Slovní úlohy o směsích

Slovní úlohu o směsích vyřešíte dvěma rovnicemi. První sčítá množství: kolik litrů, kilogramů nebo gramů obou složek dá dohromady směs. Druhá sčítá to, co ve směsi je: čistou látku v roztoku, zlato ve slitině, koruny v ceně. Smícháme-li množství `x` o koncentraci (nebo ceně) `c_1` s množstvím `y` o koncentraci `c_2`, platí

`\begin{gathered} x + y = m \\[4pt] x \cdot c_1 + y \cdot c_2 = m \cdot c \end{gathered}`

kde `m` je množství směsi a `c` její koncentrace nebo cena. Procenta dosazujeme jako desetinná čísla, 55 % je 0,55. A výsledek má jednu spolehlivou kontrolu: koncentrace i cena směsi leží vždy mezi hodnotami obou složek, a to blíž k té, které je ve směsi víc.

Stejně se počítají roztoky, káva, bonbony, slitiny i teplá a studená voda. Dál najdete každý typ na řešeném příkladu, rychlejší křížové pravidlo, nejčastější chyby a příklady k procvičení s řešením.

Co se ve směsi sčítá: tabulka

Než začnete psát rovnice, udělejte si tabulku. Do řádků patří obě složky a směs, do sloupců množství, koncentrace (nebo cena za jednotku) a jejich součin, tedy kolik čisté látky nebo kolik korun ve složce je. Sčítá se první a poslední sloupec, prostřední nikdy. Z prvního sloupce je první rovnice, z posledního druhá.

Příklad 1: dva roztoky

Kolik litrů 60% roztoku a kolik litrů 40% roztoku je potřeba na 2 litry 55% roztoku?

Z tabulky přečteme soustavu:

`\begin{gathered} x + y = 2 \\[4pt] 0{,}6x + 0{,}4y = 1{,}1 \end{gathered}`

Z první rovnice vyjádříme `y = 2 - x` a dosadíme do druhé:

`\begin{aligned} 0{,}6x + 0{,}4\,(2 - x) &= 1{,}1 \\ 0{,}6x + 0{,}8 - 0{,}4x &= 1{,}1 \\ 0{,}2x &= 0{,}3 \\ x &= 1{,}5 \end{aligned}`

Potom `y = 2 - 1{,}5 = 0{,}5`. Je potřeba 1,5 litru 60% roztoku a 0,5 litru 40% roztoku.

Kontrola: čisté látky je 0,9 l + 0,2 l = 1,1 l ve 2 litrech, a 1,1 : 2 = 0,55, tedy 55 %. Výsledek leží blíž k 60 %, protože 60% roztoku je víc. Kdo chce soustavu ověřit, vynásobí druhou rovnici deseti (`6x + 4y = 11`) a zadá ji do kalkulačky soustava dvou rovnic.

Druhou neznámou si můžete ušetřit hned na začátku: když je směsi 2 litry a prvního roztoku `x`, druhého je `2 - x`. Pak je rovnice jen jedna, ta z posledního sloupce.

Jaká bude směs: vážený průměr

Když známe obě množství a ptáme se, jaká bude směs, stačí jediný výpočet. Je to vážený průměr: každou hodnotu vynásobíme jejím množstvím, součiny sečteme a vydělíme celkovým množstvím.

`c = \dfrac{x \cdot c_1 + y \cdot c_2}{x + y}`

Příklad 2: káva

Pražírna smíchá 3 kg kávy po 240 Kč za kilogram a 2 kg kávy po 360 Kč za kilogram. Za kolik musí prodávat kilogram směsi, aby utržila stejně, jako kdyby prodala oba druhy zvlášť?

Levnější káva stojí 3 · 240 = 720 Kč, dražší 2 · 360 = 720 Kč, dohromady 1 440 Kč za 5 kg. Kilogram směsi tedy stojí 1 440 : 5 = 288 Kč.

Kontrola: obyčejný průměr cen je 300 Kč, ale levnější kávy je víc, a proto cena směsi leží blíž k 240 Kč. Tento výpočet i s tabulkou součinů udělá kalkulačka vážený průměr, do hodnot napíšete ceny, do vah kilogramy.

Příklad 3: teplá a studená voda

Do kbelíku nalijeme 3 litry vody o teplotě 80 °C a 5 litrů vody o teplotě 20 °C. Jakou teplotu bude mít voda po smíchání?

Je to tentýž vážený průměr, jen místo cen jsou teploty:

`t = \dfrac{3 \cdot 80 + 5 \cdot 20}{3 + 5} = \dfrac{340}{8} = 42{,}5\ \mathrm{°C}`

Studené vody je víc, a tak výsledek leží blíž k 20 °C. Takto jednoduše to vyjde jen pro dvě dávky téže kapaliny a bez ztrát tepla. Litr vody váží asi kilogram, takže stejný výpočet ukáže i kalkulačka kalorimetrické rovnice, která navíc spočítá předané teplo. U dvou různých látek vstupuje do rovnice i jejich měrná tepelná kapacita.

Kolik čeho smíchat

Opačná úloha: víme, jaká má být směs, a hledáme, kolik které složky dát. To je úloha z příkladu 1 a nejčastější typ v učebnici.

Příklad 4: bonbony

Cukrárna má bonbony po 180 Kč za kilogram a po 300 Kč za kilogram. Chce z nich připravit 12 kg směsi, která se bude prodávat po 220 Kč za kilogram. Kolik kilogramů kterých bonbonů smíchá?

Levnějších bonbonů je `x` kg, dražších zbytek do dvanácti, tedy `12 - x` kg:

Poslední sloupec dává rovnici:

`\begin{aligned} 180x + 300\,(12 - x) &= 2\,640 \\ 180x + 3\,600 - 300x &= 2\,640 \\ -120x &= -960 \\ x &= 8 \end{aligned}`

Cukrárna smíchá 8 kg levnějších a 4 kg dražších bonbonů. Kontrola: 8 · 180 = 1 440 Kč a 4 · 300 = 1 200 Kč, dohromady 2 640 Kč, a to je 12 · 220. Cena směsi 220 Kč leží blíž ke 180 Kč, protože levnějších bonbonů je víc.

Křížové pravidlo

Úlohu „kolik čeho smíchat“ jde vyřešit i bez rovnice. Hodnoty obou složek napíšeme vlevo nad sebe, hodnotu směsi doprostřed a odečítáme do kříže, vždy větší číslo minus menší. Rozdíl vpravo nahoře patří složce vlevo nahoře:

Levnějších bonbonů má být 80 dílů a dražších 40 dílů, tedy v poměru 2 : 1. Dvanáct kilogramů jsou 3 díly, jeden díl 12 : 3 = 4 kg. Levnějších je 2 · 4 = 8 kg, dražších 4 kg, stejně jako rovnicí.

Proč to funguje, ukáže číselná osa. Výsledná hodnota leží mezi oběma složkami a každá složka ji „táhne“ k sobě tím víc, čím víc jí je. Množství jsou proto v obráceném poměru vzdáleností od výsledku. V příkladu 1 je 55 % od 40 % vzdáleno 15 a od 60 % jen 5, takže 60% roztoku musí být třikrát víc:

Dva litry jsou 4 díly, jeden díl 0,5 l: 60% roztoku 1,5 l, 40% roztoku 0,5 l. Poměr ze tří koncentrací spočítá i kalkulačka směšovací rovnice. Kalkulačka mluví o hmotnostním poměru, jak se počítá v chemii; v učebnicové úloze s litry se počítá úplně stejně.

Křížové pravidlo dává jen poměr. Kolik je jeden díl, dopočítáme z množství směsi, a když je zadané množství jedné složky (jako v příkladu 6), z něj.

Přidání vody, odpaření, čistá látka

Voda je roztok s 0 % rozpuštěné látky a čistá látka má 100 %. Díky tomu se ředění i zahušťování počítá stejně jako každá jiná směs. Při ředění se nemění množství rozpuštěné látky, mění se jen celkové množství roztoku.

Příklad 5: ředění vodou

Kolik litrů vody musíme přilít k 6 litrům 15% roztoku, aby měl 10 %?

Rozpuštěné látky je 0,15 · 6 = 0,9 l a po přilití vody jí bude pořád 0,9 l, jen v `6 + x` litrech:

`\begin{aligned} 0{,}10\,(6 + x) &= 0{,}9 \\ 6 + x &= 9 \\ x &= 3 \end{aligned}`

Přilijeme 3 litry vody. Křížem: voda má 0 %, takže 15% roztoku je |10 − 0| = 10 dílů a vody |15 − 10| = 5 dílů, poměr 2 : 1, a ke 6 litrům roztoku patří 3 litry vody. Výpočet s celým postupem ukáže i kalkulačka ředění roztoku.

Odpařování je totéž obráceně: látky zůstává stejně a roztoku ubývá. Hmotnostní zlomek, ředění v gramech a přípravu roztoku v laboratoři podrobně vysvětluje článek Roztoky: hmotnostní zlomek, ředění a směšování.

Slitiny a ryzost zlata

Slitina je směs kovů a počítá se jako roztok, jen místo rozpuštěné látky sledujeme jeden kov. U zlata se obsah udává v karátech: ryzí zlato má 24 karátů, takže jeden karát je jedna čtyřiadvacetina. 18karátové zlato obsahuje `\dfrac{18}{24} = 75\ \%` zlata, 14karátové `\dfrac{14}{24} \doteq 58{,}3\ \%`. V Česku se na šperku místo karátů vyráží ryzost v tisícinách: 750 pro 18 karátů a 585 pro 14 karátů.

Příklad 6: slitina zlata

Zlatník má 30 g slitiny, která obsahuje 60 % zlata. Kolik gramů slitiny s 90 % zlata k ní musí přidat, aby nová slitina obsahovala 70 % zlata?

V první slitině je 0,6 · 30 = 18 g zlata, v přidané `0{,}9y`, a celá nová slitina váží `30 + y` gramů:

`\begin{aligned} 18 + 0{,}9y &= 0{,}7\,(30 + y) \\ 18 + 0{,}9y &= 21 + 0{,}7y \\ 0{,}2y &= 3 \\ y &= 15 \end{aligned}`

Zlatník přidá 15 g slitiny s 90 % zlata. Kontrola: zlata je 18 + 13,5 = 31,5 g ve 45 g slitiny, a 31,5 : 45 = 0,7. Křížem: 60% slitiny |70 − 90| = 20 dílů, 90% slitiny |60 − 70| = 10 dílů, poměr 2 : 1. Třicet gramů jsou dva díly, takže přidáme jeden díl, 15 g.

Časté chyby

• Procenta se nesčítají ani neprůměrují. Smícháním 60% a 40% roztoku nevznikne 100% roztok, a 50% jen tehdy, když jsou obě množství stejná. Sčítá se čistá látka a sčítají se množství, procenta směsi jsou teprve jejich podíl.
• Po přilití vody se mění i celek. V příkladu 5 je 0,9 l látky v 9 litrech, ne v 6. Kdo dělí původním množstvím, dostane 15 % i po ředění.
• Procenta a desetinná čísla v jedné rovnici. Rovnice `60x + 40y = 0{,}55 \cdot 2` míchá dvě stupnice a vyjde nesmysl. Buď všude 60, 40 a 55, nebo všude 0,6, 0,4 a 0,55.
• Výsledek mimo rozmezí. Když ze 40% a 60% roztoku vyjde směs se 65 %, nebo když vyjde záporné množství, je chyba v rovnici. Hledaná hodnota směsi musí ležet mezi hodnotami složek, jinak taková směs vůbec nejde namíchat.
• Křížové pravidlo přiřazené obráceně. Rozdíl spočítaný od dražší složky patří levnější složce. Pro kontrolu: víc musí být té složky, která je k výsledku blíž.
• Jednotky. Cena za kilogram krát gramy, nebo litry jedné složky a mililitry druhé. Všechno převeďte na stejné jednotky ještě před tabulkou.

Jedna poznámka k realitě: školní úlohy předpokládají, že se objemy sčítají. U většiny roztoků to přibližně platí, ale litr lihu s litrem vody dá o několik setin litru méně než dva litry. Proto se v chemii a v lihovarech počítá s hmotností, která se sčítá vždy.

Příklady k procvičení

Další úlohy na ředění a směšování s okamžitou kontrolou najdete v procvičování ředění a směšování roztoků.

`\begin{aligned} 0{,}3x + 0{,}1\,(400 - x) &= 60 \\ 0{,}2x + 40 &= 60 \\ x &= 100 \end{aligned}`

Kam dál

• Procvičování: Ředění a směšování roztoků a Soustavy dvou rovnic.
• Kalkulačky: Směšovací rovnice (poměr křížovým pravidlem), Vážený průměr (jaká bude směs), Soustava dvou rovnic a Ředění roztoku.
• Články: Roztoky (směšování v chemii), Úloha o víně (opačná úloha: z cen dvou směsí ceny složek), Procenta, Slovní úloha se dvěma neznámými a Poměr ve slovní úloze.