Slovní úlohy se zlomky

Slovní úlohu se zlomky vyřešíte ve třech krocích. Nejdřív zjistěte, z čeho se zlomek počítá: z celku, nebo ze zbytku. Potom převeďte známou část na jeden díl a z něj dopočítejte, na co se úloha ptá. Nakonec výsledek dosaďte zpátky do zadání. Zlomek z čísla spočítáme tak, že číslo vydělíme jmenovatelem a vynásobíme čitatelem. Jmenovatel říká, na kolik stejných dílů se celek dělí, a čitatel, kolik takových dílů bereme:

`\dfrac{3}{4} \text{ z } 40 = 40 : 4 \cdot 3 = 30`

Nejvíc chyb vzniká hned v prvním kroku. „Čtvrtina zbytku“ je něco jiného než „čtvrtina“, a když se zlomky v jedné úloze vztahují k různým celkům, nesmí se jen tak sečíst. Proto začínáme pruhovým modelem, který obojí ukáže na první pohled. Dál jsou úlohy, které se počítají pozpátku od zbytku, úlohy, kde hledáme samotný zlomek, tedy jeho čitatele a jmenovatele, úlohy na společnou práci a na konci příklady k procvičení s řešením.

Jak si úlohu nakreslit: pruhový model

Celek nakreslíme jako pruh a rozdělíme ho na tolik stejných dílů, kolik je jmenovatel. Když je v úloze zlomků víc, rozdělíme pruh na jejich společný jmenovatel. Pak stačí díly vybarvit podle zadání a z obrázku je vidět, kolik dílů zbývá a kolik váží jeden díl.

Příklad 1: zahrada

Na dvou pětinách zahrady jsou záhony se zeleninou, na třetině trávník a na zbývajících 16 m² rostou květiny. Jak velká je zahrada?

Pětiny a třetiny mají společný jmenovatel 15. Zelenina zabírá 6 patnáctin, trávník 5 patnáctin:

`\begin{gathered} \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15} \\[10pt] 1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15} \end{gathered}`

Na květiny zbývají 4 díly z 15 a ty mají dohromady 16 m². Jeden díl je 16 : 4 = 4 m², celá zahrada 15 · 4 = 60 m².

Kontrola: dvě pětiny z 60 jsou 60 : 5 · 2 = 24 m², třetina z 60 je 20 m² a 24 + 20 + 16 = 60. Sedí. Součet zlomků si můžete ověřit na kalkulačce pro sčítání zlomků.

Z celku, nebo ze zbytku?

Slovo zbytek v zadání znamená, že se celek změnil. Druhý zlomek se pak počítá z toho, co zůstalo po prvním kroku, ne z původního čísla.

Příklad 2: kapesné

Jana dostala na prázdniny 600 Kč. Třetinu utratila za vstupenky na koupaliště a čtvrtinu zbytku za zmrzlinu. Kolik korun jí zbylo?

Třetina z 600 je 600 : 3 = 200 Kč. Zbytek je 600 − 200 = 400 Kč, a právě z něj se počítá čtvrtina: 400 : 4 = 100 Kč za zmrzlinu. Janě zbylo 400 − 100 = 300 Kč.

Spodní pruh ukazuje nejčastější chybu: čtvrtina z celých 600 Kč je 150 Kč a vyšlo by, že Janě zbylo 250 Kč. Kontrola správného řešení: 200 + 100 + 300 = 600. Čtvrtinu ze 400 vám spočítá i kalkulačka zlomek z čísla, jen jí musíte zadat zbytek, ne původní částku.

Od zbytku zpátky k celku

Často známe až to, co zbylo na konci, a hledáme celek. Taková úloha se dá řešit dvěma způsoby: pozpátku krok za krokem, nebo tak, že všechny části vyjádříme jako zlomky celku.

Příklad 3: kniha

Tomáš přečetl první den třetinu knihy, druhý den tři čtvrtiny zbytku a na třetí den mu zbylo 25 stran. Kolik stran má kniha?

Pozpátku. Druhý den přečetl tři čtvrtiny zbytku, takže 25 stran je poslední čtvrtina zbytku. Celý zbytek po prvním dni je 25 · 4 = 100 stran. Těch 100 stran jsou dvě třetiny knihy (jednu třetinu přečetl první den), jedna třetina je tedy 100 : 2 = 50 stran a celá kniha 50 · 3 = 150 stran.

Zlomky celé knihy. Zbytek po prvním dni jsou dvě třetiny knihy a druhý den z nich přečetl tři čtvrtiny. Zlomek ze zlomku se násobí:

`\begin{gathered} \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} \\[10pt] 1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{6} - \dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6} \end{gathered}`

Druhý den tedy přečetl polovinu knihy a na třetí den zbyla šestina. Šestina je 25 stran, celá kniha 25 · 6 = 150 stran. Součin zlomků ukáže krok za krokem kalkulačka pro násobení zlomků.

Kontrola: první den 150 : 3 = 50 stran, zbytek 100, druhý den 100 : 4 · 3 = 75 stran, zbývá 100 − 75 = 25. Sedí.

Co v zadání znamená „o třetinu víc“

Stejné slovo „třetina“ znamená v různých větách různé výpočty. Tady jsou na jednom čísle, na 240:

„O třetinu víc“ tedy znamená celek a k němu třetinu navíc, dohromady čtyři třetiny. Stejně se počítá zdražení a zlevnění, jen se tam místo zlomků obvykle píšou procenta: o pětinu je o 20 %. Víc o tom najdete v článku Procenta.

Úlohy, kde hledáme čitatele a jmenovatele

V jiném typu úloh neznáme celek, ale samotný zlomek. Zadání popisuje, jak spolu souvisí čitatel a jmenovatel a co se se zlomkem stane, když je změníme.

Příklad 4

Čitatel zlomku je o 4 menší než jmenovatel. Jestliže od čitatele i od jmenovatele odečteme 2, dostaneme `\dfrac{3}{7}`. Určete původní zlomek.

Rovnicí. Jmenovatel označíme `x`, čitatel je pak `x - 4`. Po odečtení dvojky je čitatel `x - 6` a jmenovatel `x - 2`:

`\dfrac{x - 6}{x - 2} = \dfrac{3}{7}`

Jmenovatel nesmí být nula, takže `x \ne 2`. Obě strany vynásobíme výrazem `7(x - 2)`:

`\begin{aligned} 7(x - 6) &= 3(x - 2) \\ 7x - 42 &= 3x - 6 \\ 4x &= 36 \\ x &= 9 \end{aligned}`

Jmenovatel je 9, čitatel 9 − 4 = 5 a původní zlomek je `\dfrac{5}{9}`. Zkouška: `\dfrac{5 - 2}{9 - 2} = \dfrac{3}{7}`. Jak se taková rovnice řeší, rozebírá článek Lineární rovnice.

Bez rovnice. Když od čitatele i jmenovatele odečteme stejné číslo, jejich rozdíl se nezmění: zůstane 4. Zlomky rovné `\dfrac{3}{7}` jsou `\dfrac{3}{7}`, `\dfrac{6}{14}`, `\dfrac{9}{21}`, … a rozdíl jmenovatele a čitatele mají 4, 8, 12, … Rozdíl 4 má jen `\dfrac{3}{7}`, takže po odečtení vyšlo přímo 3 a 7 a původně bylo 5 a 9.

Příklad 5

Jmenovatel zlomku je o 5 větší než čitatel. Když k čitateli i ke jmenovateli přičteme 3, dostaneme `\dfrac{2}{3}`. Určete zlomek.

Rozdíl jmenovatele a čitatele zůstane 5 i po přičtení trojky. Zlomek `\dfrac{2}{3}` má rozdíl 1, takže ho musíme rozšířit pěti. Před přičtením trojky pak byl zlomek o 3 menší v čitateli i ve jmenovateli:

`\begin{gathered} \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15} \\[10pt] \dfrac{10 - 3}{15 - 3} = \dfrac{7}{12} \end{gathered}`

Rovnicí: čitatel označíme `x`, jmenovatel je `x + 5`, a vyjde totéž:

`\begin{aligned} \dfrac{x + 3}{x + 8} &= \dfrac{2}{3} \\[6pt] 3(x + 3) &= 2(x + 8) \\ 3x + 9 &= 2x + 16 \\ x &= 7 \end{aligned}`

Trik s rozdílem funguje jen tehdy, když k čitateli i jmenovateli přičítáme (nebo od nich odečítáme) stejné číslo. Jakmile se mění každý jinak, sáhněte po rovnici.

Společná práce

Zlomky se hodí i na úlohy, kde dva lidé nebo dva stroje pracují současně. Nesčítají se časy, ale to, kolik práce každý udělá za jednu hodinu.

Příklad 6: bazén

Bazén napustí první čerpadlo za 6 hodin, druhé za 3 hodiny. Za jak dlouho ho napustí obě čerpadla společně?

První čerpadlo napustí za hodinu šestinu bazénu, druhé třetinu. Obě dohromady:

`\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}`

Za hodinu napustí polovinu bazénu, celý tedy za 2 hodiny. Kontrola: za 2 hodiny první čerpadlo napustí dvě šestiny, tedy třetinu, druhé dvě třetiny, dohromady celý bazén. Výsledek musí vyjít kratší než u rychlejšího čerpadla samotného; 9 hodin (součet časů) ani 4,5 hodiny (průměr) to nesplňují. Další úlohy tohoto typu najdete v článku Slovní úloha na společnou práci.

Časté chyby

• Zlomek ze zbytku počítaný z celku. V příkladu 2 dá čtvrtina z 600 Kč místo čtvrtiny ze 400 Kč výsledek 250 Kč místo 300 Kč. Hledejte v zadání slova „zbytek“, „zbývající“, „ze zbylých“.
• Sčítání čitatelů a jmenovatelů. `\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}` není `\dfrac{3}{8}`. Prozradí to odhad: `\dfrac{3}{8}` je méně než samotné `\dfrac{2}{5}`, a součet přece nemůže být menší než jeden ze sčítanců. Správně je `\dfrac{11}{15}`.
• Zapomenutý zbytek. V příkladu 1 nejsou 16 m² jedenáct patnáctin, ale zbývající čtyři. Vždy si napište, jaký zlomek patří k číslu ze zadání.
• Zdražení a zlevnění o stejný zlomek se nevyruší. Zboží za 240 Kč zdražené o čtvrtinu stojí 300 Kč, a když pak zlevní o čtvrtinu, stojí 225 Kč, ne 240 Kč. Druhá čtvrtina se počítá z vyšší ceny.
• Odpověď na jinou otázku. Úloha se ptá, kolik zbylo, nebo kolik bylo na začátku? V příkladu 3 je 100 stran jen mezivýsledek.
• Sčítání časů u společné práce. Sčítá se, kolik práce udělá každý za hodinu, nikdy ne doby práce.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení, Zlomek z čísla a Sčítání a odčítání zlomků.
• Kalkulačky: Kolik je zlomek z čísla, Sčítání zlomků a všechny kalkulačky na zlomky.
• Články: Zlomek z čísla a část celku (základy pro 4. a 5. třídu), Zlomky (počítání se zlomky), Procenta a Poměr ve slovní úloze.