Články » SŠ Matematika

Algebraický tvar komplexního čísla

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 54 836

Základní informace o komplexních číslech v algebraickém tvaru a o Gaussově rovině.


Pravděpodobně již víte, že existuje více množin čísel. Existují čísla celá, přirozená, racionální a iracionální. Všechny tyto množiny spadají do čísel, která se nazývají čísla reálná. Ovšem ani v množině reálných čísel není některé čísla možné definovat, např. \sqrt{-4}. Proto zavedeme množinu komplexních čísel (tato množina se značí C), ve které se dají i takováto čísla vyjádřit.

Nejprve si musíme zadefinovat, co to vlastně komplexní číslo je. Komplexní číslo je číslo ve tvaru a+bi, kde a je reálné číslo nazývané reálnou částí, b je také reálné číslo a označuje se jako imaginární část a konečně i je imaginární jednotka. Tento způsob zápisu se nazývá algebraický. Komplexní čísla lze zapisovat i v goniometrickém tvaru (přejít na článek Goniometrický tvar komplexního čísla).

Pokud vám někdo zadá rovnici x2+1=0, nezvládnete ji vyřešit. Respektive dojdete k závěru, že daná rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, protože diskriminant je menší nule: D=b2-4ac=-4. Odmocninu z čísla -4 nenalezneme, ať se snažíme sebevíc. A nyní právě přicházejí na řadu komplexní čísla. V oboru komplexních čísel totiž platí i2=-1. Pokud tedy pracujeme v oboru komplexních čísel, bude odmocnina z diskriminantu rovna \sqrt{-4}=2i. 

x_1, x_2 = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{-0\pm2i}{2} = \pm i

Výsledek vyšel \pm i. Ve skutečnosti se ale jedná o 0 \pm i. Nicméně pokud je reálná část rovna nule, není nutné ji psát.

Za předpokladu, že nám jako výsledek vyjde číslo, které má reálnou část rovnou nule (předchozí příklad), nazýváme výsledné číslo jako ryze imaginární.

Sčítání a odčítání komplexních čísel

Sčítání a odčítání komplexních čísel je velmi jednoduché. Pokud máme dvě komplexní čísla x=a+bi a y=c+di, platí:

x+y = (a+c)+(b+d)i
x-y = (a-c)+(b-d)i

Neděláme tedy nic jiného, než že sčítáme reálnou část první s reálnou části druhého čísla a imaginární část prvního čísla s imaginární částí druhého čísla.

Násobení komplexních čísel

Násobení už není tak jednoduché, jako sčítání a odčítání, ale rozhodně se nedá říci, že by bylo složité. Existují dvě cesty, jakými lze vynásobit dvě komplexní čísla. Pokud máme komplexní čísla x=a+bi a y=c+di, platí:

x*y = (ac-bd)+(ad+bc)i

Tento vzoreček si buď můžete zapamatovat, nebo se na násobení komplexních čísel dívat jako na násobení mnohočlenů, tedy:

x\cdot y = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2
Nyní si musíte uvědomit, že i^2 = -1 a proto člen bdi^2 lze nahradit členem -bd
x\cdot y = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+adi+bci
První dva členy tvoří reálnou část komplexního čísla, zbylé dva tvoří imaginární část
x\cdot y = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+adi+bci = (ac-bd)+(ad+bc)i

Komplexní číslo sdružené

Komplexní číslo komplexně sdružené k číslu z=a+bi je rovno \overline{z}=a-bi. 

z=2+3i\\\overline{z}=2-3i\\\\z=i\\\overline{z}=-i\\\\z=10\\\overline{z}=10

Celkem zajímavý je výsledek z\cdot\overline{z}

z=1+2i\\\overline{z}=1-2i\\z\cdot\overline{z}=1-2i+2i-4i^2=1+4=5

Tento vztah se dá obecně vyjádřit. Máme-li komplexní číslo ve tvaru z=a+bi, pak z\cdot\overline{z}=a^2+b^2. Tohoto využijeme zejména při dělení mnohočlenů, nebo při určování absolutní hodnoty komplexního čísla.

Dělení komplexních čísel

Při dělení komplexních čísel využijeme právě komplexně sdružených čísel. Pokud máme dvě komplexní čísla z=a+bi a w=c+di jejich podíl je roven \frac{z}{w}=\frac{z}{w}\cdot\frac{\overline{w}}{\overline{w}}. Ukážeme si na příkladu.

z=2-3i\\w=1+2i
\frac{z}{w}=?
Nejprve najdeme číslo komplexně sdružené k číslu w
\overline{w}=1-2i
\frac{z}{w}=\frac{z}{w}\cdot\frac{\overline{w}}{\overline{w}}
\frac{2-3i}{1+2i}=\frac{2-3i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{2-4i-3i+6i^2}{5}=\frac{-4-7i}{5}
Většinou zapisujeme část reálnou a imaginární zvlášť, výsledek tedy je -\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i

Absolutní hodnota komplexního čísla

V číslech reálných odpovídá absolutní hodnota čísla x vzdálenosti čísla x na číselné ose od nuly. Absolutní hodnota z -2 je tedy logicky 2. Pro komplexní čísla platí něco podobného. Absolutní hodnota se také spočítá jako vzdálenost čísla z od počátku. Nicméně ještě neumíme zakreslovat komplexní čísla do nějaké číselné osy, to se naučíme až později. Zatím nám bude stačit vzoreček, jakým lze absolutní hodnotu spočítat. 

z=a+bi\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}
z=4+3i\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=\fbox{5}

Pokud upravujeme komplexní výrazy s absolutními hodnotami, je dobré si zapamatovat dva vzorce, které vám mohou ulehčit celkem dost práce:

\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}\\|z\cdot w|=|z|\cdot|w|

Geometrické znázornění komplexních čísel

Komplexní čísla v algebraickém tvaru se zobrazují v Gaussově rovině jako body se souřadnicemi x, y, kde x je reálná část komplexního čísla, y imaginární část. Na osu x vyznačujeme reálnou část komplexního čísla a na osu y vyznačujeme ryze imaginární část komplexního čísla.

Algebraický tvar komplexního čísla

Takto nějak vypadá Gaussova rovina. Zkuste do ní zapsat čísla 1+2i, -2-2i, -i, 3, -2+i.

Algebraický tvar komplexního čísla

Nyní by Vám také mělo být jasné, jak jsme získali vzoreček pro výpočet absolutní hodnoty čísla z. Absolutní hodnota, jak už bylo řečeno, je vzdálenost čísla z od počátku.

Algebraický tvar komplexního čísla

Na Gaussově rovině je vyznačeno číslo z=4+3i. Vzdálenost čísla z od počátku se tedy dá vypočítat pomocí Pythagorovi věty |z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Procvičování

Nabyté znalosti si můžete vyzkoušet na několika příkladech

1) Upravte výraz (\sqrt{2}-i\sqrt{3})i\sqrt{3}+(\sqrt{3}-i\sqrt{2})i\sqrt{2}

\begin{array}{rcl}(\sqrt{2}-i\sqrt{3})i\sqrt{3}+(\sqrt{3}-i\sqrt{2})i\sqrt{2}&=&i\sqrt{6}-3i^2+i\sqrt{6}-2i^2\\&=&2i\sqrt{6}+3+2\\&=&5+2i\sqrt{6}\end{array}

2) Najděte reálná čísla a, b tak, aby platilo: (\sqrt{3}+i\sqrt{2})a-(\sqrt{2}+i\sqrt{3})b-1=i^2-i

\begin{array}{rcl}(\sqrt{3}+i\sqrt{2})a-(\sqrt{2}+i\sqrt{3})b-1&=&i^2-i\\(\sqrt{3}+i\sqrt{2})a-(\sqrt{2}+i\sqrt{3})b&=&-i\\a\sqrt{3}+ai\sqrt{2}-b\sqrt{2}-bi\sqrt{3}&=&-i\\(a\sqrt{3}-b\sqrt{2})+(a\sqrt{2}-b\sqrt{3})i&=&0-1i\end{array}

Na obou stranách máme komplexní číslo; reálná část na jedné straně se musí rovnat reálné části na druhé straně. Totéž platí pro imaginární část → vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých:

(a\sqrt{3}-b\sqrt{2})+(a\sqrt{2}-b\sqrt{3})i=0-1i
\begin{array}{rcl}a\sqrt{3}-b\sqrt{2}&=&0\\a\sqrt{2}-b\sqrt{3}&=&-1\end{array}

a=\frac{-1+b\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

\begin{array}{rcl}a\sqrt{3}-b\sqrt{2}&=&0\\\frac{-1+b\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{3}-b\sqrt{2}&=&0\\-\sqrt{3}+3b-2b&=&0\\b=\sqrt{3}\end{array}

a=\frac{-1+b\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\a=\frac{-1+3}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
\fbox{(a, b)=(\sqrt{2}, \sqrt{3})}

3) V množině komplexních čísel řešte rovnici x(\sqrt{2}+i)^2=\left(\frac{1}{i}+2\right)^2

Začneme tím, že rovnici upravíme (zbavíme se mocnin)
\begin{array}{rcl}x(\sqrt{2}+i)^2&=&\left(\frac{1}{i}+2\right)^2\\x(\sqrt{2}+i)(\sqrt{2}+i)&=&(-i+2)(-i+2)\\x(2+2i\sqrt{2}+i^2)&=&i^2-4i+4\\x(1+2i\sqrt{2})&=&3-4i\end{array}

Neznámá x je z množiny komplexních čísel a proto platí x=a+bi.

\begin{array}{rcl}x(1+2i\sqrt{2})&=&3-4i\\(a+bi)(1+2i\sqrt{2})&=&3-4i\\a+2ai\sqrt{2}+bi+2bi^2\sqrt{2}&=&3-4i\\(a-2b\sqrt{2})+(2a\sqrt{2}+b)i&=&3-4i\end{array}

Podobně jako v předchozím příkladě vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých:

(a-2b\sqrt{2})+(2a\sqrt{2}+b)i=3-4i
\begin{array}{rcl}a-2b\sqrt{2}&=&3\\2a\sqrt{2}+b=-4\end{array}

b=-4-2a\sqrt{2}
\begin{array}{rcl}a-2\sqrt{2}(-4-2a\sqrt{2})&=&3\\a+8\sqrt{2}+8a&=&3\\a&=&\frac{3-8\sqrt{2}}{9}\end{array}
\begin{array}{rcl}b&=&-4-2a\sqrt{2}\\&=&-4-2a\sqrt{2}\frac{3-8\sqrt{2}}{9}\\&=&-4+\frac{-6\sqrt{2}+32}{9}\\&=&\frac{-36-6\sqrt{2}+32}{9}\\&=&-\frac{4+6\sqrt{2}}{9}\end{array}

x=a+bi\\x=\fbox{\frac{3-8\sqrt{2}}{9}-\frac{4+6\sqrt{2}}{9}i}

4) V množině komplexních čísel řešte rovnici \overline{x}(x-1)=|x-1|^2

\begin{array}{rcl}\overline{x}(x-1)&=&|x-1|^2\\\overline{x}x-\overline{x}&=&|x-1|^2\\a^2+b^2-a+bi&=&|(a-1)+bi|^2\\a^2+b^2-a+bi&=&a^2-2a+1+b^2\\a+bi&=&1\\(a, b)&=&(1, 0)\end{array}
\fbox{x=1}

Test

Najděte definiční obor funkce f:\ y=\frac{1}{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}


Hlavolam

Vězeň odsouzený k smrti dostal za vzorné chování (asi hodně chytal myši) na výběr. Bude-li jeho záverečná řeč před popravou pravdivá, bude katem sťat. Bude-li to však lež, bude potupně utopen. Vězeň byl, ale takový fiškus, že se svou závěrečnou řečí osvobodil úplně. Co řekl, že nebylo možné ho ani utopit, ani ho připravit o hlavu?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček