Komplexní číslo je číslo tvaru `z = a + bi`, kde `a` a `b` jsou reálná čísla a `i` je imaginární jednotka, pro kterou platí `i^2 = -1`. Zápisu `a + bi` se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo `a` je jeho reálná část, číslo `b` imaginární část.

`\begin{gathered}z = a + bi, \qquad i^2 = -1 \\[6pt] \mathrm{Re}\,z = a, \qquad \mathrm{Im}\,z = b\end{gathered}`

S komplexními čísly se počítá stejně jako s mnohočleny v proměnné `i`, jen všude, kde se objeví `i^2`, napíšeme `-1`. Tohle jedno pravidlo stačí na sčítání, odčítání i násobení. Na dělení potřebujeme ještě číslo komplexně sdružené a na velikost čísla absolutní hodnotu. Všechno najdete níže, každé s řešeným příkladem.

K čemu to celé je: rovnice `x^2 + 1 = 0` nemá v reálných číslech řešení, protože žádné reálné číslo na druhou nedá `-1`. V komplexních číslech má dvě řešení, `i` a `-i`. Obecně v nich má řešení každá kvadratická rovnice, i ta se záporným diskriminantem.

Co je komplexní číslo

Komplexní čísla tvoří množinu `\mathbb{C}`. Obsahuje všechna čísla, která už znáte: každé reálné číslo je komplexní číslo s imaginární částí nula (`5 = 5 + 0i`). Řada množin se tak jen prodlouží:

`\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}`

Pozor na jednu věc, na které se chybuje nejčastěji: imaginární část je číslo `b`, ne `bi`. Obě části komplexního čísla jsou reálná čísla.

čísloRe zIm zjak se mu říká
`3 + 4i``3``4`imaginární číslo
`2 - 5i``2``-5`imaginární číslo
`-7i``0``-7`ryze imaginární číslo
`i``0``1`imaginární jednotka
`6``6``0`reálné číslo

Imaginární čísla jsou komplexní čísla s nenulovou imaginární částí (`b \neq 0`). Když je navíc reálná část nulová, jde o ryze imaginární číslo, třeba `2i` nebo `-7i`. Nulovou reálnou část nepíšeme: místo `0 + 2i` stačí `2i`, místo `3 + (-5)i` píšeme `3 - 5i`.

Dvě komplexní čísla se rovnají, právě když se rovnají jejich reálné části a zároveň imaginární části:

`a + bi = c + di \iff a = c \ \text{ a zároveň } \ b = d`

Z jedné rovnice v komplexních číslech tak vzniknou dvě rovnice v reálných číslech. Toho využijeme u rovnic níže.

Na rozdíl od reálných čísel se komplexní čísla nedají uspořádat: nemá smysl ptát se, jestli je `3 + i` větší než `1 + 2i`. Porovnávat se dají jen jejich absolutní hodnoty.

Imaginární jednotka a její mocniny

Z `i^2 = -1` se dají spočítat všechny další mocniny. Každá je předchozí vynásobená `i`:

`i^1 = i \qquad i^2 = -1 \qquad i^3 = -i \qquad i^4 = 1`

Protože `i^4 = 1`, mocniny se po čtyřech opakují: `i^5 = i`, `i^6 = -1` a tak dál. Pro libovolnou mocninu tedy stačí vydělit exponent čtyřmi a podívat se na zbytek.

Příklad 1

Spočítejte `i^{2026}`.

Číslo 2026 dává po dělení čtyřmi zbytek 2 (`2026 = 4 \cdot 506 + 2`). Proto

`i^{2026} = \left(i^4\right)^{506} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1`

Stejně se dá upravit i `\dfrac{1}{i}`. Rozšíříme zlomek číslem `i` a dostaneme `\dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i`. Tuhle rovnost `\dfrac{1}{i} = -i` se vyplatí si pamatovat.

A odmocnina ze záporného čísla: `\sqrt{-4} = 2i`, protože `(2i)^2 = 4i^2 = -4`. Obecně `\sqrt{-c} = i\sqrt{c}` pro kladné `c`.

Sčítání a odčítání komplexních čísel

Sčítáme zvlášť reálné části a zvlášť imaginární části, přesně jako u mnohočlenů sčítáme členy stejného druhu:

`\begin{gathered}(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)\,i \\[6pt] (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)\,i\end{gathered}`

Příklad 2

Pro `z = 3 + 2i` a `w = 1 - 5i` spočítejte `z + w` a `z - w`.

`\begin{gathered}z + w = (3 + 1) + (2 - 5)\,i = 4 - 3i \\[6pt] z - w = (3 - 1) + (2 + 5)\,i = 2 + 7i\end{gathered}`

U odčítání pozor na znaménko: odčítáme celé číslo `1 - 5i`, takže `2 - (-5) = 7`. Když si nejste jistí, napište závorku a roznásobte ji minus jedničkou.

Násobení komplexních čísel

Závorky roznásobíme každý člen s každým a nakonec nahradíme `i^2` číslem `-1`:

`\begin{aligned}(a + bi)(c + di) &= ac + adi + bci + bd\,i^2 \\[6pt] &= (ac - bd) + (ad + bc)\,i\end{aligned}`

Vzorec si pamatovat nemusíte, stačí roznásobit.

Příklad 3

Vynásobte `(2 + 3i)(4 - i)`.

`\begin{aligned}(2 + 3i)(4 - i) &= 8 - 2i + 12i - 3i^2 \\[6pt] &= 8 + 10i + 3 \\[6pt] &= 11 + 10i\end{aligned}`

Kontrola přes vzorec: `ac - bd = 2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 11`, `ad + bc = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = 10`. Sedí.

Druhá a třetí mocnina: (a + bi)² a (a + bi)³

Mocniny počítáme podle stejných vzorců jako `(a + b)^2` a `(a + b)^3` u reálných čísel, jen druhý člen je `bi` a jeho mocniny se zjednoduší přes `i^2 = -1` a `i^3 = -i`:

`\begin{aligned}(a + bi)^2 &= a^2 + 2abi + b^2 i^2 \\[6pt] &= (a^2 - b^2) + 2ab\,i \\[14pt] (a + bi)^3 &= (a^3 - 3ab^2) + (3a^2 b - b^3)\,i\end{aligned}`

Příklad 4

Spočítejte `(1 + i)^2` a `(1 + 2i)^3`.

`(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i`

Třetí mocninu je nejbezpečnější spočítat nadvakrát: nejdřív druhou mocninu, pak ji vynásobit ještě jednou.

`\begin{gathered}(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = -3 + 4i \\[6pt] \begin{aligned}(1 + 2i)^3 &= (-3 + 4i)(1 + 2i) \\[6pt] &= -3 - 6i + 4i + 8i^2 \\[6pt] &= -11 - 2i\end{aligned}\end{gathered}`

Podle vzorce s `a = 1`, `b = 2`: `a^3 - 3ab^2 = 1 - 12 = -11` a `3a^2 b - b^3 = 6 - 8 = -2`. Vyšlo totéž.

Komplexně sdružené číslo

Číslo komplexně sdružené k číslu `z = a + bi` má stejnou reálnou část a opačnou imaginární část. Značí se pruhem nad písmenem:

`\overline{z} = \overline{a + bi} = a - bi`

Například `\overline{2 + 3i} = 2 - 3i`, `\overline{-4i} = 4i` a `\overline{10} = 10` (reálné číslo je samo sobě sdružené). V Gaussově rovině je sdružené číslo obrazem původního v osové souměrnosti podle reálné osy:

12345-2-1123ReImz = 3 + 2iz̄ = 3 − 2i

Nejdůležitější vlastnost: součin čísla a čísla k němu sdruženého je vždy reálné nezáporné číslo.

`z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2`

Pro `z = 1 + 2i` vyjde `(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5`. Je to vzorec `(x + y)(x - y) = x^2 - y^2`, jen díky `i^2 = -1` se minus změní na plus. Právě tohle se použije při dělení.

Platí také `z + \overline{z} = 2a`, takže i součet čísla se sdruženým je reálný.

Dělení komplexních čísel

Dělit přímo neumíme, protože ve jmenovateli je `i`. Proto zlomek rozšíříme číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli. Jmenovatel se tím změní na reálné číslo `c^2 + d^2` a zbytek je jen násobení:

`\dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}`

Je to stejný trik jako usměrňování zlomků s odmocninou ve jmenovateli, jen místo odmocniny se zbavujeme čísla `i`.

Příklad 5

Vydělte `\dfrac{2 - 3i}{1 + 2i}`.

Ke jmenovateli `1 + 2i` je sdružené číslo `1 - 2i`. Jím rozšíříme čitatel i jmenovatel:

`\begin{aligned}\dfrac{2 - 3i}{1 + 2i} &= \dfrac{(2 - 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} \\[10pt] &= \dfrac{2 - 4i - 3i + 6i^2}{1 + 4} \\[10pt] &= \dfrac{-4 - 7i}{5} = -\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5}\,i\end{aligned}`

Výsledek zapisujeme v algebraickém tvaru, tedy zvlášť reálnou a imaginární část: `-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i`, případně `-0{,}8 - 1{,}4i`.

Zkouška se udělá násobením: podíl krát jmenovatel musí dát čitatel.

`\begin{aligned}&(1 + 2i)\left(-\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5}\,i\right) \\[10pt] &= -\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5}\,i - \dfrac{8}{5}\,i + \dfrac{14}{5} \\[10pt] &= 2 - 3i\end{aligned}`

Absolutní hodnota komplexního čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla `z = a + bi` je jeho vzdálenost od nuly v Gaussově rovině. Spočítá se jako odmocnina ze součtu druhých mocnin reálné a imaginární části:

`|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}`

Je to Pythagorova věta: reálná a imaginární část jsou odvěsny, absolutní hodnota je přepona.

123451234ReImz = 4 + 3ia = 4b = 3|z| = 5

Příklad 6

Jak vypočítat absolutní hodnotu čísel `4 + 3i`, `-2 + i` a `-5i`:

`\begin{gathered}|4 + 3i| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \\[6pt] |-2 + i| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} \doteq 2{,}24 \\[6pt] |-5i| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5\end{gathered}`

Do vzorce dosazujeme jen čísla `a` a `b`, bez `i`. Kdo dosadí `(3i)^2`, dostane pod odmocninou `16 - 9` a špatný výsledek. Absolutní hodnota je vždy reálné číslo a nikdy není záporná.

Užitečné vztahy, které ušetří počítání:

`\begin{gathered}|z|^2 = z \cdot \overline{z}, \qquad |\overline{z}| = |z| \\[10pt] |z \cdot w| = |z| \cdot |w|, \qquad \left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|}\end{gathered}`

Například `\left|\dfrac{3 + 4i}{1 - i}\right| = \dfrac{5}{\sqrt{2}}` bez jediného dělení. A vzdálenost dvou komplexních čísel `z` a `w` v rovině je `|z - w|`: čísla `1 + 2i` a `-2 - 2i` jsou od sebe `|3 + 4i| = 5`.

Gaussova rovina

Komplexní číslo `a + bi` je určeno dvojicí reálných čísel `a`, `b`, a proto ho můžeme nakreslit jako bod `[a;\ b]` v rovině. Vodorovná osa je reálná osa (na ní leží reálná čísla), svislá je imaginární osa (na ní leží ryze imaginární čísla). Takové rovině se říká Gaussova rovina.

-2-11234-2-1123ReIm1 + 2i−2 − 2i−i3−2 + i

Číslo `3` leží na reálné ose, `-i` na imaginární ose a zbylá tři čísla mimo osy. Sčítání komplexních čísel odpovídá sčítání vektorů, absolutní hodnota délce vektoru a sdružené číslo zrcadlení podle reálné osy. S tímto obrázkem se dá většina vzorců výše odvodit, místo aby se učily nazpaměť.

Algebraický, goniometrický a exponenciální tvar

Bod v Gaussově rovině se dá popsat i jinak než souřadnicemi: vzdáleností od počátku `|z|` a úhlem `\varphi`, který jeho spojnice s počátkem svírá s kladnou reálnou poloosou (argument). Tak vznikne goniometrický tvar a z něj zkrácený exponenciální tvar:

`z = a + bi = |z|\,(\cos\varphi + i \sin\varphi) = |z|\,e^{i\varphi}`

Například `1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i \sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}`. Pro sčítání a odčítání je nejpohodlnější algebraický tvar, pro násobení, dělení a vysoké mocniny goniometrický. Jak se mezi tvary převádí a jak se umocňuje Moivreovou větou, ukazuje článek Goniometrický tvar komplexního čísla.

Rovnice v komplexních číslech

Kvadratická rovnice se záporným diskriminantem

Když vyjde diskriminant záporný, v reálných číslech rovnice řešení nemá. V komplexních číslech ho má, protože z `D \lt 0` umíme odmocnit: `\sqrt{D} = i\sqrt{-D}`.

Příklad 7

V množině komplexních čísel řešte `x^2 - 4x + 13 = 0`.

`\begin{gathered}D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \\[10pt] \sqrt{D} = \sqrt{-36} = 6i \\[10pt] x_{1,2} = \dfrac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\end{gathered}`

Kořeny jsou `x_1 = 2 + 3i` a `x_2 = 2 - 3i`, dvě navzájem komplexně sdružená čísla. Tak to dopadne u každé kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a záporným diskriminantem. Zkouška pro `x_1`: `(2 + 3i)^2 = -5 + 12i`, a `-5 + 12i - 8 - 12i + 13 = 0`. Sedí. Postup i s diskriminantem vám ukáže kalkulačka kvadratické rovnice, která při záporném diskriminantu vypíše i komplexní kořeny; obecný postup je v článku Kvadratická rovnice.

Příklad 8

Řešte rovnici `(1 + i)\,z = 3 - i`.

Neznámá je jen vynásobená číslem, takže stačí dělit:

`\begin{aligned}z = \dfrac{3 - i}{1 + i} &= \dfrac{(3 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} \\[10pt] &= \dfrac{3 - 3i - i + i^2}{2} \\[10pt] &= \dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i\end{aligned}`

Zkouška: `(1 + i)(1 - 2i) = 1 - 2i + i + 2 = 3 - i`.

Příklad 9

Najděte komplexní číslo `z`, pro které platí `2z + i\,\overline{z} = 3 + 3i`.

Tady dělení nepomůže, protože v rovnici je `z` i `\overline{z}`. Dosadíme `z = a + bi` a `\overline{z} = a - bi`:

`\begin{gathered}2(a + bi) + i(a - bi) = 3 + 3i \\[6pt] 2a + 2bi + ai + b = 3 + 3i \\[6pt] (2a + b) + (a + 2b)\,i = 3 + 3i\end{gathered}`

Podle rovnosti komplexních čísel se musí rovnat reálné části i imaginární části. Vznikne soustava dvou rovnic:

`\begin{aligned}2a + b &= 3 \\ a + 2b &= 3\end{aligned}`

Odečtením rovnic dostaneme `a - b = 0`, tedy `a = b`, a z první rovnice `3a = 3`. Řešení je `a = b = 1`, `z = 1 + i`. Zkouška: `2(1 + i) + i(1 - i) = 2 + 2i + i + 1 = 3 + 3i`.

Binomické rovnice typu `z^3 = 8` a kvadratické rovnice s komplexními koeficienty jsou v článku Rovnice s komplexními čísly.

Komplexní čísla: vzorce na jednom místě

operacevzorec pro `z = a + bi`, `w = c + di`
sčítání`z + w = (a + c) + (b + d)\,i`
odčítání`z - w = (a - c) + (b - d)\,i`
násobení`z w = (ac - bd) + (ad + bc)\,i`
druhá mocnina`z^2 = (a^2 - b^2) + 2ab\,i`
sdružené číslo`\overline{z} = a - bi`
součin se sdruženým`z\,\overline{z} = a^2 + b^2`
dělení`\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\,\overline{w}}{c^2 + d^2}`
absolutní hodnota`|z| = \sqrt{a^2 + b^2}`
mocniny `i``i^2 = -1,\ i^3 = -i,\ i^4 = 1`

Časté chyby

  • `i^2 = 1`. Ne, `i^2 = -1`. Kdo to zapomene, dostane u násobení špatné znaménko reálné části. Po každém roznásobení projděte, jestli nezůstalo nějaké `i^2`.
  • Imaginární část s `i`. U čísla `2 - 5i` je `\mathrm{Im}\,z = -5`, ne `-5i`.
  • Absolutní hodnota s `i` pod odmocninou. `|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5`, ne `\sqrt{9 + 16i^2} = \sqrt{-7}`. Absolutní hodnota nemůže vyjít záporná ani imaginární.
  • Chybějící prostřední člen. `(a + bi)^2` není `a^2 - b^2`. Prostřední člen `2abi` je tam stejně jako u `(a + b)^2`.
  • Rozšíření špatným číslem. Při dělení rozšiřujeme číslem sdruženým ke jmenovateli, ne k čitateli. Po rozšíření musí ve jmenovateli vyjít reálné číslo, jinak je někde chyba.
  • Pravidlo pro odmocniny se záporným číslem. `\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}` není `\sqrt{36} = 6`, ale `2i \cdot 3i = 6i^2 = -6`. Odmocninu ze záporného čísla nejdřív přepište na `i\sqrt{c}` a teprve potom násobte.

Příklady k procvičení

1. Upravte na algebraický tvar: `(3 - 2i) + (-1 + 5i) - (4 - i)`.

2. Vynásobte `(2 + i)(3 - 4i)`.

3. Spočítejte `i^{35} + i^{12}`.

4. Vydělte `\dfrac{5 + 5i}{1 - 2i}`.

5. Určete absolutní hodnotu čísla `z = (1 + 2i)(2 - i)`. Zkuste to dvěma způsoby.

6. V množině komplexních čísel řešte rovnici `x^2 + 2x + 5 = 0` a udělejte zkoušku jednoho kořene.

Kam dál