Střed úsečky `AB` má souřadnice rovné průměru souřadnic jejích krajních bodů. Sečteme x-ové souřadnice obou bodů a vydělíme dvěma, totéž uděláme s y-ovými:

`\begin{gathered}A[a_1;\ a_2],\quad B[b_1;\ b_2]\\[10pt]S\left[\dfrac{a_1 + b_1}{2};\ \dfrac{a_2 + b_2}{2}\right]\end{gathered}`

V prostoru přibude třetí souřadnice a zachází se s ní úplně stejně:

`S\left[\dfrac{a_1 + b_1}{2};\ \dfrac{a_2 + b_2}{2};\ \dfrac{a_3 + b_3}{2}\right]`

Například úsečka s krajními body `A[-2;\ 5]` a `B[6;\ {-1}]` má střed `S[2;\ 2]`, protože `(-2 + 6) : 2 = 2` a `(5 + (-1)) : 2 = 2`. Níže je vysvětlené, proč vzorec platí, jak naopak ze středu dopočítat druhý krajní bod a kde se střed úsečky v úlohách nejčastěji objeví: u těžnice trojúhelníku a u rovnoběžníku.

Proč je střed průměrem souřadnic

Střed úsečky je bod, který ji dělí na dvě stejně dlouhé části, takže `|AS| = |SB|`. Když se po úsečce přesuneme z bodu `A` do bodu `B`, změní se x-ová souřadnice o `b_1 - a_1`. V polovině cesty je to změna o polovinu, tedy

`s_1 = a_1 + \dfrac{b_1 - a_1}{2} = \dfrac{a_1 + b_1}{2}`

a s y-ovou souřadnicí je to stejné. Na obrázku je to vidět přímo: průmět středu na osu `x` leží v polovině mezi průměty krajních bodů a na ose `y` taky.

−2 2 6 −1 2 5 x y A[−2; 5] B[6; −1] S[2; 2]

Příklad 1

Určete střed úsečky `AB`, kde `A[-2;\ 5]` a `B[6;\ {-1}]`.

`S\left[\dfrac{-2 + 6}{2};\ \dfrac{5 + (-1)}{2}\right] = \left[\dfrac{4}{2};\ \dfrac{4}{2}\right] = [2;\ 2]`

Zkouška vzdáleností: `|AB| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10` a `|AS| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5`, tedy přesně polovina. Jak se počítá vzdálenost dvou bodů, ukazuje úvod do analytické geometrie. Výsledek si můžete ověřit i v kalkulačce středu úsečky, která tu zkoušku vypíše sama.

Střed úsečky v prostoru

V prostoru má každý bod tři souřadnice a střed se počítá po souřadnicích stejně jako v rovině. Na pořadí bodů nezáleží, sčítání je záměnné.

`\begin{gathered}A[a_1;\ a_2;\ a_3],\quad B[b_1;\ b_2;\ b_3]\\[10pt]S\left[\dfrac{a_1 + b_1}{2};\ \dfrac{a_2 + b_2}{2};\ \dfrac{a_3 + b_3}{2}\right]\end{gathered}`

Příklad 2

Vypočtěte střed úsečky `AB`, kde `A[1;\ 2;\ 3]` a `B[4;\ 5;\ 6]`.

`S\left[\dfrac{1 + 4}{2};\ \dfrac{2 + 5}{2};\ \dfrac{3 + 6}{2}\right] = \left[\dfrac{5}{2};\ \dfrac{7}{2};\ \dfrac{9}{2}\right]`

Desetinně `S[2{,}5;\ 3{,}5;\ 4{,}5]`. Střed nemusí mít celé souřadnice, i když je mají oba krajní body; zlomek nebo desetinné číslo ve výsledku není chyba. Zkouška: každá souřadnice středu leží mezi souřadnicemi krajních bodů (`2{,}5` mezi 1 a 4 a tak dál). Délku i střed úsečky v prostoru spočítá kalkulačka vzdálenosti dvou bodů v prostoru.

Jak vypočítat krajní bod, když znáte střed

Častá obrácená úloha: známe střed `S` a jeden krajní bod `A`, hledáme druhý krajní bod `B`. Ze vzorce `s_1 = \dfrac{a_1 + b_1}{2}` vyjádříme `b_1`: obě strany vynásobíme dvěma a odečteme `a_1`.

`\begin{aligned}b_1 &= 2s_1 - a_1\\ b_2 &= 2s_2 - a_2\\ b_3 &= 2s_3 - a_3\end{aligned}`

Slovy: od bodu `A` ke středu je to stejně daleko jako od středu k bodu `B`, takže ke středu přičteme ještě jednou ten samý posun. Bod `B` je obraz bodu `A` ve středové souměrnosti se středem `S`.

Příklad 3

Bod `A[7;\ 8;\ 9]` je krajní bod úsečky `AB` a její střed je `S[0;\ 1;\ 2]`. Určete bod `B`.

`\begin{aligned}b_1 &= 2 \cdot 0 - 7 = -7\\ b_2 &= 2 \cdot 1 - 8 = -6\\ b_3 &= 2 \cdot 2 - 9 = -5\end{aligned}`

Tedy `B[-7;\ {-6};\ {-5}]`. Zkouška: `(7 + (-7)) : 2 = 0`, `(8 + (-6)) : 2 = 1` a `(9 + (-5)) : 2 = 2`, vyšel zadaný střed.

V rovině vám tuto úlohu spočítá i kalkulačka středu úsečky: jako bod `A` zadejte známý krajní bod, jako bod `B` zadejte střed a v řádku „Bod souměrný k A podle B“ je hledaný druhý konec. Pro `A[3;\ {-1}]` a střed `[5;\ 2]` to je `[7;\ 5]`.

Střed pomocí vektoru a dělení úsečky na třetiny

Stejný vzorec dostaneme i vektorově. Z bodu `A` se posuneme o polovinu vektoru `\overrightarrow{AB} = B - A`:

`S = A + \tfrac{1}{2}(B - A)`

Tento zápis se hodí, když úsečku nedělíme napůl. Body, které ji dělí na tři stejné díly, jsou `A + \tfrac{1}{3}(B - A)` a `A + \tfrac{2}{3}(B - A)`. Násobení vektoru číslem a sčítání s bodem vysvětluje článek Sčítání, odčítání a násobení vektorů.

Příklad 4

Úsečku s krajními body `A[-1;\ 2]` a `B[8;\ {-4}]` rozdělte na tři shodné části.

`\begin{gathered}B - A = (9;\ {-6}),\quad \tfrac{1}{3}(B - A) = (3;\ {-2})\\[10pt]X_1 = [-1 + 3;\ 2 - 2] = [2;\ 0]\\[10pt]X_2 = [2 + 3;\ 0 - 2] = [5;\ {-2}]\end{gathered}`

Zkouška: od `X_2` o další `(3;\ {-2})` dál je `[8;\ {-4}]`, tedy bod `B`. Všechny tři díly mají délku `\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}`.

Těžnice a těžiště trojúhelníku

Těžnice vede z vrcholu trojúhelníku do středu protější strany. Abychom spočítali její délku, najdeme nejdřív střed strany (patu těžnice) a pak vzdálenost dvou bodů. Těžiště `T` je průsečík všech tří těžnic a jeho souřadnice jsou průměrem souřadnic tří vrcholů:

`T\left[\dfrac{a_1 + b_1 + c_1}{3};\ \dfrac{a_2 + b_2 + c_2}{3}\right]`

Příklad 5

Trojúhelník `ABC` má vrcholy `A[0;\ 0]`, `B[5;\ 1]` a `C[4;\ 4]`. Vypočtěte délku těžnice `t_a` a souřadnice těžiště.

1 2 3 4 5 1 2 3 4 x y A B C P[4,5; 2,5] T tₐ

Těžnice `t_a` vede z vrcholu `A` do středu `P` strany `BC`:

`\begin{gathered}P\left[\dfrac{5 + 4}{2};\ \dfrac{1 + 4}{2}\right] = [4{,}5;\ 2{,}5]\\[10pt]t_a = |AP| = \sqrt{4{,}5^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{26{,}5} \doteq 5{,}15\\[10pt]T\left[\dfrac{0 + 5 + 4}{3};\ \dfrac{0 + 1 + 4}{3}\right] = \left[3;\ \dfrac{5}{3}\right]\end{gathered}`

Dvě zkoušky. Těžiště dělí těžnici v poměru `2 : 1` od vrcholu, takže `A + \tfrac{2}{3}(P - A) = \left[\tfrac{2}{3} \cdot 4{,}5;\ \tfrac{2}{3} \cdot 2{,}5\right] = \left[3;\ \tfrac{5}{3}\right]`, vyšlo totéž. A délku těžnice dává i vzorec ze stran `t_a = \tfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}` (článek Trojúhelník - vzorečky): zde `a^2 = 10`, `b^2 = 32`, `c^2 = 26`, takže `t_a = \tfrac{1}{2}\sqrt{106} \doteq 5{,}15`.

Těžiště ze souřadnic vrcholů spočítá kalkulačka těžiště, délky všech tří těžnic ze stran kalkulačka těžnic. Obrácenou úlohu, kdy známe středy stran a hledáme vrcholy, řeší článek Souřadnice vrcholů trojúhelníka ABC.

Čtvrtý vrchol rovnoběžníku

Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí. Střed úhlopříčky `AC` je tedy zároveň středem úhlopříčky `BD`, a z toho se dopočítá chybějící vrchol: najdeme střed `AC` a pak bod `D` jako druhý konec úsečky `BD`.

Příklad 6

Rovnoběžník `ABCD` má vrcholy `A[1;\ 1]`, `B[6;\ 2]` a `C[8;\ 6]`. Určete vrchol `D`.

2 4 6 8 2 4 6 x y A[1; 1] B[6; 2] C[8; 6] D[3; 5] S 
`\begin{gathered}S = \left[\dfrac{1 + 8}{2};\ \dfrac{1 + 6}{2}\right] = [4{,}5;\ 3{,}5]\\[10pt]D = [2 \cdot 4{,}5 - 6;\ 2 \cdot 3{,}5 - 2] = [3;\ 5]\end{gathered}`

Zkouška: vektor `\overrightarrow{AB} = (5;\ 1)` a vektor `\overrightarrow{DC} = (8 - 3;\ 6 - 5) = (5;\ 1)` jsou stejné, takže strany `AB` a `DC` jsou rovnoběžné a stejně dlouhé. Zkráceně platí `D = A + C - B`. Záleží na pořadí vrcholů: rovnoběžník `ABDC` by měl čtvrtý vrchol jinde.

Časté chyby

  • Odečítání místo sčítání. Souřadnice vektoru jsou rozdíl `B - A`, střed je součet děleno dvěma. Kdo si to plete, dostane u `A[-2;\ 5]`, `B[6;\ {-1}]` bod `[4;\ {-3}]`, který na úsečce vůbec neleží. Rychlá kontrola: každá souřadnice středu musí ležet mezi souřadnicemi krajních bodů, a y-ová souřadnice `-3` mezi 5 a `-1` neleží.
  • Znaménka. `\dfrac{5 + (-1)}{2} = 2`, ne 3. Záporné souřadnice dosazujte do závorek.
  • Obrácená úloha špatně. Když známe `A` a `S`, není `B` průměr `A` a `S`; tak by vyšel bod ve čtvrtině úsečky. Správně `B = 2S - A`.
  • Těžiště děleno dvěma. Těžiště je průměr tří vrcholů, dělí se třemi. Dělení dvěma patří ke středu strany.
  • Střed místo délky. Úloha „vypočtěte těžnici“ chce délku, tedy číslo. Střed strany je jen mezikrok.

Příklady k procvičení

1. Určete střed úsečky `AB`, kde `A[3;\ {-4}]` a `B[-5;\ 10]`.

2. Určete střed úsečky s krajními body `A[2;\ {-3};\ 7]` a `B[-4;\ 5;\ 0]`.

3. Úsečka `AB` má krajní bod `A[-2;\ 6]` a střed `S[1;\ 2]`. Určete bod `B` a délku úsečky.

4. Určete čísla `p` a `q` tak, aby bod `S[1;\ {-2}]` byl středem úsečky s krajními body `A[p;\ 3]` a `B[5;\ q]`.

5. Trojúhelník má vrcholy `A[-1;\ 2]`, `B[5;\ 4]` a `C[2;\ {-3}]`. Určete těžiště a délku těžnice `t_c`.

6. Na mapě se souřadnicemi v kilometrech leží obec `A[2;\ 9]` a obec `B[14;\ 4]`. Rozhledna má stát přesně v polovině vzdušné cesty mezi nimi. Kde bude stát a jak daleko bude od každé obce?

Kam dál