Hornerovo schéma

V podstatě se jedná o velmi jednoduchou metodu Dělení mnohočlenů s tím rozdílem, že je možné dělit pouze lineárními mnohočleny - tedy mnohočleny s nejvyšším stupněm jedna.

Možná si říkáte, k čemu je užitečné dělení pouze lineárními mnohočleny. Odpověď je jednoduchá. Pokud chcete určit funkční hodnotu f(x) v bodě z a nemáte po ruce kalkulátor, stačí, když vydělíte a zbytek bude funkční hodnota v bodě z. Díky tomuto můžete zjistit, je-li z řešením rovnice f(x)=0. Pokud je, bude funkční hodnota rovna nule a tím pádem bude i zbytek roven nule.

Tento algoritmus je pojmenován po William Hornerovi, který ho popsal v roce 1819. Tato metoda ale již byla známá v roce 1669 Issacu Newtonovi. Existují dokonce záznamy z 12 a 13 století, kdy se touto metodou zabývali čínský matematik Qin Jiushao a matematika z Persie Sharaf Dīn al-Tūsī.

1) Postup si vysvětlíme na příkladu .

Do prvního políčka tabulky patří hodnota proměnné x po vypočítání rovnice dělitel = 0. Dělitel je x+1 a proto x=-1. Za tímto číslem vždy uděláme čáru, abychom ho oddělili od ostatních čísel. Ty další čísla jsou koeficienty jednotlivých členů dělence seřazeného podle stupně proměnné x. Všimněte si, že v dělence není člen ax. Tedy on tam je, ale koeficient je roven nule a proto ho ani nepíšeme. Ale pokud dělíme mnohočleny syntetickým dělením, nesmíme tam tu nulu zapomenout napsat. Další krok je vynechání jednoho řádku a opsání prvního koeficientu dělence na třetí řádek:

Nyní vynásobte opsané číslo tím číslem před lomenou čárou (v našem případě -1) a výsledek napište do druhého řádku do dalšího sloupce:

Sečtěte čísla v tom sloupci, do kterého jste napsali poslední číslo a výsledek napište pod tyto čísla do třetího řádku:

Jeden cyklus dokončen. Opakováním tohoto postupu brzy získáte výsledek.

Další cyklus:

Již není co počítat, tudíž jsme hotovi! Ve třetím řádku je výsledek dělení. Stačí když za každé číslo dopíšeme proměnnou x patřičného stupně. Pokud nejvyšší stupeň dělence byl xn tak první člen výsledku bude xn-1. Výsledek tedy je:

Poslední číslo ve třetím řádku je vždy zbytek. Další způsob jak zapsat výsledek by mohl být .

2) Přestože se vám může zdát moje vysvětlování trochu krkolomné, brzy poznáte, že tento způsob je daleko jednodušší a hlavně rychlejší. Procvičit si to můžete na více příkladech - vypočítejte .

Výsledek je .

3) Určete funkční hodnotu funkce v bodě x=1. Vydělíme tedy mnohočleny .

Zbytek je -4 funkční hodnota tedy je f(1) = -4. Dokazuje to i následující graf:

4) Otestujte, zda je 1 řešením rovnice .

Zbytek je 0 a proto je 1 řešením dané rovnice.

5) Vydělte mnohočlen mnohočlenem (2x-1).

Trochu se nám zkomplikovala situace, ale nevadí. I toto se dá velmi lehce vyřešit. Začneme úplně stejně,, jako vždy.

Jelikož jsme ale nepočítali s celým číslem, ale se zlomkem, ještě nejsme hotovi. Nyní musíme každý člen výsledky vydělit jmenovatelem čísla, kterým jsme dělili, tedy 2:

Všimněte si, že zbytek dvěma nedělíme

Výsledek tedy je

6) Vydělte mnohočlen mnohočlenem (3x+2).

Výsledek tedy je .