Matematika pro každého
Vektory se sčítají, odčítají i násobí číslem po souřadnicích: první souřadnice s první, druhá s druhou, v prostoru ještě třetí se třetí. Pro vektory `\vec{u}=(u_1;u_2)` a `\vec{v}=(v_1;v_2)` a reálné číslo `k` platí
`\begin{gathered}\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1;\ u_2+v_2)\\[4pt]\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1;\ u_2-v_2)\\[4pt]k\cdot\vec{u}=(k\,u_1;\ k\,u_2)\end{gathered}`
Třeba `(5;2)+(2;4)=(7;6)`, `(5;2)-(2;4)=(3;-2)` a `3\cdot(5;2)=(15;6)`. Graficky se součet najde tak, že se druhý vektor přiloží na konec prvního (pravidlo trojúhelníku), nebo jako úhlopříčka rovnoběžníku, a rozdíl vede z konce vektoru `\vec{v}` do konce vektoru `\vec{u}`. Obojí je níže nakreslené a spočítané na příkladech.
Sčítání vektorů
Součet dvou vektorů je vektor, jehož souřadnice jsou součty odpovídajících souřadnic. V rovině má vektor dvě souřadnice, v prostoru tři:
`\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1;\ u_2+v_2;\ u_3+v_3)`
Sčítat se dají jen vektory se stejným počtem souřadnic. Vektor v rovině a vektor v prostoru sečíst nejde.
Sčítání vektorů graficky
Na obrázku je nakreslený součet dvěma způsoby, které dají vždy stejný výsledek:
- Pravidlo trojúhelníku. Vektor `\vec{v}` posuneme tak, aby začínal v koncovém bodě vektoru `\vec{u}`. Součet vede z počátku `\vec{u}` do konce posunutého `\vec{v}`. Vektory na sebe „navazují“, konec jednoho je začátkem dalšího.
- Pravidlo rovnoběžníku. Oba vektory umístíme do společného počátku a doplníme je na rovnoběžník. Součet je jeho úhlopříčka vycházející z tohoto společného počátku.
Ve fyzice se tomu říká skládání sil (skládání vektorů): když na těleso působí dvě síly, jejich výslednice je vektorový součet. Rovnoběžník sil z hodin fyziky je přesně ten rovnoběžník z obrázku.
Příklad 1
V rovině jsou dány body A[1; 1], B[3; 3] a C[4; 0]. Vektory jsou `\vec{u}=B-A` a `\vec{v}=C-A`. Určete jejich součet `\vec{w}`.
Nejdřív souřadnice obou vektorů, pak součet:
`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(3-1;\ 3-1)=(2;2)\\[4pt]\vec{v}=C-A=(4-1;\ 0-1)=(3;-1)\\[4pt]\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(2+3;\ 2+(-1))=(5;1)\end{gathered}`
Zkouška z obrázku: vektor `\vec{w}` umístěný do bodu A končí v bodě `D=A+\vec{w}=[1+5;\ 1+1]=[6;2]`. To je čtvrtý vrchol rovnoběžníku ABDC: z bodu B do D vede `(3;-1)=\vec{v}` a z bodu C do D vede `(2;2)=\vec{u}`, protilehlé strany jsou opravdu stejné vektory.
Příklad 2
Jsou dány vektory `\vec{u}=(1;-3;2)` a `\vec{v}=(2;1;1)` v prostoru. Určete `\vec{u}+\vec{v}`.
`\vec{u}+\vec{v}=(1+2;\ {-3}+1;\ 2+1)=(3;-2;3)`
Souřadnice jsou tři, takže sčítáme třikrát. Postup je jinak úplně stejný jako v rovině. Rozdíl téhož páru vektorů spočítáme v příkladu 5.
Součet více vektorů
Víc vektorů sečteme postupně, pořadí nehraje roli. Graficky je necháme navazovat jeden na druhý, takže vznikne lomená čára, a součet vede z počátku prvního do konce posledního. Pokud se lomená čára vrátí do bodu, ve kterém začala, je součet nulový vektor `\vec{o}=(0;0)`.
Příklad 3
V pravidelném šestiúhelníku ABCDEF jsou dány vektory `\vec{u}=\overrightarrow{AC}`, `\vec{v}=\overrightarrow{BF}` a `\vec{w}=\overrightarrow{DB}`. Určete `\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}`.
Vektory `\vec{w}` a `\vec{v}` na sebe navazují: jeden končí v bodě B, druhý v něm začíná. Vektor `\vec{u}=\overrightarrow{AC}` nenavazuje, ale v pravidelném šestiúhelníku jsou úsečky AC a FD rovnoběžné, stejně dlouhé a stejně orientované, takže `\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{FD}`. Po tomto posunutí tvoří všechny tři vektory uzavřený trojúhelník DBF:
`\vec{w}+\vec{v}+\vec{u}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{DD}=\vec{o}`
Totéž výpočtem: každý vektor je rozdíl koncového a počátečního bodu, a když se sečtou, body se odečtou:
`(B-D)+(F-B)+(D-F)=\vec{o}`
Součet je nulový vektor, a to pro jakoukoliv velikost šestiúhelníku.
Příklad 4 - dvě síly
Na lodičku působí dvě síly, v souřadnicích `\vec{F_1}=(40;30)\ \mathrm{N}` a `\vec{F_2}=(80;-30)\ \mathrm{N}`. Jak velká je výslednice?
`\begin{gathered}\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=(40+80;\ 30-30)\\[4pt]\vec{F}=(120;0)\ \mathrm{N}\\[4pt]|\vec{F}|=\sqrt{120^2+0^2}=120\ \mathrm{N}\end{gathered}`
Výslednice má velikost 120 N a míří přesně ve směru osy `x`: příčné složky 30 N a −30 N se vyrušily. Kontrola: samotné síly mají velikosti `|\vec{F_1}|=\sqrt{40^2+30^2}=50\ \mathrm{N}` a `|\vec{F_2}|=\sqrt{80^2+30^2}\doteq 85{,}4\ \mathrm{N}`. Výslednice nesmí být větší než jejich součet 135,4 N, a není. Velikosti se sčítají jen tehdy, když síly míří stejným směrem. Kdo zná jen velikosti dvou sil a úhel mezi nimi, spočítá výslednici v kalkulačce výslednice dvou sil.
Odčítání vektorů
Rozdíl dvou vektorů se počítá opět po souřadnicích:
`\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1;\ u_2-v_2;\ u_3-v_3)`
Odečíst vektor znamená přičíst vektor k němu opačný.
Opačný vektor
Opačný vektor `-\vec{u}` je stejně dlouhý jako `\vec{u}`, leží na rovnoběžné přímce a míří na opačnou stranu. Jeho souřadnice mají opačná znaménka:
`\begin{gathered}\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)\\[4pt]-\vec{u}=(-u_1;-u_2;-u_3)\end{gathered}`
Součet vektoru a vektoru k němu opačného je nulový vektor, `\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{o}`. Pro orientované úsečky platí `-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}`. Rozdíl je pak jen součet s opačným vektorem:
`\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})`
Odčítání vektorů graficky
Oba vektory umístíme do společného počátku. Rozdíl `\vec{u}-\vec{v}` je vektor, který vede z koncového bodu `\vec{v}` do koncového bodu `\vec{u}`, tedy k tomu vektoru, od kterého se odčítá. Proč právě tam, ukazuje zkouška: k vektoru `\vec{v}` přičteme `\vec{u}-\vec{v}` a pravidlem trojúhelníku dojdeme na konec `\vec{u}`, protože `\vec{v}+(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}`.
Příklad 5
Jsou dány vektory `\vec{u}=(5;2)` a `\vec{v}=(2;4)` z obrázku. Určete `\vec{u}-\vec{v}` a `\vec{v}-\vec{u}`.
`\begin{gathered}\vec{u}-\vec{v}=(5-2;\ 2-4)=(3;-2)\\[4pt]\vec{v}-\vec{u}=(2-5;\ 4-2)=(-3;2)\end{gathered}`
Dva rozdíly v opačném pořadí jsou navzájem opačné vektory. Zkouška: `\vec{v}+(\vec{u}-\vec{v})=(2+3;\ 4-2)=(5;2)=\vec{u}`. Na obrázku vede zelený vektor z bodu [2; 4] do bodu [5; 2], tedy o 3 doprava a o 2 dolů.
A rozdíl vektorů z příkladu 2:
`\begin{aligned}\vec{u}-\vec{v}&=(1;-3;2)-(2;1;1)\\&=(1-2;\ {-3}-1;\ 2-1)\\&=(-1;-4;1)\end{aligned}`
Kontrola: součet a rozdíl dohromady dávají `(3;-2;3)+(-1;-4;1)=(2;-6;4)=2\vec{u}`, jak má být.
Vektor ze dvou bodů je rozdíl
S odčítáním se potkáte nejčastěji, aniž byste si toho všimli: vektor určený body A a B je „konec minus začátek“, `\overrightarrow{AB}=B-A`. Pro A[2; -1] a B[5; 3] je `\overrightarrow{AB}=(5-2;\ 3-(-1))=(3;4)` a jeho velikost je `\sqrt{3^2+4^2}=5`. Počítá to i kalkulačka vektor ze dvou bodů. Bod minus bod dává vektor, bod plus vektor dává bod (tak jsme v příkladu 1 našli bod D), ale bod plus bod nedává nic rozumného.
Násobení vektoru číslem
Vektor se násobí reálným číslem `k` tak, že se tím číslem vynásobí každá jeho souřadnice:
`k\cdot\vec{u}=(k\,u_1;\ k\,u_2;\ k\,u_3)`
Výsledkem je zase vektor, ležící na rovnoběžné přímce. Ve fyzice to odpovídá třeba tomu, že síla vzroste pětkrát: vektor síly se vynásobí pěti.
Násobení vektoru číslem graficky
Graficky se násobení vyjádří změnou délky a případně otočením směru:
- `k\gt 1`: vektor se prodlouží `k`-krát, směr zůstane stejný,
- `0\lt k\lt 1`: vektor se zkrátí, směr zůstane stejný,
- `k\lt 0`: vektor se otočí na opačnou stranu a jeho délka se vynásobí číslem `|k|`, pro `k=-1` vznikne opačný vektor,
- `k=0`: vznikne nulový vektor. Nulový vektor vynásobený jakýmkoliv číslem je také nulový vektor.
Pro velikost platí `|k\cdot\vec{u}|=|k|\cdot|\vec{u}|`. Vektor `\vec{u}=(3;4)` má velikost 5, vektor `-2\vec{u}=(-6;-8)` má velikost `\sqrt{36+64}=10=2\cdot 5`. Záporné znaménko délku nezmenšuje, jen otáčí směr.
Příklad 6
Vynásobte vektor `\vec{u}=(1;-1)` číslem `k=-2` a číslem `k=1{,}5`.
`\begin{aligned}-2\cdot(1;-1)&=(-2\cdot 1;\ {-2}\cdot(-1))\\&=(-2;2)\\[8pt]1{,}5\cdot(1;-1)&=(1{,}5\cdot 1;\ 1{,}5\cdot(-1))\\&=(1{,}5;-1{,}5)\end{aligned}`
První výsledek míří opačně než `\vec{u}` (znaménka obou souřadnic se otočila) a je dvakrát delší. Druhý míří stejně a je o polovinu delší.
Příklad 7
Vypočítejte `2\cdot(3;-1;1)+2\cdot(1;2;5)`.
`\begin{aligned}&2\cdot(3;-1;1)+2\cdot(1;2;5)\\&=(6;-2;2)+(2;4;10)\\&=(8;2;12)\end{aligned}`
Zkouška: dvojku lze vytknout a vektory nejdřív sečíst, `(3;-1;1)+(1;2;5)=(4;1;6)`, a pak `2\cdot(4;1;6)=(8;2;12)`. Obě cesty dávají totéž.
Rovnoběžné vektory
Dva nenulové vektory jsou rovnoběžné (kolineární), když je jeden násobkem druhého. Poznáte to tak, že podíly odpovídajících souřadnic vyjdou stejně. Vektory `(2;-6)` a `(-1;3)` rovnoběžné jsou, protože `(2;-6)=-2\cdot(-1;3)`, a míří proti sobě. Vektory `(2;-6)` a `(3;-8)` rovnoběžné nejsou: `\frac{3}{2}=1{,}5`, ale `\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}`. Ověřit to můžete v kalkulačce kolmost a rovnoběžnost vektorů.
Násobek vektoru se hodí i pro střed úsečky: střed leží v polovině cesty, `S=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}`. Pro A[2; -1] a B[6; 5] je `\overrightarrow{AB}=(4;6)` a `S=[2+2;\ {-1}+3]=[4;2]`, což je přesně průměr souřadnic krajních bodů.
A co násobení dvou vektorů?
Vektor se nenásobí vektorem po souřadnicích. `(1;2)` „krát“ `(3;4)` není `(3;8)`. Pro dva vektory existují dva různé součiny a každý dává něco jiného:
| Součin | Výsledek | K čemu |
|---|---|---|
| vektor krát číslo `k\cdot\vec{u}` | vektor | prodloužení, zkrácení, otočení |
| skalární součin `\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2` | číslo | úhel (odchylka) vektorů, kolmost |
| vektorový součin `\vec{u}\times\vec{v}` | vektor | kolmý vektor, obsah; jen v prostoru |
Pro `(1;2)` a `(3;4)` je skalární součin `1\cdot 3+2\cdot 4=11`. Úhel mezi dvěma vektory, tedy odchylku vektorů, spočítá kalkulačka úhel dvou vektorů.
Lineární kombinace vektorů
Když vektory násobíme čísly a výsledky sečteme, dostaneme jejich lineární kombinaci. Vektor
`a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w},\quad a,b,c\in\mathbb{R}`
je lineární kombinace vektorů `\vec{u},\vec{v},\vec{w}`. Vektorů může být libovolně mnoho. Třeba `2\vec{u}-\vec{v}` pro `\vec{u}=(1;3)` a `\vec{v}=(-1;7)` je
`\begin{aligned}2\cdot(1;3)-(-1;7)&=(2;6)+(1;-7)\\&=(3;-1)\end{aligned}`
Příklad 8
Zjistěte, zda je vektor `\vec{u}=(-4;8;-12)` lineární kombinací vektorů `\vec{a}=(2;6;-4)` a `\vec{b}=(4;2;2)`.
Hledáme čísla `x,y` taková, aby platilo `\vec{u}=x\vec{a}+y\vec{b}`. Po souřadnicích to jsou tři rovnice o dvou neznámých:
`\begin{gathered}-4=2x+4y\\[4pt]8=6x+2y\\[4pt]-12=-4x+2y\end{gathered}`
Z druhé rovnice `y=4-3x`. Dosadíme do první: `-4=2x+16-12x`, tedy `10x=20`, `x=2` a `y=4-6=-2`. Dvě rovnice jsme spotřebovali na výpočet, třetí slouží jako zkouška: `-4\cdot 2+2\cdot(-2)=-12`. Platí, takže `\vec{u}=2\vec{a}-2\vec{b}` a vektor `\vec{u}` lineární kombinací je. Kdyby třetí rovnice neplatila, lineární kombinací by nebyl (4. příklad k procvičení níže).
Vlastnosti sčítání a násobení číslem
Součet dvou vektorů je opět vektor a násobek vektoru je opět vektor. Říká se, že množina vektorů je uzavřená na sčítání i na násobení číslem (skalárem). Spolu s pravidly v tabulce z toho plyne, že vektory v rovině i v prostoru tvoří vektorový prostor. S vektory se proto počítá skoro jako s čísly:
| Pravidlo | Zápis |
|---|---|
| na pořadí nezáleží | `\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}` |
| na závorkách nezáleží | `(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})` |
| nulový vektor | `\vec{u}+\vec{o}=\vec{u}` |
| opačný vektor | `\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{o}` |
| roznásobení závorky | `k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}` |
| vytknutí vektoru | `(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}` |
| násobení postupně | `k(l\vec{u})=(kl)\vec{u}` |
| násobení jedničkou | `1\cdot\vec{u}=\vec{u}` |
Časté chyby
- Sčítání velikostí. Velikost součtu obecně není součet velikostí: `(3;0)+(0;4)=(3;4)` má velikost 5, ne 7. Rovnost platí jen pro vektory mířící stejným směrem.
- Rozdíl ve špatném pořadí. `\vec{v}-\vec{u}` je opačný vektor k `\vec{u}-\vec{v}`. Na obrázku míří rozdíl `\vec{u}-\vec{v}` ke konci vektoru `\vec{u}`, od kterého se odčítá.
- Nenavazující vektory. Pravidlo trojúhelníku potřebuje, aby druhý vektor začínal na konci prvního. Dva vektory ze společného počátku se sčítají rovnoběžníkem, ne spojením jejich konců. Spojnice konců je rozdíl.
- Zapomenutá souřadnice. Při násobení číslem se násobí všechny souřadnice. `3\cdot(2;-1;4)=(6;-3;12)`, ne `(6;-1;4)`.
- Minus u záporné souřadnice. `(1;-3)-(2;-5)=(1-2;\ {-3}+5)=(-1;2)`. Odečíst -5 znamená přičíst 5, závorky se vyplatí psát.
- Vektor krát vektor po souřadnicích. Takový součin se nepoužívá. Pro dva vektory je buď skalární součin (číslo), nebo vektorový součin (vektor).
Příklady k procvičení
1. Pro vektory `\vec{u}=(4;-1)` a `\vec{v}=(-2;5)` určete `\vec{u}+\vec{v}`, `\vec{u}-\vec{v}` a `3\vec{u}`.
`\vec{u}+\vec{v}=(4-2;\ {-1}+5)=(2;4)`
`\vec{u}-\vec{v}=(4+2;\ {-1}-5)=(6;-6)`
`3\vec{u}=(12;-3)`
Kontrola: `(\vec{u}+\vec{v})+(\vec{u}-\vec{v})=(8;-2)=2\vec{u}`.
2. Vypočítejte `2\vec{u}-(-2)\vec{v}` pro vektory `\vec{u}=(-3;-1;5)` a `\vec{v}=(1;0;-1)`.
Odečíst `-2\vec{v}` je totéž jako přičíst `2\vec{v}`:
`2\vec{u}+2\vec{v}=(-6;-2;10)+(2;0;-2)`
`2\vec{u}+2\vec{v}=(-4;-2;8)`
Kontrola: `2(\vec{u}+\vec{v})=2\cdot(-2;-1;4)=(-4;-2;8)`.
3. Určete čísla `a,b` tak, aby platilo `3\cdot(1+a;-1)+2\cdot(1;6b)=(8;3)`.
Levá strana je `(3+3a;-3)+(2;12b)`, to je `(5+3a;\ {-3}+12b)`. Porovnáme souřadnice:
`5+3a=8`, tedy `a=1`.
`-3+12b=3`, tedy `b=\frac{1}{2}`.
Zkouška: `3\cdot(2;-1)+2\cdot(1;3)` je `(6;-3)+(2;6)=(8;3)`.
4. Je vektor `\vec{u}=(3;-1;1)` lineární kombinací vektorů `\vec{a}=(3;1;0)` a `\vec{b}=(2;2;-1)`?
Musí platit `\vec{u}=x\vec{a}+y\vec{b}`, po souřadnicích:
`3=3x+2y`, `-1=x+2y`, `1=-y`.
Ze třetí rovnice `y=-1`, z první `3=3x-2`, tedy `x=\frac{5}{3}`.
Zkouška ve druhé rovnici: `\frac{5}{3}-2=-\frac{1}{3}`, ale mělo vyjít `-1`. Rovnice neplatí, takže `\vec{u}` lineární kombinací vektorů `\vec{a},\vec{b}` není.
5. Body A[1; 2], B[6; 3] a C[8; 7] jsou tři vrcholy rovnoběžníku ABCD. Najděte vrchol D.
V rovnoběžníku ABCD je `\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}`. Vektor `\overrightarrow{BC}=C-B=(2;4)`, takže
`D=A+\overrightarrow{BC}=[1+2;\ 2+4]=[3;6]`.
Kontrola: úhlopříčky rovnoběžníku se půlí. Střed AC je `[4{,}5;\ 4{,}5]` a střed BD je také `\left[\frac{6+3}{2};\ \frac{3+6}{2}\right]=[4{,}5;\ 4{,}5]`.
6. Loďka pluje přes řeku širokou 80 m. Vůči vodě jede kolmo k břehu rychlostí 4 m/s, řeka teče rychlostí 3 m/s. Jakou rychlostí se loďka pohybuje vůči břehu, jak dlouho jí přeplutí trvá a o kolik ji řeka po proudu snese?
Osa `x` ať vede po proudu, osa `y` přes řeku. Rychlost loďky vůči vodě je `(0;4)`, rychlost proudu `(3;0)`. Výsledná rychlost je jejich součet:
`\vec{v}=(0;4)+(3;0)=(3;4)\ \mathrm{m/s}`, `|\vec{v}|=\sqrt{9+16}=5\ \mathrm{m/s}`.
Přes řeku se loďka posouvá jen složkou 4 m/s, takže přeplutí trvá `80:4=20\ \mathrm{s}`. Za tu dobu ji proud snese o `3\cdot 20=60\ \mathrm{m}`.
Kontrola: loďka urazí `5\cdot 20=100\ \mathrm{m}` a `\sqrt{80^2+60^2}=100`.
Kam dál
Sčítání, odčítání a násobení číslem si procvičíte v procvičování počítání s vektory. Vlastní zadání spočítají kalkulačky sčítání vektorů a odčítání vektorů, které výsledek i nakreslí, a kalkulačka násobení vektoru číslem. Délku výsledku spočítá velikost vektoru a všechno ostatní najdete v přehledu kalkulaček pro vektory.
Co je vektor a orientovaná úsečka, vysvětluje článek Analytická geometrie - Vektory. Na tento článek navazují Skalární součin a Vektorový součin, a s lineární kombinací dvou vektorů pracuje parametrické vyjádření přímky.