Mnohočlen (polynom) dělíme mnohočlenem stejně, jako písemně dělíme čísla. Vydělíme první člen dělence prvním členem dělitele, tím dostaneme první člen podílu. Tímto členem vynásobíme celého dělitele, součin odečteme od dělence a s tím, co zbylo, postup opakujeme. Končíme, jakmile má zbytek menší stupeň než dělitel. Výsledek se dá vždy zapsat jako

`\text{dělenec} = \text{dělitel} \cdot \text{podíl} + \text{zbytek}`

Když vyjde zbytek nula, dělitel dělí dělence beze zbytku a dělenec jsme tím rozložili na součin. Právě kvůli tomu se dělení mnohočlenů používá nejčastěji: k rozkladu na součin, ke krácení lomených výrazů a k hledání kořenů. Postup ukážeme nejdřív na dělení jednočlenem, pak na řešených příkladech dělení mnohočlenu mnohočlenem.

Dělení mnohočlenu jednočlenem

Jednočlenem dělíme každý člen zvlášť. Koeficienty vydělíme jako čísla a u mocnin se stejným základem exponenty odečteme (`x^5 : x^2 = x^3`, víc v článku Exponenty a mocniny):

`(6x^3 - 4x^2 + 2x) : 2x = 3x^2 - 2x + 1`

Pozor na poslední člen: `2x : 2x = 1`, ne nula. Dělit nulou nejde, takže výsledek platí pro `x \neq 0`.

Když má některý člen dělence menší stupeň než jednočlen, jímž dělíme, vznikne z něj zlomek a výsledek už není mnohočlen. Takový člen je zbytek:

`(4x^3 + 6x^2 + 5) : 2x^2 = 2x + 3 + \dfrac{5}{2x^2}`

Dělení mnohočlenu mnohočlenem - postup

  1. Seřaďte dělence i dělitele podle mocnin sestupně. Chybí-li nějaká mocnina, doplňte ji s nulou, třeba `x^3 - 8 = x^3 + 0x^2 + 0x - 8`. Jinak se sloupce při odčítání posunou.
  2. První člen dělence vydělte prvním členem dělitele. Výsledek je první člen podílu.
  3. Tímto členem vynásobte celého dělitele a součin napište pod dělence, stejné mocniny pod sebe.
  4. Odečtěte. Odečítá se celá závorka, takže se znaménko změní u každého jejího členu. První člen se vždy odečte na nulu.
  5. S rozdílem opakujte kroky 2 až 4.
  6. Skončete, když má zbytek menší stupeň než dělitel. Při dělení dvojčlenem `x + 1` tedy ve chvíli, kdy zbude číslo.
  7. Zkouška: dělitel krát podíl plus zbytek musí dát dělence.

Že je to opravdu písemné dělení, uvidíte, když za `x` dosadíte 10. Z `(x^3 + 4x^2 + 5x + 2) : (x + 1) = x^2 + 3x + 2` se stane `1452 : 11 = 132`. Rozdíl je jen v tom, že u mnohočlenů se nikdy nepřenáší do vyššího řádu.

Příklad 1

Vydělte `(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)`.

První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele: `x^3 : x = x^2`. Dělitele vynásobíme: `x^2 (x - 1) = x^3 - x^2`. Odečteme a dostaneme `-5x^2 + 11x - 6`. Znovu: `-5x^2 : x = -5x`, součin `-5x(x - 1) = -5x^2 + 5x`, po odečtení `6x - 6`. Nakonec `6x : x = 6` a `6(x - 1) = 6x - 6` se odečte na nulu. Celý zápis:

`\begin{gathered}(x^3-6x^2+11x-6) : (x-1)\\[12pt]= x^2-5x+6\\[12pt]\begin{array}{@{}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{}}x^3 & -6x^2 & +11x & -6 \\
-(x^3 & -x^2) &  &  \\ \hline
 & -5x^2 & +11x & -6 \\
 & -(-5x^2 & +5x) &  \\ \hline
 &  & 6x & -6 \\
 &  & -(6x & -6) \\ \hline
 &  &  & 0 \end{array}\end{gathered}`

Zbytek je nula, takže `x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)`. Zkouška roznásobením:

`\begin{aligned}&(x - 1)(x^2 - 5x + 6) \\[4pt] &= x^3 - 5x^2 + 6x - x^2 + 5x - 6 \\[4pt] &= x^3 - 6x^2 + 11x - 6\end{aligned}`

Stejný příklad si můžete projít krok za krokem v kalkulačce na dělení mnohočlenů.

Příklad 2 - chybějící mocniny

Vydělte `(x^3 - 8) : (x - 2)`.

V dělenci chybí `x^2` i `x`, doplníme je s nulou. Bez toho by se `2x^2` z prvního odečtení nemělo pod co zapsat.

`\begin{gathered}(x^3-8) : (x-2)\\[12pt]= x^2+2x+4\\[12pt]\begin{array}{@{}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{}}x^3 & +0x^2 & +0x & -8 \\
-(x^3 & -2x^2) &  &  \\ \hline
 & 2x^2 & +0x & -8 \\
 & -(2x^2 & -4x) &  \\ \hline
 &  & 4x & -8 \\
 &  & -(4x & -8) \\ \hline
 &  &  & 0 \end{array}\end{gathered}`

Vyšlo `x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)`, což je vzorec pro rozdíl třetích mocnin `a^3 - b^3`. Dělení ho odvodí samo.

Příklad 3 - dělení se zbytkem

Vydělte `(x^4 + 2x^3 - x + 3) : (x^2 + 1)`.

Chybějící mocniny doplníme v dělenci (`0x^2`) i v děliteli (`x^2 + 0x + 1`). Členy podílu jsou postupně `x^4 : x^2 = x^2`, `2x^3 : x^2 = 2x` a `-x^2 : x^2 = -1`.

`\begin{gathered}(x^4+2x^3-x+3) : (x^2+1)\\[12pt]= x^2+2x-1\\[12pt]\begin{array}{@{}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{}}x^4 & +2x^3 & +0x^2 & -x & +3 \\
-(x^4 &  & +x^2) &  &  \\ \hline
 & 2x^3 & -x^2 & -x & +3 \\
 & -(2x^3 &  & +2x) &  \\ \hline
 &  & -x^2 & -3x & +3 \\
 &  & -(-x^2 &  & -1) \\ \hline
 &  &  & -3x & +4 \end{array}\end{gathered}`

Zbytek `-3x + 4` má stupeň 1, dělitel stupeň 2, takže dál dělit nejde. Výsledek zapíšeme jedním ze dvou způsobů:

`\begin{gathered}\begin{aligned}&x^4 + 2x^3 - x + 3 \\[4pt] &= (x^2 + 1)(x^2 + 2x - 1) + (-3x + 4)\end{aligned}\\[10pt]\begin{aligned}&(x^4 + 2x^3 - x + 3) : (x^2 + 1) \\[4pt] &= x^2 + 2x - 1 + \dfrac{-3x + 4}{x^2 + 1}\end{aligned}\end{gathered}`

Zbytek se ve druhém zápisu píše jako zlomek nad celým dělitelem. Zkouška: `(x^2 + 1)(x^2 + 2x - 1) = x^4 + 2x^3 + 2x - 1` a po přičtení `-3x + 4` vyjde `x^4 + 2x^3 - x + 3`. Rychlá kontrola dosazením `x = 1`: vlevo `1 + 2 - 1 + 3 = 5`, vpravo `2 \cdot 2 + 1 = 5`.

Příklad 4 - záporný první člen

Vydělte `(-5x^4 + 4x^2 - 3x + 4) : (x^3 + 2x^2 - 4)`.

První člen podílu je `-5x^4 : x^3 = -5x`. Součin `-5x(x^3 + 2x^2 - 4) = -5x^4 - 10x^3 + 20x` odečteme, takže `-10x^3` se změní na `+10x^3` a `+20x` na `-20x`. To je místo, kde se chybuje nejčastěji.

`\begin{gathered}(-5x^4+4x^2-3x+4) : (x^3+2x^2-4)\\[12pt]= -5x+10\\[12pt]\begin{array}{@{}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{}}-5x^4 & +0x^3 & +4x^2 & -3x & +4 \\
-(-5x^4 & -10x^3 &  & +20x) &  \\ \hline
 & 10x^3 & +4x^2 & -23x & +4 \\
 & -(10x^3 & +20x^2 &  & -40) \\ \hline
 &  & -16x^2 & -23x & +44 \end{array}\end{gathered}`

Podíl je `-5x + 10` a zbytek `-16x^2 - 23x + 44`, který má stupeň 2, menší než dělitel. Kontrola v `x = 1`: dělenec `-5 + 4 - 3 + 4 = 0`, dělitel `-1`, podíl `5`, zbytek `5`, a opravdu `-1 \cdot 5 + 5 = 0`. Kalkulačka tento příklad vypíše krok po kroku.

Příklad 5 - dělitel s koeficientem

Vydělte `(6x^3 - 13x^2 + 4x + 3) : (2x - 3)`.

Dělí se vždy prvním členem dělitele i s koeficientem: `6x^3 : 2x = 3x^2`, pak `-4x^2 : 2x = -2x` a `-2x : 2x = -1`.

`\begin{gathered}(6x^3-13x^2+4x+3) : (2x-3)\\[12pt]= 3x^2-2x-1\\[12pt]\begin{array}{@{}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{}}6x^3 & -13x^2 & +4x & +3 \\
-(6x^3 & -9x^2) &  &  \\ \hline
 & -4x^2 & +4x & +3 \\
 & -(-4x^2 & +6x) &  \\ \hline
 &  & -2x & +3 \\
 &  & -(-2x & +3) \\ \hline
 &  &  & 0 \end{array}\end{gathered}`

Tady vyšly celé koeficienty, ale obecně se u dělitele s koeficientem jiným než 1 objeví zlomky, třeba `(x^2 + 1) : (2x - 1)` má podíl `\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}` a zbytek `\frac{5}{4}`. To není chyba, jen víc počítání.

Zbytek po dělení dvojčlenem x − c

Dělíme-li mnohočlen `P(x)` dvojčlenem `x - c`, je zbytek číslo a platí `P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + r`. Dosadíme `x = c`, první sčítanec je nula, a tak

`r = P(c)`

Zbytek zjistíte dosazením, bez dělení. Třeba `(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) : (x - 2)` má zbytek `P(2) = 16 - 12 + 8 - 5 = 7`. A zbytek `(x^{100} + 1) : (x + 1)` je `(-1)^{100} + 1 = 2`, tady by dělení trvalo sto kroků.

Z toho plyne i nejužitečnější věc: `x - c` dělí mnohočlen beze zbytku právě tehdy, když je `c` jeho kořen. V příkladu 1 je `P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0`, proto dělení `x - 1` vyšlo beze zbytku. Pro dělení dvojčlenem `x - c` je navíc mnohem rychlejší Hornerovo schéma, které dělá totéž, jen počítá jen s koeficienty. Vyplní ho i kalkulačka Hornerova schématu a hodnotu mnohočlenu si můžete procvičit.

K čemu se dělení mnohočlenů hodí

Rozklad na součin a kořeny. Když známe jeden kořen, dělení kořenovým činitelem sníží stupeň. Z příkladu 1 zbylo `x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)`, takže `x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)` a kořeny jsou 1, 2 a 3. Víc v článku Mnohočlen (polynom), všechny racionální kořeny najde kalkulačka kořenů mnohočlenu.

Krácení lomených výrazů. Zkraťte `\dfrac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x^2 + x - 2}`. Vydělíme čitatele jmenovatelem:

`\begin{gathered}(x^3-2x^2-5x+6) : (x^2+x-2)\\[12pt]= x-3\\[12pt]\begin{array}{@{}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{\;\;}r@{}}x^3 & -2x^2 & -5x & +6 \\
-(x^3 & +x^2 & -2x) &  \\ \hline
 & -3x^2 & -3x & +6 \\
 & -(-3x^2 & -3x & +6) \\ \hline
 &  &  & 0 \end{array}\end{gathered}`

Zbytek je nula, takže čitatel je `(x^2 + x - 2)(x - 3)` a výraz se rovná `x - 3`. Podmínky se ale berou z původního jmenovatele: `x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)`, tedy `x \neq -2` a `x \neq 1`. Podrobněji v článku Úpravy lomených výrazů, ověřit si to můžete kalkulačkou na krácení a procvičit v příkladech na lomené výrazy.

Graf lomené funkce. Dělení dá

`\dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2} = 2x - 1 + \dfrac{1}{x + 2}`

Odtud je vidět, že pro velká `x` je zlomek skoro nula a graf funkce `y = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}` se přimyká k přímce `y = 2x - 1`. U lineární lomené funkce dá stejné dělení přímo vodorovnou asymptotu.

Zkouška: násobení mnohočlenu mnohočlenem

Zkouška dělení je násobení mnohočlenu mnohočlenem: každý člen prvního vynásobíme každým členem druhého a stejné mocniny sečteme. Zkouška příkladu 2:

`\begin{aligned}&(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \\[4pt] &= x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 \\[4pt] &= x^3 - 8\end{aligned}`

Dva členy krát tři členy dávají šest součinů, a když jich napíšete méně, na nějaký jste zapomněli. Součin i součet mnohočlenů spočítá kalkulačka na počítání s mnohočleny.

Časté chyby

  • Odečte se jen první člen součinu. Po `x^3 - 6x^2 - (x^3 - x^2)` vyjde `-5x^2`, ne `-7x^2`: minus před závorkou mění znaménko i u `-x^2`. Kdo si nevěří, může si součin rovnou napsat s opačnými znaménky a pak sčítat.
  • Nedoplněná chybějící mocnina. U `x^3 - 8` bez nul se `2x^2` a `-8` dostanou do jednoho sloupce a výsledek je nesmysl.
  • Dělení celým dělitelem. Člen podílu vzniká dělením jen prvním členem dělitele, `x^3 : x`, ne `x^3 : (x - 1)`. Celým dělitelem se pak násobí.
  • Konec ve špatnou chvíli. Dělí se, dokud má zbytek stupeň aspoň takový jako dělitel. V příkladu 3 by zastavení u `-x^2 - 3x + 3` dalo špatný podíl `x^2 + 2x`.
  • Zbytek bez dělitele. `x^2 + 2x - 1 - 3x + 4` je něco jiného než `x^2 + 2x - 1 + \dfrac{-3x + 4}{x^2 + 1}`. Zbytek se buď přičte k součinu, nebo píše jako zlomek s dělitelem ve jmenovateli.
  • Zapomenuté podmínky. Když dělením zkracujete lomený výraz, výsledek platí jen tam, kde byl původní jmenovatel nenulový.

Nejrychlejší kontrola čehokoli je dosadit jedno číslo, třeba `x = 1` nebo `x = 2`, do dělence i do `\text{dělitel} \cdot \text{podíl} + \text{zbytek}`. Když se čísla liší, je chyba někde v postupu.

Příklady k procvičení

1. Vydělte jednočlenem: `(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : 4x^2`.

2. Vydělte `(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)`.

3. Vydělte `(x^3 + 27) : (x + 3)`.

4. Určete podíl a zbytek `(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) : (x - 2)` a zbytek ověřte dosazením.

5. Vydělte `(x^4 - 3x^2 + 2x + 1) : (x^2 - x + 1)`.

6. Obdélník má obsah `(6x^2 + 7x - 3)\ \mathrm{cm^2}` a jednu stranu dlouhou `(2x + 3)\ \mathrm{cm}`. Jak dlouhá je druhá strana? Ověřte výsledek pro `x = 2`.

Kam dál