Odvození vztahu pro výpočet kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice `ax^2+bx+c=0` s `a\neq 0` se řeší přes diskriminant `D=b^2-4ac`. Kořeny jsou

`\begin{gathered}D=b^2-4ac\\[10pt]x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\end{gathered}`

Když je `D\gt 0`, má rovnice dva kořeny, při `D=0` jeden a při `D\lt 0` žádný reálný. Tento vzorec se nemusíte učit nazpaměť jako zaklínadlo: vznikne jedinou úpravou, doplněním na čtverec, a diskriminant je přesně to číslo, které při ní zbude na pravé straně. Níže je odvození krok za krokem, druhý způsob bez zlomků, zkrácené vzorce pro sudé `b` a pro normovaný tvar a řešené příklady.

Vzorec pro diskriminant a kořeny

V rovnici `ax^2+bx+c=0` je `a` kvadratický koeficient, `b` lineární a `c` absolutní člen. Koeficient `a` nesmí být nula, jinak by zbyla lineární rovnice `bx+c=0`. Čísla `b` a `c` mohou být jakákoli, i nula nebo záporná.

Například u `x^2-5x+6=0` je `a=1`, `b=-5`, `c=6`, tedy `D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1` a `x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}`, tj. `x_1=3` a `x_2=2`. Diskriminant vám hned spočítá kalkulačka diskriminantu, celý výpočet i s kořeny kalkulačka kvadratické rovnice. Víc řešených rovnic všech druhů najdete v článku Kvadratická rovnice. Tady se podíváme, proč vzorec platí.

Myšlenka: doplnění na čtverec

Rovnice, ve které stojí druhá mocnina dvojčlenu, se řeší snadno. Z `(x+3)^2=4` plyne `x+3=2` nebo `x+3=-2`, tedy `x=-1` nebo `x=-5`. Celý trik je tedy dostat každou kvadratickou rovnici do tvaru „čtverec = číslo“. K tomu slouží vzorec

`(x+k)^2=x^2+2kx+k^2`

Ve výrazu `x^2+6x` je `2k=6`, tedy `k=3`, a do úplného čtverce chybí `k^2=9`. Rovnici `x^2+6x+5=0` proto přepíšeme jako `x^2+6x=-5`, k oběma stranám přičteme 9 a dostaneme `(x+3)^2=4`, tedy právě tu rovnici z předchozího odstavce.

Nejlépe je to vidět na obrázku. Perský matematik al-Chwárizmí takto kolem roku 820 řešil rovnici `x^2+10x=39`. Ke čtverci o straně `x` přiložil dva obdélníky `x\times 5` (to je dohromady `10x`) a do úplného čtverce chyběl jen roh `5\times 5=25`.

Velký čtverec má obsah `39+25=64`, jeho strana je tedy 8 a `x=8-5=3`. Zkouška: `9+30=39`. Al-Chwárizmí pracoval jen s kladnými délkami, a tak mu druhý kořen `x=-13` (z `x+5=-8`) unikl. Z názvu jeho knihy, al-džabr, mimochodem pochází slovo algebra.

Odvození vzorce krok za krokem

Stejný postup teď provedeme s písmeny. Vyjdeme z rovnice `ax^2+bx+c=0`, kde `a\neq 0`.

Krok 1: vydělíme rovnici číslem `a`. Smíme, protože `a\neq 0`. U `x^2` pak stojí jednička, a to potřebujeme, aby šel použít vzorec `(x+k)^2`:

`x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0`

Krok 2: absolutní člen převedeme doprava.

`x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}`

Krok 3: doplníme na čtverec. Tady je `2k=\frac{b}{a}`, tedy `k=\frac{b}{2a}`, a chybí `k^2=\frac{b^2}{4a^2}`. Přičteme ho k oběma stranám:

`x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}`

Krok 4: levou stranu zapíšeme jako čtverec, pravou převedeme na společný jmenovatel. Zlomek `\frac{c}{a}` rozšíříme číslem `4a`, aby měl jmenovatel `4a^2`:

`\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}`

V čitateli vpravo se objevil diskriminant. Rovnice teď říká: `\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{D}{4a^2}`.

Krok 5: odmocníme. Číslo, jehož druhá mocnina je `\frac{D}{4a^2}`, je buď kladná, nebo záporná odmocnina z něj, proto `\pm`:

`x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{D}}{\sqrt{4a^2}}=\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2|a|}`

Přesně vzato je `\sqrt{4a^2}=2|a|`, ne `2a`. Absolutní hodnotu ale můžeme vynechat: pro záporné `a` se jen prohodí znaménka plus a minus, a protože bereme obě, dostaneme stejná dvě čísla. Píšeme proto `\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}`.

Krok 6: osamostatníme `x`. Odečteme `\frac{b}{2a}` a oba zlomky mají stejný jmenovatel:

`\begin{gathered}x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\\[10pt]x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{gathered}`

To je celý vzorec. Stejný postup se dá zapsat i jako rozklad na součin: z kroku 4 je rozdíl dvou čtverců `\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{D}}{2a}\right)^2=0`, podle vzorce `k^2-l^2=(k-l)(k+l)` je to součin dvou závorek a každá z nich dá jeden kořen.

Příklad 1: stejné kroky s čísly

Vyřešte `2x^2+3x-2=0` doplněním na čtverec, bez vzorce.

`\begin{gathered}x^2+\dfrac{3}{2}x-1=0\\[10pt]x^2+\dfrac{3}{2}x=1\\[10pt]x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}=1+\dfrac{9}{16}\\[10pt]\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}\\[10pt]x+\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{5}{4}\end{gathered}`

Tedy `x_1=-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{1}{2}` a `x_2=-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-2`. Ve třetím řádku jsme přičetli `\left(\frac{3}{4}\right)^2`, protože `k` je polovina z `\frac{3}{2}`. Porovnejte s obecným odvozením: `D=9+16=25` a `\frac{D}{4a^2}=\frac{25}{16}`, přesně jako ve čtvrtém řádku. Zkouška: `2\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-2=0` a `2\cdot 4-6-2=0`.

Proč diskriminant rozhoduje o počtu kořenů

Stačí se podívat na krok 4:

`\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{D}{4a^2}`

Jmenovatel `4a^2` je vždy kladný, takže znaménko pravé strany určuje jen `D`. Levá strana je druhá mocnina, a ta nikdy není záporná.

• `D\gt 0`: kladné číslo má dvě odmocniny, kladnou a zápornou, a proto vyjdou dva různé kořeny.
• `D=0`: vpravo je nula, závorka musí být nula, a tak je jediný kořen `x=-\frac{b}{2a}`. Například `x^2-4x+4=0` je `(x-2)^2=0`, kořen `x=2`. Říká se mu dvojnásobný, protože obě závorky rozkladu `(x-2)(x-2)` dávají totéž.
• `D\lt 0`: druhá mocnina by se musela rovnat zápornému číslu, a to v reálných číslech nejde. Rovnice nemá řešení v `\mathbb{R}`.

Odtud i název: latinské discriminare znamená rozlišovat. Diskriminant rozliší tyto tři případy dřív, než začnete počítat kořeny.

Totéž je vidět na grafu funkce `y=ax^2+bx+c`. Ze vzorce `x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}` plyne, že oba kořeny leží souměrně kolem přímky `x=-\frac{b}{2a}`, což je osa paraboly, a to ve vzdálenosti `\frac{\sqrt{D}}{2|a|}` na každou stranu. Dosazením `x=-\frac{b}{2a}` vyjde druhá souřadnice vrcholu `y=-\frac{D}{4a}`. Pro `a\gt 0` je tedy vrchol pod osou `x` právě tehdy, když `D\gt 0`, a parabola pak osu protne dvakrát.

U `y=x^2-2x-3` je `D=4+12=16`, osa `x=\frac{2}{2}=1`, kořeny `1\pm\frac{4}{2}`, tedy `-1` a `3`, a vrchol má `y=-\frac{16}{4}=-4`. Vrchol si můžete ověřit v kalkulačce vrchol paraboly.

Příklad 2: záporný diskriminant

Má rovnice `x^2+2x+5=0` řešení?

`\begin{gathered}x^2+2x=-5\\[4pt]x^2+2x+1=-5+1\\[4pt](x+1)^2=-4\end{gathered}`

Druhá mocnina nemůže být `-4`, rovnice v `\mathbb{R}` nemá řešení. Vzorec dá totéž: `D=4-20=-16\lt 0`. V komplexních číslech by z `x+1=\pm 2i` vyšlo `x=-1\pm 2i`, víc v článku Rovnice s komplexními čísly.

Druhý způsob: odvození bez zlomků

Dělení číslem `a` v kroku 1 přináší zlomky. Jde to i bez nich, když rovnici naopak vynásobíme číslem `4a`. Tento postup se připisuje indickému matematikovi Šrídharovi (9. až 10. století) a v Indii se vzorci pro kořeny dodnes říká Šrídharův.

`\begin{gathered}4a^2x^2+4abx+4ac=0\\[4pt]4a^2x^2+4abx=-4ac\\[4pt]4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\\[4pt](2ax+b)^2=b^2-4ac\end{gathered}`

Ve třetím řádku jsme k oběma stranám přičetli `b^2`, protože `(2ax+b)^2=4a^2x^2+4abx+b^2`. Vpravo teď stojí přímo `D`, bez jmenovatele. Odmocníme a dopočítáme:

`\begin{gathered}2ax+b=\pm\sqrt{D}\\[10pt]x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\end{gathered}`

Tvar `(2ax+b)^2=D` je asi nejkratší způsob, jak si zapamatovat, co diskriminant je: když za `x` dosadíte kořen, vyjde `(2ax+b)^2` přesně `D`.

Zkrácený vzorec pro sudé b a pro normovaný tvar

Když je `b` sudé, zapíšeme ho jako `b=2m`. Pak `D=4m^2-4ac=4(m^2-ac)` a `\sqrt{D}=2\sqrt{m^2-ac}`. Dvojky se zkrátí:

`x_{1,2}=\dfrac{-m\pm\sqrt{m^2-ac}}{a},\quad m=\dfrac{b}{2}`

Pod odmocninou je čtvrtina diskriminantu, `m^2-ac=\frac{D}{4}`. Čísla pod odmocninou jsou menší a na konci se nemusí nic krátit.

Rovnici s `a=1`, tedy `x^2+px+q=0`, se říká normovaná. Z kroku 3 odvození s `a=1` plyne

`x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}`

Je to jen obecný vzorec, do kterého dosadíte `a=1`, `b=p` a `c=q`.

Příklad 3: sudé b

Vyřešte `3x^2+8x-3=0`.

Je `m=4`, tedy `m^2-ac=16-3\cdot(-3)=16+9=25`.

`\begin{gathered}x_{1,2}=\dfrac{-4\pm 5}{3}\\[10pt]x_1=\dfrac{1}{3},\quad x_2=-3\end{gathered}`

Plný vzorec dá totéž, jen s většími čísly: `D=64+36=100` a `x_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}`, což po zkrácení je opět `\frac{1}{3}` a `-3`.

Příklad 4: normovaný tvar

Vyřešte `x^2-6x+7=0`.

Je `p=-6`, `q=7`, tedy `-\frac{p}{2}=3` a `\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=9-7=2`.

`x_{1,2}=3\pm\sqrt{2}`

Kontrola odhadem: `3+1{,}41=4{,}41` a `4{,}41^2-6\cdot 4{,}41+7\doteq 19{,}45-26{,}46+7\doteq 0`. Když odmocnina nevyjde celá, nechte ji ve výsledku. Jak ji případně zjednodušit, ukazuje částečné odmocňování.

Zkouška vzorcem: Vietovy vzorce

Z odvozeného vzorce plynou dva vztahy mezi kořeny a koeficienty. Sečteme-li oba kořeny, odmocniny se odečtou:

`x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=-\dfrac{b}{a}`

Při násobení použijeme `(k+l)(k-l)=k^2-l^2`:

`x_1\cdot x_2=\dfrac{b^2-D}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}`

To jsou Vietovy vzorce. Hodí se jako rychlá kontrola: v příkladu 3 je `\frac{1}{3}+(-3)=-\frac{8}{3}=-\frac{b}{a}` a `\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1=\frac{c}{a}`, takže kořeny sedí. Opačným směrem, z kořenů zpět k rovnici, počítá kalkulačka Vietovy vzorce a rozklad na součin `a(x-x_1)(x-x_2)` kalkulačka rozklad kvadratického trojčlenu.

Příklad 5: zahrada

Obdélníková zahrada má obsah 40 m² a jedna strana je o 3 m delší než druhá. Jaké má rozměry?

Kratší stranu označíme `x`, delší je `x+3`. Pak `x(x+3)=40`, tedy `x^2+3x=40`. Doplníme na čtverec číslem `\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}`:

`\begin{gathered}\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2=40+\dfrac{9}{4}=\dfrac{169}{4}\\[10pt]x+\dfrac{3}{2}=\pm\dfrac{13}{2}\end{gathered}`

Vyjde `x=5` nebo `x=-8`. Délka nemůže být záporná, zahrada má tedy rozměry 5 m a 8 m. Zkouška: `5\cdot 8=40` a `8-5=3`. Vzorcem: `D=9+160=169` a `x_{1,2}=\frac{-3\pm 13}{2}`, stejný výsledek.

Časté chyby

• Dělení jen části čitatele. Zlomková čára ve vzorci je pod celým `-b\pm\sqrt{D}`. Zápis `-b\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}` je jiné číslo: u `x^2-5x+6=0` by dal `5\pm\frac{1}{2}` místo 3 a 2.
• Znaménko u b. Pro `b=-5` je `-b=5` a `b^2=(-5)^2=25`. Na kalkulačce zadejte `(-5)^2` se závorkou, `-5^2` dá `-25`.
• Doplnění jen na jedné straně. Číslo `k^2` přičtené vlevo musí přibýt i vpravo, jinak se rovnice změní. U `x^2+6x+5=0` by z `(x+3)^2=-5` vyšlo, že rovnice nemá řešení, přitom má kořeny `-1` a `-5`.
• Zapomenuté ±. Z `(x+3)^2=4` neplyne jen `x+3=2`. Kdo odmocní bez ±, ztratí druhý kořen `x=-5`.
• Špatné k. K výrazu `x^2+bx` se přičítá `\left(\frac{b}{2}\right)^2`, ne `b^2` ani `\frac{b}{2}`. Pro `x^2+10x` je to 25.
• Vzorec na rovnici, která není v základním tvaru. Nejdřív musí být vpravo nula. U `x^2+x=12` je `c=-12`.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kořeny kvadratické rovnice - procvičování: náhodné rovnice, kořeny zadáváte a hned vidíte, zda sedí.
• Kalkulačka kvadratické rovnice s postupem a kalkulačka diskriminantu.
• Kvadratická rovnice: postup řešení, neúplné rovnice, graf a slovní úlohy.
• Parabola: vrchol, osa a rovnice paraboly.
• Rovnice s komplexními čísly: co s rovnicí, když vyjde `D\lt 0`.
• Rovnice s odmocninou: po umocnění z nich často vyjde kvadratická rovnice.