Druhá mocnina součtu dvou čísel není součet jejich druhých mocnin. Platí (a + b)² = a² + 2ab + b², a ten prostřední člen 2ab je přesně to, na co se nejčastěji zapomíná. Pro rozdíl je vzorec stejný, jen prostřední člen má minus, a součin součtu a rozdílu dává rozdíl čtverců a² − b²:

`\begin{gathered} (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\[6pt] (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\[6pt] a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \end{gathered}`

Ve škole se jim říká vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a pro rozdíl druhých mocnin. První dva se dají říct větou: první na druhou, plus (nebo minus) dvakrát první krát druhý, plus druhý na druhou.

Každý z nich jde použít oběma směry: zleva doprava se závorka roznásobí, zprava doleva se výraz rozloží na součin. Roznásobení si můžete ověřit v kalkulačce násobení mnohočlenů, která tu má předvyplněné (x + 3) · (x + 3).

Níže je postupně: proč vzorce platí (i na obrázku), roznásobení podle vzorců, rozklad na součin, doplnění na čtverec, počítání zpaměti, třetí mocnina dvojčlenu, časté chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Proč vzorce platí

Druhá mocnina znamená násobení sebou samým, takže (a + b)² je (a + b) · (a + b). Závorky se roznásobí jako vždycky, každý člen první závorky s každým členem druhé:

`\begin{gathered} (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 \\[4pt] = a^2 + 2ab + b^2 \end{gathered}`

Členy ab a ba jsou stejné, proto se sečtou do 2ab. Na obrázku je to vidět ještě líp. Čtverec o straně a + b se rozpadne na čtverec a², čtverec b² a dva obdélníky a krát b. Kdo napíše jen a² + b², zapomněl na oba obdélníky.

a²ababb²abab(a + b)² = a² + 2ab + b²

U (a − b)² se roznásobí stejně, jen se dvakrát objeví −ab a na konci minus krát minus dá plus:

`\begin{gathered} (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 \\[4pt] = a^2 - 2ab + b^2 \end{gathered}`

U součinu (a + b)(a − b) se prostřední členy naopak vyruší, +ab a −ab dají nulu, a zbude jen a² − b². Obrázek ukazuje totéž: ze čtverce a² vyřízneme v rohu čtverec b², zbylý kus rozřízneme na dva obdélníky a ten menší přiložíme vedle. Vznikne obdélník o stranách a + b a a − b.

aab²bba² − b²
aba − b(a + b)(a − b)

Že vzorec platí, se dá vždycky ověřit dosazením čísel. Pro a = 3 a b = 4 je (3 + 4)² = 49 a 9 + 2 · 12 + 16 = 49. Bez prostředního členu by vyšlo 9 + 16 = 25, a to je špatně.

Roznásobení podle vzorců

Postup je pokaždé stejný: určíme, co je ve vzorci a a co b, a dosadíme. Celé a i celé b se umocňuje včetně koeficientu, proto se kolem nich vyplatí psát závorky.

Příklad 1

Roznásobte (x + 3)².

Tady a = x a b = 3. První na druhou je x², dvakrát první krát druhý je 2 · x · 3 = 6x, druhý na druhou je 9.

`(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9`

Zkouška dosazením: pro x = 1 je vlevo 4² = 16 a vpravo 1 + 6 + 9 = 16.

Příklad 2

Roznásobte (2x − 5)².

Teď a = 2x a b = 5. Umocnit se musí celé 2x, tedy i dvojka:

`\begin{gathered} (2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 \\[4pt] = 4x^2 - 20x + 25 \end{gathered}`

Zkouška pro x = 1: vlevo (2 − 5)² = 9, vpravo 4 − 20 + 25 = 9.

Příklad 3

Roznásobte (3a + 2b)² a (5y + 1)(5y − 1).

`\begin{gathered} (3a + 2b)^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2 \\[6pt] (5y + 1)(5y - 1) = 25y^2 - 1 \end{gathered}`

V prvním je prostřední člen 2 · 3a · 2b = 12ab. Druhý je součin součtu a rozdílu týchž dvou členů, takže je to rozdíl čtverců (5y)² − 1² a žádný prostřední člen nemá.

Na znaménku před prvním členem nezáleží tolik, jak se zdá. (−x + 2)² je totéž co (2 − x)², tedy x² − 4x + 4, protože (−a)² = a². Proto také platí (a − b)² = (b − a)².

Rozklad na součin podle vzorců

Opačný směr je těžší, protože vzorec musíme ve výrazu nejdřív poznat. U trojčlenu se ptáme, jestli první a poslední člen jsou druhé mocniny a jestli prostřední je dvojnásobkem součinu jejich základů. U dvojčlenu s minusem se ptáme, jestli jde o rozdíl dvou druhých mocnin. Rozklad na součin se pak hodí při krácení lomených výrazů a při řešení rovnic.

Příklad 4

Rozložte x² + 10x + 25.

x² je druhá mocnina x, 25 je druhá mocnina 5. Prostřední člen by měl být 2 · x · 5 = 10x, a to sedí. Znaménko u 10x je plus, takže je to druhá mocnina součtu:

`x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2`

Příklad 5

Rozložte 9y² − 12y + 4.

9y² = (3y)², 4 = 2², a 2 · 3y · 2 = 12y. Prostřední člen má minus, tedy:

`9y^2 - 12y + 4 = (3y - 2)^2`

Příklad 6

Rozložte 16a² − 49 a 4x² − 25y².

`\begin{gathered} 16a^2 - 49 = (4a + 7)(4a - 7) \\[6pt] 4x^2 - 25y^2 = (2x + 5y)(2x - 5y) \end{gathered}`

Obojí je rozdíl čtverců: 16a² = (4a)², 49 = 7², 4x² = (2x)² a 25y² = (5y)².

Ne každý trojčlen je druhou mocninou dvojčlenu. U x² + 6x + 8 by k prostřednímu 6x = 2 · x · 3 patřilo na konci 3² = 9, ne 8. Takový trojčlen se rozkládá jinak, na (x + 2)(x + 4), a to umí kalkulačka rozklad kvadratického trojčlenu. A součet čtverců a² + b² se na součin v reálných číslech nerozloží vůbec, žádný vzorec pro něj není.

Nejdřív vytknout

Když mají všechny členy společného dělitele, vytkne se jako první a vzorec se hledá až v závorce. Učitel jinak rozklad neuzná, protože není úplný.

Příklad 7

Rozložte 2x² − 18 a 3x² + 12x + 12.

`\begin{gathered} 2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) \\[4pt] = 2(x + 3)(x - 3) \\[10pt] 3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4) \\[4pt] = 3(x + 2)^2 \end{gathered}`

Co se dá vytknout, ukáže kalkulačka vytýkání před závorku. Celý rozklad i s kořeny spočítá kalkulačka kořenů a rozkladu mnohočlenu, tady s předvyplněným 2x² − 18. Koeficienty se do obou zadávají od nejvyšší mocniny.

Někdy se vzorec použije dvakrát za sebou:

`\begin{gathered} x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) \\[4pt] = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2) \end{gathered}`

Závorka x² + 4 je součet čtverců a dál se nerozloží.

Doplnění na čtverec

Častá úloha zní: jaké číslo doplnit do x² + 6x + ?, aby vznikla druhá mocnina dvojčlenu. Prostřední člen 6x je 2 · x · 3, takže b = 3 a doplní se b² = 9. Krátce: koeficient u x vydělit dvěma a umocnit.

VýrazPolovina koeficientu u xDoplní seČtverec
`x^2 + 6x + \ ?`39`(x + 3)^2`
`x^2 - 8x + \ ?`−416`(x - 4)^2`
`x^2 + 14x + \ ?`749`(x + 7)^2`
`x^2 - 20x + \ ?`−10100`(x - 10)^2`

Když tam už nějaké číslo je, doplní se a zase odečte, aby se hodnota výrazu nezměnila: x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Na střední škole se tak hledá vrchol paraboly a přesně tímhle krokem se odvozuje vzorec pro kvadratickou rovnici.

Počítání zpaměti

Vzorce se hodí i bez písmen. Číslo blízko kulatého se rozdělí na kulaté číslo a malý zbytek:

`\begin{gathered} 51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 \\[6pt] 99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801 \end{gathered}`

Rozdíl čtverců zase převede součin dvou čísel stejně daleko od kulatého na odčítání:

`\begin{gathered} 49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499 \\[6pt] 103 \cdot 97 = 10000 - 9 = 9991 \\[6pt] 75^2 - 25^2 = 100 \cdot 50 = 5000 \end{gathered}`

V posledním řádku se vzorec použil obráceně: 75² − 25² = (75 + 25)(75 − 25).

Třetí mocnina dvojčlenu: (a + b)³

Na střední škole přibudou vzorce pro třetí mocninu. Dostanou se roznásobením (a + b)² · (a + b) a koeficienty 1, 3, 3, 1 jsou třetí řádek Pascalova trojúhelníku (řádky se počítají od nuly):

`\begin{gathered} (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\[6pt] (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{gathered}`

U (a − b)³ se znaménka střídají, začíná se plusem. Pro součet a rozdíl třetích mocnin platí:

`\begin{gathered} a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\[6pt] a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \end{gathered}`

Na rozdíl od a² + b² se tedy součet třetích mocnin rozložit dá. Třeba x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) a (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1. Závorka a² − ab + b² už se dál nerozloží, i když vypadá skoro jako (a − b)², chybí jí dvojka u prostředního členu.

Přehled vzorců

NázevVzorec
druhá mocnina součtu`(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`
druhá mocnina rozdílu`(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2`
rozdíl druhých mocnin`a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)`
třetí mocnina součtu`(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`
třetí mocnina rozdílu`(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3`
součet třetích mocnin`a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)`
rozdíl třetích mocnin`a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)`

Pro tři členy se pak dá roznásobením odvodit (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc: každý člen na druhou a k tomu dvojnásobek součinu každé dvojice.

Časté chyby

  • (a + b)² napsat jako a² + b². Nejčastější chyba vůbec. Odhalí ji dosazení: (1 + 2)² = 9, ale 1 + 4 = 5.
  • Neumocnit koeficient. (3x)² je 9x², ne 3x². Proto (3x + 1)² = 9x² + 6x + 1.
  • Prostřední člen bez dvojky. (x + 4)² = x² + 8x + 16, ne x² + 4x + 16.
  • Minus i na konci. (x − 4)² = x² − 8x + 16. Poslední člen je druhá mocnina, a ta nikdy nevyjde záporná.
  • Rozkládat součet čtverců. x² + 9 není (x + 3)(x − 3), to je x² − 9. A není to ani (x + 3)², tomu chybí 6x.
  • Zapomenout vytknout. 4x² − 36 = (2x + 6)(2x − 6) je sice pravda, ale úplný rozklad je 4(x + 3)(x − 3).

Na tyhle chyby jsou postavené i špatné možnosti v procvičování vzorců (a + b)² a a² − b², takže kdo je tam umí obejít, umí i vzorce.

Příklady k procvičení

1. Roznásobte podle vzorců: a) (x + 7)², b) (4a − 3)², c) (2x + 3y)(2x − 3y).

2. Rozložte na součin: a) x² − 12x + 36, b) 49a² − 1, c) 25x² + 40x + 16.

3. Rozložte co nejvíc: a) 5x² − 20, b) 2a² − 12a + 18.

4. Vypočítejte zpaměti pomocí vzorců: a) 61², b) 98², c) 39 · 41.

5. Zjednodušte: a) (x + 2)² − (x − 2)², b) (2x − 1)² − 4x(x − 1).

6. Čtvercový záhon má stranu x metrů. Kolem dokola se k němu přidá cestička široká 1 m, takže záhon i s cestičkou je čtverec o straně x + 2. Cestička má obsah 36 m². Jak dlouhou stranu má záhon?

Kam dál