;3), v=(-1;7):

Vypočítejte lineární kombinaci 2*u-(-2)*v vektorů =(-3;-1;5), v=(1;0;-1):

w=2*u-(-2)*v
w=(-6;-2;10)-(-2;0;2)
w=(-4;-2;8)

Určete čísla a, b, tak aby platilo: 3*(1+a;-1)+2*(1;6*b) = (8;3).

3*(1+a;-1)+2*(1;6*b) = (8;3)
(3+3*a;-3)+(2;12*b) = (8;3)
3+3*a+2=8
a=1
-3+12*b = 3
b=0.5

Zjistěte, je-li vektor u=(3;-1;1) lineární kombinací vektorů a=(3;1;0), b=(2;2;-1).

Musí platit: u=x*a+y*b
3=3*x+2*y
-1=x+2*y
1=-1*y

y=-1
3=3*x-2
x=5/3
Dosadíme-li x=5/3 a y=-1 do druhé rovnice, tak se levá strana nerovná pravé.

Výpočtem a následnou kontrolou dojdeme k závěru, že vektor u není lineární kombinací vektorů a, b.