Společná práce, když jeden začne později nebo skončí dřív

Když pracovníci nepracují celou dobu spolu, počítá se každému jen ta doba, kdy opravdu pracoval. Kdo by celou práci udělal sám za a hodin a pracoval t₁ hodin, udělal `\frac{t_1}{a}` práce. Díly všech pracovníků se sečtou a dohromady dají celou práci, tedy 1:

`\displaystyle\frac{t_1}{a} + \frac{t_2}{b} = 1`

Od obyčejné společné práce se to liší jen tím, že doby t₁ a t₂ nejsou stejné. Kdo začal později, odešel dřív nebo měl přestávku, pracoval kratší dobu. Nejtěžší na úloze je proto správně zapsat, kdo pracoval jak dlouho. Rovnice, která z toho vyjde, je pak obyčejná lineární rovnice se zlomky.

Níže je postup s časovou osou, původní úloha se dvěma přívody vyřešená čtyřmi způsoby, úlohy, ve kterých jeden skončí dřív, má poruchu, předá práci druhému nebo se musí přidat včas, příklad pro střední školu, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením.

Postup: časová osa a tabulka

Nakreslete časovou osu. Od začátku do konce práce a pod ní pro každého pracovníka úsek, kdy pracuje. Hned je vidět, kdo pracoval déle.
Zvolte neznámou. Nejčastěji x = celková doba od začátku, protože na tu se úloha obvykle ptá. Dobu ostatních vyjádřete pomocí x: kdo přišel o 9 minut později, pracuje x − 9 minut.
Díl práce každého je doba, kterou pracoval, vydělená dobou, za kterou by práci zvládl sám.
Součet dílů je 1. Rovnici vynásobte společným jmenovatelem, vyřešte a výsledek zkontrolujte dosazením. Pak si ještě jednou přečtěte otázku: ptá se na dobu od začátku, nebo na to, jak dlouho pracovali spolu?

Příklad 1: dva přívody

Vodní nádrž by se naplnila jedním přívodem za 36 minut a druhým za 45 minut. Za jak dlouho se naplní, přitéká-li voda nejprve 9 minut prvním přívodem a pak oběma současně?

Za x si zvolíme dobu od otevření prvního přívodu do naplnění nádrže. Druhý přívod teče o 9 minut kratší dobu, tedy x − 9 minut.

	sám za	teče	naplní
1. přívod	36 min	x min	`\dfrac{x}{36}`
2. přívod	45 min	(x − 9) min	`\dfrac{x - 9}{45}`

Oba díly dohromady jsou celá nádrž:

`\displaystyle\frac{x}{36} + \frac{x - 9}{45} = 1`

Nejmenší společný násobek 36 a 45 je 180. Celou rovnici jím vynásobíme. Pozor na závorku: čtyřkou se násobí celé x − 9.

`\begin{gathered}5x + 4(x - 9) = 180\\[4pt]5x + 4x - 36 = 180\\[4pt]9x = 216\\[4pt]x = 24\end{gathered}`

Nádrž se naplní za 24 minut od otevření prvního přívodu. Oba přívody tečou spolu 24 − 9 = 15 minut.

Kontrola: první přívod za 24 minut naplní `\frac{24}{36} = \frac{2}{3}` nádrže, druhý za 15 minut `\frac{15}{45} = \frac{1}{3}`, dohromady celou. Rovnici můžete násobit i součinem 36 · 45 = 1 620; vyjde totéž, jen s většími čísly (81x = 1 944).

Čtyři způsoby, jak úlohu vyřešit

Volba neznámé není jediná. Tutéž úlohu jde vyřešit ještě třemi dalšími cestami a každá se hodí jako kontrola té první.

x jako doba, kdy tečou oba

Když x je doba, kdy tečou oba přívody, první teče 9 + x minut:

`\begin{gathered}\dfrac{9 + x}{36} + \dfrac{x}{45} = 1\\[10pt]5(9 + x) + 4x = 180\\[10pt]45 + 9x = 180\\[10pt]x = 15\end{gathered}`

Tečou spolu 15 minut. Úloha se ale ptá, za jak dlouho se nádrž naplní, takže odpověď je 9 + 15 = 24 minut. Kdo napíše 15, spočítal správně, ale odpověděl na jinou otázku.

Úvahou: kolik zbývá

Za prvních 9 minut naplní první přívod `\frac{9}{36} = \frac{1}{4}` nádrže a zbývají `\frac{3}{4}`. Oba spolu naplní za minutu

`\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{45} = \dfrac{5}{180} + \dfrac{4}{180} = \dfrac{9}{180} = \dfrac{1}{20}`

nádrže, tedy celou by spolu naplnili za 20 minut. Zbývající tři čtvrtiny jim zaberou `\frac{3}{4} \cdot 20 = 15` minut. Celkem 9 + 15 = 24 minut.

Bez zlomků: nádrž rozdělená na díly

Nádrž si rozdělíme na 180 stejných dílů, protože 180 je nejmenší společný násobek čísel 36 a 45. První přívod napustí 180 dílů za 36 minut, tedy 5 dílů za minutu. Druhý napustí 180 dílů za 45 minut, tedy 4 díly za minutu.

Za prvních 9 minut naplní první přívod 9 · 5 = 45 dílů. Zbývá 180 − 45 = 135 dílů a oba spolu napustí 5 + 4 = 9 dílů za minutu, takže zbytek trvá 135 : 9 = 15 minut. Celkem opět 24 minut. Tahle cesta se hodí mladším žákům, kteří se zlomky ještě nepočítají rádi.

Když jeden skončí dřív

Je to stejná úloha obráceně: tentokrát začnou oba spolu a jeden odejde. Kratší dobu pracuje ten, kdo odešel.

Příklad 2: zedník a učeň

Zedník by obložil koupelnu sám za 10 hodin, učeň za 15 hodin. Začnou spolu, ale po 3 hodinách učeň odejde do školy a zedník práci dokončí sám. Jak dlouho bude zedník pracovat sám a za jak dlouho od začátku bude koupelna hotová?

Za 3 hodiny společné práce udělají

`\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}`

koupelny. Zbývá polovina a tu zedník sám udělá za polovinu svého času, tedy za 5 hodin. Koupelna je hotová 8 hodin od začátku.

Rovnicí: zedník pracuje celou dobu x, učeň jen 3 hodiny.

`\begin{gathered}\dfrac{x}{10} + \dfrac{3}{15} = 1\\[10pt]\dfrac{x}{10} = \dfrac{4}{5}\\[10pt]x = 8\end{gathered}`

Kontrola: zedník za 8 hodin udělá `\frac{8}{10} = \frac{4}{5}` koupelny, učeň za 3 hodiny `\frac{3}{15} = \frac{1}{5}`, dohromady celou. A rozumný rozsah: kdyby pracovali spolu celou dobu, byli by hotovi za 6 hodin (150 : 25 = 6), sám by zedník potřeboval 10 hodin. Výsledek 8 hodin leží mezi tím.

Úloha jde položit i obráceně: po kolika hodinách mohl učeň odejít, aby byla koupelna hotová za 7 hodin? Zedník pracuje 7 hodin, učeň y hodin:

`\begin{gathered}\dfrac{7}{10} + \dfrac{y}{15} = 1\\[10pt]\dfrac{y}{15} = \dfrac{3}{10}\\[10pt]y = 4{,}5\end{gathered}`

Učeň musí zůstat 4 hodiny 30 minut.

Přestávka nebo porucha

Přestávka uprostřed práce se počítá stejně jako pozdní začátek: pracovníkovi se odečte doba, kdy nepracoval. Na tom, kdy přestávka přišla, nezáleží.

Příklad 3: čerpadlo s poruchou

Nádrž napustí čerpadlo A za 4 hodiny, čerpadlo B za 6 hodin. Zapnou se obě současně, ale čerpadlo A se po chvíli porouchá a hodinu stojí, než ho opraví. Za jak dlouho od zapnutí bude nádrž plná?

Čerpadlo B běží celou dobu x, čerpadlo A o hodinu méně:

`\begin{gathered}\dfrac{x - 1}{4} + \dfrac{x}{6} = 1\\[10pt]3(x - 1) + 2x = 12\\[10pt]5x - 3 = 12\\[10pt]x = 3\end{gathered}`

Nádrž je plná za 3 hodiny. Kontrola: A běží 2 hodiny a napustí `\frac{2}{4} = \frac{1}{2}`, B za 3 hodiny `\frac{3}{6} = \frac{1}{2}`. Jedna podmínka tu ale je: porucha musí skončit dřív, než je nádrž plná, tady tedy začít nejpozději 2 hodiny po zapnutí. Kdyby se A porouchalo až po 2 hodinách a 15 minutách, nádrž by se naplnila ještě během poruchy (asi po 2 h 38 min) a rovnice by neplatila.

Nejdřív jeden, pak druhý

Někdy spolu nepracují vůbec: jeden začne a druhý po něm práci dokončí. Pokud známe celkovou dobu, stačí jedna neznámá. Kdo pracoval x hodin z celkových 12, nechal tomu druhému 12 − x hodin.

Příklad 4: dva přívody po sobě

Bazén napustí přívod A za 10 hodin, přívod B za 15 hodin. Nejdřív teče jen A, pak se zavře a bazén dopustí samotný B. Bazén byl plný za 12 hodin. Jak dlouho tekl přívod A?

`\begin{gathered}\dfrac{x}{10} + \dfrac{12 - x}{15} = 1\\[10pt]3x + 2(12 - x) = 30\\[10pt]3x + 24 - 2x = 30\\[10pt]x = 6\end{gathered}`

Přívod A tekl 6 hodin a B dalších 6 hodin. Kontrola: `\frac{6}{10} + \frac{6}{15} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1`. A rozumný rozsah: když vždy teče jen jeden přívod, celková doba musí ležet mezi 10 hodinami (celou dobu by tekl rychlejší A) a 15 hodinami (celou dobu pomalejší B). Zadání s 9 nebo 16 hodinami by nemělo řešení a rovnice by to prozradila záporným časem.

Kdy se musí přidat, aby to stihli

Úloha s termínem zná konec a hledá, kdy má druhý začít. Neznámá je pak zpoždění, ne celková doba.

Příklad 5: vymalování pokoje

Pokoj vymaluje Ondra sám za 10 hodin, Eva za 6 hodin. Ondra začne v 8 hodin ráno. V kolik hodin se k němu musí Eva nejpozději přidat, aby byl pokoj vymalovaný ve 13 hodin?

Od 8 do 13 hodin je 5 hodin, tolik pracuje Ondra. Eva přijde o y hodin později a pracuje 5 − y hodin:

`\begin{gathered}\dfrac{5}{10} + \dfrac{5 - y}{6} = 1\\[10pt]\dfrac{5 - y}{6} = \dfrac{1}{2}\\[10pt]5 - y = 3\\[10pt]y = 2\end{gathered}`

Eva musí přijít 2 hodiny po Ondrovi, tedy nejpozději v 10 hodin. Kontrola: Ondra za 5 hodin vymaluje polovinu pokoje, Eva za 3 hodiny `\frac{3}{6}`, tedy druhou polovinu. Když přijde dřív, budou hotovi před 13. hodinou.

Pro střední školu: neznámé doby

Když neznáme, jak rychlý je každý pracovník, a známe jen vztah mezi nimi, vyjde po odstranění zlomků kvadratická rovnice.

Příklad 6: dvě čerpadla

Menší čerpadlo by napouštělo nádrž o 5 hodin déle než větší. Nejdřív běží 2 hodiny jen větší čerpadlo, pak se zapne i menší a za další 2 hodiny je nádrž plná. Za jak dlouho by nádrž napustilo každé čerpadlo samo?

Větší čerpadlo potřebuje x hodin, menší x + 5 hodin. Větší běží celkem 4 hodiny, menší 2 hodiny:

`\displaystyle\frac{4}{x} + \frac{2}{x + 5} = 1`

Vynásobíme výrazem x(x + 5), který je pro kladné x nenulový:

`\begin{gathered}4(x + 5) + 2x = x(x + 5)\\[4pt]6x + 20 = x^2 + 5x\\[4pt]x^2 - x - 20 = 0\\[4pt](x - 5)(x + 4) = 0\end{gathered}`

Kořen −4 nedává smysl, čas nemůže být záporný. Větší čerpadlo by nádrž napustilo za 5 hodin, menší za 10 hodin. Kontrola: `\frac{4}{5} + \frac{2}{10} = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1`. Jak se řeší kvadratická rovnice, ukazuje článek Kvadratická rovnice.

Časté chyby

Zpoždění se špatným znaménkem. Kdo v příkladu 1 napíše druhému přívodu x + 9, dostane 9x + 36 = 180, tedy x = 16 minut. Druhý přívod by pak tekl 25 minut, déle než první, který byl otevřený dřív. Kdo začal později, pracoval kratší dobu, proto minus.
Zapomenutá samostatná práce. Když x je doba, kdy tečou oba, a do rovnice se napíše jen `\frac{x}{36} + \frac{x}{45} = 1`, vyjde 20 minut. To je doba, za kterou by nádrž naplnily oba přívody od začátku. Prvních 9 minut, kdy první přívod už něco napustil, v rovnici chybí, a 20 + 9 = 29 minut je proto také špatně. Správně je 24 minut.
Odpověď na jinou otázku. V příkladu 1 tečou přívody spolu 15 minut, ale nádrž je plná za 24 minut od začátku. V příkladu 5 je y = 2 zpoždění, ale úloha se ptá na hodinu, tedy 10 hodin. Před odpovědí si otázku přečtěte znovu.
Míchání minut a hodin. Když je doba práce v hodinách a zpoždění v minutách, převeďte jedno na druhé dřív, než sestavíte rovnici: 30 minut je `\frac{1}{2}` hodiny, 20 minut `\frac{1}{3}` hodiny.
Druhý přijde, až je hotovo. Kdyby se v příkladu 1 druhý přívod otevřel až po 40 minutách, rovnice `\frac{x}{36} + \frac{x - 40}{45} = 1` dá x ≐ 37,8 minuty a druhý přívod by tekl záporně dlouho. Ve skutečnosti je nádrž plná už za 36 minut, než se druhý přívod vůbec otevře. Doba pozdějšího pracovníka musí vyjít kladná.
Kontrola rozsahem. Když jeden pracuje celou dobu a druhý jen část, musí výsledek ležet mezi dobou, za kterou by to zvládli spolu od začátku, a dobou toho, kdo pracuje celou dobu, kdyby byl sám. V příkladu 1 je to mezi 20 a 36 minutami, a 24 minut tam leží. Pravidlo „spolu je to vždy rychlejší než nejrychlejší sám“ z obyčejné společné práce tady neplatí: kdyby rychlejší přívod přišel pozdě, celek může trvat déle, než by mu to trvalo samotnému.

Příklady k procvičení

1. Pole sklidí kombajn A sám za 12 hodin, kombajn B za 6 hodin. Nejdřív sklízí jen A, po 3 hodinách se přidá B. Za jak dlouho od začátku je pole sklizené?

2. Pole zorá první traktor za 8 hodin, druhý za 12 hodin. Orají spolu, po 3 hodinách druhý traktor odjede a první dokončí práci sám. Jak dlouho orá první traktor sám?

3. Vanu napustí kohoutek A za 15 minut, kohoutek B za 10 minut. Kohoutek B se pustí o 5 minut později než A. Za jak dlouho od puštění A je vana plná?

4. Zakázku vytiskne tiskárna A za 6 hodin, tiskárna B za 9 hodin. Nejdřív tiskne jen A, pak se porouchá a zbytek dotiskne B. Celá zakázka byla hotová za 7 hodin. Jak dlouho tiskla A?

5. Sad očeše Tomáš sám za 10 dní, Lucie za 5 dní. Tomáš začne sám. Po kolika dnech se k němu musí Lucie nejpozději přidat, aby byl sad očesaný za 6 dní od začátku?

6. Přívod napustí bazén za 8 hodin, výpusť ho vypustí za 12 hodin. Přívod teče od začátku, ale někdo nechal otevřenou výpusť a zavřel ji až po 3 hodinách. Za jak dlouho od začátku bude bazén plný?

Rovnice v těchto úlohách jsou lineární rovnice se zlomky a se závorkou. Kdo potřebuje víc tréninku na nich než na úlohách samotných, najde postup v článku Lineární rovnice, příklady v procvičování Lineární rovnice a kontrolu výsledku na kalkulačce lineární rovnice.

Kam dál

Slovní úlohy na společnou práci: základní typ, kdy pracují všichni od začátku, vzorec, přítok a odtok.
Lineární rovnice - příklady na procvičování a Úměra a poměr: trénink rovnic a nepřímé úměry.
Kalkulačka lineární rovnice a nejmenší společný násobek pro společného jmenovatele.
Slovní úlohy o pohybu za sebou: auto, které vyjede později, se počítá stejně, odečtením zpoždění.
Slovní úlohy se zlomky a Slovní úlohy o směsích: další typy slovních úloh.