Kvadratická rovnice je rovnice, ve které je neznámá ve druhé mocnině. Každou kvadratickou rovnici jde upravit na základní tvar `ax^2+bx+c=0`, kde `a\neq 0`. Řeší se pomocí diskriminantu `D` a vzorce pro kořeny:

`\begin{gathered}D=b^2-4ac\\[10pt]\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\end{gathered}`

Diskriminant rozhodne, kolik má rovnice řešení. Když je `D\gt 0`, má dva různé reálné kořeny. Když je `D=0`, má jediný (dvojnásobný) kořen `x=-\dfrac{b}{2a}`. Když je `D\lt 0`, nemá v reálných číslech žádné řešení.

Například v rovnici `x^2-5x+6=0` je `a=1`, `b=-5` a `c=6`. Diskriminant je `D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1`, takže kořeny jsou `x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}`, tedy `x_1=3` a `x_2=2`. Zkouška: `9-15+6=0` a `4-10+6=0`.

Kvadratické rovnice se probírají v prvním ročníku střední školy a vracejí se pak skoro všude: v rovnicích s odmocninou, v goniometrických rovnicích i ve slovních úlohách. Každý výsledek si můžete ověřit v kalkulačce kvadratické rovnice, která vypíše celý postup.

Co je kvadratická rovnice

V základním tvaru `ax^2+bx+c=0` se jednotlivé části jmenují:

  • `ax^2` je kvadratický člen, číslo `a` je jeho koeficient,
  • `bx` je lineární člen s koeficientem `b`,
  • `c` je absolutní člen (číslo bez `x`).

Koeficient `a` nesmí být nula, jinak by kvadratický člen zmizel a zbyla by lineární rovnice. Koeficienty `b` a `c` nulové být mohou. Pro představu:

  • `2x+5=0` není kvadratická rovnice, `x` tu není ve druhé mocnině.
  • `3x^2+5x-4=0` je kvadratická rovnice s `a=3`, `b=5`, `c=-4`.
  • `-x^2+2x+3=0` je kvadratická rovnice s `a=-1`. Znaménko patří ke koeficientu.
  • `x^2=9` je také kvadratická rovnice, v základním tvaru `x^2-9=0`, tedy `b=0`, `c=-9`.

Rovnice s `a=1`, tedy `x^2+px+q=0`, je v normovaném tvaru. Na každou kvadratickou rovnici jde převést vydělením koeficientem `a`.

Podle toho, které koeficienty chybějí, se rozlišuje několik druhů. Neúplné rovnice jdou vyřešit i bez diskriminantu, rychleji:

druh rovnicetvarjak ji řešit
úplná`ax^2+bx+c=0`diskriminant a vzorec
bez absolutního členu`ax^2+bx=0`vytknout `x`
ryze kvadratická`ax^2+c=0`osamostatnit `x^2`
normovaná`x^2+px+q=0`diskriminant nebo Vietovy vzorce

Diskriminant: vzorec a co z něj poznáte

Vzorec pro diskriminant kvadratické rovnice je

`D=b^2-4ac`

Diskriminant je právě to číslo, které ve vzorci pro kořeny stojí pod odmocninou. Proto z něj poznáte počet řešení dřív, než kořeny začnete počítat. Druhá odmocnina ze záporného čísla v reálných číslech neexistuje, a znaménko `\pm` dává dva různé výsledky jen tehdy, když je odmocnina nenulová.

diskriminantpočet reálných kořenůkořenyparabola `y=ax^2+bx+c`
`D\gt 0`dva různé`x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}`protne osu `x` ve dvou bodech
`D=0`jeden (dvojnásobný)`x=-\dfrac{b}{2a}`dotkne se osy `x` vrcholem
`D\lt 0`žádnýv `\mathbb{R}` nejsouosu `x` neprotne

Pozor na záporné `b`: `b^2` nikdy nevyjde záporné, `(-5)^2=25`. Na kalkulačce se `-5^2` bez závorky spočítá jako `-25` a diskriminant vyjde špatně. Samotný diskriminant spočítá i kalkulačka diskriminantu, která rozepíše `b^2` a `4ac` zvlášť.

Vzorec pro kořeny a postup řešení

Kvadratickou rovnici vyřešíte vždy stejně, ve čtyřech krocích:

  1. Upravte rovnici na základní tvar `ax^2+bx+c=0`, na pravé straně musí být nula.
  2. Vypište koeficienty `a`, `b`, `c` i se znaménky.
  3. Spočítejte diskriminant `D=b^2-4ac`. Když je záporný, jste hotoví: reálné řešení neexistuje.
  4. Dosaďte do vzorce `x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}` a udělejte zkoušku.

Příklad 1: dva kořeny

Vyřešte rovnici `2x^2+3x-2=0`.

Koeficienty jsou `a=2`, `b=3`, `c=-2`.

`\begin{gathered}D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\\[10pt]\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm 5}{4}\\[10pt]\displaystyle x_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\\[10pt]\displaystyle x_2=\frac{-3-5}{4}=-2\end{gathered}`

Zkouška pro `x_2=-2`: `2\cdot 4+3\cdot(-2)-2=8-6-2=0`. Pro `x_1=\frac{1}{2}` vyjde `2\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2=0`. Kořen nemusí vyjít celý, zlomek je úplně v pořádku.

Příklad 2: diskriminant je nula

Vyřešte rovnici `4x^2-12x+9=0`.

`\begin{gathered}D=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0\\[10pt]\displaystyle x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\end{gathered}`

Rovnice má jediný kořen `x=\frac{3}{2}`. Říká se mu dvojnásobný, protože levá strana je druhá mocnina: `4x^2-12x+9=(2x-3)^2`, a ta je nulová jen pro `x=\frac{3}{2}`.

Příklad 3: diskriminant je záporný

Vyřešte rovnici `x^2+2x+5=0`.

`D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16`

Diskriminant je záporný, rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V komplexních číslech řešení má, `x_{1,2}=-1\pm 2i`. Jak se k nim dojde, ukazuje článek Rovnice s komplexními čísly. Ve škole se ale bez upozornění vždy myslí reálná čísla a správná odpověď je „rovnice nemá řešení“.

Příklad 4: kořeny s odmocninou

Vyřešte rovnici `x^2-4x+1=0`.

`\begin{gathered}D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12\\[10pt]\displaystyle x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\end{gathered}`

Diskriminant není druhá mocnina celého čísla, a tak kořeny vyjdou iracionální: `x_1=2+\sqrt{3}\doteq 3{,}73` a `x_2=2-\sqrt{3}\doteq 0{,}27`. Úprava `\sqrt{12}=2\sqrt{3}` je částečné odmocňování. Pak se dvojkou dělí celý čitatel, tedy obě jeho části.

Příklad 5: rovnice, která není v základním tvaru

Vyřešte rovnici `(x+1)^2=3x+7`.

Nejdřív roznásobíme a všechno převedeme na levou stranu:

`\begin{gathered}x^2+2x+1=3x+7\\[10pt]x^2-x-6=0\\[10pt]D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25\\[10pt]\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}\\[10pt]x_1=3,\quad x_2=-2\end{gathered}`

Zkouška se dělá v původní rovnici: pro `x=3` je vlevo `4^2=16` a vpravo `9+7=16`, pro `x=-2` je vlevo `(-1)^2=1` a vpravo `-6+7=1`.

Neúplné kvadratické rovnice

Když chybí lineární nebo absolutní člen, diskriminant sice funguje také, ale rychlejší je jiný postup.

Příklad 6: rovnice bez absolutního členu

Vyřešte rovnici `4x^2+4x=0`.

Vytkneme `4x` a využijeme, že součin je nulový, právě když je nulový aspoň jeden činitel:

`\begin{gathered}4x(x+1)=0\\[4pt]x_1=0,\qquad x_2=-1\end{gathered}`

Rovnice bez absolutního členu má vždy kořen `x=0` a druhý `x=-\frac{b}{a}`. Přes diskriminant by vyšlo totéž: `D=16`, `x_{1,2}=\frac{-4\pm 4}{8}`.

Příklad 7: ryze kvadratická rovnice

Vyřešte rovnici `2x^2-18=0`.

`\begin{gathered}2x^2=18\\[4pt]x^2=9\\[4pt]x_{1,2}=\pm 3\end{gathered}`

Druhá mocnina dává 9 pro `3` i pro `-3`, oba kořeny patří do výsledku. Kdyby vyšlo `x^2` záporné, třeba `x^2=-4`, rovnice by v reálných číslech řešení neměla.

Vietovy vzorce a rozklad na součin

Kořeny kvadratické rovnice spolu s koeficienty souvisejí dvěma vztahy, kterým se říká Vietovy vzorce:

`\begin{gathered}\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\[10pt]\displaystyle x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\end{gathered}`

U normované rovnice `x^2+px+q=0` je to ještě jednodušší: součet kořenů je `-p` a součin `q`. Proto se kořeny jednoduchých rovnic dají uhodnout z hlavy. U `x^2-5x+6=0` hledáte dvě čísla se součinem 6 a součtem 5, a to jsou 2 a 3. U `x^2+x-12=0` hledáte součin `-12` a součet `-1`, a to jsou 3 a `-4`.

Stejné vzorce jsou nejrychlejší kontrola výsledku. V příkladu 1 vyšlo `\frac{1}{2}` a `-2`: součet `-\frac{3}{2}` je opravdu `-\frac{b}{a}` a součin `-1` je `\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}`. Obráceně z kořenů složí rovnici kalkulačka Vietových vzorců.

Když znáte kořeny, jde kvadratický trojčlen rozložit na součin kořenových činitelů:

`ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)`

Z příkladu 1 tak plyne

`\displaystyle \begin{aligned}2x^2+3x-2&=2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+2)\\[6pt]&=(2x-1)(x+2)\end{aligned}`

Rozklad se hodí při krácení lomených výrazů a při řešení nerovnic. Udělá ho i kalkulačka rozkladu trojčlenu.

Graf: kořeny jsou průsečíky paraboly s osou x

Grafem kvadratické funkce `y=ax^2+bx+c` je parabola. Kořeny rovnice `ax^2+bx+c=0` jsou právě ta `x`, ve kterých je `y=0`, tedy `x`-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou `x`. Tři obrázky níže se liší jen absolutním členem, a tím i diskriminantem:

2−4−224 V[1; −4]−13
`y=x^2-2x-3`, `D=16`
2−4−224 V[1; 0]
`y=x^2-2x+1`, `D=0`
2−4−224 V[1; 1]
`y=x^2-2x+2`, `D=-4`

Vlevo je `D=16` a parabola protíná osu ve dvou bodech, `x=-1` a `x=3`. Uprostřed je `D=0` a parabola se osy dotýká jen vrcholem. Vpravo je `D=-4` a parabola leží celá nad osou, rovnice `x^2-2x+2=0` řešení nemá.

Když rovnice kořeny má, leží vrchol paraboly uprostřed mezi nimi: jeho `x`-ová souřadnice `-\frac{b}{2a}` je podle Vietových vzorců průměr kořenů. U vlevo nakreslené paraboly je to `\frac{-1+3}{2}=1`. Když `a\gt 0`, parabola je otevřená nahoru, když `a\lt 0`, dolů. Vrchol si můžete spočítat v kalkulačce vrcholu paraboly a procvičit v procvičování vrcholu paraboly. Kde parabola leží pod osou nebo nad ní, řeší kvadratická nerovnice.

Odkud se vzorec bere

Vzorec pro kořeny vznikne doplněním na čtverec. Rovnici vydělíme `a`, první dva členy doplníme na druhou mocninu dvojčlenu a zbytek převedeme doprava:

`\begin{gathered}\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\[10pt]\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\[10pt]\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[10pt]\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{gathered}`

Odečtením `\frac{b}{2a}` vyjde vzorec `x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}`. Ve třetím řádku je vidět, proč rozhoduje právě diskriminant: vlevo stojí druhá mocnina, která nemůže být záporná, a tak při `D\lt 0` rovnost nastat nemůže. Každý krok podrobně rozebírá článek Odvození vztahu pro výpočet kvadratické rovnice.

Slovní úlohy na kvadratickou rovnici

Ve slovní úloze vyjdou často dva kořeny, oba ale nemusí dávat smysl. Každý kořen proto porovnejte se zadáním.

Příklad 8: dvě po sobě jdoucí čísla

Součin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je 132. Která to jsou?

Menší číslo označíme `n`, větší je `n+1`:

`\begin{gathered}n(n+1)=132\\[10pt]n^2+n-132=0\\[10pt]D=1+528=529=23^2\\[10pt]\displaystyle n_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{2}\\[10pt]n_1=11,\quad n_2=-12\end{gathered}`

Číslo `-12` není přirozené, a proto vyhovuje jen `n=11`. Hledaná čísla jsou 11 a 12, zkouška `11\cdot 12=132`.

Příklad 9: vyhozený míč

Míč vyhozený svisle vzhůru je po `t` sekundách ve výšce `h=20t-5t^2` metrů. Kdy je ve výšce 15 metrů?

`\begin{gathered}20t-5t^2=15\\[10pt]5t^2-20t+15=0\qquad |:5\\[10pt]t^2-4t+3=0\\[10pt]D=16-12=4\\[10pt]\displaystyle t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}\\[10pt]t_1=3,\quad t_2=1\end{gathered}`

Tady platí oba kořeny. Po 1 sekundě je míč ve výšce 15 m cestou nahoru, po 3 sekundách cestou dolů. Zkouška: `h(1)=20-5=15` a `h(3)=60-45=15`. Vydělit rovnici na začátku společným dělitelem koeficientů se vyplatí vždy, čísla v diskriminantu jsou pak menší.

Časté chyby

  • Rovnice není v základním tvaru. Vzorec platí jen pro `ax^2+bx+c=0`. U `x^2+x=12` je `c=-12`, ne 12 a ne 0.
  • Znaménko u `b`. Pro `b=-5` je `-b=5` a `b^2=25`. Záporné `b` pište do vzorce vždy v závorce.
  • Koeficient `a` patří k mocnině, ne k pořadí. V rovnici `3+2x-x^2=0` je `a=-1`, `b=2`, `c=3`. Nejjistější je rovnici nejdřív přerovnat, nebo celou vynásobit `-1` na `x^2-2x-3=0`. Kořeny `3` a `-1` vyjdou v obou případech stejné.
  • `2a` dělí celý čitatel. Ne `-b\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a}`, ale `\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}`.
  • Dělení neznámou. Kdo rovnici `4x^2+4x=0` vydělí `x`, dostane jen `x=-1` a kořen `0` ztratí. Vytýkejte, nedělte.
  • Zapomenuté `\pm`. Z `x^2=9` plyne `x=3` nebo `x=-3`.
  • „Nemá řešení“ bez upřesnění. Při `D\lt 0` nemá rovnice řešení v reálných číslech. Když úloha výslovně chce komplexní čísla, řešení má.

Příklady k procvičení

Další rovnice s okamžitou kontrolou odpovědi najdete v procvičování kořenů kvadratické rovnice.

1. Vyřešte rovnici `x^2-7x+10=0`.

2. Vyřešte rovnici `3x^2-12=0`.

3. Vyřešte rovnici `5x^2+15x=0`.

4. Bez počítání kořenů rozhodněte, kolik reálných řešení má rovnice a) `9x^2+6x+1=0`, b) `x^2-3x+4=0`, c) `2x^2+x-1=0`.

5. Vyřešte rovnici `(x-2)(x+3)=6`.

6. Obdélníková zahrada má obsah `70\ \mathrm{m^2}` a jedna její strana je o 3 m delší než druhá. Jaké má rozměry?

Kam dál