Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení

Zlomek zapisuje podíl dvou čísel. Číslo nad zlomkovou čarou je čitatel, číslo pod ní jmenovatel. Jmenovatel říká, na kolik stejných dílů celek rozdělíme, čitatel, kolik takových dílů vezmeme. Zlomková čára znamená totéž co dělení.

`\displaystyle \dfrac{\text{čitatel}}{\text{jmenovatel}}=\text{čitatel}:\text{jmenovatel}`

Ve zlomku `\frac{3}{4}` je tedy čitatel 3 a jmenovatel 4: celek je rozdělený na čtyři čtvrtiny a bereme tři z nich. Jako desetinné číslo je to `3:4=0{,}75`.

Pomůcka k názvům: jmenovatel jmenuje, jaké díly to jsou (čtvrtiny, pětiny, desetiny), a čitatel čítá, tedy počítá, kolik jich máme. Jmenovatel nikdy nesmí být nula, protože nulou dělit nelze. Zlomek `\frac{5}{0}` nemá smysl.

Druhy zlomků

• Pravý zlomek má čitatel menší než jmenovatel, například `\frac{2}{5}`. Je menší než 1.
• Nepravý zlomek má čitatel větší nebo rovný jmenovateli, například `\frac{7}{4}`. Je větší nebo rovný 1.
• Smíšené číslo je nepravý zlomek zapsaný jako celé číslo a zbytek: `\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}`, protože 7 : 4 = 1, zbytek 3. Pozor, `1\frac{3}{4}` znamená `1+\frac{3}{4}`, ne součin. Převod nepravého zlomku na smíšené číslo, i s cestou zpátky, ukáže kalkulačka smíšeného čísla.
• Převrácený zlomek vznikne prohozením čitatele a jmenovatele: k `\frac{2}{5}` je to `\frac{5}{2}`. Budeme ho potřebovat při dělení.
• Složený zlomek má v čitateli nebo ve jmenovateli další zlomek, například `\dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}`.

Každé celé číslo je také zlomek se jmenovatelem 1: `3=\frac{3}{1}`. Čísla, která jde zapsat jako zlomek s celým čitatelem a nenulovým celým jmenovatelem, se nazývají racionální čísla.

Krácení zlomků

Zlomky `\frac{2}{4}` a `\frac{1}{2}` jsou totéž číslo, 0,5. Krátit zlomek znamená vydělit čitatele i jmenovatele stejným číslem. Hodnota zlomku se tím nezmění, jen se zmenší čísla. Zlomek, který už krátit nejde, je v základním tvaru a výsledky se zapisují právě tak.

U `\frac{10}{4}` je hned vidět, že oboje jde vydělit dvěma, a dostaneme `\frac{5}{2}`. Nejrychleji zkrátíte zlomek najednou, když čitatele i jmenovatele vydělíte jejich největším společným dělitelem (NSD):

`\displaystyle\begin{gathered}\text{NSD}(24,\ 36)=12\\[10pt]\frac{24}{36}=\frac{24:12}{36:12}=\frac{2}{3}\end{gathered}`

Když NSD hned nevidíte, krátit můžete i postupně: nejdřív dvěma, pak třemi a tak dál, dokud to jde. U zlomku `\frac{369}{15}` je ciferný součet čitatele 18, takže 369 je dělitelné třemi, stejně jako 15: `\frac{369}{15}=\frac{123}{5}`. Jmenovatel 5 je prvočíslo a 123 pětkou dělitelné není, dál to nejde.

Krátit se dají jen činitelé (čísla, která se násobí), nikdy sčítanci. Ve zlomku `\frac{2+3}{2}` dvojky škrtnout nesmíte, výsledek je `\frac{5}{2}`, ne 3. Krácení si můžete vyzkoušet v procvičování krácení zlomků, a kdyby vás zajímal jen výsledek, kalkulačka krácení zlomků zkrátí libovolný zlomek na základní tvar.

Rozšiřování zlomků

Rozšiřování je opak krácení: čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným nenulovým číslem. Hodnota zlomku zůstane stejná.

`\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}`

Rozšiřujeme hlavně proto, abychom dostali dva zlomky na společného jmenovatele. Ten potřebujeme při sčítání, odčítání a porovnávání. Nejmenší společný jmenovatel je nejmenší společný násobek (NSN) obou jmenovatelů. Pro 6 a 8 je to 24, takže `\frac{5}{6}=\frac{20}{24}` a `\frac{3}{8}=\frac{9}{24}`. Posloužil by i součin jmenovatelů 48, jen byste pak počítali s většími čísly a na konci krátili.

Sčítání zlomků

Zlomky se stejným jmenovatelem sečteme tak, že sečteme čitatele a jmenovatel opíšeme. Jmenovatel jen říká, jaké díly sčítáme: tři třetiny a jedna třetina jsou dohromady čtyři třetiny.

`\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}=2`

Zlomky s různými jmenovateli nejdřív převedeme na společného jmenovatele. Postup:

1. Najdeme společného jmenovatele (nejlépe NSN jmenovatelů).
2. Každý zlomek rozšíříme tak, aby měl tohoto jmenovatele.
3. Sečteme čitatele, jmenovatel opíšeme.
4. Výsledek zkrátíme, případně převedeme na smíšené číslo.

Příklad 1

Vypočítejte `\frac{3}{4}+\frac{5}{3}`.

Nejmenší společný násobek 4 a 3 je 12. První zlomek rozšíříme třemi, druhý čtyřmi:

`\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{5}{3}=\frac{9}{12}+\frac{20}{12}=\frac{29}{12}=2\frac{5}{12}`

Kontrola odhadem: `\frac{3}{4}` je necelá jednička, `\frac{5}{3}` je asi 1,7, dohromady tedy kolem 2,4. Výsledek `2\frac{5}{12}\doteq 2{,}42` sedí.

Obecně pro libovolné dva zlomky platí vzorec, který jako společného jmenovatele bere součin jmenovatelů:

`\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}`

Nejčastější chyba je sečíst zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele: `\frac{1}{2}+\frac{1}{3}` není `\frac{2}{5}`. Chybu prozradí odhad: `\frac{2}{5}` je menší než samotná polovina, a přitom k polovině ještě něco přičítáme. Správně je `\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}`.

Postup si můžete projít s vlastními čísly v kalkulačce sčítání zlomků, která ukáže i rozšiřování, a pak si ho procvičit v příkladech na sčítání a odčítání zlomků.

Odčítání zlomků

Zlomky se odečítají stejně jako sčítají: převedeme je na společného jmenovatele a od sebe odečteme čitatele. Jmenovatel se opět jen opíše.

Příklad 2

Vypočítejte `\frac{5}{6}-\frac{3}{8}`.

`\displaystyle\begin{gathered}\text{NSN}(6,\ 8)=24\\[10pt]\frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{20}{24}-\frac{9}{24}=\frac{11}{24}\end{gathered}`

Když je druhý zlomek větší, vyjde výsledek záporný. To je v pořádku, jen znaménko minus patří před celý zlomek:

`\displaystyle \frac{2}{5}-\frac{8}{3}=\frac{6}{15}-\frac{40}{15}=-\frac{34}{15}`

Příklad 3: celé a smíšené číslo

Celé číslo zapíšeme jako zlomek se stejným jmenovatelem: `3-\frac{2}{5}=\frac{15}{5}-\frac{2}{5}=\frac{13}{5}`. Smíšená čísla nejdřív převedeme na nepravé zlomky:

`\displaystyle\begin{gathered}3\frac{1}{4}-1\frac{2}{3}=\frac{13}{4}-\frac{5}{3}\\[10pt]=\frac{39}{12}-\frac{20}{12}=\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}\end{gathered}`

Kontrola: 3,25 − 1,67 je asi 1,58 a `1\frac{7}{12}\doteq 1{,}58`. Výsledek si můžete ověřit i v kalkulačce odčítání zlomků.

Násobení zlomků

Násobení je nejjednodušší operace se zlomky. Společného jmenovatele nepotřebujeme: vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou.

`\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}`

Například `\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}`. Zlomek násobíme celým číslem tak, že jím vynásobíme jen čitatele: `3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}`.

Příklad 4: krácení křížem

Krátit lze už před násobením, a to čitatel kteréhokoli zlomku s jmenovatelem kteréhokoli zlomku. Ušetříte si tak velká čísla. Vypočítejte `\frac{2}{3}\cdot\frac{15}{4}`.

`\displaystyle \frac{\cancel{2}^{\,1}}{\cancel{3}_{\,1}}\cdot\frac{\cancel{15}^{\,5}}{\cancel{4}_{\,2}}=\frac{1\cdot 5}{1\cdot 2}=\frac{5}{2}`

Dvojku v čitateli jsme zkrátili se čtyřkou ve jmenovateli (obojí děleno 2) a trojku ve jmenovateli s patnáctkou v čitateli (obojí děleno 3). Bez krácení by vyšlo `\frac{30}{12}`, což je po zkrácení totéž.

Zlomek z čísla

„Tři čtvrtiny z dvaceti“ znamená násobení: `\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{60}{4}=15`. Prakticky: vydělte číslo jmenovatelem (20 : 4 = 5, jedna čtvrtina) a vynásobte čitatelem (5 · 3 = 15). Slovní úlohy tohoto typu probírá článek Zlomek ve slovní úloze a spočítá je kalkulačka zlomku z čísla.

Dělení zlomků

Zlomkem dělíme tak, že násobíme převráceným zlomkem. Druhý zlomek obrátíme vzhůru nohama (prohodíme čitatele a jmenovatele) a pak násobíme.

`\displaystyle \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}`

Příklad 5

Vypočítejte `\frac{5}{2}:\frac{15}{4}`.

`\displaystyle \frac{5}{2}:\frac{15}{4}=\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{15}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}`

Proč to funguje: dělit číslem je totéž jako násobit jeho převrácenou hodnotou, stejně jako dělit dvěma je totéž jako vzít polovinu, tedy násobit `\frac{1}{2}`. Kontrola zkouškou: `\frac{2}{3}\cdot\frac{15}{4}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}`. Sedí.

Obracíme jen druhý zlomek, ten, kterým dělíme. Celé číslo je zlomek se jmenovatelem 1, takže `\frac{4}{5}:2=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{5}`. A složený zlomek je jen jiný zápis dělení:

`\displaystyle \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}=\frac{4}{5}:\frac{1}{3}=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{1}=\frac{12}{5}`

Násobení i dělení najdete s postupem v kalkulačkách násobení zlomků a dělení zlomků a procvičit je můžete v příkladech na násobení a dělení zlomků.

Porovnávání zlomků

Zlomky se stejným jmenovatelem porovnáme podle čitatelů: `\frac{5}{9}\gt\frac{4}{9}`. Při stejném čitateli je to naopak, větší je zlomek s menším jmenovatelem: `\frac{1}{3}\gt\frac{1}{4}`, protože třetina pizzy je víc než čtvrtina. Jinak převedeme oba zlomky na společného jmenovatele:

`\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{6}{9}\gt\frac{4}{9}`

Rychlejší je porovnání křížem: u zlomků s kladnými jmenovateli porovnáme součiny čitatele jednoho a jmenovatele druhého. U `\frac{5}{8}` a `\frac{3}{5}` je `5\cdot 5=25` a `3\cdot 8=24`. Protože 25 > 24, je `\frac{5}{8}\gt\frac{3}{5}`. Na desetinná čísla převedeno: 0,625 a 0,6. Pro vlastní dvojici zlomků použijte porovnání zlomků.

Zlomky, desetinná čísla a procenta

Zlomek převedeme na desetinné číslo dělením čitatele jmenovatelem. Vynásobením stem dostaneme procenta. Tyto dvojice se vyplatí znát zpaměti:

Třetiny nikdy neskončí, desetinné číslo se opakuje donekonečna. Proto je při počítání přesnější držet se zlomků a převádět až výsledek. Převody obousměrně dělají kalkulačky zlomek na desetinné číslo, desetinné číslo na zlomek a zlomek na procenta.

Řešené příklady na zlomky

Ve složitějším výrazu platí stejné pořadí operací jako s celými čísly: nejdřív závorky, pak násobení a dělení, nakonec sčítání a odčítání.

`\displaystyle \frac{7}{5}+\frac{3}{4}+1=\frac{28}{20}+\frac{15}{20}+\frac{20}{20}=\frac{63}{20}`

`\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3}{4}-\frac{5}{6}=\frac{6}{12}-\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=-\frac{13}{12}`

`\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{18}{56}=\frac{9}{28}`

Příklad 6: složený zlomek

Zjednodušte výraz

`\displaystyle \left(\dfrac{2+\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{2}{7}}:\frac{7}{3}\right)\cdot\frac{4}{3}`

Nejdřív zvlášť upravíme čitatele a jmenovatele velkého zlomku:

`\displaystyle\begin{gathered}2+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\\[10pt]\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{7}{14}-\frac{4}{14}=\frac{3}{14}\end{gathered}`

Složený zlomek je dělení, takže `\frac{7}{2}:\frac{3}{14}=\frac{7}{2}\cdot\frac{14}{3}=\frac{49}{3}`. Zbývá vydělit `\frac{7}{3}` a vynásobit `\frac{4}{3}`:

`\displaystyle \frac{49}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{3}=7\cdot\frac{4}{3}=\frac{28}{3}`

Výsledek je `\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}`. Podobné výrazy s písmeny místo čísel probírá článek Úpravy lomených výrazů.

Časté chyby

• Sčítání jmenovatelů. `\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne\frac{2}{5}`. Jmenovatele se při sčítání nesčítají, jen se sjednotí.
• Krácení v součtu. Zkrátit smíte jen činitele, ne sčítance: v `\frac{2+3}{2}` se dvojky škrtnout nedají.
• Obrácení špatného zlomku. Při dělení se převrací jen dělitel, tedy zlomek za dvojtečkou.
• Zapomenutý čitatel při rozšiřování. Rozšířit `\frac{3}{4}` na dvanáctiny znamená vynásobit třemi i čitatele: `\frac{9}{12}`, ne `\frac{3}{12}`.
• Smíšené číslo jako součin. `2\frac{1}{3}` je `\frac{7}{3}`, ne `\frac{2}{3}`.
• Nezkrácený výsledek. Výsledek se uvádí v základním tvaru. Když vyjde `\frac{6}{3}`, napište 2.

Příklady k procvičení

`\displaystyle \frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}`

`\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{5}{12}=\frac{9}{24}+\frac{10}{24}=\frac{19}{24}`

`\displaystyle \frac{7}{3}\cdot\frac{9}{14}=\frac{1}{1}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}`

`\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{1}{6}`

`\displaystyle -\frac{1}{6}:\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}`

`\displaystyle\begin{gathered}\frac{3}{4}+\frac{5}{12}=\frac{9}{12}+\frac{5}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}\\[10pt]\frac{1}{3}:\frac{7}{6}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{2}{7}\\[10pt]\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{7}{14}-\frac{4}{14}=\frac{3}{14}\end{gathered}`

Kam dál

Všechny čtyři operace dohromady si nejlépe osaháte v procvičování zlomků, kde se příklady míchají, a jednotlivé výpočty s postupem najdete v kalkulačkách na zlomky. Ke krácení a společnému jmenovateli se hodí články Největší společný dělitel a Nejmenší společný násobek a k nim procvičování NSD a NSN. Zlomky s odmocninou ve jmenovateli řeší usměrňování zlomků a lomené výrazy s proměnnými článek Úpravy lomených výrazů.