Metrické úlohy v prostoru jsou úlohy na vzdálenosti a odchylky: jak daleko je bod od přímky nebo od roviny, jak daleko jsou od sebe dvě mimoběžky a jaký úhel svírají dvě přímky, přímka s rovinou nebo dvě roviny. V analytické geometrii se všechny počítají ze souřadnic a vystačí se dvěma vzorci a jedním postupem:

`\begin{gathered}v=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\[10pt] \cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\end{gathered}`

První vzorec dává vzdálenost bodu `Q[x_0;\ y_0;\ z_0]` od roviny `ax+by+cz+d=0`, druhý odchylku dvou přímek ze směrových vektorů. Postup, který zvládne všechno ostatní, je kolmice a průsečík: bodem vedeme přímku nebo rovinu kolmou k danému útvaru, najdeme průsečík a změříme vzdálenost dvou bodů. Kolmost přitom pokaždé poznáme podle skalárního součinu, který je roven nule.

Přehled vzorců pro metrické úlohy v prostoru

Přímka je dána bodem `A` a směrovým vektorem `\vec{u}` (parametrické vyjádření přímky), rovina obecnou rovnicí `ax+by+cz+d=0` s normálovým vektorem `\vec{n}=(a;\ b;\ c)` (obecná rovnice roviny).

úlohavzorec
dva body `A,\ B``|AB|=|B-A|`, velikost vektoru
bod `Q` a rovina`v=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{|\vec{n}|}`
bod `Q` a přímka`v=\dfrac{|\overrightarrow{AQ}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}`
mimoběžky`v=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}`
rovnoběžné útvarylibovolný bod jednoho útvaru a jeho vzdálenost od druhého
dvě přímky`\cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}`
přímka a rovina`\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|}`
dvě roviny`\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}`

Odchylka je vždy úhel z intervalu `\langle 0^\circ;\ 90^\circ\rangle`, proto je v každém vzorci pro odchylku absolutní hodnota. Vzorce se součinem `\times` potřebují vektorový součin, ostatní jen skalární součin a velikost vektoru. Kdo vektorový součin ještě nezná, spočítá každou vzdálenost i postupem s kolmicí, který ukazují příklady níže.

Vzdálenost bodu od přímky v prostoru

Vzdálenost bodu `Q` od přímky `p` je délka úsečky `QX`, kde `X` je pata kolmice: bod přímky, pro který je `\overrightarrow{XQ}` kolmý na směrový vektor `\vec{u}`. Úloha se v rovině řeší stejně (vzdálenost bodu od přímky tam má i vlastní vzorec); v prostoru jen přibude třetí souřadnice.

AuXQdp
d = |QX|, úsečka QX je kolmá na směr u

Příklad 1

Určete vzdálenost bodu `Q[7;\ 1;\ 9]` od přímky `p`, která prochází bodem `A[1;\ 3;\ {-1}]` a má směrový vektor `\vec{u}=(4;\ 1;\ 3)`.

Obecný bod přímky zapíšeme parametricky a spočítáme vektor z bodu `Q` do něj:

`\begin{gathered}X[1+4t;\ 3+t;\ {-1}+3t] \\[6pt] \overrightarrow{QX}=X-Q=(4t-6;\ 2+t;\ 3t-10)\end{gathered}`

Tento vektor musí být kolmý na `\vec{u}`, skalární součin je tedy nula:

`\begin{gathered}4(4t-6)+1\cdot(2+t)+3(3t-10)=0 \\[6pt] 26t-52=0\ \Rightarrow\ t=2\end{gathered}`

Pata kolmice je `X[9;\ 5;\ 5]` a hledaná vzdálenost:

`\begin{gathered}|QX|=\sqrt{(9-7)^2+(5-1)^2+(5-9)^2} \\[6pt] |QX|=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6\end{gathered}`

Kontrola vzorcem. `\overrightarrow{AQ}=(6;\ {-2};\ 10)`, vektorový součin `\overrightarrow{AQ}\times\vec{u}=(-16;\ 22;\ 14)`:

`v=\dfrac{\sqrt{256+484+196}}{\sqrt{16+1+9}}=\sqrt{\dfrac{936}{26}}=\sqrt{36}=6`

Obojí vyšlo stejně. Stejný výpočet i s patou kolmice ukáže kalkulačka vzdálenosti bodu od přímky v prostoru.

Příklad 2

Určete vzdálenost bodu `P[1;\ 9;\ 5]` od přímky `p = AB`, kde `A[1;\ 2;\ 4]` a `B[0;\ 5;\ 5]`.

Tentokrát jinou cestou: bodem `P` vedeme rovinu `\rho` kolmou na přímku `p`. Patu kolmice pak najdeme jako průsečík přímky s touto rovinou. Směrový vektor přímky je zároveň normálovým vektorem roviny:

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(-1;\ 3;\ 1) \\[6pt] \rho:\ {-x}+3y+z+d=0\end{gathered}`

Dosadíme bod `P`: `-1+27+5+d=0`, tedy `d=-31` a `\rho:\ {-x}+3y+z-31=0`. Do rovnice roviny dosadíme parametrické vyjádření přímky `x=1-t,\ y=2+3t,\ z=4+t`:

`\begin{gathered}-(1-t)+3(2+3t)+(4+t)-31=0 \\[6pt] 11t-22=0\ \Rightarrow\ t=2\end{gathered}`

Průsečík je `X[-1;\ 8;\ 6]` a `\overrightarrow{XP}=(2;\ 1;\ {-1})`:

`|PX|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\doteq 2{,}45`

Rovinu kolmou na přímku budeme potřebovat ještě jednou, u bodu souměrného podle přímky.

Vzdálenost bodu od roviny

Tady je vzorec tak jednoduchý, že se postup s kolmicí vyplatí jen tehdy, když chceme znát i patu kolmice. Do rovnice roviny dosadíme souřadnice bodu, vezmeme absolutní hodnotu a vydělíme velikostí normálového vektoru.

Příklad 3

Určete vzdálenost bodu `Q[-3;\ {-2};\ 3]` od roviny `\rho:\ 2x-y-2z+1=0`.

`\begin{gathered}v=\dfrac{|2\cdot(-3)-(-2)-2\cdot 3+1|}{\sqrt{4+1+4}} \\[10pt] v=\dfrac{|-9|}{3}=3\end{gathered}`

Postupem s kolmicí. Kolmice z bodu `Q` má směr normálového vektoru `\vec{n}=(2;\ {-1};\ {-2})`, tedy `x=-3+2t,\ y=-2-t,\ z=3-2t`. Dosadíme do roviny:

`\begin{gathered}2(-3+2t)-(-2-t)-2(3-2t)+1=0 \\[6pt] 9t-9=0\ \Rightarrow\ t=1\end{gathered}`

Pata kolmice je `X[-1;\ {-3};\ 1]`, `\overrightarrow{QX}=(2;\ {-1};\ {-2})` a `|QX|=\sqrt{4+1+4}=3`. Souhlasí. Patu kolmice i to, ve kterém poloprostoru bod leží, vypíše kalkulačka vzdálenosti bodu od roviny. Odkud se vzorec bere a jak se stejná vzdálenost hledá v krychli bez souřadnic, vysvětluje článek Vzdálenost bodu od roviny.

Vzdálenost rovnoběžných přímek a rovin

Dvě rovnoběžné přímky, přímka rovnoběžná s rovinou a dvě rovnoběžné roviny mají všude stejnou vzdálenost. Stačí tedy vzít libovolný bod jednoho útvaru a změřit jeho vzdálenost od druhého. Předtím je ale potřeba ověřit, že útvary opravdu rovnoběžné jsou (vzájemná poloha přímek a přímky s rovinou, vzájemná poloha rovin); různoběžné útvary mají vzdálenost nula.

Příklad 4

Určete vzdálenost rovin `\rho:\ 2x-y+2z-3=0` a `\sigma:\ 4x-2y+4z+9=0`.

Normálový vektor `(4;\ {-2};\ 4)` je dvojnásobkem `(2;\ {-1};\ 2)`, ale celá rovnice `\sigma` dvojnásobkem rovnice `\rho` není, roviny jsou tedy rovnoběžné různé. V rovině `\rho` zvolíme bod, třeba `x=0,\ z=0`, pak `y=-3`: bod `R[0;\ {-3};\ 0]`. Jeho vzdálenost od `\sigma`:

`v=\dfrac{|4\cdot 0-2\cdot(-3)+4\cdot 0+9|}{\sqrt{16+4+16}}=\dfrac{15}{6}=2{,}5`

Rychleji: rovnici `\sigma` vydělíme dvěma, `2x-y+2z+4{,}5=0`. Když mají obě rovnice stejné koeficienty `a, b, c`, je vzdálenost

`v=\dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|-3-4{,}5|}{3}=2{,}5`

Vzájemnou polohu i vzdálenost dvou rovin najednou určí kalkulačka vzájemné polohy dvou rovin.

Stejně u přímky: přímka `p:\ X=[1;\ 0;\ 2]+t(1;\ 2;\ 0)` a rovina `2x-y+2z+3=0` mají `\vec{u}\cdot\vec{n}=2-2+0=0`, přímka je s rovinou rovnoběžná. Bod `[1;\ 0;\ 2]` dává `|2+4+3|/3=3`, a protože to není nula, přímka v rovině neleží a její vzdálenost od roviny je 3.

Vzdálenost dvou přímek v prostoru (mimoběžek)

Dvě mimoběžky mají jedinou přímku, která obě protíná a je na obě kolmá: osu mimoběžek. Její úsek mezi nimi, úsečka `XY`, je nejkratší spojnice obou přímek a její délka je vzdálenost mimoběžek.

pqXYd
osa mimoběžek XY je kolmá na p i na q, d = |XY|

Vektor kolmý na obě přímky dává vektorový součin `\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}`. Vzdálenost je pak průmět vektoru `\overrightarrow{AB}` (z bodu jedné přímky do bodu druhé) do směru `\vec{n}`:

`v=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}`

Čitatel je smíšený součin tří vektorů. Vyjde-li nula, přímky leží v jedné rovině a jsou různoběžné, žádné mimoběžky to nejsou. Vyjde-li nula už `\vec{u}\times\vec{v}`, jsou přímky rovnoběžné a počítá se jako v předchozí části.

Příklad 5

Určete vzdálenost přímek `p:\ X=[2;\ 1;\ 0]+t(1;\ 1;\ 0)` a `q:\ Y=[5;\ {-1};\ 1]+s(0;\ 1;\ 1)`.

Vzorcem. `A[2;\ 1;\ 0]`, `B[5;\ {-1};\ 1]`, `\vec{u}=(1;\ 1;\ 0)`, `\vec{v}=(0;\ 1;\ 1)`:

`\begin{gathered}\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} \\[6pt] \vec{n}=(1\cdot 1-0\cdot 1;\ 0\cdot 0-1\cdot 1;\ 1\cdot 1-1\cdot 0) \\[6pt] \vec{n}=(1;\ {-1};\ 1) \\[6pt] \overrightarrow{AB}=(3;\ {-2};\ 1) \\[6pt] \overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=3+2+1=6\end{gathered}`

Součin není nula, přímky jsou mimoběžné. Vzdálenost:

`v=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\doteq 3{,}46`

Přes osu mimoběžek. Body `X[2+t;\ 1+t;\ 0]` a `Y[5;\ {-1}+s;\ 1+s]` hledáme tak, aby vektor `\overrightarrow{XY}=(3-t;\ {-2}+s-t;\ 1+s)` byl kolmý na `\vec{u}` i na `\vec{v}`:

`\begin{gathered}\overrightarrow{XY}\cdot\vec{u}=1+s-2t=0 \\[6pt] \overrightarrow{XY}\cdot\vec{v}=-1+2s-t=0\end{gathered}`

Z první rovnice `s=2t-1`, po dosazení do druhé `3t-3=0`. Tedy `t=1`, `s=1`, osa protíná přímky v bodech `X[3;\ 2;\ 0]` a `Y[5;\ 0;\ 2]`:

`|XY|=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}`

Druhá cesta je delší, ale dá navíc body, ve kterých jsou si přímky nejblíž. Vektorový součin i s kontrolou kolmosti spočítá kalkulačka vektorového součinu.

Odchylka dvou přímek

Odchylka přímek je úhel jejich směrových vektorů, s jedinou změnou: vektory mohou svírat tupý úhel, přímky ne. Proto je v čitateli absolutní hodnota. Vzorec je v rovině i v prostoru stejný a platí i pro mimoběžky.

Příklad 6

Určete odchylku přímky `p = AB`, kde `A[1;\ 0;\ 5]`, `B[2;\ 1;\ 6]`, a přímky `q:\ x=1-t,\ y=2+t,\ z=3-t`.

`\begin{gathered}\vec{u}=B-A=(1;\ 1;\ 1),\quad \vec{v}=(-1;\ 1;\ {-1}) \\[10pt] \vec{u}\cdot\vec{v}=-1+1-1=-1 \\[10pt] |\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{3} \\[10pt] \cos\varphi=\dfrac{|-1|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3} \\[10pt] \varphi\doteq 70^\circ 32'\end{gathered}`

Bez absolutní hodnoty by vyšlo `\cos\varphi=-\tfrac{1}{3}` a `109^\circ 28'`, což je úhel vektorů, ne odchylka přímek. Výpočet ověří kalkulačka odchylky dvou přímek, která ukazuje oba úhly. Stejné úlohy v krychli bez souřadnic řeší článek Odchylka přímek.

Odchylka přímky a roviny

Odchylka přímky od roviny je úhel `\varphi`, který přímka svírá se svým kolmým průmětem do roviny. Ze souřadnic ale průmět neznáme, známe normálový vektor `\vec{n}`. Ten je na rovinu kolmý, takže s přímkou svírá úhel `90^\circ-\varphi`:

pnρφ90° − φprůmět p
φ je úhel s průmětem, s normálou n svírá p úhel 90° − φ

Kosinus úhlu `90^\circ-\varphi` je sinus úhlu `\varphi`. Proto se odchylka přímky a roviny počítá přes sinus, ne přes kosinus:

`\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|}`

Příklad 7

Určete odchylku přímky `p:\ x=t,\ y=1+2t,\ z=-t` a roviny `\rho:\ 8x-y+3z=0`.

`\begin{gathered}\vec{u}=(1;\ 2;\ {-1}),\quad \vec{n}=(8;\ {-1};\ 3) \\[10pt] \vec{u}\cdot\vec{n}=8-2-3=3 \\[10pt] |\vec{u}|=\sqrt{6},\quad |\vec{n}|=\sqrt{74} \\[10pt] \sin\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{444}}\doteq 0{,}1424 \\[10pt] \varphi\doteq 8^\circ 11'\end{gathered}`

Kdo použije kosinus, dostane `81^\circ 49'`, tedy úhel přímky s normálou. Ty dva úhly dávají dohromady `90^\circ`, což je dobrá kontrola. Kalkulačku najdete jako odchylku přímky a roviny, výklad s krychlí a jehlanem v článku Odchylka přímky a roviny.

Odchylka dvou rovin

Odchylka dvou rovin je odchylka jejich normálových vektorů, opět s absolutní hodnotou, aby vyšel úhel nejvýš `90^\circ`.

Příklad 8

Určete odchylku rovin `\rho:\ {-x}+2y+z+5=0` a `\pi:\ x+y+2z+7=0`.

`\begin{gathered}\vec{n}_1=(-1;\ 2;\ 1),\quad \vec{n}_2=(1;\ 1;\ 2) \\[10pt] \vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=-1+2+2=3 \\[10pt] |\vec{n}_1|=|\vec{n}_2|=\sqrt{6} \\[10pt] \cos\varphi=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \varphi=60^\circ\end{gathered}`

Ověřit to jde kalkulačkou odchylky dvou rovin, stereometrický postup přes průsečnici je v článku Odchylka dvou rovin.

Bod souměrný podle roviny a podle přímky

Souměrně sdružený bod je typická úloha, ve které se metrické úlohy potkají se středem úsečky. Najdeme patu kolmice `X` a ta je středem úsečky mezi bodem a jeho obrazem, takže obraz je `A=2X-B`.

Příklad 9

Určete bod `A` souměrný s bodem `B[5;\ 1;\ 4]` podle roviny `\rho:\ 2x-y+z-1=0`.

  1. Kolmice z bodu `B` má směr `\vec{n}=(2;\ {-1};\ 1)`: `x=5+2t,\ y=1-t,\ z=4+t`.
  2. Průsečík s rovinou: `2(5+2t)-(1-t)+(4+t)-1=0`, tedy `6t+12=0` a `t=-2`. Pata kolmice je `X[1;\ 3;\ 2]`.
  3. `X` je středem úsečky `AB`:
`\begin{gathered}A=2X-B=[2-5;\ 6-1;\ 4-4] \\[6pt] A[-3;\ 5;\ 0]\end{gathered}`

Zkouška: střed úsečky `AB` je `[1;\ 3;\ 2]` a `\overrightarrow{BA}=(-8;\ 4;\ {-4})` je násobkem normálového vektoru.

Příklad 10

Určete bod `M` souměrný s bodem `N[5;\ 3;\ {-1}]` podle přímky `p = AB`, kde `A[0;\ 0;\ {-3}]`, `B[-6;\ {-2};\ 1]`.

Směrový vektor `B-A=(-6;\ {-2};\ 4)` zkrátíme na `\vec{u}=(3;\ 1;\ {-2})`. Rovina kolmá na `p` procházející bodem `N`:

`\begin{gathered}3x+y-2z+d=0 \\[6pt] 15+3+2+d=0\ \Rightarrow\ d=-20\end{gathered}`

Přímka `p`: `x=3t,\ y=t,\ z=-3-2t`. Dosadíme do roviny `3x+y-2z-20=0`:

`\begin{gathered}9t+t+6+4t-20=0 \\[6pt] 14t-14=0\ \Rightarrow\ t=1\end{gathered}`

Pata kolmice je `X[3;\ 1;\ {-5}]` a obraz

`\begin{gathered}M=2X-N=[6-5;\ 2-3;\ {-10}+1] \\[6pt] M[1;\ {-1};\ {-9}]\end{gathered}`

Časté chyby

  • Chybí absolutní hodnota u odchylky. Ze vzorce bez ní vyjde úhel vektorů, který může být tupý (v příkladu 6 by to bylo `109^\circ 28'`). Odchylka je vždy nejvýš `90^\circ`.
  • Kosinus místo sinu u přímky a roviny. Úhel se směrovým a normálovým vektorem je `90^\circ-\varphi`. Kontrola: obě čísla dávají dohromady `90^\circ`.
  • Zaokrouhlení uprostřed výpočtu. V příkladu 7 je `|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|=\sqrt{444}\doteq 21{,}07`. Kdo zaokrouhlí na 21, dostane `8^\circ 13'` místo `8^\circ 11'`. Odmocniny nechte až do konce.
  • Vzorec `|d_1-d_2|` pro roviny s různými koeficienty. Pro `2x-y+2z-3=0` a `4x-2y+4z+9=0` by dal `12/3=4`, správně je 2,5. Nejdřív rovnici vydělte, aby `a, b, c` byly stejné.
  • Vzdálenost přímek bez ověření polohy. Pro různoběžky vyjde ze vzorce pro mimoběžky nula, pro rovnoběžky dělíme nulou. Nejdřív zjistěte, zda je `\vec{u}\times\vec{v}` nenulový a `\overrightarrow{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\neq 0`.
  • Pata kolmice místo obrazu. U souměrnosti je výsledkem `2X-B`, ne `X`. Zkouška: vzdálenost obrazu od roviny musí být stejná jako vzdálenost původního bodu.

Příklady k procvičení

1. Určete vzdálenost bodu `M[2;\ {-1};\ 4]` od roviny `\rho:\ x+2y-2z+1=0`.

2. Určete vzdálenost bodu `M[4;\ {-1};\ 3]` od přímky `p:\ X=[1;\ {-1};\ 0]+t(1;\ 2;\ 2)` a patu kolmice.

3. Určete odchylku přímky `p:\ x=2+t,\ y=-1+t,\ z=3` a roviny `\rho:\ x+z-4=0`.

4. Určete vzdálenost přímek `p:\ X=[1;\ 0;\ 0]+t(1;\ 0;\ 1)` a `q:\ Y=[1;\ 0;\ 3]+s(0;\ 1;\ 1)`.

5. Určete bod `A` souměrný s bodem `B[4;\ 3;\ 5]` podle roviny `\rho:\ x+2y+2z-11=0`.

6. Ve skladu vede pod stropem potrubí `p:\ X=[0;\ 1;\ 3]+t(1;\ 0;\ 0)` a pod ním šikmý dopravníkový pás `q:\ Y=[2;\ 0;\ 0]+s(0;\ 1;\ 1)`, souřadnice jsou v metrech. Elektrikář chce mezi nimi natáhnout co nejkratší kabel. Kde ho připevní a jak bude dlouhý?

Kam dál