Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Elipsa a přímka

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 56 814

Naučíme se, jak lze určit, zda je přímka tečnou, sečnou elipsy. Také se naučíme spočítat průsečík přímky a elipsy


Pokud tedy máme v nějaké rovině elipsu (přejít na článek Analytická geometrie - Elipsa) a přímku, mohou nastat tři situace:

  1. Mimoběžná přímka - přímka nemá s elipsou ani jeden společný bod.
  2. Přímka je tečnou elipsy - přímka má s elipsou jeden společný bod.
  3. Přímka je sečnou elipsy - přímka má s elipsou dva společné body.

Tečna elipsy s rovnicí \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (střed elipsy je tedy v počátku) v nějakém bodě X[x0; y0] má rovnici: \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1.

1) Určete průsečík přímky dané rovnicí p: 4x+5y=140 s elipsou \frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{400}=1.

V podstatě se nejedná o těžký příklad. Jsou to dvě rovnice o dvou neznámých. Nicméně jejich vyřešení není úplně jednoduché a tak si řešení soustavy pro jistotu rozepíšeme. 

4x+5y=140
\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{400}=1\\x=35-\frac{5y}{4}\\x^2=1125-\frac{175y}{2}+\frac{25y^2}{16}\\\frac{1125-\frac{175y}{2}+\frac{25y^2}{16}}{625}+\frac{y^2}{400}=1\\\frac{784-56y+y^2}{400}+\frac{y^2}{400}=1\\y^2-28y+192=0\\ [y_1; y_2] = [16; 12]

Pro kořeny y1 a y2 musíme samozřejmě vypočítat odpovídající hodnotu souřadnice x. Pokud to uděláme, získáme body X1[15; 16] a X2[20; 12].

2) Napište rovnice tečen elipsy z předchozího příkladu.

Je to pouze dosazení patřičných hodnot do rovnice tečny \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1:

Pro bod X1[15; 16]:
\frac{15x}{625}+\frac{16y}{400}=1\rightarrow 3x+5y=125
Pro bod X2[20; 12]:
\frac{20x}{625}+\frac{12y}{400}=1\rightarrow 16x+15y=500

Doteď jsme pracovali s elipsou, která měla svůj střed umístěný v počátku. Nyní si ukážeme, jak by vypadala rovnice tečny elipsy s rovnicí \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 v bodě X[x0, y0]:

\frac{(x_0-m)*(x-m)}{a^2}+\frac{(y_0-n)*(y-n)}{b^2}=1

3) Dokažte, že bod X[6; -2] je bodem elipsy \frac{(x-3)^2}{25}+\frac{4*(y+4)^2}{25}=1 a napište rovnici tečny v daném bodě.

Důkaz provedeme tak, že dosadíme souřadnice bodu X do rovnice elipsy. 

\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{4*(y+4)^2}{25}=1\\\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\\1=1

Napsání rovnice tečny v bodě X je triviální záležitost:

\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{4*(y+4)^2}{25}=1\\\frac{3*(x-3)}{25}+\frac{8*(y+4)}{25}=1\\3x+8y-2=0

Procvičování

Vše důležité jsme si již řekli. Nyní si nově nabyté znalosti vyzkoušíme na několika příkladech.

4) Napište průsečíky elipsy x2+5y2-12x-50y+141=0 s přímkou y=x:

x2+5y2-12x-50y+141=0
y=x
x2+5x2-12x-50x+141=0
6x2-62x+141=0
[x_1, x_2] = [\frac{31+\sqrt{115}}{6}; \frac{31-\sqrt{115}}{6}]

Pokud dopočítáme patřičné hodnoty souřadnic y, získáme body X_1[\frac{31+\sqrt{115}}{6}; \frac{31+\sqrt{115}}{6}] a X_2[\frac{31-\sqrt{115}}{6};\frac{31-\sqrt{115}}{6}].

Napište rovnice tečen elipsy (x-1)^2+\frac{(y+2)^2}{4}=1 v jejích průsečících s přímkou y=-2x.

Nejprve musíme určit souřadnice průsečíku dané přímky a elipsy. Nejedná se o nic jiného, než o vyřešení dvou rovnic o dvou neznámých.

(x-1)^2+\frac{(y+2)^2}{4}=1 \rightarrow 4x^2-8x+4+y^2+4y+4=4\\y=-2x
2x2-4x+1=0
x_1/x_2 = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}

Našli jsme patřičné x-ové souřadnice. Dopočítat y-ové není problém, takže rovnou napíšu souřadnice průsečíků: X_1[\frac{2+\sqrt{2}}{2}, -2-\sqrt{2}], X_2[\frac{2-\sqrt{2}}{2}, -2+\sqrt{2}]. Nyní, když známe souřadnice, můžeme lehce napsat obecné rovnice tečen elipsy: 

Začneme tečnou procházející bodem X1:
\frac{(x-m)*(x_0-m)}{a^2}+\frac{(y-n)*(y_0-n)}{b^2} = 1\\\frac{(x-1)*\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}+\frac{(y+2)*-(\sqrt{2})}{4} = 1\\\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}y-2\sqrt{2}}{4}=1\\2\sqrt{x}-2\sqrt{2}-\sqrt{2y}-2\sqrt{2}=4\\2x-4-y=2\sqrt{2}\\t_1: 2x-y-4-2\sqrt{2}

Toto je rovnice tečny procházející bodem X1. Postup k nalezení druhé tečny by byl naprosto identický, akorát musíme změnit hodnotu proměnných x0 a y0. Rovnice druhé tečny je: t_2: 2x-y-4+2\sqrt{2}.

5) Bodem X[-6;-2] veďte tečny k elipse 4x2+92=36.

Nastala pro nás nová situace. Musíme najít rovnice dvou tečen z daného bodu k dané elipse. Budeme postupovat stejně, jako když jsme řešili stejnou úlohu u kružnice. Nejprve tedy najdeme poláru, pak najdeme průsečíky elipsy a poláry a těmito průsečíky povedeme tečny. Pokud tedy máme bod X[x0; y0] a elipsu \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, bude rovnice poláry vypadat následnovně: \frac{x*x_0}{a^2}+\frac{y*y_0}{b^2}=1. 

Nejprve vypočítáme rovnici poláry:
\frac{-6x}{9}+\frac{-2y}{4}=1\\\p: 4x+3y+6=0
Nyní určíme průsečíky poláry a elipsy:
x=\frac{-3y-6}{4}\\4x^2+9y^2=36
x^2=\frac{9y^2+36y+36}{16}
45y^2+36y-108=0\\\sqrt{D}=144\\ [y_1; y_2]=\frac{-36\pm 144}{90}=[\frac{6}{5}; -2]\\ [x_1; x_2]=[-\frac{12}{5}; 0]

Nyní máme průsečíky poláry a elipsy. Poslední krok je jednoduchý. Nalezenými průsečíky prostě povedeme tečny k elipse. Jelikož toto tu již bylo procvičováno, nebudu celý postup rozepisovat a uvedu pouze rovnice tečen: 

t1: 8x-9y+30
t2: y+2

Test

Určete limitu \lim\limits_{x\to2}\ \frac{x^2-7x-10}{x^2-4}


Hlavolam

Najděte hodnotu x v rovnici 5x + 3 = 18.

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček