Usměrňování zlomků

Vydáno dne 24. 5. 2008 v kategorii Výrazy; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 208 947

Usměrňování zlomků je matematická operace, při které se zbavujeme odmocnin ve jmenovateli, zatímco zachováváme hodnotu zlomku. Naučte se krok za krokem usměrnit zlomky a zjednodušit výpočty.

Jak už jsem naznačil, naučíme se odstraňovat odmocninu ze jmenovatele. V podstatě je to velmi lehká záležitost, ale je třeba si uvědomit několik věcí.

To byla první věc. Druhá věc je:

Vyzkoušíme si to na příkladu. Zkuste usměrnit zlomek $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Ve jmenovateli máme √2. Proto celý zlomek vynásobíme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

Vidíte, bylo to lehké;-) Vyzkoušíme si ještě pár příkladů:

Usměrněte zlomek:

V předchozím příkladě jsme násobili celý zlomek hodnotou jmenovatele, ale v tomto případě by to bylo zbytečné. Samozřejmě, že můžeme celý zlomek vynásobit $\frac{2*\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}}$ , ale lehčí řešení je to násobit pouze $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ . Takže celé by to vypadalo takto:

Máme sice usměrněný zlomek, ale ještě můžeme vykrátit 4 a dostaneme výsledek:

Toto byly lehčí příklady. Menší problémy nastanou, pokud je ve jmenovateli více členů. Zkuste například usměrnit zlomek $\frac{1}{1+\sqrt{x}}$ . Jestli vám vyšlo něco jako $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ , tak je to špatně. Je třeba si uvědomit čím musíme zlomek vynásobit abychom se zbavili odmocniny. Totiž, pokud bychom násobili zlomek $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ , moc si nepomůžeme, protože:

Jak vidíte, moc jsme si nepomohli. Odpověď nalezneme v následujícím příkladu:

Abychom se tedy zbavili odmocniny ve jmenovateli, musíme celý zlomek vynásobit $\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$ .

Usměrněte zlomek $\frac{x}{2*(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$ . Tento příklad budeme řešit stejně jako předchozí. Ve jmenovateli máme dva členy (které násobíme dvojkou, ale to teď není důležité). Tyto členy jsou √x-√y. Abychom se jich zbavili, vynásobíme celý zlomek výrazem $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ :

Při usměrňování nesmíme zapomínat na podmínky. V posledním případě nesmí proměnná x nabývat hodnot menších než nula a zároveň se x ≠ 1.

Příklady

1) Usměrněte zlomek $\frac{x}{\sqrt{x}}$ :

Jmenovatel má pouze jeden člen a proto stačí vynásobit celý zlomek $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \rightarrow \frac{x}{\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x*sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}$

2) Usměrněte zlomek $\frac{45+5x}{4*\sqrt(x+y)}$ :

Ve jmenovateli máme součin, tudíž stačí pokud celý zlomek vynásobíme odmocninou $\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}} \rightarrow \frac{45+5x}{4*\sqrt{x+y}}*\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+y}} = \frac{(45+5x)*\sqrt{x+y}}{4*(x+y)}$ .

3) Usměrněte zlomek $\frac{5}{\sqrt{z}-x}$

Toto už není tak lehký příklad. Vynásobení celého zlomku $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ v tomto případě nepomůžeme. Přestože jsem to již v tomto článku jednou vysvětloval, radši to ještě připomenu → musíme se dobře podívat na vzorec (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 a nalezneme řešení. Musíme celý zlomek vynásobit $\frac{\sqrt{z}+x}{\sqrt{z}+x}$ . Pokud toto uděláme, dostaneme výsledek: $\frac{5}{\sqrt{z}-x}*\frac{\sqrt{z}+x}{\sqrt{z}+x}=\frac{5*(\sqrt{z}+x)}{z-x^2}$

4) Usměrněte zlomek $\frac{2*\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2*\sqrt{2}-sqrt{3}}$ :

5) Usměrněte zlomek:

`\frac{3}{\sqrt{x^2 - y^2}}`

Máme-li ve jmenovateli druhou odmocninu rozdílu čtverců, zlomek můžeme usměrnit tak, že ho vynásobíme odmocninou ve tvaru součtu. Použijeme tedy výraz `\frac{\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}}`:

`\frac{3}{\sqrt{x^2 - y^2}} * \frac{\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{x^2 - y^2}} = \frac{3*\sqrt{x^2 - y^2}}{x^2 - y^2}`

Vyšší odmocniny

Doposud jsme si tady vysvětlovali, jak usměrňovat zlomky, kde je druhá odmocnina. Ale pochopitelně existují i zlomky s vyššími odmocninami ve jmenovateli. Postup usměrňování takovýchto zlomků je skoro stejný.

1) Usměrněte zlomek $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Pokud by tam nebyla ta třetí odmocnina, ale pouze normální, stačilo by zlomek vynásobit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ , ale to v tomto případě fungovat nebude. Celý zlomek musíme totiž vynásobit $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}$ . Celý příklad by tedy vypadal následovně:

2) Usměrněte zlomek $\frac{5+y}{4\sqrt[3]{y+x}}$

Ještě vyšší odmocniny lze také samozřejmě upravit. Zkusme usměrnit zlomek $\frac{4+y}{4\sqrt[n]{4-y}}$

3) Usměrněte zlomek:

`\frac{2}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}`

Protože ve jmenovateli máme součet třetích odmocnin, musíme zlomek usměrnit násobením vhodným výrazem. Tento výraz bude součin podobného výrazu se změněným znaménkem, tedy `\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}`:

`\frac{2}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} * \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{2(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})}{a + b}`

Mohlo by se hodit: Částečné odmocňování

Usměrňování zlomků

Příklady

Vyšší odmocniny

Test

Hlavolam