Analytická geometrie - Elipsa a přímka

Přímka a elipsa mají v rovině buď dva společné body (přímka je sečna), nebo jeden (tečna), nebo žádný (vnější přímka). Rozhodne o tom dosazení: z rovnice přímky vyjádříte jednu neznámou, dosadíte ji do rovnice elipsy a vyjde kvadratická rovnice. Její diskriminant `D` určí polohu a z kořenů rovnou dopočítáte společné body:

`\begin{gathered}D \gt 0:\ \text{sečna} \\[4pt] D = 0:\ \text{tečna} \\[4pt] D \lt 0:\ \text{vnější přímka}\end{gathered}`

Rovnice tečny elipsy `\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1` v jejím bodě `T[x_0;\ y_0]` je

`\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1`

Má-li elipsa střed `S[m;\ n]` mimo počátek, je tečna v bodě `T[x_0;\ y_0]`

`\dfrac{(x_0 - m)(x - m)}{a^2} + \dfrac{(y_0 - n)(y - n)}{b^2} = 1`

Oba vzorce vzniknou z rovnice elipsy stejně: jednu ze dvou stejných závorek (nebo jedno `x` z `x^2`) nahradíte souřadnicí bodu dotyku. Bod `T` přitom musí na elipse opravdu ležet. Níže najdete, proč vzorec platí, jak najít tečnu s danou směrnicí, jak vést tečny z bodu mimo elipsu a řešené příklady ke všemu. Co je elipsa a jak z rovnice vyčíst střed a poloosy, vysvětluje článek Elipsa.

Sečna, tečna, nebo vnější přímka

U kružnice stačí porovnat vzdálenost středu od přímky s poloměrem (článek Kružnice a přímka). Elipsa žádný stálý poloměr nemá, a tak se poloha přímky skoro vždy zjišťuje dosazením. Rovnoběžné přímky na obrázku mají od elipsy různou polohu podle toho, jak daleko od středu leží:

Příklad 1

Určete vzájemnou polohu elipsy `\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1` a přímek `p_1: y = x + 3`, `p_2: y = x + 5` a `p_3: y = x + 7`.

Rovnici elipsy nejdřív vynásobíme číslem 144, aby zmizely zlomky: `9x^2 + 16y^2 = 144`. Všechny tři přímky mají tvar `y = x + q`, takže je vyřešíme najednou a `q` dosadíme až na konci:

`\begin{gathered}9x^2 + 16(x + q)^2 = 144 \\[4pt] 25x^2 + 32qx + 16q^2 - 144 = 0 \\[4pt] \begin{aligned} D &= (32q)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (16q^2 - 144) \\ &= 576(25 - q^2) \end{aligned}\end{gathered}`

• `q = 3`: `D = 576 \cdot 16 \gt 0`, přímka `p_1` je sečna. Rovnice `25x^2 + 96x = 0` má kořeny `x = 0` a `x = -\frac{96}{25}`, průsečíky jsou `[0;\ 3]` a `\left[-\frac{96}{25};\ {-\frac{21}{25}}\right]`.
• `q = 5`: `D = 0`, přímka `p_2` je tečna. Dvojnásobný kořen `x = -\frac{160}{50} = -\frac{16}{5}` dává bod dotyku `T\left[-\frac{16}{5};\ \frac{9}{5}\right]`.
• `q = 7`: `D = 576 \cdot (-24) \lt 0`, přímka `p_3` je vnější přímka.

Zkouška bodu dotyku: `\dfrac{256}{25 \cdot 16} + \dfrac{81}{25 \cdot 9} = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1`. Z diskriminantu je navíc vidět, že přímky `y = x + q` jsou sečny pro `|q| \lt 5`, tečny pro `q = \pm 5` a vnější přímky pro `|q| \gt 5`.

Elipsa je uzavřená a vypuklá křivka, a proto přímka, která s ní má právě jeden společný bod, je vždy tečna. U paraboly to neplatí: přímka rovnoběžná s její osou ji protne v jediném bodě, a přesto tečnou není (článek Parabola). U elipsy vyjde po dosazení vždy opravdu kvadratická rovnice, nikdy lineární.

Průsečíky přímky a elipsy

Průsečíky jsou řešení soustavy dvou rovnic, jedné lineární a jedné kvadratické. Neznámou vyjádříte z rovnice přímky tak, aby vznikalo co nejméně zlomků, a po dosazení dopočítáte druhou souřadnici z rovnice přímky, ne elipsy. Z rovnice elipsy by ke každému `y` vyšla dvě `x` a nevěděli byste, které k němu patří.

Příklad 2

Určete průsečíky přímky `p: 4x + 5y = 140` s elipsou `\dfrac{x^2}{625} + \dfrac{y^2}{400} = 1`.

Elipsu vynásobíme společným jmenovatelem 10 000: `16x^2 + 25y^2 = 10\,000`. Výhodné je, že `16x^2 = (4x)^2` a `4x` známe z rovnice přímky: `4x = 140 - 5y`.

`\begin{gathered}(140 - 5y)^2 + 25y^2 = 10\,000 \\[4pt] 19\,600 - 1\,400y + 50y^2 = 10\,000 \\[4pt] y^2 - 28y + 192 = 0 \\[4pt] (y - 16)(y - 12) = 0\end{gathered}`

Pro `y_1 = 16` je `4x = 140 - 80 = 60`, tedy `x_1 = 15`. Pro `y_2 = 12` je `4x = 80`, tedy `x_2 = 20`. Průsečíky jsou `X_1[15;\ 16]` a `X_2[20;\ 12]`.

Zkouška pro `X_1`: `\dfrac{225}{625} + \dfrac{256}{400} = 0{,}36 + 0{,}64 = 1`. Kvadratickou rovnici si můžete ověřit i v kalkulačce kvadratická rovnice.

Rovnice tečny elipsy v bodě

Tečna elipsy `\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1` v bodě `T[x_0;\ y_0]` elipsy má rovnici

`\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1`

Pod zlomky jsou `a^2` a `b^2`, tedy přesně čísla, která máte v rovnici elipsy. Stačí je opsat a místo `x^2` napsat `x_0 x`, místo `y^2` napsat `y_0 y`. Tomuto pravidlu se říká zdvojení (polarizace) a funguje pro kružnici, elipsu, hyperbolu i parabolu.

Proč to platí. Elipsa vznikne z jednotkové kružnice `x'^2 + y'^2 = 1` natažením: každý bod `[x';\ y']` se posune do bodu `[a x';\ b y']`. Takové natažení převádí přímky na přímky a tečnu kružnice na tečnu elipsy, protože počet společných bodů se nezmění. Tečna kružnice v bodě `T'[x_0';\ y_0']` je kolmá na poloměr, a proto má rovnici `x_0' x' + y_0' y' = 1`. Dosadíte-li `x' = \frac{x}{a}`, `y' = \frac{y}{b}` a totéž pro bod dotyku, dostanete přesně rovnici tečny elipsy.

Kolmice k tečně v bodě dotyku se jmenuje normála. Normálový vektor tečny je `\left(\frac{x_0}{a^2};\ \frac{y_0}{b^2}\right)`, a to je zároveň směrový vektor normály.

Příklad 3

Napište rovnice tečen elipsy `\dfrac{x^2}{625} + \dfrac{y^2}{400} = 1` v průsečících `X_1[15;\ 16]` a `X_2[20;\ 12]` z příkladu 2.

Dosadíme do rovnice tečny a vynásobíme společným jmenovatelem:

`\begin{gathered}t_1: \dfrac{15x}{625} + \dfrac{16y}{400} = 1 \quad / \cdot 2500 \\[10pt] 60x + 100y = 2500 \\[10pt] 3x + 5y - 125 = 0\end{gathered}`

`\begin{gathered}t_2: \dfrac{20x}{625} + \dfrac{12y}{400} = 1 \quad / \cdot 2500 \\[10pt] 80x + 75y = 2500 \\[10pt] 16x + 15y - 500 = 0\end{gathered}`

Zkouška: tečna musí bodem dotyku procházet. `3 \cdot 15 + 5 \cdot 16 = 125` a `16 \cdot 20 + 15 \cdot 12 = 500`. Obě rovnice sedí. Přepsat tečnu do směrnicového nebo úsekového tvaru pomůže kalkulačka tvary rovnice přímky.

Tečna elipsy se středem mimo počátek

U elipsy `\dfrac{(x - m)^2}{a^2} + \dfrac{(y - n)^2}{b^2} = 1` zdvojujete celé závorky. Z jedné ze dvou stejných závorek se stane `(x_0 - m)`, druhá zůstane:

`\dfrac{(x_0 - m)(x - m)}{a^2} + \dfrac{(y_0 - n)(y - n)}{b^2} = 1`

Je to tentýž vzorec jako v počátku, jen počítaný od středu `S[m;\ n]` místo od bodu `[0;\ 0]`.

Příklad 4

Ověřte, že bod `T[6;\ {-2}]` leží na elipse `\dfrac{(x - 3)^2}{25} + \dfrac{4(y + 4)^2}{25} = 1`, a napište rovnici tečny v tomto bodě.

Dosazení bodu: `\dfrac{3^2}{25} + \dfrac{4 \cdot 2^2}{25} = \dfrac{9 + 16}{25} = 1`, bod na elipse leží. Platí `x_0 - m = 6 - 3 = 3` a `y_0 - n = -2 + 4 = 2`:

`\begin{gathered}\dfrac{3(x - 3)}{25} + \dfrac{4 \cdot 2(y + 4)}{25} = 1 \quad / \cdot 25 \\[10pt] 3x - 9 + 8y + 32 = 25 \\[10pt] 3x + 8y - 2 = 0\end{gathered}`

Zkouška: `3 \cdot 6 + 8 \cdot (-2) - 2 = 0`. Čtyřka v čitateli patří k `b^2`: elipsa je `\dfrac{(x - 3)^2}{25} + \dfrac{(y + 4)^2}{25/4} = 1`, tedy `a = 5` a `b = \frac{5}{2}`. Zdvojení ale funguje i bez tohoto převodu, stačí každou závorku zdvojit tam, kde stojí.

Elipsa zadaná obecnou rovnicí

Je-li elipsa zadaná obecnou rovnicí `Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0`, můžete ji doplněním na čtverec převést na středový tvar, nebo zdvojit přímo i lineární členy:

`\begin{gathered}x^2 \to x_0 x, \qquad y^2 \to y_0 y \\[10pt] x \to \dfrac{x + x_0}{2}, \qquad y \to \dfrac{y + y_0}{2}\end{gathered}`

Příklad 5

Napište tečnu elipsy `x^2 + 4y^2 - 2x + 16y - 3 = 0` v bodě `T[5;\ {-1}]`.

Bod na elipse leží: `25 + 4 - 10 - 16 - 3 = 0`. Zdvojení přímo v obecné rovnici:

`\begin{gathered}\begin{aligned} &5x + 4 \cdot (-1) \cdot y - 2 \cdot \dfrac{x + 5}{2} \\ &+ 16 \cdot \dfrac{y - 1}{2} - 3 = 0 \end{aligned} \\[10pt] 5x - 4y - x - 5 + 8y - 8 - 3 = 0 \\[10pt] 4x + 4y - 16 = 0 \\[10pt] x + y - 4 = 0\end{gathered}`

Druhou cestou přes středový tvar `\dfrac{(x - 1)^2}{20} + \dfrac{(y + 2)^2}{5} = 1` (ověříte v kalkulačce kuželosečka z obecné rovnice) vyjde totéž: `\dfrac{4(x - 1)}{20} + \dfrac{1 \cdot (y + 2)}{5} = 1`, po vynásobení pěti `x - 1 + y + 2 = 5`, tedy `x + y - 4 = 0`.

Tečna s danou směrnicí: podmínka dotyku

Často bod dotyku neznáte, ale víte, jakým směrem má tečna vést, třeba rovnoběžně nebo kolmo k dané přímce. Pak hledáte tečnu ve tvaru `y = kx + q` se známou směrnicí `k` a neznámým `q`. Dosazením do `b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2` vyjde

`(b^2 + a^2k^2)\,x^2 + 2a^2kq\,x + a^2(q^2 - b^2) = 0`

a z podmínky `D = 0` po úpravě podmínka dotyku:

`q^2 = a^2k^2 + b^2`

Ke každé směrnici jsou tedy dvě tečny, souměrné podle středu elipsy, s body dotyku `T\left[-\frac{a^2 k}{q};\ \frac{b^2}{q}\right]`. Svislé tečny `x = \pm a` směrnici nemají a tímto postupem je nenajdete, to jsou tečny v hlavních vrcholech. Podmínka platí pro elipsu se středem v počátku a hlavní osou v ose `x`.

Příklad 6

Najděte tečny elipsy `x^2 + 4y^2 = 20` rovnoběžné s přímkou `p: x + y - 7 = 0`.

Elipsa je `\dfrac{x^2}{20} + \dfrac{y^2}{5} = 1`, tedy `a^2 = 20` a `b^2 = 5`. Přímka `p` má směrnici `k = -1`.

`\begin{gathered}q^2 = 20 \cdot 1 + 5 = 25 \\[4pt] q = \pm 5\end{gathered}`

Tečny jsou `y = -x + 5` a `y = -x - 5`, v obecném tvaru `t_1: x + y - 5 = 0` a `t_2: x + y + 5 = 0`. Body dotyku: pro `q = 5` je `T_1\left[-\frac{20 \cdot (-1)}{5};\ \frac{5}{5}\right] = [4;\ 1]`, pro `q = -5` je `T_2[-4;\ {-1}]`.

Zkouška zdvojením v `T_1`: `4x + 4 \cdot 1 \cdot y = 20`, tedy `x + y = 5`. Je to tatáž přímka.

Tečny z bodu mimo elipsu a polára

Kde bod `M[x_1;\ y_1]` leží, zjistíte dosazením do levé strany rovnice `\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}`: vyjde-li víc než 1, leží bod vně elipsy a vedou z něj dvě tečny. Vyjde-li přesně 1, leží na elipse a tečna je jedna. Uvnitř elipsy (méně než 1) žádná tečna neprochází.

Na dvě tečny z bodu `M` je šikovná polára, přímka procházející oběma body dotyku. Má stejnou rovnici jako tečna, jen místo bodu dotyku dosadíte bod `M`:

`\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1`

Proč: je-li `T[x_0;\ y_0]` bod dotyku, tečna v `T` prochází bodem `M`, takže platí `\frac{x_0 x_1}{a^2} + \frac{y_0 y_1}{b^2} = 1`. Tatáž rovnost říká, že bod `T` leží na poláře. Postup je tedy: polára, její průsečíky s elipsou (to jsou body dotyku), tečny v nich.

Příklad 7

Bodem `M[-6;\ {-2}]` veďte tečny k elipse `4x^2 + 9y^2 = 36`.

Elipsa je `\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1`. Bod leží vně, protože `\frac{36}{9} + \frac{4}{4} = 5 \gt 1`. Polára:

`\begin{gathered}\dfrac{-6x}{9} + \dfrac{-2y}{4} = 1 \quad / \cdot (-6) \\[10pt] 4x + 3y + 6 = 0\end{gathered}`

Průsečíky poláry s elipsou: z poláry `4x = -3y - 6`, a protože `4x^2 = \frac{(4x)^2}{4}`, dosadíme takto:

`\begin{gathered}\dfrac{(3y + 6)^2}{4} + 9y^2 = 36 \quad / \cdot 4 \\[10pt] 9y^2 + 36y + 36 + 36y^2 = 144 \\[10pt] 45y^2 + 36y - 108 = 0 \quad / : 9 \\[10pt] 5y^2 + 4y - 12 = 0 \\[10pt] y_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{10} = \dfrac{-4 \pm 16}{10}\end{gathered}`

Pro `y_1 = \frac{6}{5}` je `4x_1 = -\frac{18}{5} - 6 = -\frac{48}{5}`, tedy `x_1 = -\frac{12}{5}`, pro `y_2 = -2` je `x_2 = 0`. Body dotyku jsou `T_1\left[-\frac{12}{5};\ \frac{6}{5}\right]` a `T_2[0;\ {-2}]`. Tečny v nich:

`\begin{gathered}t_1: \dfrac{-\frac{12}{5}x}{9} + \dfrac{\frac{6}{5}y}{4} = 1 \quad / \cdot (-30) \\[10pt] 8x - 9y + 30 = 0 \\[10pt] t_2: \dfrac{-2y}{4} = 1 \\[10pt] y + 2 = 0\end{gathered}`

Zkouška bodem `M`: `8 \cdot (-6) - 9 \cdot (-2) + 30 = 0` a `-2 + 2 = 0`. Tečna `t_2` je vodorovná, dotýká se elipsy ve vedlejším vrcholu `[0;\ {-2}]`.

Druhá cesta, přes podmínku dotyku. Přímka bodem `M` se směrnicí `k` je `y = kx + 6k - 2`, tedy `q = 6k - 2`. Podmínka `q^2 = 9k^2 + 4` dává `36k^2 - 24k + 4 = 9k^2 + 4`, čili `27k^2 - 24k = 0`. Kořeny `k = 0` a `k = \frac{8}{9}` dávají tytéž dvě tečny. Pozor ale: vyjde-li touto cestou jen jedna směrnice, je druhá tečna svislá, `x = x_1`. Polára takovou tečnu neztratí.

Tečna a ohniska: proč se paprsek odrazí do druhého ohniska

Tečna elipsy svírá s oběma průvodiči bodu dotyku, tedy se spojnicemi `TE` a `TF`, stejné úhly. Normála proto půlí úhel `ETF`. Paprsek nebo zvuk vyslaný z jednoho ohniska se od elipsy odrazí vždy do druhého ohniska.

Na obrázku je elipsa `\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1` s ohnisky `E[-3;\ 0]` a `F[3;\ 0]`. V bodě `T\left[3;\ \frac{16}{5}\right]` je tečna `3x + 5y - 25 = 0`. Úhel tečny s průvodičem `TF` i s průvodičem `TE` vyjde z kosinu stejně, `\cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{34}}`, tedy `\varphi \doteq 59^{\circ}2'`.

Využívá se to v šeptajících galeriích, kde je šepot z jednoho ohniska slyšet ve druhém, a v lékařství: přístroj na drcení ledvinových kamenů soustředí rázovou vlnu z jednoho ohniska eliptického reflektoru do druhého, kde leží kámen.

Časté chyby

• „Mimoběžná přímka“. Mimoběžky existují jen v prostoru. Přímka v rovině, která elipsu neprotne, je vnější přímka (nesečna).
• Vzorec tečny pro bod, který na elipse neleží. Dosadíte-li do `\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1` bod mimo elipsu, nevyjde tečna, ale polára. Bod vždy nejdřív dosaďte do rovnice elipsy.
• Zdvojená jen jedna polovina. U posunuté elipsy se píše `(x_0 - m)(x - m)`, ne `x_0(x - m)`. U obecné rovnice nezapomeňte zdvojit i lineární členy, `Dx` se změní na `D\frac{x + x_0}{2}`.
• Poloosy místo jejich druhých mocnin. Ve vzorcích tečny i v podmínce dotyku jsou `a^2` a `b^2`, tedy přímo jmenovatelé z rovnice elipsy. U `\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1` dosadíte 20 a 5, ne `\sqrt{20}` a `\sqrt{5}`.
• Vzdálenost od středu nerozhoduje. Přímky `x = 3{,}5` a `y = 3{,}5` jsou od středu elipsy `\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1` stejně daleko, a přece je první sečna (protíná ji v bodech `\left[3{,}5;\ \pm\frac{3\sqrt{15}}{8}\right]`) a druhá vnější přímka (elipsa sahá jen do výšky 3).
• Ztracená svislá tečna. Kdo hledá tečny z bodu přes směrnici, nenajde svislou tečnu `x = \pm a`, i když bodem prochází. Vyjde-li jediná směrnice, chybí právě ona.
• Druhá souřadnice z rovnice elipsy. Po vyřešení kvadratické rovnice dopočítejte druhou souřadnici z rovnice přímky. Z elipsy vyjdou dvě hodnoty a snadno přiřadíte špatnou.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Střed a poloosy z rovnice rychle a bez chyb: procvičování Elipsa: střed a poloosy.
• Kalkulačky rovnice elipsy (ohniska, vrcholy a nákres ze středu a poloos), kuželosečka z obecné rovnice, kvadratická rovnice a tvary rovnice přímky.
• Kvadratické rovnice, které vycházejí z dosazení: procvičování Kořeny kvadratické rovnice.
• Články Elipsa, Kružnice a přímka, Parabola a Kvadratická rovnice.