navtype_mat_bez.gif

Analytická geometrie - Úvod

Vydáno dne 24.05.2008 18:42:55 v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 42163;

Vysvětlíme si pojem Kartézská soustava souřadnic a naučíme se počítat vzdálenost bodů v rovině i prostoru.


Analytická geometrie vznikla v 17. století a za její zakladatele jsou považováni René Descartes a Pierre de Fermat. Podstatou této matematické disciplíny je převedení geometrické úlohy na algebraickou, často na soustavu rovnic.

Obsah

Na tomto portálu již vyšla celá řada článků zabývajících se tématikou analytické geometrie. V článcích naleznete jak teorii, tak i řešené příklady:

Kartézská soustava souřadnic

Jistě jste se někdy setkali s klasickou soustavou souřadnic se dvěma osami x a y. My, v analytické geometrii, budeme potřebovat ještě jednu osu z. Pro tyto tři osy platí, že každé dvě jsou vzájemné kolmé a všechny pocházejí počátkem (tedy nulovým bodem).

kartézská soustava souřadnic

Body se na kartézskou soustavu souřadnic v prostoru nanášejí pomocí tří souřadnic: A[x; y; z].

Vzdálenost dvou bodů

Než se naučíme počítat vzdálenost dvou bodů v prostoru, měli bychom si vysvětlit jak spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině.

Vzdálenost bodů v rovině

Mějme body A[1; 1], B[4; 2] v kartézském souřadném systému:

Vzdálenost dvou bodů

Vzdálenost těchto bodů spočítáme pomocí doplnění na pravoúhlý trojúhelník.

Vzdálenost dvou bodů

Nyní můžeme říci, že velikost úsečky |AC|\ =\ |b_1\ -\ a_1| a |BC|\ =\ |b_2\ -\ a_2|. Toto jsou velikosti odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku a proto není problém spočítat velikost přepony, což je vlastně vzdálenost bodů. 

|AC|\ =\ |b_1\ -\ a_1|\ =\ |4\ -\ 1|\ =\ 3\\|BC|\ =\ |b_2\ -\ a_2|\ =\ |2\ -\ 1|\ =\ 1
|AB|\ =\ \sqrt{|AC|^2\ +\ |BC|^2}\ =\ \sqrt{9\ +\ 1}\ =\ \sqrt{10}

Obdobně budeme postupovat i v podobných příkladech. Vypočtěte vzdálenost bodů A[-5; 1] a B[80; -51]:

|AB| = √(|b1-a1|2+|b2-a2|2)
Naťukáním těchto čísel do kalkulačky dojdeme k výsledku:
|AB| = 96.644

Využijte naší nové služby Matematické nástroje!

Můžete tam například najít nástroj, který vám pomůže s vzdáleností dvou bodů.

Vzdálenost bodů v prostoru

Vzdálenost dvou bodů v prostoru je velmi podobné vzdálenosti bodů v rovině. Jen přibude pod odmocninou třetí část \ldots\ +\ (b_3\ -\ a_3)^2, takže celý vzoreček bude vypadat takto:

|AB|\ =\ \sqrt{(b_1\ -\ a_1)^2\ +\ (b_2\ -\ a_2)^2\ +\ (b_3\ -\ a_3)^2}

Vypočtěte vzdálenost bodů A[3; 1; -5] a B[1; 2; -3]:

|AB|\ =\ \sqrt{(b_1\ -\ a_1)^2\ +\ (b_2\ -\ a_2)^2\ +\ (b_3\ -\ a_3)^2}
|AB|\ =\ \sqrt{(1\ -\ 3)^2\ +\ (2\ -\ 1)^2\ +\ (-3\ -\ (-5))^2}
|AB|\ =\ \sqrt{9}\ =\ 3

Teď přijde troch složitější příklad. Určete číslo p z množiny reálných čísel, tak aby platilo |AB|\ =\ 3\sqrt{2}. Bod A[3; p; 2], bod B[-1; 0; p]. Tentokrát již budeme muset řešit trochu obtížnější rovnici:

K řešení dojdeme tak, že dosadíme známé hodnoty do vzorce pro vzdálenost dvou bodů. 
\begin{array}{rcl}|AB|\ &=&\ \sqrt{(b_1\ -\ a_1)^2\ +\ (b_2\ -\ a_2)^2\ +\ (b_3\ -\ a_3)^2}\\3\sqrt{2}\ &=&\ \sqrt{(-1\ -\ 3)^2\ +\ (0\ -\ p)^2\ +\ (p\ -\ 2)^2}\\(3\sqrt{2})^2\ &=&\ (\ -\ 4)^2\ +\ p^2\ +\ p^2\ -\ 4p\ +\ 4\\18\ &=&\ 20\ +\ 2p^2\ -\ 4p\\p^2\ -\ 2p\ +\ 1\ &=&\ 0\end{array}
Jedná se o kvadratickou rovnici, řešíme tedy diskriminant
D\ =\ b^2\ -\ 4ac\ =\ 4\ -\ 4\ =\ 0\\x_1/x_2\ =\ \frac{\ -\ b\pm\sqrt{D}}{2a}\ =\ \frac{2}{2}\ =\ 1

Na závěr si dáme nejtěžší příklad. Určete na ose z bod X, který má od bodu A[4; -1; -5] třikrát větší vzdálenost než od bodu B[2; 1; 1].

Jelikož se bod X musí nacházet na ose z, můžeme určit x-ové a y-ové souřadnice → X[0; 0; z].

Označíme-li si vzdálenost bodů |BX| jako d, tak můžeme říci, že vzdálenost bodů |AX| je rovna 3d

|AX|\ =\ 3d;\ |BX|\ =\ d\\\rightarrow\ |AX|\ =\ 3|BX|
|AX|\ =\ \sqrt{(4\ -\ 0)^2\ +\ (\ -\ 1\ -\ 0)^2\ +\ (\ -\ 5\ -\ z)^2}\ =\ \sqrt{4^2\ +\ 1^2\ +\ 25\ +\ 10z\ +\ z^2}\\|AX| =\ \sqrt{z^2\ +\ 10z\ +\ 42}
|BX|\ =\ \sqrt{(2\ -\ 0)^2\ +\ (1\ -\ 0)^2\ +\ (1\ -\ z)^2}\ =\ \sqrt{2^2\ +\ 1^2\ +\ 1\ -\ 2z\ +\ z^2}\\|BX| =\ \sqrt{z^2\ -\ 2z\ +\ 6}

Nyní můžeme |AX| a |BX| dosadit do rovnice:

\begin{array}{rcl}|AX|\ &=&\ 3|BX|\\\sqrt{z^2\ +\ 10z\ +\ 42}\ &=&\ 3\sqrt{z^2\ -\ 2z\ +\ 6}\end{array}
Zbavíme se odmocnin
\begin{array}{rcl}z^2\ +\ 10z\ +\ 42\ &=&\ 9(z^2\ -\ 2z\ +\ 6)\\8z^2\ -\ 28z\ +\ 12\ &=&\ 0\end{array}
Řešením kvadratické rovnice dostaneme dva výsledky:
(z_1/z_2)\ =\ \left(3;\ \frac{1}{2}\right)

Vyšly nám dva výsledky: P_1[0;\ 0;\ 3] a P_2\left[0;\ 0;\ \frac{1}{2}\right]

Příklady

A samozřejmě nakonec pár příkladů k procvičení:

1) Určete vzdálenost bodu A[4; 3; 0] a B[1; 5; 3]:



Opět dosadíme do již známého vzorce: 

|AB|\ =\ \sqrt{(b_1\ -\ a_1)^2\ +\ (b_2\ -\ a_2)^2\ +\ (b_3\ -\ a_3)^2}\\|AB|\ =\ \sqrt{(1\ -\ 4)^2\ +\ (5\ -\ 3)^2\ +\ (3\ -\ 0)^2}\\|AB|\ =\ \sqrt{9\ +\ 4\ +\ 9}\\|AB|\ =\ \sqrt{22}

Vzdálenost těchto bodů je \sqrt{22}.

2) Určete vzdálenost bodu A[5; -2; -3] a B[2; 0; 3]:



Dosadíme zadané hodnoty do vzorečku pro výpočet vzdálenosti:

|AB|\ =\ \sqrt{(b_1\ -\ a_1)^2\ +\ (b_2\ -\ a_2)^2\ +\ (b_3\ -\ a_3)^2}
|AB|\ =\ \sqrt{(2\ -\ 5)^2\ +\ (0\ -\ (-2))^2\ +\ (3\ -\ (-3))^2}\\|AB|\ =\ \sqrt{9\ +\ 4\ +\ 36}\\|AB|\ =\ \sqrt{49}\\|AB|\ =\ 7

Vzdálenost těchto bodů je 7.

3) Určete číslo p z množiny reálných čísel, tak aby platilo |AB|\ =\ \sqrt{10}. Bod A[2+p; 2; 1], bod B[3; -p; 2]:



Dané hodnoty musíte dosadit do vzorce pro výpočet vzdálenosti. Když rovnici zjednodušíte, získáte kvadratickou rovnici s neznámou p. A my hledáme řešení právě této kvadratické rovnice.

Vyšli dva různé kořeny: [p_1;\ p_2]\ =\ [1-;\ 2].



Zkuste odpovědět na následující otázku:

Najděte derivaci funkce f(x)=\ln(\sin2x).

2\mathrm{tg}(x)

\mathrm{tg}(2x)

\mathrm{cotg}(2x)

2\mathrm{cotg}(2x)





Jakub Vojáček



Komentáře: