Hornerovo schéma

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 74 673

Efektivní metoda jak vyhodnotit mnohočlen v jejich mónické formě.


V podstatě se jedná o velmi jednoduchou metodu Dělení mnohočlenů s tím rozdílem, že je možné dělit pouze lineárními mnohočleny - tedy mnohočleny s nejvyšším stupněm jedna.

Možná si říkáte, k čemu je užitečné dělení pouze lineárními mnohočleny. Odpověď je jednoduchá. Pokud chcete určit funkční hodnotu f(x) v bodě z a nemáte po ruce kalkulátor, stačí, když vydělíte \frac{f}{x-z} a zbytek bude funkční hodnota v bodě z. Díky tomuto můžete zjistit, je-li z řešením rovnice f(x)=0. Pokud je, bude funkční hodnota rovna nule a tím pádem bude i zbytek roven nule.

Tento algoritmus je pojmenován po William Hornerovi, který ho popsal v roce 1819. Tato metoda ale již byla známá v roce 1669 Issacu Newtonovi. Existují dokonce záznamy z 12 a 13 století, kdy se touto metodou zabývali čínský matematik Qin Jiushao a matematika z Persie Sharaf Dīn al-Tūsī.

1) Postup si vysvětlíme na příkladu \frac{x^3+3x^2-5}{x+1}.

\begin{matrix} -1  |& 1&3&0&-5\\\end{matrix}

Do prvního políčka tabulky patří hodnota proměnné x po vypočítání rovnice dělitel = 0. Dělitel je x+1 a proto x=-1. Za tímto číslem vždy uděláme čáru, abychom ho oddělili od ostatních čísel. Ty další čísla jsou koeficienty jednotlivých členů dělence seřazeného podle stupně proměnné x. Všimněte si, že v dělence není člen ax. Tedy on tam je, ale koeficient je roven nule a proto ho ani nepíšeme. Ale pokud dělíme mnohočleny syntetickým dělením, nesmíme tam tu nulu zapomenout napsat. Další krok je vynechání jednoho řádku a opsání prvního koeficientu dělence na třetí řádek:

\begin{matrix} -1 & | & 1 & 3& 0 & -5 \\ & | & & & & \\ & | & 1 & & & \\ \end{matrix}

Nyní vynásobte opsané číslo tím číslem před lomenou čárou (v našem případě -1) a výsledek napište do druhého řádku do dalšího sloupce:

\begin{matrix} -1 & | & 1 & 3& 0 & -5 \\ & | & & -1& & \\ & | & 1 & & & \\ \end{matrix}

Sečtěte čísla v tom sloupci, do kterého jste napsali poslední číslo a výsledek napište pod tyto čísla do třetího řádku:

\begin{matrix} -1 & | & 1 & 3& 0 & -5 \\ & | & & -1& & \\ & | & 1 &2 & & \\ \end{matrix}

Jeden cyklus dokončen. Opakováním tohoto postupu brzy získáte výsledek.

\begin{matrix} -1 & | & 1 & 3& 0 & -5 \\ & | & & -1&-2 & \\ & | & 1 &2 & -2& \\ \end{matrix}
Další cyklus:
\begin{matrix} -1 & | & 1 & 3& 0 & -5 \\ & | & & -1&-2 &2 \\ & | & 1 &2 & -2&-3 \\ \end{matrix}

Již není co počítat, tudíž jsme hotovi! Ve třetím řádku je výsledek dělení. Stačí když za každé číslo dopíšeme proměnnou x patřičného stupně. Pokud nejvyšší stupeň dělence byl xn tak první člen výsledku bude xn-1. Výsledek tedy je:

\begin{matrix} -1 & | & 1 & 3& 0 & -5 \\ & | & & -1&-2 &2 \\ & | & 1x^2 &2x & -2&-3 \\ \end{matrix}\\1x^2+2x-2; zbytek = -3

Poslední číslo ve třetím řádku je vždy zbytek. Další způsob jak zapsat výsledek by mohl být x^2+2x-2-\frac{3}{x+1}.

2) Přestože se vám může zdát moje vysvětlování trochu krkolomné, brzy poznáte, že tento způsob je daleko jednodušší a hlavně rychlejší. Procvičit si to můžete na více příkladech - vypočítejte \frac{-5x^4+4x^2-3x+4}{x-3}.

\begin{matrix}3 & | & -5 & 0& 4 & -3&4 \\ & | & & & &  & \\ & | & -5 & & & & \\ \end{matrix}\\\ldots\\\begin{matrix}3 & | & -5 & 0& 4 & -3&4 \\ & | & &-15 & &  & \\ & | & -5 & -15& & & \\ \end{matrix}\\\ldots\\\begin{matrix}3 & | & -5 & 0& 4 & -3&4 \\ & | & &-15 & -45 &  & \\ & | & -5 & -15& -41& & \\ \end{matrix}\\\ldots\\\begin{matrix}3 & | & -5 & 0& 4 & -3&4 \\ & | & &-15 & -45 & -123 & \\ & | & -5 & -15& -41& -126& \\ \end{matrix}\\\ldots\\\begin{matrix}3 & | & -5 & 0& 4 & -3&4 \\ & | & &-15 & -45 & -123 & -378\\ & | & -5 & -15& -41& -126&-374 \\ \end{matrix}

Výsledek je \frac{-5x^4+4x^2-3x+4}{x-3}=-5x^3-15x^2-41x-126-\frac{374}{x-3}.

3) Určete funkční hodnotu funkce x^6-3x^5+2x^4-2x^2+x-3 v bodě x=1. Vydělíme tedy mnohočleny \frac{x^6-3x^5+2x^4-2x^2+x-3}{x-1}.

\begin{matrix} 1 & | & 1 & -3& 2 &0&-2&1&-3 \\ & | & & 1&-2 &0&0&-2&-1 \\ & | & 1 & -2& 0&0&-2&-1&\fbox{-4} \\ \end{matrix}

Zbytek je -4 funkční hodnota tedy je f(1) = -4. Dokazuje to i následující graf:

Hornerovo schéma

4) Otestujte, zda je 1 řešením rovnice 2x^6-2x^5+3x^4-4x^2+3x-2.

\frac{2x^6-2x^5+3x^4-4x^2+3x-2}{x-1}
\begin{matrix} 1 & | & 2 & -2& 3 &0&-4&3&-2 \\ & | & & 2&0 &3&3&-1&2 \\ & | & 2 & 0& 3&3&-1&2&\fbox{0} \\ \end{matrix}

Zbytek je 0 a proto je 1 řešením dané rovnice.

5) Vydělte mnohočlen 4x^3+2x^2+4x-2 mnohočlenem (2x-1).

Trochu se nám zkomplikovala situace, ale nevadí. I toto se dá velmi lehce vyřešit. Začneme úplně stejně,, jako vždy.

\begin{matrix} \frac{1}{2} & | & 4 & 2& 4 &-2& \\ & | & & 2&2 &3 \\ & | & 4 & 4& 6&1 \\ \end{matrix}

Jelikož jsme ale nepočítali s celým číslem, ale se zlomkem, ještě nejsme hotovi. Nyní musíme každý člen výsledky vydělit jmenovatelem čísla, kterým jsme dělili, tedy 2:

\begin{matrix} \frac{1}{2} & | & 4 & 2& 4 &-2& \\ & | & & 2&2 &3 \\ & | & 4 & 4& 6&1 \\ &&&\fbox{/2}\\ &&2&2&3&1\end{matrix}
Všimněte si, že zbytek dvěma nedělíme

Výsledek tedy je 2x^2+2x+3+\frac{1}{2x-1}

6) Vydělte mnohočlen 3x^4-x^3+4x^2+x-2 mnohočlenem (3x+2).

\begin{matrix} -\frac{2}{3} & | & 3 & -1& 4 &1&-2& \\ & | & & -2&2 &-4 &2\\ & | & 3 & -3& 6&-3 &0\\ &&&\fbox{/3}\\ &&1&-1&2&-1&0\end{matrix}

Výsledek tedy je x^3-x^2+2x-1.

Test

Vypočtěte první derivaci funkce y=x+\mathrm{e}^{-x}


Hlavolam

Hromada cihel váží 30 kg. Polovina hromady váží 15 kg. Kolik váží jedna cihla?