Gaussova eliminační metoda

Gaussova eliminační metoda řeší soustavu lineárních rovnic tak, že ji postupně upravuje na trojúhelníkový (schodovitý) tvar: v každé další rovnici je o jednu neznámou méně, v poslední zbude jediná. Tu spočítáme a výsledek dosazujeme zespodu nahoru. Pracuje se jen se třemi úpravami, které řešení soustavy nemění: prohození rovnic, vynásobení rovnice nenulovým číslem a přičtení násobku jiné rovnice.

`\left(\begin{array}{rrr|r}\ast&\ast&\ast&\ast\\ \ast&\ast&\ast&\ast\\ \ast&\ast&\ast&\ast\end{array}\right)\ \sim\ \left(\begin{array}{rrr|r}\ast&\ast&\ast&\ast\\ 0&\ast&\ast&\ast\\ 0&0&\ast&\ast\end{array}\right)`

Úpravě až k trojúhelníkovému tvaru se říká přímý chod, dopočítání neznámých odspodu zpětný chod. U dvou rovnic o dvou neznámých je Gaussova metoda totéž co známá sčítací metoda: rovnice vynásobíme a sečteme tak, aby jedna neznámá zmizela.

Níže je zápis pomocí matice, postup krok za krokem, šest řešených příkladů se zkouškou (včetně soustavy tří rovnic o třech neznámých, soustavy bez řešení a soustavy s nekonečně mnoha řešeními), Frobeniova věta, Gaussova-Jordanova metoda, výpočet determinantu, časté chyby a příklady k procvičení s řešením.

Ekvivalentní úpravy soustavy

Soustavu smíme upravovat jen tak, aby se její řešení nezměnilo, tedy aby žádné řešení nepřibylo a žádné se neztratilo. Takové úpravy se nazývají ekvivalentní a pro soustavu rovnic jsou tři:

1. Prohodit dvě rovnice. Na pořadí rovnic nezáleží.
2. Vynásobit rovnici nenulovým číslem (obě strany!). Násobit nulou nesmíme, rovnice by se změnila na `0=0` a její informace by se ztratila.
3. Přičíst k rovnici násobek jiné rovnice. Když platí `L_1=P_1` a `L_2=P_2`, platí i `L_2+k\cdot L_1=P_2+k\cdot P_1`. Tahle úprava je srdcem celé metody, protože umí vynulovat koeficient u vybrané neznámé.

Rovnice se obvykle označují římskými číslicemi a úprava se zapisuje zkratkou: II − 2·I znamená „od druhé rovnice odečti dvojnásobek první a výsledek napiš místo druhé“. První rovnice přitom zůstává, jak byla.

Zápis soustavy maticí

Při eliminaci se pořád přepisují stejná písmena `x,\ y,\ z` a mění se jen čísla před nimi. Proto se soustava zapisuje zkráceně jako rozšířená matice soustavy: každá rovnice je jeden řádek, každá neznámá jeden sloupec a za svislou čarou jsou pravé strany. Neznámá, která v rovnici chybí, má koeficient 0.

`\begin{gathered}\begin{aligned}x+4y-z&=6\\ 2x+3y+z&=2\\ 3x+7y+2z&=18\end{aligned}\\[10pt] \left(\begin{array}{rrr|r}1&4&-1&6\\ 2&3&1&2\\ 3&7&2&18\end{array}\right)\end{gathered}`

Část vlevo od čáry je matice soustavy `A`, celé schéma i s pravými stranami je rozšířená matice. Rovnicím se pak říká řádky a úpravám řádkové úpravy. Mezi maticemi, které mají stejné řešení, se píše vlnovka `\sim`, ne rovnítko: matice po úpravě není stejná jako před ní, jen soustava, kterou zapisuje, je s původní ekvivalentní.

Postup krok za krokem

1. Zapište rozšířenou matici. Neznámé ve všech rovnicích ve stejném pořadí, chybějící neznámá je 0.
2. Do prvního řádku dejte rovnici, která má u `x` nenulové číslo, nejlépe `1` nebo `-1`. Tomuto číslu se říká vedoucí prvek (pivot).
3. Pomocí prvního řádku vynulujte všechna čísla pod ním v prvním sloupci: od každého dalšího řádku odečtěte vhodný násobek prvního.
4. První řádek už neměňte a totéž zopakujte o patro níž: vedoucí prvek ve druhém sloupci druhého řádku, nuly pod ním. Tak dále, dokud pod „schody“ nejsou samé nuly.
5. Zpětný chod: z posledního řádku spočítejte poslední neznámou, dosaďte ji do předposledního řádku a tak dále až k první.
6. Zkouška: řešení dosaďte do původní soustavy, ne do upravené. Upravená soustava může nést chybu, kterou byste zkouškou do ní nenašli.

Soustava tří rovnic o třech neznámých: řešené příklady

Příklad 1

Vyřešte soustavu

`\begin{aligned}x+4y-z&=6\\ 2x+3y+z&=2\\ 3x+7y+2z&=18\end{aligned}`

V prvním řádku je u `x` jednička, nic prohazovat netřeba. Úpravami II − 2·I a III − 3·I vynulujeme první sloupec pod ní. Pozor na pravou stranu: `2-2\cdot 6=-10` a `18-3\cdot 6=0`.

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&4&-1&6\\ 2&3&1&2\\ 3&7&2&18\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&4&-1&6\\ 0&-5&3&-10\\ 0&-5&5&0\end{array}\right)\end{aligned}`

Teď první řádek necháme být a pracujeme s druhým. Pod jeho vedoucím prvkem `-5` je také `-5`, takže stačí III − II:

`\sim\left(\begin{array}{rrr|r}1&4&-1&6\\ 0&-5&3&-10\\ 0&0&2&10\end{array}\right)`

Matice je v trojúhelníkovém tvaru a začíná zpětný chod. Poslední řádek je rovnice `2z=10`, tedy `z=5`. Druhý řádek je `-5y+3z=-10`:

`\begin{gathered}-5y+15=-10\\[4pt] y=5\end{gathered}`

První řádek je `x+4y-z=6`, tedy `x+20-5=6` a `x=-9`. Řešením je trojice `[x;\ y;\ z]=[-9;\ 5;\ 5]`.

Zkouška v původních rovnicích: `-9+20-5=6`, `-18+15+5=2`, `-27+35+10=18`. Všechny tři platí.

Příklad 2: jak se vyhnout zlomkům

`\begin{aligned}2x+y-z&=8\\ -3x-y+2z&=-11\\ -2x+y+2z&=-3\end{aligned}`

Kdybychom od druhé rovnice odečítali `-\tfrac{3}{2}` násobek první, počítali bychom se zlomky. Jednodušší je druhý řádek nejdřív vynásobit dvěma a pak přičíst trojnásobek prvního: 2·II + 3·I. Třetí řádek stačí sečíst s prvním, III + I.

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\ -3&-1&2&-11\\ -2&1&2&-3\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\ 0&1&1&2\\ 0&2&1&5\end{array}\right)\end{aligned}`

Pod jedničkou ve druhém řádku je dvojka, takže III − 2·II:

`\sim\left(\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\ 0&1&1&2\\ 0&0&-1&1\end{array}\right)`

Zpětný chod: `-z=1`, tedy `z=-1`. Z druhého řádku `y+z=2` vyjde `y=3`. Z prvního `2x+3+1=8`, tedy `x=2`.

Zkouška: `4+3+1=8`, `-6-3-2=-11`, `-4+3-2=-3`. Řešení je `[2;\ 3;\ {-1}]`.

Násobit řádek nenulovým číslem smíme kdykoli, na řešení to nic nezmění. Ve škole se proto vyplatí volit úpravy tak, aby čísla zůstala celá.

Příklad 3: když je na místě vedoucího prvku nula

`\begin{aligned}2y+z&=7\\ x+y+z&=6\\ 2x+y-z&=1\end{aligned}`

V první rovnici `x` vůbec není, v matici je tam nula. Nulou nic nevynulujeme (a dělit jí nejde), proto nejdřív prohodíme první a druhý řádek. Pak III − 2·I:

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}0&2&1&7\\ 1&1&1&6\\ 2&1&-1&1\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&2&1&7\\ 2&1&-1&1\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&2&1&7\\ 0&-1&-3&-11\end{array}\right)\end{aligned}`

Ve druhém sloupci je pod dvojkou `-1`. Aby nevznikly zlomky, uděláme 2·III + II:

`\sim\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&2&1&7\\ 0&0&-5&-15\end{array}\right)`

Tedy `z=3`, z rovnice `2y+3=7` je `y=2` a z `x+2+3=6` je `x=1`. Zkouška: `4+3=7`, `1+2+3=6`, `2+2-3=1`.

Nula na místě vedoucího prvku se může objevit i uprostřed výpočtu. Postup je stejný: prohoďte řádek s některým níže položeným řádkem, který v tom sloupci nulu nemá. S řádky, které už jsou „hotové“ nad ním, se nehýbe.

Soustava bez řešení a s nekonečně mnoha řešeními

Ne každá soustava má právě jedno řešení. Gaussova metoda to pozná sama: na konci přímého chodu se objeví řádek, který má vlevo samé nuly.

• Řádek `(0\ \ 0\ \ 0\ |\ 5)` znamená rovnici `0=5`. Ta neplatí nikdy, takže soustava nemá řešení.
• Řádek `(0\ \ 0\ \ 0\ |\ 0)` znamená `0=0`. Ta platí vždy a nic neříká, jedna rovnice byla „navíc“. Neznámých je víc než užitečných rovnic a soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud v ní zároveň není sporný řádek `0=c`.

Příklad 4

`\begin{aligned}x+y+z&=6\\ x+2y+3z&=14\\ 2x+3y+4z&=19\end{aligned}`

Úpravy II − I, III − 2·I a potom III − II:

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 1&2&3&14\\ 2&3&4&19\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&1&2&8\\ 0&1&2&7\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&1&2&8\\ 0&0&0&-1\end{array}\right)\end{aligned}`

Poslední řádek říká `0=-1`. Soustava nemá řešení. Je to vidět i bez matice: součet prvních dvou rovnic je `2x+3y+4z=20`, a stejná levá strana nemůže být zároveň 20 a 19.

Příklad 5

Stejná soustava, jen s pravou stranou třetí rovnice `20` místo 19. Tytéž úpravy vedou na

`\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 1&2&3&14\\ 2&3&4&20\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&1&2&8\\ 0&0&0&0\end{array}\right)`

Zbyly dvě rovnice pro tři neznámé. Jednu neznámou proto zvolíme libovolně jako parametr, třeba `z=t`, a ostatní dopočítáme zpětným chodem:

`\begin{gathered}y=8-2t\\[4pt] x=6-y-z=-2+t\end{gathered}`

Řešením je každá trojice `[-2+t;\ 8-2t;\ t]` pro `t\in\mathbb{R}`. Například pro `t=0` je to `[-2;\ 8;\ 0]` a zkouška vyjde: `-2+8=6`, `-2+16=14`, `-4+24=20`.

Frobeniova věta

Počet nenulových řádků matice ve schodovitém tvaru je hodnost matice, značí se `h(A)`. Porovnáním hodnosti matice soustavy `A` a rozšířené matice `(A|b)` se dá říct, kolik má soustava řešení. Tomu se říká Frobeniova věta:

Písmeno `n` je počet neznámých. V příkladu 4 má matice soustavy dva nenulové řádky, `h(A)=2`, ale rozšířená matice tři, protože v posledním řádku zůstala vpravo `-1`. V příkladu 5 jsou obě hodnosti 2 a neznámé tři, takže řešení má jeden parametr.

Co soustava znamená graficky

Lineární rovnice o dvou neznámých, třeba `x+y=5`, je rovnice přímky. Řešit soustavu dvou takových rovnic tedy znamená hledat společné body dvou přímek, a možnosti jsou jen tři: přímky se protínají v jednom bodě, jsou rovnoběžné, nebo splývají.

Průsečík dvou přímek počítá kalkulačka průsečík dvou přímek, rovnici přímky vysvětluje článek obecná rovnice přímky.

U tří neznámých je každá rovnice rovnicí roviny v prostoru. Jedno řešení znamená, že se tři roviny protínají v jediném bodě. Soustava z příkladu 5 popisuje tři roviny, které procházejí jednou společnou přímkou, a parametrický zápis řešení je právě parametrické vyjádření té přímky. V příkladu 4 se roviny protínají po dvou ve třech rovnoběžných přímkách, jako stěny trojbokého hranolu, a bod společný všem třem neexistuje. Všechny možnosti rozebírá článek vzájemná poloha rovin.

Soustava dvou rovnic: Gaussova metoda a sčítací metoda

Pro dvě rovnice o dvou neznámých stačí jediná úprava a je to přesně sčítací metoda ze základní školy:

`\begin{gathered}\begin{aligned}x+y&=5\\ x-y&=1\end{aligned}\\[10pt] \left(\begin{array}{rr|r}1&1&5\\ 1&-1&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr|r}1&1&5\\ 0&-2&-4\end{array}\right)\end{gathered}`

Úprava II − I dala `-2y=-4`, tedy `y=2`, a z první rovnice `x=3`. Takové soustavy s postupem a zkouškou spočítá kalkulačka soustava dvou rovnic a natrénovat je můžete v příkladech na soustavy rovnic. Jak se řeší jedna rovnice o jedné neznámé, shrnuje článek lineární rovnice.

Přednost Gaussovy metody se ukáže až u větších soustav. Dosazovací metoda vede u tří a více neznámých ke zlomkům a dlouhým závorkám, eliminace jde pořád stejně, sloupec po sloupci. Proto ji používají i počítače, u soustav o tisících neznámých.

Slovní úloha

Příklad 6: vstupné do zoo

Dva dospělí se dvěma dětmi zaplatili za vstup do zoo 560 Kč. Jeden dospělý se třemi dětmi a jedním seniorem 590 Kč. Dva dospělí, jedno dítě a dva senioři 680 Kč. Kolik stojí jednotlivé vstupenky?

Označíme cenu vstupenky pro dospělého `a`, pro dítě `d` a pro seniora `s`. První rovnici `2a+2d=560` rovnou vydělíme dvěma a jako první řádek vezmeme rovnici s jedničkou u `a`:

`\begin{aligned}a+3d+s&=590\\ a+d&=280\\ 2a+d+2s&=680\end{aligned}`

Úpravy II − I a III − 2·I:

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&3&1&590\\ 1&1&0&280\\ 2&1&2&680\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&3&1&590\\ 0&-2&-1&-310\\ 0&-5&0&-500\end{array}\right)\end{aligned}`

Třetí řádek už je hotový, i když matice ještě nemá schodovitý tvar: `-5d=-500`, tedy `d=100`. Takovou zkratku je škoda nevyužít. Z druhého řádku `-200-s=-310`, tedy `s=110`, a z prvního `a=590-300-110=180`.

Vstupenka pro dospělého stojí 180 Kč, pro dítě 100 Kč a pro seniora 110 Kč. Kontrola se zadáním: `2\cdot 180+2\cdot 100=560`, `180+300+110=590`, `360+100+220=680`. Senior platí o něco víc než dítě a méně než dospělý, což dává smysl.

Gaussova-Jordanova metoda

Zpětný chod se dá udělat také řádkovými úpravami. Když v trojúhelníkové matici vynulujeme i čísla nad vedoucími prvky a vedoucí prvky vydělíme na jedničky, vlevo zůstane jednotková matice a vpravo přímo řešení. Tomuto dotažení se říká Gaussova-Jordanova eliminace. Pro trojúhelníkovou matici z příkladu 1: třetí řádek vydělíme dvěma, pak I + III a II − 3·III, nakonec druhý řádek vydělíme číslem `-5` a uděláme I − 4·II.

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&4&-1&6\\ 0&-5&3&-10\\ 0&0&2&10\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&4&0&11\\ 0&-5&0&-25\\ 0&0&1&5\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-9\\ 0&1&0&5\\ 0&0&1&5\end{array}\right)\end{aligned}`

Vpravo se dá přečíst `x=-9`, `y=5`, `z=5`, stejně jako v příkladu 1. Ručně to obvykle práci neušetří, ale stejným postupem se na vysoké škole počítá inverzní matice.

Determinant pomocí eliminace

Úprava „přičti násobek jiného řádku“ nemění determinant matice. Determinant trojúhelníkové matice je součin čísel na diagonále. V příkladu 1 jsme používali jen takové úpravy, takže determinant matice soustavy je

`\det A=1\cdot(-5)\cdot 2=-10`

Na další dvě úpravy je třeba dát pozor: prohození dvou řádků změní znaménko determinantu a vynásobení řádku číslem `k` determinant `k`-krát zvětší. Proto se v příkladu 2, kde jsme druhý řádek násobili dvěma, determinant z diagonály přímo přečíst nedá. Nenulový determinant znamená, že soustava má právě jedno řešení. Determinant tří vektorů počítá kalkulačka smíšený součin.

Časté chyby

• Zapomenutá pravá strana. Úprava II − 2·I se týká celého řádku, i čísla za čarou. Nejčastější chyba vůbec.
• Znaménka při odečítání. `1-2\cdot(-1)=3`, ne `-1`. Když si nejste jistí, raději přičtěte záporný násobek: II + (−2)·I.
• Dva řádky upravené navzájem. Úpravy „I − II“ a „II − I“ najednou dají dva řádky, které se liší jen znaménkem, a jedna rovnice se tím ztratí. Vždy měňte jen jeden řádek a ten, kterým upravujete, nechte beze změny.
• Násobení nulou. Není to ekvivalentní úprava, řádek se změní na samé nuly.
• Řádek `(0\ \ 0\ \ 0\ |\ 0)` neznamená „nemá řešení“. Znamená nekonečně mnoho řešení (pokud někde jinde není `0=c` s nenulovým `c`). Bez řešení je soustava jen s řádkem `(0\ \ 0\ \ 0\ |\ c)`, `c\neq 0`.
• Zkouška do upravené soustavy. Pokud je chyba v úpravě, upravená soustava ji „schová“. Dosazujte do zadání.

Příklady k procvičení

`\left(\begin{array}{rr|r}1&2&8\\ 3&-1&3\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rr|r}1&2&8\\ 0&-7&-21\end{array}\right)`

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 2&-1&1&3\\ 1&2&-1&2\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&-3&-1&-9\\ 0&1&-2&-4\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&6\\ 0&-3&-1&-9\\ 0&0&-7&-21\end{array}\right)\end{aligned}`

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&3&8\\ 2&4&2&10\\ 0&1&-1&-1\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&3&8\\ 0&2&-4&-6\\ 0&1&-1&-1\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&3&8\\ 0&2&-4&-6\\ 0&0&2&4\end{array}\right)\end{aligned}`

`\begin{aligned}a+b+c&=2\\ 4a+2b+c&=3\\ a-b+c&=6\end{aligned}`

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2\\ 4&2&1&3\\ 1&-1&1&6\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&1&1&2\\ 0&-2&-3&-5\\ 0&-2&0&4\end{array}\right)\end{aligned}`

`\begin{aligned}&\left(\begin{array}{rrr|r}1&2&0&122\\ 2&1&1&147\\ 0&1&3&159\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&2&0&122\\ 0&-3&1&-97\\ 0&1&3&159\end{array}\right)\\[8pt] \sim\ &\left(\begin{array}{rrr|r}1&2&0&122\\ 0&1&3&159\\ 0&0&10&380\end{array}\right)\end{aligned}`

Kam dál

• Příklady na soustavy rovnic - soustavy dvou rovnic na procvičení, řešení vždy vyjde celé.
• Kalkulačka soustavy dvou rovnic - dopočítá `x` i `y` se zkouškou a pozná soustavu bez řešení.
• Průsečík dvou přímek - soustava dvou rovnic jako dvě přímky v rovině.
• Rovnice - ekvivalentní úpravy a zkouška obecně.
• Vzájemná poloha rovin - co soustava tří rovnic znamená v prostoru.