Částečné odmocňování

Částečně odmocnit znamená vytknout před odmocninu co největší číslo, aby pod ní zůstalo co nejmenší celé číslo. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin, ve kterém je jeden činitel druhou mocninou, a ten odmocníme. Celé to stojí na pravidle, že odmocnina součinu je součin odmocnin:

`\begin{gathered}\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\qquad(a,\ b \ge 0) \\[6pt] \sqrt{k^2\cdot b}=k\sqrt{b}\qquad(k \ge 0)\end{gathered}`

Například `\sqrt{72}`: největší druhá mocnina, která dělí 72, je 36, takže `\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}`. Pod odmocninou zůstala dvojka, kterou už nijak zmenšit nejde, a úprava je hotová. Hodnota se přitom nezměnila, obě čísla jsou asi 8,49.

Níže je postup krok za krokem, tabulka čísel do 100, která se dají částečně odmocnit, postup přes prvočíselný rozklad pro velká čísla, řešené příklady včetně sčítání odmocnin a zlomků, částečné odmocňování s proměnnými a u třetí odmocniny, nejčastější chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Jak částečně odmocnit: postup

1. Najděte největší druhou mocninu, která číslo pod odmocninou dělí. Pomůže znát zpaměti druhé mocniny: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.
2. Zapište číslo jako součin té druhé mocniny a zbytku, například `72 = 36\cdot 2`.
3. Druhou mocninu odmocněte a napište ji před odmocninu. Zbytek zůstane pod odmocninou: `\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}`.
4. Zkontrolujte, že pod odmocninou už žádná druhá mocnina není. Číslo, které zůstalo, nesmí být dělitelné 4, 9, 25, 49 ani žádnou jinou druhou mocninou kromě jedničky.

Největší druhou mocninu nemusíte najít hned. Stačí vytýkat postupně, jen nesmíte skončit v půlce:

`\begin{aligned}\sqrt{72}&=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}\\[6pt]&=2\sqrt{9\cdot 2}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\end{aligned}`

Tvar `2\sqrt{18}` je sice správně, ale ještě není hotový, protože 18 je dělitelné devíti. Ve škole se za výsledek bere až `6\sqrt{2}`.

Proč to funguje, ukazuje obrázek. Čtverec o obsahu 72 se dá složit z 36 malých čtverců o obsahu 2. Strana malého čtverce je `\sqrt{2}` a na straně velkého jich je šest vedle sebe, takže strana velkého čtverce, tedy `\sqrt{72}`, je `6\sqrt{2}`.

Kdy se částečně odmocnit nedá: když číslo pod odmocninou není dělitelné žádnou druhou mocninou kromě jedničky. Takové jsou všechna prvočísla a také třeba 6, 10, 15, 30 nebo 42, které jsou součinem různých prvočísel. `\sqrt{30}` zůstane `\sqrt{30}`.

Tabulka: částečné odmocnění čísel do 100

Ze všech čísel od 2 do 100 se dá částečně odmocnit jen třicet. U ostatních buď vyjde celé číslo (`\sqrt{49}=7`), nebo pod odmocninou není co vytknout (`\sqrt{35}`).

Za zapamatování stojí hlavně ty, u kterých pod odmocninou zůstane dvojka nebo trojka: `\sqrt{8}=2\sqrt{2}`, `\sqrt{12}=2\sqrt{3}`, `\sqrt{18}=3\sqrt{2}`, `\sqrt{27}=3\sqrt{3}`, `\sqrt{50}=5\sqrt{2}`. Objevují se v geometrii a v goniometrii pořád dokola.

Velká čísla: přes prvočíselný rozklad

U velkého čísla se druhá mocnina hledá špatně. Spolehlivější je číslo rozložit na prvočinitele a z rozkladu vzít každou dvojici stejných prvočísel. Z každé dvojice jde před odmocninu jedno prvočíslo a to, co dvojici nemá, zůstane pod odmocninou.

Například `\sqrt{1008}`. Rozklad je `1008 = 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 7`, tedy dvě dvojice dvojek, jedna dvojice trojek a sedmička navíc:

`\sqrt{1008}=\sqrt{2^4\cdot 3^2\cdot 7}=2^2\cdot 3\sqrt{7}=12\sqrt{7}`

Zkouška: `12^2\cdot 7 = 144\cdot 7 = 1008`. Rozklad čísla i s každým dělením zvlášť vypíše kalkulačka rozkladu na prvočinitele.

V zápisu s exponenty: u sudého exponentu jde před odmocninu mocnina s polovičním exponentem, u lichého se jeden činitel nechá pod odmocninou a se zbytkem se naloží stejně. U `\sqrt{2^5\cdot 3}` je to `2^2\sqrt{2\cdot 3}=4\sqrt{6}`.

Dvě rychlé zkratky. Končí-li číslo dvěma nulami, je dělitelné stovkou: `\sqrt{2700}=\sqrt{100\cdot 27}=10\cdot 3\sqrt{3}=30\sqrt{3}`. A je-li dvojčíslí na konci dělitelné čtyřmi, je čtyřmi dělitelné celé číslo, takže čtyřka jde vytknout.

Řešené příklady

Příklad 1

Částečně odmocněte `\sqrt{75}`, `\sqrt{392}` a `\sqrt{320}`.

`\begin{gathered}\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \\[6pt] \sqrt{392}=\sqrt{196\cdot 2}=14\sqrt{2} \\[6pt] \sqrt{320}=\sqrt{64\cdot 5}=8\sqrt{5}\end{gathered}`

U 392 se 196 hledá těžko. Přes rozklad `392 = 2^{3}\cdot 7^{2}` to jde snáz: dvojice dvojek dá 2, dvojice sedmiček dá 7, ven jde `2\cdot 7 = 14` a pod odmocninou zůstane jedna dvojka. Kontrola odhadem: `14\sqrt{2}\doteq 14\cdot 1{,}414\doteq 19{,}8` a `19{,}8^2\doteq 392`.

Příklad 2: součin odmocnin

Vypočítejte `\sqrt{6}\cdot\sqrt{15}`.

`\sqrt{6}\cdot\sqrt{15}=\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}`

Odmocniny jsme nejdřív spojili do jedné a pak částečně odmocnili. Šlo by to i bez násobení: `\sqrt{6}\cdot\sqrt{15}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}`, trojka je tam dvakrát a jde ven.

Příklad 3: sčítání odmocnin

Zjednodušte `\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}`.

Do jednoho členu se dají sečíst jen odmocniny se stejným číslem pod odmocninou, podobně jako se sčítají jen stejné proměnné (`5x+3x=8x`). Tady jsou na první pohled různé, ale po částečném odmocnění mají všechny pod odmocninou dvojku:

`\begin{aligned}&\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}\\[6pt]&=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\end{aligned}`

Bez částečného odmocnění by se s tímhle výrazem nedalo nic dělat. Je to nejčastější důvod, proč se částečné odmocňování učí.

Příklad 4: odmocnina ve zlomku

Zjednodušte zlomek `\dfrac{5}{\sqrt{50}}`.

Na první pohled to vypadá, že zjednodušit nejde. Po částečném odmocnění jmenovatele se ale pětka zkrátí:

`\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}`

Poslední krok je usměrnění zlomku: odmocnina ve jmenovateli se odstraní rozšířením zlomku číslem `\sqrt{2}`. Stejně `\dfrac{1}{\sqrt{112}}=\dfrac{1}{4\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{28}`. Oba kroky najednou udělá i s postupem kalkulačka usměrňování zlomků.

Odmocnina z celého zlomku se odmocní zvlášť v čitateli a zvlášť ve jmenovateli, protože odmocnina podílu je podíl odmocnin:

`\begin{gathered}\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\qquad(a \ge 0,\ b \gt 0) \\[10pt] \sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[10pt] \sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}`

Příklad 5: přepona pravoúhlého trojúhelníku

Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku měří 6 cm a 12 cm. Jak dlouhá je přepona? Výsledek zapište přesně.

Podle Pythagorovy věty:

`\begin{aligned}c&=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{36+144}\\[6pt]&=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}\end{aligned}`

Přibližně je to `6\cdot 2{,}236\doteq 13{,}42\ \mathrm{cm}`. Kontrola: přepona musí být delší než delší odvěsna (12 cm) a kratší než součet odvěsen (18 cm), což 13,42 splňuje. Všimněte si, že `\sqrt{36+144}` nejsou `6+12`, viz časté chyby níže.

Částečné odmocňování s proměnnými

S písmeny se postupuje stejně jako s prvočísly: z každé dvojice stejných činitelů jde jeden ven. Pro `x \ge 0`:

`\begin{gathered}\sqrt{x^3}=\sqrt{x^2\cdot x}=x\sqrt{x} \\[6pt] \sqrt{50x^5}=\sqrt{25\cdot 2\cdot x^4\cdot x}=5x^2\sqrt{2x}\end{gathered}`

Pozor na proměnnou, která může být záporná. Odmocnina je vždy nezáporná, a proto `\sqrt{a^2}=|a|`, ne `a`. Pro `a=-3` je `\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3`. Bez předpokladu o znaménku tedy:

`\sqrt{18a^2}=\sqrt{9\cdot 2\cdot a^2}=3|a|\sqrt{2}`

U `\sqrt{x^3}` absolutní hodnota potřeba není: aby výraz vůbec existoval, musí být `x^3 \ge 0`, tedy `x \ge 0`.

Třetí a vyšší odmocniny

U třetí odmocniny se hledá třetí mocnina (8, 27, 64, 125, 216, ...), u čtvrté odmocniny čtvrtá mocnina (16, 81, 256, ...). Z rozkladu se pak berou trojice, respektive čtveřice stejných činitelů:

`\begin{gathered}\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2} \\[6pt] \sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2} \\[6pt] \sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16\cdot 3}=2\sqrt[4]{3}\end{gathered}`

Pravidlo je stejné: `\sqrt[n]{k^n\cdot b}=k\sqrt[n]{b}`. Dvojka v `\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}` zůstane pod odmocninou, i když 16 je druhá mocnina, protože u třetí odmocniny se počítá s trojicemi.

Obráceně: zahrnutí pod odmocninu

Číslo před odmocninou se dá vrátit pod ni. Umocní se na druhou a vynásobí číslem pod odmocninou:

`\begin{gathered}k\sqrt{b}=\sqrt{k^2\cdot b} \\[6pt] 3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}\end{gathered}`

Hodí se to hlavně při porovnávání. Které číslo je větší, `3\sqrt{5}`, nebo `2\sqrt{11}`? Po zahrnutí pod odmocninu je to `\sqrt{45}` proti `\sqrt{44}`, takže větší je `3\sqrt{5}`, a to bez kalkulačky. Zahrnutí pod odmocninu je také zkouška každého částečného odmocnění: `6\sqrt{2}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}`, sedí.

Oba směry si můžete vyzkoušet v procvičování částečného odmocňování: dvanáct příkladů, výsledek částečného odmocnění se zadává ve tvaru `a\sqrt{b}`, u zahrnutí pod odmocninu jen číslo pod ní, a na konci uvidíte, kde se stala chyba.

Časté chyby

• Odmocnina součtu není součet odmocnin. `\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}` platí jen pro součin. `\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5`, kdežto `\sqrt{9}+\sqrt{16}=7`. Částečně odmocnit jde jen číslo, které je napsané jako součin.
• Nedotažený výsledek. `\sqrt{72}=2\sqrt{18}` je pravda, ale hotovo není, pod odmocninou je pořád devítka. Na konci vždy zkontrolujte, že číslo pod odmocninou není dělitelné 4, 9, 25 ani 49.
• Před odmocninu se napíše druhá mocnina místo jejího základu. `\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}` je `5\sqrt{3}`, ne `25\sqrt{3}`. Zkouška zahrnutím pod odmocninu to odhalí hned: `25\sqrt{3}=\sqrt{1875}`.
• Vytkne se činitel, který druhou mocninou není. `\sqrt{24}=\sqrt{2\cdot 12}` nedává `2\sqrt{12}`, protože dvojka není druhá mocnina. Správně `\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}`.
• Násobení čísel před odmocninou. `2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=6\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\cdot 3=18`, ne `6\sqrt{3}`. Čísla před odmocninou se násobí spolu a odmocniny spolu.
• Chybějící absolutní hodnota. `\sqrt{a^2}` je `|a|`. U výrazů s proměnnou, která může být záporná, se absolutní hodnota musí napsat.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování částečného odmocňování, odmocniny k zjednodušení i zahrnutí pod odmocninu.
• Procvičování usměrňování zlomků, další krok, když je odmocnina ve jmenovateli.
• Kalkulačka usměrňování zlomků částečně odmocní jmenovatel a zlomek usměrní, i s postupem.
• Rozklad na prvočinitele, první krok u velkých čísel.
• Usměrňování zlomků, jak dostat odmocninu ze jmenovatele.
• Prvočíselný rozklad, jak číslo rozložit na součin prvočísel.
• Exponenty a mocniny, odmocnina jako mocnina s exponentem `\frac{1}{2}` a pravidla pro mocniny zlomků.
• Rovnice s odmocninou, jak odmocninu z rovnice dostat umocněním.