Články » SŠ Matematika

Rovnice s komplexními čísly

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 56 184

Vyřešíme binomické rovnice s komplexními čísly a kvadratické rovnice.


Několik rovnic s komplexními čísly jsme již spočítali v článku Algebraický tvar komplexního čísla. Zde se zaměříme na složitější typy rovnic jako je binomická rovnice nebo kvadratická rovnice s komplexními koeficienty. Přesto ale spočítáme i několik lehčích příkladů.

Vyřešte rovnici 4x^2-8x+5=0. Tuto rovnici budeme řešit jako každou jinou kvadratickou rovnici - přes diskriminant

D=b^2-4ac=64-4*4*5=-16

Diskriminant je záporný → rovnice nemá řešení v množině reálných čísel. Ale to je přesně to, co potřebujeme, protože tento článek se zabývá řešením rovnic s komplexními čísly. 

D=-16=16i^2\\\sqrt{D}=4i
x_1/x_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{8\pm4i}{8}=\left\{1+\frac{1}{2}i;\ 1-\frac{1}{2}i\right\}

Získali jsme dva výsledky. Všimněte si, že výsledky jsou vlastně komplexní čísla sdružená.

Nově nabyté znalosti vyzkoušíme na dalším příkladu. Jedním kořenem rovnice je číslo 3-6i. Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty které odpovídá tento kořen.

V předchozím příkladě jsme si řekli, že výsledky jsou vlastně komplexně sdružená čísla. Jestliže tedy známe jeden kořen, snadno získáme i ten druhý.

x_1=3-6i\\x_2=3+6i

Jedním z možných předpisů kvadratické rovnice je i (x-x_1)(x-x_2)=0. Dosazením kořenů do tohoto vzorce získáme předpis rovnice. 

\begin{array}{rcl}(x-x_1)(x-x_2)&=&0\\(x-(3-6i))(x-(3+6i))&=&0\\(x-3+6i)(x-3-6i)&=&0\\x^2-3x-6ix-3x+9+18i+6ix-18i-36i^2&=&0\\x^2-6x+45&=&0\end{array}

Předpis dané rovnice je x^2-6x+45=0

Binomická rovnice

\begin{array}{rcl}x^n-a&=&0,\ \ n\ \in\ \mathbb{N}\backslash\{1\},\ x\ \in\ \mathbb{C},\ a\ \in\ \mathbb{C}\\x^n&=&a\\\left(|x|(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)\right)^n&=&|a|(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)\\|x|^n(\cos n\varphi+i\cdot\sin n\varphi)&=&|a|(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)\end{array}

Na obou stranách rovnice je komplexní číslo v goniometrickém tvaru. A ta se rovnají tehdy, rovnají-li se velikosti a argumenty komplexních čísel (argumenty se mohou lišit o libovolný násobek 2\pi). Vzniknou tedy dvě rovnice: 

\begin{array}{rcl}|x|^n&=&a\\n\varphi&=&\alpha+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\\\\\|x|&=&\sqrt[n]{|a|}\\\varphi&=&\frac{\alpha+2k\pi}{n}\end{array}

x=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),k\in\ \mathbb{Z}

Vždy tedy získáme více výsledků (pokud n ≠ 1). Počet výsledků je vždy roven exponentu n. Za proměnnou k tedy dosazujeme čísla 0, 1, 2...n-1. Platí tedy:

x=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,2,\ldots n-1

Všechny výsledky budou v Gaussově rovině ve stejné vzdálenosti od počátku - budou ležet na kružnici se středem v bodě [0;\ 0] a poloměrem \sqrt[n]{|a|}. Pokud výsledné body spojíme, dostaneme pravidelný n-úhelník. Pokud bude exponent n roven třem, bude se jednat o rovnostranný trojúhelník, pokud čtyřem, bude se jednat o čtverec atd.

Vypočítejte rovnici x^3+27=0. Jedná se o binomickou rovnici. A protože předpis binomické rovnice je x^n-a, musíme naši rovnici přepsat do tvaru x^3-(-27)=0. Nyní musíme vyjádřit číslo -27 v goniometrickém tvaru:

-27 = |27|(\cos\pi+i\cdot\sin\pi)

Dalším krokem je dosazením do vzorečku:

x=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,2,\ldots n-1
x=\sqrt[3]{|27|}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right),\ k=0,1,2
\sqrt[3]{|27|}=3
x_0=3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi}{3}\right)\\x_1=3\left(\cos\pi+i\cdot
\sin\pi\right)\\x_2=3\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{5\pi}{3}\right)

Získali jsme tři výsledky. Pokud bychom je vyznačili do Gaussovy roviny, získáme následující obrázek

Rovnice s komplexními čísly

Vyřešte rovnici x^4=-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{3}. Nejprve musíme naši rovnici převést do tvaru, ze kterého lze binomickou rovnici spočítat (xn-a=0). Rovnice tedy bude vypadat x^4-(-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{3}). 

a=-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{3}\\|a|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}3}=1\\a=|a|(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)\\a=1(\cos\frac{4}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{4}{3}\pi)

Jedná se o rovnici čtvrtého stupně → získáme čtyři různé kořeny. A získáme je dosazením do již známého vzorce:

x=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{4}\right),\ k=0,1,2,3
x_0=1(\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi)\\x_1=1(\cos\frac{5}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{6}\pi)\\x_2=1(\cos\frac{4}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{4}{3}\pi)\\x_3=1(\cos\frac{11}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{11}{6}\pi)

A opět, kdybychom výsledky zanesli do Gaussovy roviny, získáme pravidelný čtyřúhelník - čtverec.

Rovnice s komplexními čísly

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

V reálných číslech má kvadratická rovnice (přejít na článek Kvadratická rovnice) předpis ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou z množiny reálných čísel. Pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty je to obdobné. Předpis je stejný, akorát a, b, c budou z množiny komplexních čísel, nikoliv z množiny reálných čísel. Následuje odvození vzorce:

\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\4a^2x^2+4abx+4ac&=&0\\(2ax)^2+4abx+b^2-b^2+4ac&=&0\\\underbrace{(2ax+b)^2}_{y^2}-\underbrace{(b^2-4ac)}_{D}&=&0\\y^2-D&=&0\end{array}
Vznikla binomická rovnice
y=\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{2}\right),\ k = \{0,\ 1\}\\y_0=\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)\\y_1=\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\frac{2\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{2\pi}{2}\right)\\y_1=\sqrt[2]{|D|}\left(-\cos\frac{\alpha}{2}-i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)\\y_1=-\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)
Získali jsme hodnoty y_1,\ y_2. Nyní dosadíme zpět do substituce:
y=2ax+b
x_1=\frac{-b+\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}\\x_2=\frac{-b-\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}

Obecný vzorec pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty tedy je:

x=\frac{-b\pm\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}

Vyřešte rovnici x^2+x(5i-3)-4-8i=0

Kvadratická rovnice má předpis ax^2+bx+c=0. V tomto případě odpovídá koeficientům následující hodnoty:

a=1\\b=5i-3\\c=-4-8i

Obecný vzorec pro výpočet kvadratické rovnice s komplexními koeficienty je x=\frac{-b\pm\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}, kde D=b^2-4ac. Můžeme tedy přistoupit k dosazení do vzorce a vypočítání rovnice:

D=b^2-4ac=(5i-3)^2-4\cdot1\cdot(-4-8i)=(-16-30i)+16+32i=2i
Převedeme D do goniometrického tvaru
D=|D|(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)=2(\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi)
x=\frac{-b\pm\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}
x=\frac{-(5i-3)\pm\sqrt{2}(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi)}{2}=\frac{-5i+3\pm(1+i)}{2}
\fbox{x_1=2-2i\\x_2=-1-3i}

Test

Najděte asymptotu se směrnicí funkce f(x)=\frac{x+5}{\sqrt{x-5}}


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2025 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček