Matematika pro každého
Při úpravách lomených výrazů se často vytýká a často se využívají nejrůznější vzorce:
- `(a\ +\ b)^2\ =\ a^2\ +\ 2ab\ +\ b^2`
- `(a\ -\ b)^2\ =\ a^2\ -\ 2ab\ +\ b^2`
- `a^2\ -\ b^2\ =\ (a\ +\ b)(a\ -\ b)`
- `a^3\ +\ b^3\ =\ (a\ +\ b)(a^2\ +\ ab\ +\ b^2)`
- `a^3\ -\ b^3\ =\ (a\ -\ b)(a^2\ +\ ab\ +\ b^2)`
A samozřejmě využijete znalosti operací se zlomky (přejít na článek Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení).
`\frac{s^2\ -\ 4}{s^2\ -\ 4s\ +\ 4}\ =\ ?`
Na první pohled se zlomek nedá již více zjednodušit. Ale podíváte-li se pozorně na čitatele a jmenovatele, můžete si všimnout, že se oba dají rozložit.
`s^2\ -\ 4\ =\ (s\ +\ 2)(s\ -\ 2)`
`s^2\ -\ 4s\ +\ 4\ =\ (s\ -\ 2)^2\ =\ (s\ -\ 2)(s\ -\ 2)`
Dosadíme do našeho příkladu:
`\frac{s^2\ -\ 4}{s^2\ -\ 4s\ +\ 4}\ =\ \frac{(s\ +\ 2)(s\ -\ 2)}{(s\ -\ 2)(s\ -\ 2)}`
A nyní již můžeme krátit.
`\frac{s^2\ -\ 4}{s^2\ -\ 4s\ +\ 4}\ =\ \frac{(s\ +\ 2)(s\ -\ 2)}{(s\ -\ 2)(s\ -\ 2)}\ =\ \frac{s\ +\ 2}{s\ -\ 2}`
1) Upravte výraz: `\frac{k^2+k}{kx-ky}`
Vytknutím k v čitateli i v jmenovateli upravíme výraz do následující podoby:
`\frac{k^2+k}{kx-ky}=\frac{k\cdot(k+1)}{k\cdot(x-y)}`
Vykrátíme k (nesmíme zapomenou na podmínku `k\neq0`).
`\frac{k^2+k}{kx-ky}=\frac{k\cdot(k+1)}{k\cdot(x-y)}=\frac{k+1}{x-y}`
2) Upravte výraz: `\frac{x-3}{x^2-5x+6}`
Výraz v čitateli se již nedá nějak upravit, ale výraz v jmenovateli se dá rozložit podle vzorce `(x-a)(x-b)=x^2-ax-bx+ab`
Je více způsobů, jak výraz ve jmenovateli upravit. Lze použít dělení mnohočlenů (přejít na článek Dělení mnohočlenů, hornerovo schéma Hornerovo schéma nebo prostě určit výsledek kvadratické rovnice `x^2-5x+6=0`). Jednou z těchto možností upravíme jmenovatel na:
`x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)`
Po dosazení zpět do zlomku můžeme krátit.
`\frac{x-3}{x^2-5x+6}=\frac{x-3}{(x-3)(x-2)}=\frac{1}{x-2}`
Nesmíme zapomenout na podmínky `x\neq2, x\neq3`
3) Upravte výraz: `\frac{a^3-b^3}{a-b}`
Ukázkový příklad na aplikaci vzorce, který jsem uváděl na začátku `a^3\ -\ b^3\ =\ (a\ -\ b)(a^2\ +\ ab\ +\ b^2)`
`\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2`
A jako obvykle podmínky: `a\neq b`
4) Upravte výraz: `\frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}`
V každém čitateli a jmenovateli v tomto výrazu se dá vytknout nějaké číslo:
`\frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}=\frac{5(a-b)}{4(a+b)}\cdot\frac{8(a+b)}{15(a-b)}`
Můžeme krátit:
`\frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}=\frac{5(a-b)}{4(a+b)}\cdot\frac{8(a+b)}{15(a-b)}=\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}`
5) Upravte výraz: `\frac{a^3-8}{a^2+5a-14}\cdot\frac{a^2-49}{2a^2+4a+8}`
Po aplikaci některých vzorců upravíme výraz na:
`\frac{a^3-8}{a^2+5a-14}\cdot\frac{a^2-49}{2a^2+4a+8}=\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a+7)(a-2)}\cdot\frac{(a+7)(a-7)}{2(a^2+2a+4)}`
Krácením výraz upravíme na:
`\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a+7)(a-2)}\cdot\frac{(a+7)(a-7)}{2(a^2+2a+4)}=\frac{1}{1}\cdot\frac{(a-7)}{2}`
Vynásobíme zlomky:
`\frac{1}{1}\cdot\frac{(a-7)}{2}=\frac{a-7}{2}`