Lomený výraz je zlomek, který má ve jmenovateli proměnnou. Upravit ho znamená zapsat ho co nejjednodušeji: čitatel i jmenovatel rozložit na součin (vytýkáním nebo podle vzorců), určit podmínky, za kterých má výraz smysl, a zkrátit činitele, které mají čitatel a jmenovatel společné:

`\begin{gathered}\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x(x+3)}=\dfrac{x-3}{x}\\[10pt] x\neq 0,\ x\neq -3\end{gathered}`

Podmínky se berou vždy z původního jmenovatele. Ten je `x(x+3)` a je nulový pro `x=0` i pro `x=-3`. Po zkrácení zůstalo ve jmenovateli jen `x`, ale původní výraz pro `x=-3` smysl nemá, takže podmínka `x\neq -3` platí dál.

Každou úpravu se vyplatí zkontrolovat dosazením jednoho čísla. Pro `x=1` dává původní výraz `\frac{1-9}{1+3}=-2` a upravený `\frac{1-3}{1}=-2`. Shoda, úprava je správně. Trvá to půl minuty a odhalí to většinu chyb.

Dál najdete vzorce pro rozklad na součin, krácení, násobení a dělení, sčítání a odčítání se společným jmenovatelem, složené zlomky, časté chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Co je lomený výraz a jak určit podmínky

Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů, v jehož jmenovateli je proměnná. Lomené jsou třeba výrazy `\frac{3}{x-1}`, `\frac{a+b}{a-b}` nebo `\frac{x^2+1}{x}`. Výraz `\frac{x+2}{5}` lomený není: ve jmenovateli je jen číslo, takže je to obyčejný mnohočlen `\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}`.

Nulou dělit nelze, a proto má lomený výraz smysl jen pro ty hodnoty proměnných, pro které jmenovatel není nulový. Těmto omezením se říká podmínky a všem dovoleným hodnotám definiční obor výrazu. Postup:

  1. Jmenovatel rozložte na součin.
  2. Každý činitel položte různý od nuly. Součin je nulový právě tehdy, když je nulový některý z činitelů, takže ze součinu jsou podmínky vidět hned.
  3. Činitel, který nulový být nemůže, žádnou podmínku nedává. Například `x^2+1` je vždy aspoň 1.
`\begin{gathered}\dfrac{5}{x^2-4x}=\dfrac{5}{x(x-4)}\\[10pt] x\neq 0,\ x\neq 4\end{gathered}`

Definiční obor je tedy `\mathbb{R}\setminus\{0;\ 4\}`. Proměnných může být víc: výraz `\frac{k+1}{x-y}` má podmínku `x\neq y`. Podmínky pro jakýkoli jmenovatel v jedné proměnné vypíše i kalkulačka podmínek lomeného výrazu (jmenovatel se zadává koeficienty, tedy `x^2-4x` jako „1 -4 0“).

Vzorce a vytýkání: rozklad na součin

Krátit se dá jen to, co je v čitateli i ve jmenovateli součinem. Proto každá úprava začíná rozkladem. Nejdřív zkuste vytknout, co mají všechny členy společné, a teprve potom hledejte vzorec:

Vzorec a příklad rozkladu
`ax+ay=a(x+y)`
např. `3x^2-6x=3x(x-2)`
`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`
např. `x^2+6x+9=(x+3)^2`
`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`
např. `4y^2-4y+1=(2y-1)^2`
`a^2-b^2=(a+b)(a-b)`
např. `9x^2-25=(3x+5)(3x-5)`
`a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)`
např. `x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)`
`a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`
např. `x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)`
`x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)`
např. `x^2-5x+6=(x-2)(x-3)`

V posledním řádku jsou `x_1` a `x_2` kořeny kvadratické rovnice `x^2+px+q=0`. U malých čísel je najdete i zpaměti: hledáte dvě čísla, jejichž součin je `q` a součet `-p`. Pro `x^2-5x+6` je to součin 6 a součet 5, tedy čísla 2 a 3. Když kvadratická rovnice nemá reálné kořeny, trojčlen se rozložit nedá. Proto se dál nerozkládají ani druhé závorky u součtu a rozdílu třetích mocnin, třeba `x^2-2x+4`.

U součtu třetích mocnin si dejte pozor na znaménko: v druhé závorce je `-ab`, u rozdílu `+ab`. Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu si můžete procvičit v procvičování vzorců (a + b)² a a² − b² a vytýkání ověřit kalkulačkou vytýkání před závorku. Mnohočlen třetího a vyššího stupně rozložíte Hornerovým schématem nebo dělením mnohočlenů.

Krácení lomených výrazů

Krátit znamená vydělit čitatel i jmenovatel týmž nenulovým výrazem. Hodnota výrazu se tím nezmění, stejně jako u obyčejných zlomků. Krátí se jen celý činitel, nikdy sčítanec.

Příklad 1

Zjednodušte výraz `\frac{s^2-4}{s^2-4s+4}`.

Na první pohled se nedá nic zkrátit. Čitatel je ale rozdíl čtverců a jmenovatel druhá mocnina rozdílu:

`\begin{gathered}s^2-4=(s+2)(s-2)\\[10pt] s^2-4s+4=(s-2)^2\end{gathered}`

Jmenovatel je nulový jen pro `s=2`, to je jediná podmínka. Pak zkrátíme jednu závorku `(s-2)`:

`\begin{gathered}\dfrac{(s+2)(s-2)}{(s-2)(s-2)}=\dfrac{s+2}{s-2}\\[10pt] s\neq 2\end{gathered}`

Kontrola pro `s=4`: původní výraz `\frac{16-4}{16-16+4}=\frac{12}{4}=3`, upravený `\frac{6}{2}=3`.

Příklad 2

Zjednodušte výraz `\frac{x-3}{x^2-5x+6}`.

Čitatel už rozložit nejde. Jmenovatel rozložíme podle posledního řádku tabulky: dvě čísla se součinem 6 a součtem 5 jsou 2 a 3.

`\begin{gathered}\dfrac{x-3}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{1}{x-2}\\[10pt] x\neq 2,\ x\neq 3\end{gathered}`

Když se zkrátí celý čitatel, zůstane v něm 1, ne nula. Krácení je dělení, a `(x-3):(x-3)=1`. Stejný příklad si můžete projít v kalkulačce krácení lomeného výrazu, která rozloží čitatel i jmenovatel a vypíše podmínky.

Příklad 3

Zjednodušte výraz `\frac{k^2+k}{kx-ky}`.

V čitateli i ve jmenovateli vytkneme `k`:

`\begin{gathered}\dfrac{k(k+1)}{k(x-y)}=\dfrac{k+1}{x-y}\\[10pt] k\neq 0,\ x\neq y\end{gathered}`

Obě podmínky pocházejí z původního jmenovatele `k(x-y)`. Podmínka `k\neq 0` se snadno ztratí, protože po zkrácení už `k` ve jmenovateli není.

Příklad 4

Zjednodušte výraz `\frac{a^3-b^3}{a-b}`.

`\begin{gathered}\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2\\[10pt] a\neq b\end{gathered}`

Výsledek už není zlomek, ale podmínka zůstává: pro `a=b` původní výraz nemá smysl, i když `a^2+ab+b^2` se spočítat dá.

Příklad 5: opačné závorky

Zjednodušte výraz `\frac{6-2x}{x^2-9}`.

V čitateli vytkneme 2 a dostaneme `2(3-x)`. Ve jmenovateli je `(x+3)(x-3)`. Závorky `(3-x)` a `(x-3)` nejsou stejné, liší se znaménkem: `3-x=-(x-3)`. Proto v čitateli raději vytkneme rovnou `-2`:

`\begin{gathered}\dfrac{-2(x-3)}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{-2}{x+3}\\[10pt] x\neq 3,\ x\neq -3\end{gathered}`

Kontrola pro `x=1`: `\frac{6-2}{1-9}=-\frac{1}{2}` a `\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}`.

Násobení a dělení lomených výrazů

Násobí se stejně jako zlomky: čitatel krát čitatel, jmenovatel krát jmenovatel. Závorky ale neroznásobujte. Nejdřív všechno rozložte, pak kraťte napříč oběma zlomky a teprve zbytek vynásobte. Roznásobený součin by se musel znovu rozkládat.

Příklad 6

Upravte výraz `\frac{5a-5b}{4a+4b}\cdot\frac{8a+8b}{15a-15b}`.

V každém čitateli i jmenovateli se dá vytknout číslo:

`\begin{gathered}\dfrac{5(a-b)}{4(a+b)}\cdot\dfrac{8(a+b)}{15(a-b)}=\dfrac{5\cdot 8}{4\cdot 15}=\dfrac{2}{3}\\[10pt] a\neq b,\ a\neq -b\end{gathered}`

Výsledek je číslo: pro všechna dovolená `a` a `b` má výraz hodnotu `\frac{2}{3}`. Kontrola pro `a=2`, `b=1`: `\frac{5}{12}\cdot\frac{24}{15}=\frac{120}{180}=\frac{2}{3}`.

Příklad 7

Upravte výraz `\frac{a^3-8}{a^2+5a-14}\cdot\frac{a^2-49}{2a^2+4a+8}`.

Rozložíme všechny čtyři části: rozdíl třetích mocnin, trojčlen (součin −14, součet −5, tedy čísla 2 a −7), rozdíl čtverců a vytknutí dvojky.

`\begin{gathered}a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)\\[10pt] a^2+5a-14=(a+7)(a-2)\\[10pt] a^2-49=(a+7)(a-7)\\[10pt] 2a^2+4a+8=2(a^2+2a+4)\end{gathered}`

`\begin{gathered}\begin{aligned}&\dfrac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a+7)(a-2)}\cdot\dfrac{(a+7)(a-7)}{2(a^2+2a+4)}\\[10pt] &=\dfrac{a-7}{2}\end{aligned}\\[10pt] a\neq 2,\ a\neq -7\end{gathered}`

Závorka `a^2+2a+4` žádnou podmínku nedává: je to `(a+1)^2+3`, tedy vždy aspoň 3.

Dělení

Dělit lomeným výrazem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. Přibude ale jedna podmínka: dělitel nesmí být nula, takže nulový nesmí být ani jeho čitatel. Ten se po převrácení dostane do jmenovatele.

Příklad 8

Upravte výraz `\frac{x^2-1}{x+2}:\frac{x-1}{x^2+4x+4}`.

`\begin{gathered}\begin{aligned}&\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}\cdot\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\[10pt] &=(x+1)(x+2)\end{aligned}\\[10pt] x\neq -2,\ x\neq 1\end{gathered}`

Podmínka `x\neq -2` je z obou jmenovatelů, `x\neq 1` z čitatele dělitele. Kontrola pro `x=0`: `-\frac{1}{2}:\left(-\frac{1}{4}\right)=2` a `1\cdot 2=2`. Výpočet i s podmínkami ukáže kalkulačka násobení a dělení lomených výrazů.

Sčítání a odčítání: společný jmenovatel

Sečíst se dají jen zlomky se stejným jmenovatelem. Stejně jako u čísel, kde hledáme nejmenší společný násobek, rozložíme jmenovatele na součin a do společného jmenovatele vezmeme každý činitel v nejvyšší mocnině, v jaké se vyskytuje. Každý zlomek pak rozšíříme tím, co mu do společného jmenovatele chybí.

Příklad 9

Sečtěte `\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}`.

Jmenovatelé nemají nic společného, společný jmenovatel je jejich součin. První zlomek rozšíříme `(x+1)`, druhý `(x-1)`:

`\begin{gathered}\begin{aligned}&\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\[10pt] &=\dfrac{2x}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2x}{x^2-1}\end{aligned}\\[10pt] x\neq 1,\ x\neq -1\end{gathered}`

Příklad 10

Sečtěte `\frac{2}{x^2-x}+\frac{1}{x-1}`.

První jmenovatel je `x(x-1)`, a ten už druhý jmenovatel obsahuje. Společný jmenovatel je tedy `x(x-1)`, ne součin `(x^2-x)(x-1)`. Rozšiřovat stačí jen druhý zlomek, a to `x`:

`\begin{gathered}\dfrac{2}{x(x-1)}+\dfrac{x}{x(x-1)}=\dfrac{x+2}{x(x-1)}\\[10pt] x\neq 0,\ x\neq 1\end{gathered}`

Kontrola pro `x=2`: `\frac{2}{2}+\frac{1}{1}=2` a `\frac{4}{2\cdot 1}=2`. Se součinem obou jmenovatelů byste se ke stejnému výsledku dostali taky, jen byste museli na konci krátit. Krok za krokem to ukáže kalkulačka sčítání lomených výrazů, včetně toho, čím se který zlomek rozšířil.

Příklad 11: minus před zlomkem

Odečtěte `\frac{2x+1}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}`.

Jmenovatel je stejný, odečteme čitatele. Druhý čitatel ale odčítáme celý, proto patří do závorky:

`\begin{gathered}\dfrac{2x+1-(x+2)}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}=1\\[10pt] x\neq 1\end{gathered}`

Bez závorky by vyšlo `2x+1-x+2=x+3` a výsledek `\frac{x+3}{x-1}`, který je špatně. Pro `x=2` dává zadání `5-4=1`, kdežto `\frac{x+3}{x-1}=5`.

Složený zlomek

Složený zlomek má další zlomky v čitateli nebo ve jmenovateli. Upravuje se ve dvou krocích: horní i dolní část zvlášť převedeme na jeden zlomek a pak je vydělíme, tedy horní vynásobíme převrácenou dolní.

Příklad 12

Zjednodušte `\dfrac{1-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}`.

`\begin{gathered}\dfrac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x^2-1}{x^2}}=\dfrac{x-1}{x}\cdot\dfrac{x^2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}\\[10pt] x\neq 0,\ x\neq 1,\ x\neq -1\end{gathered}`

Podmínka `x\neq 0` pochází ze zlomků uvnitř, `x\neq \pm 1` z toho, že celý dolní zlomek nesmí být nula. Kontrola pro `x=2`: `\frac{1/2}{3/4}=\frac{2}{3}` a `\frac{2}{3}`.

Příklad 13: průměrná rychlost

Auto jede do města rychlostí `v` a zpátky stejnou cestou rychlostí `w`. Jaká je jeho průměrná rychlost?

Průměrná rychlost je celková dráha dělená celkovým časem. Je-li cesta tam dlouhá `d`, trvá `\frac{d}{v}` a cesta zpět `\frac{d}{w}`:

`\begin{gathered}\bar{v}=\dfrac{2d}{\frac{d}{v}+\frac{d}{w}}=\dfrac{2d}{\frac{d(w+v)}{vw}}=\dfrac{2vw}{v+w}\end{gathered}`

Délka cesty `d` se zkrátila, na ní nezáleží. Tam 60 km/h a zpátky 40 km/h dává `\frac{2\cdot 60\cdot 40}{100}=48\ \mathrm{km/h}`, ne 50 km/h, jak by vyšlo prostým průměrem: pomalejší cesta trvá déle, a proto váží víc. Kontrola: pro `v=w` vyjde `\frac{2v^2}{2v}=v`, jak má.

Časté chyby

  • Krácení sčítanců. `\frac{x+3}{3}` není `x`, ani `\frac{x^2+4}{x+2}` není `x+2`. Dosazení to odhalí hned: pro `x=1` je `\frac{x^2+4}{x+2}=\frac{5}{3}`, kdežto `x+2=3`. Krátit se smí, až když je nahoře i dole součin se stejnou závorkou.
  • Podmínky z vykráceného výrazu. Kdo píše podmínky až na konci, ztratí ty, jejichž závorka se zkrátila (v příkladu 2 by zbyla jen `x\neq 2`). Pište je hned po rozkladu jmenovatele.
  • Zapomenutá podmínka při dělení. Čitatel dělitele se po převrácení stane jmenovatelem, takže i on dává podmínku (příklad 8).
  • Chybný vzorec. `(a+b)^2` není `a^2+b^2`, chybí `2ab`. Součet čtverců `a^2+b^2` se rozložit nedá vůbec. A u `a^3+b^3` je v druhé závorce `-ab`: pro `a=b=1` je `1+1=2` a `(1+1)(1-1+1)=2`, zatímco s `+ab` by vyšlo 6.
  • Minus před zlomkem bez závorky. Odčítá se celý čitatel, takže se mění znaménko u všech jeho členů (příklad 11).
  • Přehlédnuté opačné závorky. `(3-x)` a `(x-3)` se zkrátit dají, ale dají `-1`, ne 1 (příklad 5).

Příklady k procvičení

1. Zjednodušte výraz `\frac{4x+8}{x^2-4}` a určete podmínky.

2. Zjednodušte výraz `\frac{a^2-6a+9}{a^2-9}` a určete podmínky.

3. Vynásobte `\frac{x^2-x}{x+5}\cdot\frac{x^2-25}{x^2}` a určete podmínky.

4. Odečtěte `\frac{3}{x-2}-\frac{12}{x^2-4}` a výsledek zkraťte.

5. Vydělte `\frac{y^2-4y}{y+1}:\frac{y-4}{y^2-1}` a určete všechny podmínky.

6. Jeden kohoutek naplní nádrž za `a` hodin, druhý za `b` hodin. Za jak dlouho ji naplní oba společně? Výsledek upravte a spočítejte pro `a=3` a `b=6`.

Kam dál