Usměrňování zlomků

Usměrnit zlomek znamená upravit ho tak, aby ve jmenovateli nezůstala odmocnina. Zlomek přitom rozšíříme vhodným výrazem, tedy čitatel i jmenovatel vynásobíme stejným číslem, takže se jeho hodnota nezmění. Je-li ve jmenovateli jediná odmocnina, rozšíříme právě jí. Je-li tam součet nebo rozdíl, rozšíříme stejným dvojčlenem s opačným znaménkem:

`\begin{gathered}\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}\\[10pt] \dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{b-c}\end{gathered}`

Celé usměrňování stojí na třech jednoduchých pravidlech. Rozšířením se hodnota zlomku nemění, odmocnina vynásobená sama sebou je číslo pod ní a součin součtu a rozdílu dává rozdíl čtverců, ve kterém už odmocnina není:

`\begin{gathered}\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}\quad(k\neq 0)\\[10pt] \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\\[10pt] (a+b)(a-b)=a^2-b^2\end{gathered}`

Nejznámější příklad je zlomek `\frac{1}{\sqrt{2}}`. Rozšíříme ho odmocninou ze dvou a ve jmenovateli dostaneme `\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2`:

`\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}`

Níže najdete, proč se to vůbec dělá, postup pro jednu odmocninu, pro dvojčlen i pro třetí a vyšší odmocniny, přehlednou tabulku „čím rozšířit“, časté chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Proč se zlomky usměrňují

Usměrněný a neusměrněný zlomek jsou totéž číslo, jen jinak zapsané. Usměrněný tvar má ale tři výhody:

• Dá se odhadnout z hlavy. Z `\frac{\sqrt{2}}{2}` je hned vidět „polovina z 1,414“, tedy asi 0,707. Z `\frac{1}{\sqrt{2}}` to vidět není, dělit číslem 1,414 se z hlavy nikomu nechce.
• Výsledky se dají porovnat. Učebnice, tabulky i klíč k testu píšou výsledky usměrněné. Hodnoty goniometrických funkcí najdete v tabulkách jako `\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}`, ne jako `\frac{1}{\sqrt{2}}`. Kdo má výsledek neusměrněný, často si myslí, že mu vyšel špatně.
• Zlomky se dají sčítat. Se společným jmenovatelem bez odmocnin se počítá stejně jako s obyčejnými zlomky.

Na obrázku je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délky 1. Přepona podle Pythagorovy věty měří `\sqrt{2}` a výška na přeponu je její polovina, `v=\frac{\sqrt{2}}{2}`. Výška ale rozdělí trojúhelník na dva menší, opět rovnoramenné pravoúhlé, s odvěsnami `v` a přeponou 1. Z Pythagorovy věty `v^2+v^2=1` vyjde `v=\frac{1}{\sqrt{2}}`. Obojí platí, protože je to totéž číslo.

Jedna odmocnina ve jmenovateli

Je-li ve jmenovateli jediná odmocnina, případně vynásobená číslem, rozšíříme zlomek jen tou odmocninou. Číslo před ní rozšiřovat nemusíme, to odmocninu neobsahuje:

`\dfrac{a}{c\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{c\,b}`

Po rozšíření se vždycky podívejte, jestli se zlomek nedá zkrátit. Velmi často dá.

Příklad 1

Usměrněte zlomek `\frac{3}{\sqrt{3}}`.

`\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}`

Kontrola: `3:1{,}732\doteq 1{,}732`, což je právě `\sqrt{3}`. Obecně platí `\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}`, protože `a=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}`.

Příklad 2

Usměrněte zlomek `\frac{4}{2\sqrt{2}}`. Stačí rozšířit odmocninou ze dvou, ne celým jmenovatelem `2\sqrt{2}`:

`\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}`

Rychlejší cesta je zkrátit hned na začátku dvojkou: `\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}`. Výsledek je stejný.

Příklad 3

Usměrněte zlomek `\frac{6}{\sqrt{12}}`. Tady se vyplatí nejdřív částečně odmocnit: `\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}`.

`\dfrac{6}{\sqrt{12}}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}`

Kdo rozšíří rovnou `\sqrt{12}`, dostane `\frac{6\sqrt{12}}{12}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}`, tedy totéž, jen s většími čísly. Takové zlomky usměrní i s částečným odmocněním kalkulačka usměrňování zlomků, stačí zadat čitatel a číslo pod odmocninou.

Příklad 4

Stejně se usměrňuje výraz s proměnnou. Pro `x\gt 0` je

`\dfrac{x}{\sqrt{x}}=\dfrac{x\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}`

a pro `x^2\gt y^2` (jinak by odmocnina nebo zlomek neměly smysl)

`\dfrac{3}{\sqrt{x^2-y^2}}=\dfrac{3\sqrt{x^2-y^2}}{x^2-y^2}`

Pod odmocninou je sice rozdíl, ale odmocnina je jen jedna, takže se rozšiřuje jí celou.

Součet nebo rozdíl ve jmenovateli

Zkusme usměrnit `\frac{1}{1+\sqrt{2}}`. Rozšíření odmocninou tentokrát nepomůže, odmocnina se jen přestěhuje:

`\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}`

Pomůže vzorec `(a+b)(a-b)=a^2-b^2`. Když jmenovatel `1+\sqrt{2}` vynásobíme `1-\sqrt{2}`, obě odmocniny se umocní na druhou a zmizí. Výrazu se stejnými členy a opačným znaménkem mezi nimi se říká sdružený výraz:

Příklad 5

Usměrněte zlomek `\frac{1}{1+\sqrt{2}}`.

`\begin{gathered}\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{1^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}\\[10pt] =\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-1\end{gathered}`

Kontrola: `1:2{,}414\doteq 0{,}414` a `\sqrt{2}-1\doteq 0{,}414`. Pozor na záporný jmenovatel: kdo ho přehlédne, dostane `1-\sqrt{2}`, tedy záporné číslo, a kladný zlomek přece záporný být nemůže.

Příklad 6

Usměrněte zlomek `\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}`. Rozšíříme sdruženým výrazem `\sqrt{5}+\sqrt{3}`:

`\begin{gathered}\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}\\[10pt] =\dfrac{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}=3\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\end{gathered}`

Kontrola: `\sqrt{5}-\sqrt{3}\doteq 0{,}504` a `6:0{,}504\doteq 11{,}9`; na druhé straně `3\cdot(2{,}236+1{,}732)\doteq 11{,}9`.

Příklad 7

Odmocniny mohou být i v čitateli. Usměrněte `\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}`. Sdružený výraz ke jmenovateli je `2\sqrt{2}+\sqrt{3}`. Jmenovatel:

`\left(2\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=8-3=5`

Čitatel roznásobíme člen po členu:

`\begin{gathered}\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\\[4pt] =4\sqrt{6}+2\cdot 3+2\cdot 2+\sqrt{6}=10+5\sqrt{6}\end{gathered}`

Dohromady:

`\dfrac{10+5\sqrt{6}}{5}=2+\sqrt{6}`

Pětkou jsme dělili oba členy čitatele, ne jen jeden. Kontrola: `(3{,}464+1{,}414):(2{,}828-1{,}732)\doteq 4{,}45` a `2+2{,}449\doteq 4{,}45`.

Příklad 8

S proměnnou je postup stejný: `\frac{1}{1+\sqrt{x}}` rozšíříme výrazem `1-\sqrt{x}`:

`\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\dfrac{1-\sqrt{x}}{1-x}`

Rovnost ale platí jen pro `x\ge 0` a `x\neq 1`, viz podmínky níže.

Čím rozšířit: přehled

Tabulka shrnuje, čím zlomek rozšířit podle toho, co je ve jmenovateli, a co ve jmenovateli po rozšíření zbude.

Třetí a vyšší odmocniny

U třetí odmocniny nestačí rozšířit jí samotnou: `\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^2}`, a to pořád je odmocnina. Pod odmocninou potřebujeme dostat třetí mocninu, proto rozšiřujeme `\sqrt[3]{x^2}`:

`\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x}`

U `n`-té odmocniny doplníme exponent pod odmocninou do `n`, tedy rozšíříme `\sqrt[n]{x^{n-1}}`. Počítá se to jako s mocninami: `\sqrt[n]{x}=x^{1/n}` a exponenty se při násobení sčítají, `\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}=1`.

Příklad 9

Usměrněte `\frac{6}{\sqrt[3]{4}}`. Podle tabulky bychom rozšířili `\sqrt[3]{16}`, ale chytřejší je hledat nejmenší číslo, které se čtyřkou dá třetí mocninu: `4\cdot 2=8=2^3`. Stačí tedy rozšířit `\sqrt[3]{2}`:

`\dfrac{6}{\sqrt[3]{4}}=\dfrac{6\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{6\sqrt[3]{2}}{2}=3\sqrt[3]{2}`

Kontrola: `\sqrt[3]{4}\doteq 1{,}587` a `6:1{,}587\doteq 3{,}78`; `3\cdot 1{,}260=3{,}78`.

Příklad 10

Součet třetích odmocnin se usměrňuje přes vzorec pro součet třetích mocnin:

`(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3`

Pro `\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}` je `a=\sqrt[3]{2}` a `b=1`, rozšíříme tedy výrazem `\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1`:

`\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{2+1}=\dfrac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{3}`

Kontrola: `1:2{,}260\doteq 0{,}442` a `(1{,}587-1{,}260+1):3\doteq 0{,}442`. Pro rozdíl `a-b` je vzorec `(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3`.

Podmínky u výrazů s proměnnou

U číselných zlomků se o nic starat nemusíte. U výrazů s proměnnou platí dvě běžné podmínky, pod druhou odmocninou nesmí být záporné číslo a jmenovatel nesmí být nula, a k nim jedna, na kterou se zapomíná: výraz, kterým rozšiřujeme, nesmí být nula. Rozšířit nulou nejde.

V příkladu 8 je původní zlomek `\frac{1}{1+\sqrt{x}}` definovaný pro každé `x\ge 0`, pro `x=1` má hodnotu `\frac{1}{2}`. Rozšiřovali jsme ale výrazem `1-\sqrt{x}`, který je pro `x=1` nulový, a výsledek `\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}` tam dává nesmyslné `\frac{0}{0}`. Úprava proto platí jen za podmínek `x\ge 0` a `x\neq 1`, a ty se k výsledku píšou.

Podobně `\frac{x}{2\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\frac{x\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{2(x-y)}` platí pro `x\ge 0`, `y\ge 0` a `x\neq y`. Víc o podmínkách lomených výrazů najdete v článku Úpravy lomených výrazů.

Časté chyby

• Vynásobit jen jmenovatel. Z `\frac{1}{\sqrt{2}}` se tak stane `\frac{1}{2}`, což je jiné číslo. Rozšiřuje se vždy čitatel i jmenovatel.
• Dvojčlen rozšířit odmocninou. U `\frac{1}{1+\sqrt{x}}` vznikne `\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+x}`, odmocnina ve jmenovateli zůstane. Na dvojčlen patří sdružený výraz.
• Umocnit místo rozdílu čtverců. `\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2` je `8-2\sqrt{15}`, tam se odmocnina neztratí. Jmenovatel se násobí sdruženým výrazem, ne sám sebou.
• Přehlédnout záporný jmenovatel. `1-2=-1` v příkladu 5. Kontrola znaménkem pomůže: kladný zlomek musí mít kladný výsledek.
• Krátit jen jeden člen. `\frac{4+\sqrt{2}}{2}` není `2+\sqrt{2}`, ale `2+\frac{\sqrt{2}}{2}`. Dělí se celý čitatel.
• Třetí odmocninu rozšířit jí samotnou. `\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^2}`, ne `x`.

Jednočlenné zlomky si můžete natrénovat v procvičování usměrňování zlomků a vzorec pro rozdíl čtverců v procvičování vzorců (a + b)² a a² − b².

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování usměrňování zlomků, deset zlomků s odmocninou ve jmenovateli.
• Kalkulačka usměrňování zlomků usměrní zlomek s jednou druhou odmocninou ve jmenovateli, i s postupem.
• Částečné odmocňování, jak z `\sqrt{12}` udělat `2\sqrt{3}`.
• Úpravy lomených výrazů, krácení, rozšiřování a podmínky.
• Rovnice s odmocninou, jak odmocninu z rovnice dostat umocněním.
• Algebraický tvar komplexního čísla: dělení komplexních čísel je stejný trik se sdruženým číslem.