Matematika pro každého
Binomická rovnice je rovnice tvaru `x^n - a = 0`, tedy `x^n = a`, kde `a` je nenulové komplexní číslo a `n \ge 2` přirozené číslo. V množině komplexních čísel má vždy právě `n` různých kořenů a všechny dostaneme jedním vzorcem. Číslo `a` zapíšeme v goniometrickém tvaru, `a = |a|(\cos\alpha + i \sin\alpha)`, a kořeny jsou
`\begin{gathered}x_k = \sqrt[n]{|a|}\left(\cos\dfrac{\alpha + 2k\pi}{n} + i \sin\dfrac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) \\[10pt] k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\end{gathered}`
Kořeny leží v Gaussově rovině na kružnici se středem v počátku a poloměrem `\sqrt[n]{|a|}` a tvoří vrcholy pravidelného `n`-úhelníku. Níže je postup krok za krokem, řešené příklady, druhá odmocnina z komplexního čísla bez goniometrie a kvadratické rovnice s komplexními koeficienty.
Předpokládáme, že umíte počítat s komplexními čísly v algebraickém tvaru (článek Algebraický tvar komplexního čísla) a převést číslo do goniometrického tvaru (Goniometrický tvar komplexního čísla).
Co je binomická rovnice
Binomická rovnice má na jedné straně jen mocninu neznámé a na druhé jen číslo. Binomické jsou například
`\begin{gathered}x^3 = 8, \quad x^4 + 16 = 0 \\[6pt] x^2 = 2i, \quad x^6 = 1\end{gathered}`
Rovnice `x^3 + x = 2` binomická není, protože v ní je neznámá ve dvou různých mocninách. Rovnice `x^4 + 16 = 0` binomická je, jen ji nejdřív přepíšeme na `x^4 = -16`, takže `a = -16`.
V reálných číslech má rovnice `x^3 = 8` jediný kořen 2 a rovnice `x^4 = -16` žádný. V komplexních číslech mají obě plný počet kořenů: první tři, druhá čtyři. Řešit binomickou rovnici tedy znamená najít všech `n` čísel, jejichž `n`-tá mocnina je `a`, neboli všechny `n`-té odmocniny z čísla `a`.
Jak řešit binomickou rovnici
- Rovnici upravte na tvar `x^n = a`.
- Číslo `a` převeďte do goniometrického tvaru: spočítejte `|a|` a argument `\alpha`, úhel v intervalu `\langle 0;\ 2\pi)`.
- Dosaďte do vzorce postupně `k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1`.
- Pokud to jde, převeďte kořeny do algebraického tvaru `p + qi` a jeden z nich zkontrolujte umocněním.
Odkud vzorec je
Neznámou zapíšeme v goniometrickém tvaru `x = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)` a umocníme podle Moivreovy věty:
`r^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi) = |a|(\cos\alpha + i \sin\alpha)`
Dvě komplexní čísla v goniometrickém tvaru se rovnají, když mají stejnou absolutní hodnotu a jejich argumenty se liší o celý násobek `2\pi`. Proto
`\begin{gathered}r^n = |a| \quad\Rightarrow\quad r = \sqrt[n]{|a|} \\[10pt] n\varphi = \alpha + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad \varphi = \dfrac{\alpha + 2k\pi}{n}\end{gathered}`
Pro `k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1` vyjdou různé úhly. Pro `k = n` vyjde `\dfrac{\alpha}{n} + 2\pi`, tedy stejný bod jako pro `k = 0`, a dál se kořeny jen opakují. Proto je kořenů právě `n`.
Kořeny v Gaussově rovině
Všechny kořeny mají stejnou absolutní hodnotu `\sqrt[n]{|a|}`, leží tedy na jedné kružnici se středem v počátku. První kořen má argument `\dfrac{\alpha}{n}` a každý další je o `\dfrac{2\pi}{n}` dál. Kořeny proto rozdělí kružnici na `n` stejných dílů a jsou vrcholy pravidelného `n`-úhelníku: pro `n = 3` rovnostranného trojúhelníku, pro `n = 4` čtverce, pro `n = 6` šestiúhelníku.
Prakticky to znamená, že stačí najít jeden kořen a ostatní dostanete otáčením o `\dfrac{2\pi}{n}`. Když je `a` reálné číslo, kořeny jsou navíc souměrné podle reálné osy, tedy po dvou komplexně sdružené.
Binomické rovnice: řešené příklady
Příklad 1
V množině komplexních čísel řešte `x^4 = 16`.
Číslo `a = 16` je kladné reálné, takže `|a| = 16` a `\alpha = 0`. Poloměr je `\sqrt[4]{16} = 2` a úhly jsou `\dfrac{0 + 2k\pi}{4} = \dfrac{k\pi}{2}`:
`\begin{gathered}x_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2 \\[10pt] x_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i \sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 2i \\[10pt] x_2 = 2(\cos\pi + i \sin\pi) = -2 \\[10pt] x_3 = 2\left(\cos\dfrac{3\pi}{2} + i \sin\dfrac{3\pi}{2}\right) = -2i\end{gathered}`
Kontrola jinou cestou: `x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)`. První závorka dá `\pm 2`, druhá `x^2 = -4`, tedy `\pm 2i`. Reálná čísla by našla jen polovinu kořenů.
Příklad 2
Řešte rovnici `x^3 + 27 = 0`.
Přepíšeme ji na `x^3 = -27`, takže `a = -27`. Záporné reálné číslo leží v Gaussově rovině na záporné reálné poloose, má argument `\pi`:
`-27 = 27(\cos\pi + i \sin\pi)`
Poloměr je `\sqrt[3]{27} = 3` a úhly `\dfrac{\pi + 2k\pi}{3}` pro `k = 0,\ 1,\ 2` vyjdou `\dfrac{\pi}{3}`, `\pi` a `\dfrac{5\pi}{3}`:
`\begin{gathered}x_0 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i \\[10pt] x_1 = 3(\cos\pi + i \sin\pi) = -3 \\[10pt] x_2 = 3\left(\cos\dfrac{5\pi}{3} + i \sin\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i\end{gathered}`
Reálný kořen `-3` jsme čekali, protože `(-3)^3 = -27`. Zbylé dva jsou komplexně sdružené, jak to u reálného `a` má být. Body tvoří rovnostranný trojúhelník vepsaný do kružnice o poloměru 3:
Příklad 3
Řešte rovnici `x^4 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i`.
Absolutní hodnota pravé strany:
`|a| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 1`
Reálná i imaginární část jsou záporné, číslo tedy leží ve 3. kvadrantu. Platí `\cos\alpha = -\dfrac{1}{2}` a `\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}`, a to je úhel `\alpha = \dfrac{4\pi}{3}`. Poloměr je `\sqrt[4]{1} = 1` a úhly jsou
`\varphi_k = \dfrac{\frac{4\pi}{3} + 2k\pi}{4} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k\pi}{2}`
Pro `k = 0,\ 1,\ 2,\ 3` vyjde `\dfrac{\pi}{3}`, `\dfrac{5\pi}{6}`, `\dfrac{4\pi}{3}` a `\dfrac{11\pi}{6}`:
`\begin{gathered}x_0 = \cos\dfrac{\pi}{3} + i \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i \\[10pt] x_1 = \cos\dfrac{5\pi}{6} + i \sin\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\,i \\[10pt] x_2 = \cos\dfrac{4\pi}{3} + i \sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i \\[10pt] x_3 = \cos\dfrac{11\pi}{6} + i \sin\dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\,i\end{gathered}`
Tady kořeny sdružené nejsou, protože pravá strana není reálná. Zajímavost: `x_2` je samo číslo `a`. Platí totiž `a^3 = 1`, takže `a^4 = a`. Čtyři kořeny tvoří čtverec na jednotkové kružnici:
Odmocniny z jedničky
Rovnice `x^n = 1` se objevuje tak často, že se vyplatí znát její kořeny nazpaměť. Je to případ `|a| = 1`, `\alpha = 0`, takže `x_k = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i \sin\dfrac{2k\pi}{n}` a jedním z kořenů je vždy číslo 1.
| rovnice | kořeny |
|---|---|
| `x^2 = 1` | `1,\ \ -1` |
| `x^3 = 1` | `1,\ \ -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i` |
| `x^4 = 1` | `1,\ \ i,\ \ -1,\ \ -i` |
| `x^6 = 1` | `\pm 1,\ \ \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i,\ \ -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i` |
Kořeny rovnice `x^n = a` dostanete, když jeden její kořen vynásobíte postupně všemi kořeny rovnice `x^n = 1`. Například `x^3 = 8` má kořen 2, a tedy kořeny `2` a `-1 \pm \sqrt{3}\,i`.
Druhá odmocnina z komplexního čísla
Rovnice `x^2 = a` je binomická rovnice pro `n = 2`, takže ji vzorec vyřeší. Jenže když argument čísla `a` není pěkný úhel, vede goniometrický tvar jen na přibližné hodnoty. Přesnější je algebraická cesta: hledáme `x = p + qi` s reálnými `p,\ q`.
Příklad 4
Řešte rovnici `x^2 = -8 + 6i`.
Argument čísla `-8 + 6i` je asi `143^{\circ}8'`, s tím by se počítalo špatně. Dosadíme proto `x = p + qi`:
`(p + qi)^2 = p^2 - q^2 + 2pq\,i = -8 + 6i`
Porovnáme reálné a imaginární části. Třetí rovnici přidáme navíc: absolutní hodnota druhé mocniny je druhá mocnina absolutní hodnoty, takže `p^2 + q^2 = |x|^2 = |-8 + 6i| = 10`.
`\begin{aligned}p^2 - q^2 &= -8 \\ 2pq &= 6 \\ p^2 + q^2 &= 10\end{aligned}`
Sečtením první a třetí rovnice vyjde `2p^2 = 2`, tedy `p^2 = 1`. Odečtením vyjde `2q^2 = 18`, tedy `q^2 = 9`. Z druhé rovnice `pq = 3`, takže `p` a `q` mají stejné znaménko: buď `p = 1,\ q = 3`, nebo `p = -1,\ q = -3`.
`x_1 = 1 + 3i, \quad x_2 = -1 - 3i`
Zkouška: `(1 + 3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = -8 + 6i`. Oba kořeny se liší jen znaménkem, jako u každé rovnice `x^2 = a`.
Obecně pro `a = c + di` vychází
`p^2 = \dfrac{|a| + c}{2}, \quad q^2 = \dfrac{|a| - c}{2}`
a znaménka `p`, `q` volíme tak, aby součin `pq` měl stejné znaménko jako `d`.
Kvadratická rovnice se záporným diskriminantem
Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty a záporným diskriminantem má dva komplexní kořeny. Řeší se stejným vzorcem jako v reálných číslech, jen odmocninu ze záporného čísla zapíšeme pomocí `i`.
Příklad 5
Řešte `4x^2 - 8x + 5 = 0`.
`\begin{gathered}D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16 \\[10pt] \sqrt{D} = \sqrt{-16} = 4i \\[10pt] x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4i}{8} = 1 \pm \dfrac{1}{2}\,i\end{gathered}`
Kořeny `1 + \frac{1}{2}i` a `1 - \frac{1}{2}i` jsou komplexně sdružené. Tak to dopadne vždy, když jsou koeficienty reálné a `D \lt 0`. Výsledek si můžete ověřit na kalkulačce kvadratické rovnice, která komplexní kořeny vypíše i s postupem; zadává se do ní ale jen s reálnými koeficienty. Víc příkladů tohoto druhu je v článku Algebraický tvar komplexního čísla.
Příklad 6
Jedním kořenem kvadratické rovnice s reálnými koeficienty je `3 - 6i`. Sestavte ji.
Druhý kořen musí být sdružený, `3 + 6i`. Rovnici s kořeny `x_1`, `x_2` lze zapsat jako `(x - x_1)(x - x_2) = 0`, tedy `x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0`:
`\begin{gathered}x_1 + x_2 = 6 \\[6pt] x_1 x_2 = (3 - 6i)(3 + 6i) = 9 + 36 = 45 \\[6pt] x^2 - 6x + 45 = 0\end{gathered}`
Zkouška diskriminantem: `D = 36 - 180 = -144`, `\sqrt{D} = 12i` a `x_{1,2} = \dfrac{6 \pm 12i}{2} = 3 \pm 6i`.
Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty
Když jsou koeficienty `a,\ b,\ c` komplexní čísla, platí pořád stejný vzorec, jen výraz `\sqrt{D}` znamená libovolné komplexní číslo `w`, pro které `w^2 = D`:
`\begin{gathered}D = b^2 - 4ac \\[10pt] x_{1,2} = \dfrac{-b \pm w}{2a}, \quad \text{kde } w^2 = D\end{gathered}`
Čísla `w` s `w^2 = D` jsou dvě a liší se znaménkem. Je jedno, které vezmete, díky `\pm` vyjdou stejné dva kořeny. Číslo `w` najdete jako v příkladu 4. Vzorec platí ze stejného důvodu jako v reálných číslech: doplněním na čtverec dostaneme `(2ax + b)^2 = D`, což je binomická rovnice pro `2ax + b`.
Příklad 7
Řešte rovnici `x^2 + (5i - 3)x - 4 - 8i = 0`.
Koeficienty jsou `a = 1`, `b = -3 + 5i`, `c = -4 - 8i`.
`\begin{gathered}\begin{aligned}b^2 &= (-3 + 5i)^2 \\ &= 9 - 30i + 25i^2 = -16 - 30i\end{aligned} \\[6pt] -4ac = -4(-4 - 8i) = 16 + 32i \\[6pt] D = -16 - 30i + 16 + 32i = 2i\end{gathered}`
Hledáme `w = p + qi` s `w^2 = 2i`. Je `|2i| = 2`, takže `p^2 - q^2 = 0`, `p^2 + q^2 = 2` a `2pq = 2`. Odtud `p^2 = q^2 = 1` a `pq = 1`, tedy `w = 1 + i`. Kontrola: `(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i`.
`\begin{gathered}x_{1,2} = \dfrac{3 - 5i \pm (1 + i)}{2} \\[10pt] x_1 = \dfrac{4 - 4i}{2} = 2 - 2i \\[10pt] x_2 = \dfrac{2 - 6i}{2} = 1 - 3i\end{gathered}`
Zkouška přes Vietovy vzorce: součet kořenů má být `-b = 3 - 5i` a opravdu `(2 - 2i) + (1 - 3i) = 3 - 5i`. Součin má být `c = -4 - 8i`:
`\begin{aligned}(2 - 2i)(1 - 3i) &= 2 - 6i - 2i + 6i^2 \\ &= -4 - 8i\end{aligned}`
Kořeny nejsou komplexně sdružené. Pravidlo o sdružených kořenech platí jen pro rovnice s reálnými koeficienty.
Příklad 8
Řešte rovnici `x^2 - (3 + 2i)x + 5 + i = 0`.
`\begin{gathered}b^2 = (3 + 2i)^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i \\[6pt] 4ac = 4(5 + i) = 20 + 4i \\[6pt] D = 5 + 12i - 20 - 4i = -15 + 8i\end{gathered}`
Pro `w = p + qi`: `|D| = \sqrt{225 + 64} = 17`, takže `p^2 = \dfrac{17 - 15}{2} = 1` a `q^2 = \dfrac{17 + 15}{2} = 16`. Imaginární část `D` je kladná, tedy `pq \gt 0` a `w = 1 + 4i`. Kontrola: `(1 + 4i)^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i`.
`\begin{gathered}x_{1,2} = \dfrac{3 + 2i \pm (1 + 4i)}{2} \\[10pt] x_1 = \dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i \\[10pt] x_2 = \dfrac{2 - 2i}{2} = 1 - i\end{gathered}`
Zkouška: součet `3 + 2i` sedí, součin `(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i + 3 = 5 + i` také.
Vzorce pro rovnice s komplexními čísly
Moivreova věta
`\begin{gathered}z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \\[6pt] z^n = r^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi)\end{gathered}`
Binomická rovnice `x^n = a`, `a = |a|(\cos\alpha + i\sin\alpha)`
`\begin{gathered}x_k = \sqrt[n]{|a|}\left(\cos\dfrac{\alpha + 2k\pi}{n} + i \sin\dfrac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) \\[10pt] k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\end{gathered}`
Druhá odmocnina `p + qi` z čísla `a = c + di`
`\begin{gathered}p^2 = \dfrac{|a| + c}{2}, \quad q^2 = \dfrac{|a| - c}{2} \\[10pt] \text{znaménko } pq \text{ jako znaménko } d\end{gathered}`
Kvadratická rovnice `ax^2 + bx + c = 0`
`x_{1,2} = \dfrac{-b \pm w}{2a}, \quad w^2 = b^2 - 4ac`
Vietovy vzorce
`x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}`
Rovnice ze dvou kořenů
`(x - x_1)(x - x_2) = 0`
Časté chyby
- Jen jeden kořen. Rovnice `x^3 = 8` nemá v komplexních číslech jen kořen 2, má tři. Kdo spočítá jen `k = 0`, má třetinu výsledku.
- Kořen navíc. Pro `k = n` vyjde znovu `x_0`. Kořenů je právě `n`, `k` jde od 0 do `n - 1`.
- Odmocnina z `a` místo z `|a|`. Poloměr je `\sqrt[n]{|a|}`, kladné reálné číslo. U `x^3 = -27` je to 3, ne `-3`; znaménko obstará argument `\pi`.
- Argument ve špatném kvadrantu. Pro `a = -1 + i` dá `\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{-1}` úhel `-\dfrac{\pi}{4}`, ale číslo leží ve 2. kvadrantu a jeho argument je `\dfrac{3\pi}{4}`. Vždy se podívejte na znaménka reálné a imaginární části.
- Dělení jen argumentu. Do vzorce patří `\dfrac{\alpha + 2k\pi}{n}`, ne `\dfrac{\alpha}{n} + 2k\pi`. Druhý zápis dává pro všechna `k` stejný bod.
- Sdružené kořeny u komplexních koeficientů. Z kořene `2 + 3i` nelze usoudit, že kořenem je i `2 - 3i`, pokud rovnice nemá reálné koeficienty. V příkladu 8 je druhý kořen `1 - i`.
- Odmocňování po částech. `\sqrt{-8 + 6i}` není `\sqrt{-8} + \sqrt{6i}`. Odmocnina se součtem nijak nerozkládá; použijte soustavu pro `p` a `q`.
Příklady k procvičení
1. V množině komplexních čísel řešte `x^2 + 6x + 13 = 0`.
`D = 36 - 52 = -16`, takže `\sqrt{D} = 4i`.
`x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i`
Kořeny jsou komplexně sdružené, protože koeficienty jsou reálné.
2. Řešte binomickou rovnici `x^3 = -8` a kořeny zapište v algebraickém tvaru.
`-8 = 8(\cos\pi + i \sin\pi)`, poloměr `\sqrt[3]{8} = 2`, úhly `\dfrac{\pi}{3}`, `\pi`, `\dfrac{5\pi}{3}`.
`x_0 = 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i\right) = 1 + \sqrt{3}\,i`
`x_1 = -2`
`x_2 = 1 - \sqrt{3}\,i`
Zkouška pro `x_0`: `(1 + \sqrt{3}\,i)^2 = -2 + 2\sqrt{3}\,i` a `(-2 + 2\sqrt{3}\,i)(1 + \sqrt{3}\,i) = -2 - 6 = -8`.
3. Řešte rovnici `x^4 + 16 = 0`.
`x^4 = -16 = 16(\cos\pi + i \sin\pi)`, poloměr `\sqrt[4]{16} = 2`.
Úhly `\dfrac{\pi + 2k\pi}{4}` jsou `\dfrac{\pi}{4}`, `\dfrac{3\pi}{4}`, `\dfrac{5\pi}{4}`, `\dfrac{7\pi}{4}`.
`x_0 = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2}\,i`
Ostatní kořeny se liší jen znaménky: `-\sqrt{2} + \sqrt{2}\,i`, `-\sqrt{2} - \sqrt{2}\,i`, `\sqrt{2} - \sqrt{2}\,i`. Leží ve vrcholech čtverce na kružnici o poloměru 2.
4. Najděte všechna komplexní čísla, jejichž druhá mocnina je `3 - 4i`.
Hledáme `x = p + qi`. Je `|3 - 4i| = 5`, takže `p^2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4` a `q^2 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1`.
Z imaginární části `2pq = -4`, tedy `pq \lt 0` a znaménka jsou opačná: `x = 2 - i` nebo `x = -2 + i`.
Zkouška: `(2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 3 - 4i`.
5. Řešte rovnici `x^2 - (2 + i)x + 2i = 0`.
`D = (2 + i)^2 - 4 \cdot 2i = 3 + 4i - 8i = 3 - 4i`
Podle předchozího příkladu je `w = 2 - i`.
`x_{1,2} = \dfrac{2 + i \pm (2 - i)}{2}`, tedy `x_1 = 2` a `x_2 = i`.
Zkouška: součet `2 + i` a součin `2i` odpovídají koeficientům.
6. Vrcholy pravidelného šestiúhelníku se středem v počátku Gaussovy roviny jsou kořeny binomické rovnice. Jeden vrchol je v bodě `2i`. Jakou rovnici řeší, a jaké jsou ostatní vrcholy?
Všechny vrcholy mají stejnou šestou mocninu, protože jsou kořeny rovnice `x^6 = a`. Stačí tedy umocnit známý vrchol: `(2i)^6 = 64\,i^6 = -64`. Rovnice je `x^6 = -64`, neboli `x^6 + 64 = 0`.
Vrchol `2i` má argument `\dfrac{\pi}{2}`, ostatní jsou po `\dfrac{\pi}{3}` na kružnici o poloměru 2: `\pm 2i`, `\pm\sqrt{3} + i` a `\pm\sqrt{3} - i`.
Kam dál
- Algebraický tvar komplexního čísla - počítání s `a + bi`, sdružené číslo, absolutní hodnota a jednodušší rovnice.
- Goniometrický tvar komplexního čísla - jak najít argument a Moivreova věta, na které stojí vzorec pro binomickou rovnici.
- Kvadratická rovnice - diskriminant, vzorec a Vietovy vzorce v reálných číslech.
- Kalkulačka kvadratické rovnice - při záporném diskriminantu vypíše i komplexní kořeny.