Jak už jsem naznačil, naučíme se odstraňovat odmocninu ze jmenovatele. V podstatě je to velmi lehká záležitost, ale je třeba si uvědomit několik věcí. 

`\frac{a}{b}=\frac{a*x}{b*x}`

To byla první věc. Druhá věc je:

`\sqrt{x}*\sqrt{x}=x`

Vyzkoušíme si to na příkladu. Zkuste usměrnit zlomek `\frac{1}{\sqrt{2}}`. Ve jmenovateli máme √2. Proto celý zlomek vynásobíme `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}`.

`\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}`

Vidíte, bylo to lehké;-) Vyzkoušíme si ještě pár příkladů:

Usměrněte zlomek: `\frac{4}{2*\sqrt{2}}`

V předchozím příkladě jsme násobili celý zlomek hodnotou jmenovatele, ale v tomto případě by to bylo zbytečné. Samozřejmě, že můžeme celý zlomek vynásobit `\frac{2*\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}}`, ale lehčí řešení je to násobit pouze `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}`. Takže celé by to vypadalo takto:

`\frac{4}{2*\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4*\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\frac{4*\sqrt{2}}{4}`

Máme sice usměrněný zlomek, ale ještě můžeme vykrátit 4 a dostaneme výsledek:

`\frac{4*\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}`

Toto byly lehčí příklady. Menší problémy nastanou, pokud je ve jmenovateli více členů. Zkuste například usměrnit zlomek `\frac{1}{1+\sqrt{x}}`. Jestli vám vyšlo něco jako `\frac{\sqrt{x}}{x+1}`, tak je to špatně. Je třeba si uvědomit čím musíme zlomek vynásobit abychom se zbavili odmocniny. Totiž, pokud bychom násobili zlomek `\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}`, moc si nepomůžeme, protože:

`\frac{1}{1+\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})*\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x}`

Jak vidíte, moc jsme si nepomohli. Odpověď nalezneme v následujícím příkladu:

`(a+b)*(a-b)=a^2-b^2`

Abychom se tedy zbavili odmocniny ve jmenovateli, musíme celý zlomek vynásobit `\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}`. 

`\frac{1}{1+\sqrt{x}}*\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\frac{1-\sqrt{x}}{1^2-x}`

Usměrněte zlomek `\frac{x}{2*(\sqrt{x}-\sqrt{y})}`. Tento příklad budeme řešit stejně jako předchozí. Ve jmenovateli máme dva členy (které násobíme dvojkou, ale to teď není důležité). Tyto členy jsou √x-√y. Abychom se jich zbavili, vynásobíme celý zlomek výrazem `\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}`:

`\frac{x}{2*(\sqrt{x}-\sqrt{y})}*\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{x*(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{2*(x-y)}`

Při usměrňování nesmíme zapomínat na podmínky. V posledním případě nesmí proměnná x nabývat hodnot menších než nula a zároveň se x ≠ 1.

Příklady

1) Usměrněte zlomek `\frac{x}{\sqrt{x}}`:

Jmenovatel má pouze jeden člen a proto stačí vynásobit celý zlomek `\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \rightarrow \frac{x}{\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x*\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}`

2) Usměrněte zlomek `\frac{45+5x}{4*\sqrt(x+y)}`:

Ve jmenovateli máme součin, tudíž stačí pokud celý zlomek vynásobíme odmocninou `\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}} \rightarrow \frac{45+5x}{4*\sqrt{x+y}}*\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}} = \frac{(45+5x)*\sqrt{x+y}}{4*(x+y)}`.

3) Usměrněte zlomek `\frac{5}{\sqrt{z}-x}`

Toto už není tak lehký příklad. Vynásobení celého zlomku `\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}` v tomto případě nepomůžeme. Přestože jsem to již v tomto článku jednou vysvětloval, radši to ještě připomenu → musíme se dobře podívat na vzorec `(a+b)*(a-b)=a^2-b^2` a nalezneme řešení. Musíme celý zlomek vynásobit `\frac{\sqrt{z}+x}{\sqrt{z}+x}`. Pokud toto uděláme, dostaneme výsledek: `\frac{5}{\sqrt{z}-x}*\frac{\sqrt{z}+x}{\sqrt{z}+x}=\frac{5*(\sqrt{z}+x)}{z-x^2}`

4) Usměrněte zlomek `\frac{2*\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}-\sqrt{3}}`:

`\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}*\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}+6+4+\sqrt{2}\sqrt{3}}{8+2\sqrt{2}\sqrt{3}-2\sqrt{2}\sqrt{3}-3}=\frac{10+5\sqrt{6}}{5}=2+\sqrt{6}`

5) Usměrněte zlomek:

`\frac{3}{\sqrt{x^2 - y^2}}`

Máme-li ve jmenovateli druhou odmocninu rozdílu čtverců, zlomek můžeme usměrnit tak, že ho vynásobíme odmocninou ve tvaru součtu. Použijeme tedy výraz `\frac{\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}}`:

`\frac{3}{\sqrt{x^2 - y^2}} * \frac{\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}} = \frac{3*\sqrt{x^2 - y^2}}{x^2 - y^2}`

Vyšší odmocniny

Doposud jsme si tady vysvětlovali, jak usměrňovat zlomky, kde je druhá odmocnina. Ale pochopitelně existují i zlomky s vyššími odmocninami ve jmenovateli. Postup usměrňování takovýchto zlomků je skoro stejný.

1) Usměrněte zlomek `\frac{1}{\sqrt[3]{x}}`

Pokud by tam nebyla ta třetí odmocnina, ale pouze normální, stačilo by zlomek vynásobit `\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}`, ale to v tomto případě fungovat nebude. Celý zlomek musíme totiž vynásobit `\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}`. Celý příklad by tedy vypadal následovně:

`\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}*\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}`

2) Usměrněte zlomek `\frac{5+y}{4\sqrt[3]{y+x}}`

`\frac{5+y}{4\sqrt[3]{y+x}}*\frac{\sqrt[3]{(y+x)^2}}{\sqrt[3]{(y+x)^2}}=\frac{\sqrt[3]{(y+x)^2}(5+y)}{4*(y+x)}`

Ještě vyšší odmocniny lze také samozřejmě upravit. Zkusme usměrnit zlomek `\frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}`

`\frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}=\frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}*\frac{\sqrt[n]{(4-y)^{n-1}}}{\sqrt[n]{(4-y)^{n-1}}}=\frac{(4+y)\sqrt[n]{(4-y)^{n-1}}}{4*(4-y)}`

3) Usměrněte zlomek:

`\frac{2}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}`

Protože ve jmenovateli máme součet třetích odmocnin, musíme zlomek usměrnit násobením vhodným výrazem. Tento výraz bude součin podobného výrazu se změněným znaménkem, tedy `\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}`:

`\frac{2}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} * \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{2(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a + b}`

Mohlo by se hodit: Částečné odmocňování