Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými a slovní úlohy

Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými jsou dvě rovnice, které musí platit zároveň. Jejím řešením je dvojice čísel x a y, která po dosazení vyhoví oběma rovnicím najednou. Například soustava

`\begin{aligned} 2x + y &= 11\\ x - y &= 1 \end{aligned}`

má řešení x = 4, y = 3, protože 2 · 4 + 3 = 11 a zároveň 4 − 3 = 1. Ve škole se soustavy řeší hlavně dvěma způsoby: dosazovací metodou (z jedné rovnice vyjádříme neznámou a dosadíme ji do druhé) a sčítací metodou (rovnice vynásobíme tak, aby se po sečtení jedna neznámá odečetla).

Soustava rovnic je nejsilnější nástroj na slovní úlohy. Kdykoli text skrývá dvě neznámá čísla a prozrazuje o nich dvě věci (kolik je jich dohromady a kolik stojí, kolik let je komu dnes a kolik bylo před dvěma lety), každá ta věc je jedna rovnice. Výsledek si můžete ověřit na kalkulačce soustavy dvou rovnic a početní postup natrénovat na příkladech na soustavy rovnic.

Níže najdete, co je řešení soustavy, dosazovací, sčítací a srovnávací metodu na řešených příkladech, co soustava znamená graficky, kdy nemá žádné řešení nebo jich má nekonečně mnoho, jak přeložit slovní úlohu do rovnic, čtyři řešené slovní úlohy (věk, vstupenky, slepice a králíci, loď na řece), časté chyby a šest příkladů s řešením.

Co je řešení soustavy rovnic

Samotná rovnice 2x + y = 11 má řešení nekonečně mnoho: x = 0 a y = 11, x = 5 a y = 1, x = 4 a y = 3 a tak dále. Pro každé x se dá dopočítat y. Teprve druhá rovnice z nich vybere tu jedinou dvojici, která sedí do obou. Dvojice x = 5, y = 1 do první rovnice sedí (10 + 1 = 11), ale do druhé ne, protože 5 − 1 = 4, a ne 1. Řešením soustavy tedy není.

Řešení se zapisuje jako uspořádaná dvojice `[x;\ y] = [4;\ 3]`, nebo prostě x = 4, y = 3. Na pořadí záleží: [3; 4] je jiná dvojice a soustavě nevyhovuje. Proto každý výpočet končí zkouškou, dosazením do obou původních rovnic. Zkouška jen do jedné z nich nic nedokazuje, jak ukazuje právě dvojice [5; 1].

Soustavě, ve které je každá neznámá nejvýš v první mocnině a neznámé se spolu nenásobí, se říká soustava lineárních rovnic. O ní je celý tento článek. Jak se řeší jedna lineární rovnice, popisuje článek Lineární rovnice; při řešení soustavy na ni vždy dojde.

Dosazovací metoda

Dosazovací metoda převede dvě rovnice o dvou neznámých na jednu rovnici o jedné neznámé. Postup:

1. Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou. Nejlépe tu, která má koeficient 1 nebo −1, pak se nedělí.
2. Výraz dosadíme do druhé rovnice, vždy do závorky.
3. Vyřešíme vzniklou rovnici s jednou neznámou.
4. Výsledek dosadíme do vyjádření z kroku 1 a dopočítáme druhou neznámou.
5. Uděláme zkoušku do obou původních rovnic.

Příklad 1

Vyřešte soustavu

`\begin{aligned} 3x + 2y &= 16\\ x - 4y &= -4 \end{aligned}`

Ve druhé rovnici má x koeficient 1, vyjádříme tedy x:

`x = 4y - 4`

Dosadíme do první rovnice místo x celou závorku a dopočítáme y:

`\begin{aligned} 3(4y - 4) + 2y &= 16\\ 12y - 12 + 2y &= 16\\ 14y &= 28\\ y &= 2 \end{aligned}`

Druhou neznámou dostaneme z vyjádření: x = 4 · 2 − 4 = 4.

Zkouška: v první rovnici 3 · 4 + 2 · 2 = 12 + 4 = 16, ve druhé 4 − 4 · 2 = 4 − 8 = −4. Obě sedí, řešením je `[x;\ y] = [4;\ 2]`.

Sčítací metoda

Sčítací metoda využívá toho, že dvě platné rovnice smíme sečíst: levá strana s levou, pravá s pravou. Když mají u jedné neznámé opačné koeficienty (například 4y a −4y), po sečtení se ta neznámá odečte a zůstane rovnice s jednou neznámou. Pokud opačné nejsou, uděláme je takovými: jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodným číslem. Násobí se celá rovnice, každý člen na levé i pravé straně.

Příklad 2

`\begin{aligned} 3x + 4y &= 18\\ 5x - 2y &= 4 \end{aligned}`

U y stojí 4 a −2. Když druhou rovnici vynásobíme dvěma, bude tam −4y, a to je opak 4y:

`\begin{aligned} 3x + 4y &= 18\\ 10x - 4y &= 8 \end{aligned}`

Sečteme: `3x + 10x = 13x`, `4y - 4y = 0`, `18 + 8 = 26`. Zbude 13x = 26, tedy x = 2. Dosadíme do kterékoli původní rovnice, třeba do první: 3 · 2 + 4y = 18, odtud 4y = 12 a y = 3.

Zkouška: 3 · 2 + 4 · 3 = 6 + 12 = 18 a 5 · 2 − 2 · 3 = 10 − 6 = 4. Řešením je `[2;\ 3]`.

Příklad 3: násobíme obě rovnice

`\begin{aligned} 3x + 4y &= 10\\ 2x + 3y &= 7 \end{aligned}`

Tady žádné jednoduché číslo nestačí. Koeficienty u x jsou 3 a 2; první rovnici vynásobíme dvěma a druhou −3, takže u x bude 6 a −6:

`\begin{aligned} 6x + 8y &= 20\\ -6x - 9y &= -21 \end{aligned}`

Po sečtení zbude −y = −1, tedy y = 1. Z první rovnice: 3x + 4 = 10, 3x = 6, x = 2. Zkouška ve druhé rovnici: 2 · 2 + 3 · 1 = 7. Řešením je `[2;\ 1]`.

Násobit −3 je totéž, jako druhou rovnici vynásobit třemi a pak ji odečíst. Odčítání rovnic je také dovolené, jen se pak snadno zapomene změnit znaménko u některého členu, hlavně na pravé straně. Proto je bezpečnější vynásobit záporným číslem a sčítat.

Srovnávací metoda

Třetí metoda se hodí, když jsou obě rovnice vyjádřené pro stejnou neznámou, typicky y = … a y = …. Obě pravé strany se rovnají témuž y, a proto se rovnají i sobě navzájem:

`\begin{aligned} y &= 2x - 1\\ y &= -x + 5 \end{aligned}`

`\begin{aligned} 2x - 1 &= -x + 5\\ 3x &= 6\\ x &= 2 \end{aligned}`

Pak y = 2 · 2 − 1 = 3 a zkouška ve druhé rovnici: −2 + 5 = 3. Řešením je `[2;\ 3]`. Srovnávací metoda je vlastně dosazovací metoda, jen se vyjádří neznámá z obou rovnic.

Co soustava znamená graficky

Rovnice y = 2x − 1 je předpis lineární funkce a jejím grafem je přímka. Totéž platí pro y = −x + 5, a přímka je grafem každé rovnice tvaru ax + by = c, pokud a, b nejsou obě nulové. Dvojice [x; y], která vyhoví oběma rovnicím, je bod, který leží na obou přímkách, tedy jejich průsečík. Přímky z předchozího příkladu se protínají právě v bodě [2; 3]:

Grafické řešení je dobré na pochopení a na odhad, ale přesné je jen tehdy, když průsečík padne do mřížky. U soustavy s výsledkem x = 7/13 by z obrázku nikdo nic nepřečetl. Obrázek ale vysvětlí, proč má soustava buď jedno řešení, nebo žádné, nebo nekonečně mnoho: dvě přímky se buď protnou v jednom bodě, nebo jsou rovnoběžné a nemají společný žádný bod, nebo splynou v jednu. Víc o průsečících přímek je v článku Vzájemná poloha přímek a průsečík.

Soustava bez řešení a s nekonečně mnoha řešeními

Při výpočtu se obě zvláštní situace poznají tak, že z rovnice zmizí obě neznámé najednou. Vezměme soustavu

`\begin{aligned} x + 2y &= 4\\ 2x + 4y &= 3 \end{aligned}`

Vynásobíme první rovnici −2 a sečteme s druhou: −2x − 4y + 2x + 4y = −8 + 3, tedy `0 = -5`. To neplatí pro žádná x a y, je to spor. Soustava nemá řešení a přímky jsou rovnoběžné.

Kdyby na pravé straně druhé rovnice bylo 8 místo 3, vyšlo by `0 = 0`. To platí vždy: druhá rovnice je jen dvojnásobek první a nic nového neříká. Soustava má nekonečně mnoho řešení, všechny dvojice, pro které x = 4 − 2y (y může být jakékoli). Přímky splývají.

Že se to blíží, se dá poznat předem: když jsou koeficienty u x a u y ve stejném poměru (tady 1 : 2 a 2 : 4), nemá soustava jedno řešení. O soustavách tří rovnic a těchto případech obecně píše článek Gaussova eliminační metoda.

Kterou metodu zvolit

Správně vyjde každá. Liší se jen tím, jak moc se u ní počítá se zlomky:

Slovní úlohy na soustavu rovnic: postup

Slovní úloha se dvěma neznámými se řeší pořád stejně:

1. Označíme neznámé a napíšeme, co znamenají, i s jednotkou: x = počet dospělých, y = cena tužky v Kč. Kdo tohle přeskočí, za chvíli neví, co vlastně vypočítal.
2. Najdeme v textu dvě podmínky a každou přepíšeme jako rovnici.
3. Soustavu vyřešíme kteroukoli metodou.
4. Zkoušku uděláme dosazením do textu zadání, ne do svých rovnic. Rovnice mohou být sestavené špatně a zkouška do nich by chybu nenašla.
5. Napíšeme odpověď celou větou.

Nejtěžší je krok 2. Tady jsou obraty, které se v úlohách opakují (x a y jsou dvě neznámá čísla):

Pozor na pořadí u „o 5 víc“: když má x o 5 víc než y, je x větší, a proto se pětka přičte k menšímu číslu y. Častá chyba je napsat y = x + 5, tedy přesně obráceně. Pomůže dosadit si malá čísla: má-li Petr o 5 víc než Jana a Jana má 3, Petr má 8, a 8 = 3 + 5.

Příklad 4: věk

Před dvěma lety byla Věra pětkrát starší než Zdena. Dnes je Věra jen třikrát starší než Zdena. Kolik let je každé z nich dnes?

Označíme x = Věřin věk dnes, y = Zdenin věk dnes (v letech). Před dvěma lety bylo Věře x − 2 a Zdeně y − 2 let. Dvě podmínky z textu:

`\begin{aligned} x - 2 &= 5(y - 2)\\ x &= 3y \end{aligned}`

Druhá rovnice už x vyjadřuje, dosadíme ho do první:

`\begin{aligned} 3y - 2 &= 5y - 10\\ -2y &= -8\\ y &= 4 \end{aligned}`

Pak x = 3 · 4 = 12. Zkouška v textu: dnes je Věře 12 a Zdeně 4, a 12 je opravdu trojnásobek 4. Před dvěma lety jim bylo 10 a 2, a 10 je pětinásobek 2. Věře je 12 let, Zdeně 4 roky.

Úloha se dřív zadávala i s otázkou na rok narození. Je-li dnes rok 2026, narodila se Věra v roce 2026 − 12 = 2014 a Zdena v roce 2022, ale jen pokud už letos měly narozeniny; jinak o rok dřív. U úloh o věku je ještě jedna past: „před dvěma lety“ se odečítá od věku obou lidí, ne jen jednoho.

Příklad 5: vstupenky

Do kina prodali 180 vstupenek, pro dospělé po 160 Kč a pro děti po 90 Kč. Tržba byla 23 900 Kč. Kolik dětí šlo do kina?

x = počet dospělých, y = počet dětí. Jedna podmínka počítá lidi, druhá koruny:

`\begin{aligned} x + y &= 180\\ 160x + 90y &= 23\,900 \end{aligned}`

Z první rovnice x = 180 − y a dosadíme:

`\begin{aligned} 160(180 - y) + 90y &= 23\,900\\ 28\,800 - 160y + 90y &= 23\,900\\ -70y &= -4\,900\\ y &= 70 \end{aligned}`

Dospělých bylo 180 − 70 = 110. Zkouška: 110 · 160 = 17 600 Kč, 70 · 90 = 6 300 Kč, dohromady 23 900 Kč. Do kina šlo 70 dětí.

Kdyby vyšel necelý počet lidí, třeba 78,57, je skoro jistě chyba v rovnicích nebo ve výpočtu. Necelý počet osob nebo kusů je ve slovní úloze vždy varovný signál.

Příklad 6: slepice a králíci

Na dvoře jsou slepice a králíci, dohromady 35 hlav a 94 nohou. Kolik je králíků?

x = počet slepic, y = počet králíků. Každé zvíře má jednu hlavu, slepice dvě nohy, králík čtyři:

`\begin{aligned} x + y &= 35\\ 2x + 4y &= 94 \end{aligned}`

Sčítací metoda: první rovnici vynásobíme −2 a sečteme s druhou. Zbude 2y = 94 − 70 = 24, tedy y = 12 a x = 35 − 12 = 23. Zkouška: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94 nohou. Na dvoře je 12 králíků a 23 slepic.

Tahle úloha je stará přes tisíc let a dá se řešit i úvahou. Kdyby všech 35 zvířat byly slepice, měly by 70 nohou. Chybí 94 − 70 = 24 nohou a každý králík místo slepice přidá 2 nohy, takže králíků je 24 : 2 = 12. Je to přesně ten krok, který udělala sčítací metoda.

Příklad 7: loď po proudu a proti proudu

Loď urazí 36 km po proudu řeky za 2 hodiny a stejnou vzdálenost proti proudu za 3 hodiny. Jak rychle jede loď na stojaté vodě a jak rychle teče řeka?

v = rychlost lodi na stojaté vodě, w = rychlost proudu (v km/h). Po proudu řeka loď postrkuje, takže loď jede rychlostí v + w; proti proudu ji brzdí a loď jede v − w. Vzdálenost je rychlost krát čas:

`\begin{aligned} 2(v + w) &= 36\\ 3(v - w) &= 36 \end{aligned}`

Vydělíme první rovnici dvěma a druhou třemi: v + w = 18, v − w = 12. Sečteme: 2v = 30, tedy v = 15 a w = 18 − 15 = 3. Zkouška: po proudu 15 + 3 = 18 km/h, za 2 h je to 36 km; proti proudu 15 − 3 = 12 km/h, za 3 h také 36 km. Loď jede 15 km/h, řeka teče 3 km/h.

Na soustavu rovnic vedou i úlohy o směsích a slitinách (Slovní úlohy o směsích), úlohy na poměr (Slovní úlohy na poměr) a úlohy se zlomky (Slovní úlohy se zlomky).

Časté chyby

• Zkouška jen do jedné rovnice. Dvojice [5; 1] vyhoví rovnici 2x + y = 11, a přesto soustavu z úvodu neřeší. Zkouška musí projít oběma rovnicemi, ve slovní úloze textem zadání.
• Vynásobení jen levé strany. Z 5x − 2y = 4 krát 2 není 10x − 4y = 4, ale 10x − 4y = 8. Násobí se každý člen na obou stranách.
• Dosazení bez závorky. Za x = 4y − 4 do 3x se dosadí 3(4y − 4) = 12y − 12. Kdo napíše 3 · 4y − 4, dostane 12y − 4 a špatný výsledek.
• Odečtení rovnic se zapomenutým znaménkem. Při odčítání se mění znaménko u všech členů druhé rovnice, i u pravé strany. Bezpečnější je vynásobit rovnici záporným číslem a sčítat.
• Prohozené x a y v odpovědi. Řešení [4; 2] není totéž co [2; 4]. Ve slovní úloze proto hned na začátku napište, co je x a co y.
• Obrácený vztah „o 5 víc“ a „třikrát víc“. „Věra je třikrát starší než Zdena“ je x = 3y, ne 3x = y. Kontrola na malých číslech chybu odhalí hned.
• Výsledek, který nedává smysl. Záporný věk nebo 78,57 dítěte znamená chybu v rovnicích. Nepište ho do odpovědi, hledejte ji.

Příklady k procvičení

`\begin{aligned} y &= 2x - 3 \\ 3x + y &= 17 \end{aligned}`

`\begin{aligned} 2x + 3y &= 12 \\ 4x - 3y &= 6 \end{aligned}`

`\begin{aligned} 3x - 2y &= 4 \\ 5x + 3y &= 13 \end{aligned}`

`\begin{aligned} 9x - 6y &= 12 \\ 10x + 6y &= 26 \end{aligned}`

`\begin{aligned} 3x - 6y &= 9 \\ x - 2y &= 5 \end{aligned}`

`\begin{aligned} 3s + 2t &= 64 \\ 2s + 5t &= 72 \end{aligned}`

`\begin{aligned} o &= s + 26 \\ o + 4 &= 3(s + 4) \end{aligned}`

Kam dál

• Procvičování: příklady na soustavy rovnic s okamžitou kontrolou, výsledky vždy vyjdou celé. Kdo potřebuje zopakovat jednu rovnici, má příklady na lineární rovnice.
• Kalkulačky: soustava dvou lineárních rovnic spočítá x a y přes determinanty a pozná i soustavu bez řešení, takže poslouží ke kontrole výsledku. Lineární rovnice pomůže s rovnicí, která zbude po dosazení.
• Články: Lineární rovnice, Rovnice, Gaussova eliminační metoda pro tři a více neznámých a Slovní úlohy o směsích.