Goniometrický tvar komplexního čísla

Goniometrický tvar komplexního čísla je zápis `z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)`, kde `|z|` je absolutní hodnota (velikost) čísla a `\varphi` jeho argument, tedy úhel, který spojnice čísla s počátkem svírá s kladnou reálnou poloosou. Z algebraického tvaru `z = a + bi` ho dostanete takto:

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \\[10pt] \cos\varphi = \dfrac{a}{|z|}, \quad \sin\varphi = \dfrac{b}{|z|} \\[10pt] z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)\end{gathered}`

Například pro `z = 1 + \sqrt{3}\,i` je `|z| = \sqrt{1 + 3} = 2`, `\cos\varphi = \dfrac{1}{2}` a `\sin\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}`, takže `\varphi = \dfrac{\pi}{3}` (60°) a `z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)`. Úhel se hledá podle hodnot na jednotkové kružnici a podle kvadrantu, ve kterém číslo leží.

Goniometrický tvar se hodí hlavně na násobení, dělení a mocniny: absolutní hodnoty se násobí, argumenty se sčítají a vysokou mocninu spočítá Moivreova věta na jeden řádek. Níže je převod oběma směry s řešenými příklady, jak správně najít argument, násobení a dělení v goniometrickém tvaru, Moivreova věta a příklady k procvičení. Počítání s `a + bi` vysvětluje článek Algebraický tvar komplexního čísla.

Absolutní hodnota a argument komplexního čísla

Komplexní číslo `z = a + bi` je v Gaussově rovině bod se souřadnicemi `[a;\ b]`: reálná část na vodorovné ose, imaginární na svislé. Bod se ale dá určit i jinak, vzdáleností od počátku a směrem, podobně jako v polárních souřadnicích.

• Absolutní hodnota `|z|` (také velikost nebo modul) je vzdálenost bodu od počátku. Podle Pythagorovy věty je `|z| = \sqrt{a^2 + b^2}`. Pro `z \ne 0` je vždy kladná.
• Argument `\varphi` je úhel od kladné reálné poloosy ke spojnici bodu s počátkem, měřený proti směru hodinových ručiček.

V pravoúhlém trojúhelníku na obrázku je přepona `|z|` a odvěsny `a` a `b`, takže `a = |z|\cos\varphi` a `b = |z|\sin\varphi`. Dosadíme do `a + bi` a vytkneme `|z|`:

`z = |z|\cos\varphi + i\,|z|\sin\varphi = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)`

Pro `z = 3 + 4i` z obrázku je `|z| = \sqrt{9 + 16} = 5`, `\cos\varphi = \dfrac{3}{5}` a `\sin\varphi = \dfrac{4}{5}`.

Argument není jediný: když k němu přičtete `2\pi`, dostanete tentýž bod. Proto se udává hlavní hodnota argumentu z intervalu `\langle 0;\ 2\pi)`. Některé učebnice a kalkulačky berou místo toho interval `(-\pi;\ \pi\rangle`; úhly `-\dfrac{\pi}{3}` a `\dfrac{5\pi}{3}` popisují stejný bod a oba zápisy jsou správně. Číslo 0 argument nemá, je to jediný bod bez směru.

Z toho plyne i to, kdy se dvě čísla v goniometrickém tvaru rovnají: mají stejnou absolutní hodnotu a jejich argumenty se liší o celý násobek `2\pi`, tedy `\varphi_1 = \varphi_2 + 2k\pi`, `k \in \mathbb{Z}`.

Komplexní jednotky

Číslo s absolutní hodnotou 1 se nazývá komplexní jednotka a jeho goniometrický tvar je prostě `\cos\varphi + i\sin\varphi`. Všechny komplexní jednotky leží na jednotkové kružnici. Tabulka ukazuje ty, které se v příkladech objevují nejčastěji; z ní se čte argument i zpětný převod.

Například `\cos\pi + i\sin\pi = -1`, protože `\cos\pi = -1` a `\sin\pi = 0`. Hodnoty sinu a kosinu si můžete procvičit v procvičování hodnot na jednotkové kružnici.

Jak najít argument komplexního čísla

Argument se určuje ze dvou rovnic, `\cos\varphi = \dfrac{a}{|z|}` a `\sin\varphi = \dfrac{b}{|z|}`, ne z jedné. Jedné hodnotě kosinu odpovídají v intervalu `\langle 0;\ 2\pi)` dva úhly: `\cos\varphi = \dfrac{1}{2}` platí pro `\dfrac{\pi}{3}` i pro `\dfrac{5\pi}{3}`. Rozhodne až znaménko sinu, tedy kvadrant.

Rychlejší je často začít kvadrantem. Podle znamének `a` a `b` víte, kde číslo leží, z hodnot v tabulce nahoře (nebo z `\left|\dfrac{b}{a}\right|`) určíte ostrý úhel `\alpha` mezi spojnicí a reálnou osou a argument dopočítáte:

Ostrý úhel `\alpha` je `\mathrm{arctg}\left|\dfrac{b}{a}\right|`. Samotné `\mathrm{arctg}\,\dfrac{b}{a}` bez kvadrantu nestačí: kapesní kalkulačka vrací úhel jen mezi `-90^{\circ}` a `90^{\circ}`, takže čísla `1 - i` a `-1 + i` dostanou stejný výsledek `-45^{\circ}`, přestože leží v opačných kvadrantech. Úhel z tangensu spočítá i naše kalkulačka arkustangens, kvadrant ale musíte doplnit sami.

Převod z algebraického tvaru do goniometrického

1. Spočítejte absolutní hodnotu `|z| = \sqrt{a^2 + b^2}`.
2. Spočítejte `\cos\varphi = \dfrac{a}{|z|}` a `\sin\varphi = \dfrac{b}{|z|}`.
3. Podle znamének určete kvadrant a najděte úhel, pro který platí obě rovnice. Pomůže hrubý náčrtek.
4. Dosaďte do `z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)` a zkontrolujte zpětným převodem.

Příklad 1

Převeďte číslo `z = 1 - \sqrt{3}\,i` do goniometrického tvaru.

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \\[10pt] \cos\varphi = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\varphi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}`

Kosinus `\dfrac{1}{2}` mají úhly `\dfrac{\pi}{3}` a `\dfrac{5\pi}{3}`, sinus `-\dfrac{\sqrt{3}}{2}` úhly `\dfrac{4\pi}{3}` a `\dfrac{5\pi}{3}`. Obě rovnice platí jen pro `\varphi = \dfrac{5\pi}{3}` (300°), což odpovídá 4. kvadrantu: reálná část kladná, imaginární záporná.

`z = 2\left(\cos\dfrac{5\pi}{3} + i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)`

Zkouška: `2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i\right) = 1 - \sqrt{3}\,i`.

Příklad 2

Převeďte `z = -2 + 2i`.

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \\[10pt] \cos\varphi = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[10pt] \sin\varphi = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}`

Číslo leží ve 2. kvadrantu, ostrý úhel s reálnou osou je `\dfrac{\pi}{4}`, takže `\varphi = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}` (135°):

`z = 2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)`

Kdo by počítal jen `\mathrm{arctg}\,\dfrac{2}{-2} = \mathrm{arctg}(-1)`, dostane `-\dfrac{\pi}{4}`, tedy bod ve 4. kvadrantu. To je číslo `2 - 2i`, ne `-2 + 2i`.

Příklad 3

Převeďte `z = -\sqrt{3} - i`.

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{3 + 1} = 2 \\[10pt] \cos\varphi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\varphi = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}`

Obě části jsou záporné, číslo leží ve 3. kvadrantu. Ostrý úhel je `\dfrac{\pi}{6}` (kosinus `\dfrac{\sqrt{3}}{2}`), takže `\varphi = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}` (210°):

`z = 2\left(\cos\dfrac{7\pi}{6} + i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)`

Příklad 4: čísla na osách

Převeďte `-5` a `2i`. Tady se nic počítat nemusí, stačí si čísla představit v Gaussově rovině. Číslo `-5` leží na záporné reálné poloose ve vzdálenosti 5, číslo `2i` na kladné imaginární poloose ve vzdálenosti 2:

`\begin{gathered}-5 = 5(\cos\pi + i\sin\pi) \\[10pt] 2i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\end{gathered}`

Absolutní hodnota je i u záporného čísla kladná. Znaménko „minus“ se v goniometrickém tvaru schová do argumentu `\pi`.

Příklad 5: argument, který není v tabulce

Převeďte `z = 3 + 4i`.

Je `|z| = 5`, `\cos\varphi = \dfrac{3}{5}` a `\sin\varphi = \dfrac{4}{5}`. Takový úhel v tabulce není, spočítáme ho. Číslo leží v 1. kvadrantu, takže

`\begin{gathered}\varphi = \mathrm{arctg}\,\dfrac{4}{3} \doteq 53{,}13^{\circ} \doteq 53^{\circ}8' \\[10pt] z \doteq 5(\cos 53^{\circ}8' + i\sin 53^{\circ}8')\end{gathered}`

V radiánech je to `\varphi \doteq 0{,}927`. U takových čísel se goniometrický tvar píše s přibližným úhlem; přesně jde zapsat jen jako `\varphi = \mathrm{arctg}\,\dfrac{4}{3}`.

Příklad 6

V goniometrickém tvaru zapište `z = 1 + \cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}`.

Pozor, tohle goniometrický tvar není, před kosinem stojí ještě jednička. Reálná část je `a = 1 + \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3}{2}`, imaginární `b = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}`. Dál už postupujeme jako obvykle:

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3} \\[10pt] \cos\varphi = \dfrac{3/2}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\varphi = \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} \\[10pt] z = \sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\end{gathered}`

Kontrola obrázkem: číslo je součet dvou jednotek, jedné ve směru 0 a druhé ve směru `\dfrac{\pi}{3}`. Dva stejně dlouhé vektory sečtené dávají úhlopříčku kosočtverce, která půlí úhel mezi nimi, a to je právě `\dfrac{\pi}{6}`.

Převod z goniometrického tvaru do algebraického

Opačný směr je snadný: dosadíte hodnoty kosinu a sinu a roznásobíte závorku.

Příklad 7

Převeďte `z = 3\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)` do algebraického tvaru.

`\begin{aligned} z &= 3\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i\right) \\[8pt] &= -\dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{2}\,i = -3 + 3i \end{aligned}`

Co goniometrický tvar není

Goniometrický tvar má přesná pravidla: číslo před závorkou kladné, v závorce kosinus a sinus téhož úhlu a mezi nimi plus. Zápisy, které vypadají podobně, ale pravidla nesplňují, je potřeba nejdřív upravit:

• `2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} - i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)` má minus. Protože `\cos(-x) = \cos x` a `\sin(-x) = -\sin x`, je to `2\left(\cos\dfrac{11\pi}{6} + i\sin\dfrac{11\pi}{6}\right)`.
• `-2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)` má zápornou absolutní hodnotu. Násobení číslem `-1` otočí bod o `\pi`, takže je to `2\left(\cos\dfrac{7\pi}{6} + i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)`.
• `2\left(\sin\dfrac{\pi}{6} + i\cos\dfrac{\pi}{6}\right)` má prohozený sinus a kosinus. Je to `1 + \sqrt{3}\,i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)`.
• `2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)` má dva různé úhly. Převedeme do algebraického tvaru, `\sqrt{3} + \sqrt{3}\,i`, a znovu: `\sqrt{6}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)`.

Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Dvě čísla v goniometrickém tvaru vynásobíte tak, že vynásobíte absolutní hodnoty a sečtete argumenty:

`z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2\big(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big)`

kde `z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)` a `z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)`.

Odkud vzorec je

Roznásobíme závorky jako u algebraického tvaru a použijeme `i^2 = -1`:

`\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1 r_2 (\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1) \\ &\qquad \cdot (\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) \\[6pt] &= r_1 r_2 \big(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2 \\ &\qquad + i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2 + \cos\varphi_1\sin\varphi_2)\big) \end{aligned}`

Výrazy v závorkách jsou přesně součtové vzorce (článek Goniometrické vzorce):

`\begin{gathered}\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\[6pt] \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\end{gathered}`

Reálná část je tedy `\cos(\varphi_1 + \varphi_2)`, imaginární `\sin(\varphi_1 + \varphi_2)`, a vzorec je hotový.

Co násobení dělá v Gaussově rovině

Vynásobit číslo `z_1` číslem `z_2` znamená otočit bod `z_1` kolem počátku o úhel `\varphi_2` a jeho vzdálenost od počátku zvětšit `r_2`krát. Proto násobení číslem `i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}` otáčí o 90° a délku nemění: `i \cdot (3 + 4i) = -4 + 3i`.

Na obrázku je `z_1 = \sqrt{3} + i` (velikost 2, argument 30°) a `z_2 = 1 + i` (velikost `\sqrt{2}`, argument 45°). Jejich součin má velikost `2\sqrt{2}` a argument 75°, jak spočítá příklad 8.

Příklad 8

Vynásobte `z_1 = \sqrt{3} + i` a `z_2 = 1 + i` v goniometrickém tvaru a výsledek porovnejte s algebraickým.

Nejdřív oba převedeme: `|z_1| = 2`, `\varphi_1 = \dfrac{\pi}{6}`; `|z_2| = \sqrt{2}`, `\varphi_2 = \dfrac{\pi}{4}`. Pak

`z_1 z_2 = 2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{12} + i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)`

protože `\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12}`, tedy 75°. Algebraicky vyjde

`\begin{aligned} (\sqrt{3} + i)(1 + i) &= \sqrt{3} + \sqrt{3}\,i + i + i^2 \\ &= (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)\,i \end{aligned}`

Obě čísla se musí rovnat, takže porovnáním reálných částí dostaneme zadarmo hodnotu, která v tabulce není: `2\sqrt{2}\cos 75^{\circ} = \sqrt{3} - 1`, tedy `\cos 75^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \doteq 0{,}259`. Kalkulačka dá pro `\cos 75^{\circ}` totéž.

Příklad 9

Vynásobte `z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)` a `z_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)`.

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1, \quad \varphi = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = \pi \\[10pt] z_1 z_2 = \cos\pi + i\sin\pi = -1\end{gathered}`

Zkouška algebraicky: `z_1 = 1 + i`, `z_2 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i` a

`\begin{aligned} &(1 + i)\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i\right) \\[8pt] &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i - \dfrac{1}{2}\,i + \dfrac{1}{2}\,i^2 \\[8pt] &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = -1 \end{aligned}`

Dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Při dělení se absolutní hodnoty dělí a argumenty odečítají:

`\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big)`

Odvození je stejné jako u násobení. Zlomek `\dfrac{\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1}{\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2}` rozšíříme sdruženým číslem `\cos\varphi_2 - i\sin\varphi_2`. Ve jmenovateli vyjde `\cos^2\varphi_2 + \sin^2\varphi_2 = 1` a v čitateli

`\begin{aligned} &\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2 \\ &\quad + i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2 - \cos\varphi_1\sin\varphi_2) \end{aligned}`

což jsou podle rozdílových vzorců `\cos(\varphi_1 - \varphi_2)` a `\sin(\varphi_1 - \varphi_2)`. Vyjde-li rozdíl argumentů záporný, přičtěte `2\pi`.

Příklad 10

Vydělte `z_1 = 4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)` číslem `z_2 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)`.

`\begin{gathered}|z| = \dfrac{4}{2} = 2 \\[10pt] \varphi = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \\[10pt] \dfrac{z_1}{z_2} = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 2i\end{gathered}`

Zkouška násobením: `z_2 = 1 + \sqrt{3}\,i` a `2i(1 + \sqrt{3}\,i) = 2i + 2\sqrt{3}\,i^2 = -2\sqrt{3} + 2i`, což je `z_1` v algebraickém tvaru (`4\cos\dfrac{5\pi}{6} = -2\sqrt{3}`, `4\sin\dfrac{5\pi}{6} = 2`).

Příklad 11: převrácené číslo

Vypočtěte `\dfrac{1}{z}` pro `z = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}`.

Jednička je `1 = \cos 0 + i\sin 0`, takže

`\begin{aligned} \dfrac{1}{z} &= \cos\left(0 - \dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(0 - \dfrac{\pi}{2}\right) \\[8pt] &= \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} = -i \end{aligned}`

Číslo `z` je `i`, a opravdu `\dfrac{1}{i} = -i`, protože `i \cdot (-i) = -i^2 = 1`. Obecně platí

`\dfrac{1}{r(\cos\varphi + i\sin\varphi)} = \dfrac{1}{r}\big(\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi)\big)`

Moivreova věta

Mocnina je opakované násobení, a při každém násobení se absolutní hodnoty násobí a argumenty sčítají. Vynásobíme-li číslo `z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)` samo se sebou `n`krát, dostaneme

`z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)`

Pro `r = 1` je to Moivreova věta, pojmenovaná podle francouzského matematika Abrahama de Moivre, který žil v Anglii a pracoval s ní na počátku 18. století:

`(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi`

Platí pro každé celé `n`, i záporné: `z^{-n}` je převrácené číslo k `z^n`, takže má převrácenou absolutní hodnotu a opačný argument, jak ukázal příklad 11.

Umocnit číslo `a + bi` na vysoký exponent je tedy nejsnazší takto: převést ho do goniometrického tvaru, umocnit absolutní hodnotu a argument vynásobit exponentem, od argumentu odečíst tolik násobků `2\pi`, aby ležel v `\langle 0;\ 2\pi)`, a převést výsledek zpět.

Příklad 12

Vypočtěte `(1 + i)^{10}`.

`\begin{gathered}1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) \\[10pt] (1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\dfrac{10\pi}{4} + i\sin\dfrac{10\pi}{4}\right)\end{gathered}`

Je `(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32` a `\dfrac{10\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}`, takže

`(1 + i)^{10} = 32\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 32i`

Kontrola jinou cestou: `(1 + i)^2 = 2i`, takže `(1 + i)^{10} = (2i)^5 = 32\,i^5 = 32i`.

Příklad 13

Vypočtěte `(1 - \sqrt{3}\,i)^6`.

Z příkladu 1 víme, že `1 - \sqrt{3}\,i = 2\left(\cos\dfrac{5\pi}{3} + i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)`. Pak

`\begin{aligned} (1 - \sqrt{3}\,i)^6 &= 2^6(\cos 10\pi + i\sin 10\pi) \\ &= 64(\cos 0 + i\sin 0) = 64 \end{aligned}`

Šestá mocnina komplexního čísla vyšla reálná. To není náhoda: argument `\dfrac{5\pi}{3}` je násobkem `\dfrac{\pi}{3}` a šestkrát otočení o něj skončí na kladné reálné poloose.

Příklad 14

Vypočtěte `\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)^{50}`.

`\begin{aligned} &\cos\dfrac{50\pi}{4} + i\sin\dfrac{50\pi}{4} \\[8pt] &= \cos\dfrac{25\pi}{2} + i\sin\dfrac{25\pi}{2} \end{aligned}`

Od `\dfrac{25\pi}{2}` odečteme `12\pi = \dfrac{24\pi}{2}` a zbude `\dfrac{\pi}{2}`. Výsledek je `\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = i`.

Příklad 15: záporný exponent

Vypočtěte `\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{-25}`.

Nejdřív zlomek. Je `1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)` a `1 - i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{4} + i\sin\dfrac{7\pi}{4}\right)`, takže podíl má absolutní hodnotu 1 a argument `\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{7\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{2}`, po přičtení `2\pi` tedy `\dfrac{\pi}{2}`. Zlomek je roven `i`.

`i^{-25} = \cos\left(-\dfrac{25\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\dfrac{25\pi}{2}\right)`

K `-\dfrac{25\pi}{2}` přičteme `14\pi = \dfrac{28\pi}{2}` a dostaneme `\dfrac{3\pi}{2}`:

`\begin{aligned} \left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{-25} &= \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \\[8pt] &= -i \end{aligned}`

Kontrola: mocniny `i` se opakují po čtyřech, `i^{-25} = i^{-25 + 28} = i^3 = -i`.

Vzorce pro dvojnásobný a trojnásobný úhel

Moivreova věta dává goniometrické vzorce bez učení nazpaměť. Pro `n = 2` umocníme levou stranu jako dvojčlen:

`\begin{aligned} &(\cos x + i\sin x)^2 \\ &= \cos^2 x + 2i\sin x\cos x + i^2\sin^2 x \\ &= \cos^2 x - \sin^2 x + 2i\sin x\cos x \end{aligned}`

Podle Moivreovy věty je to zároveň `\cos 2x + i\sin 2x`. Dvě komplexní čísla se rovnají, když se rovnají jejich reálné i imaginární části, takže `\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x` a `\sin 2x = 2\sin x\cos x`. Stejně pro `n = 3`:

`\begin{gathered}\cos 3x = \cos^3 x - 3\cos x\sin^2 x \\[6pt] \sin 3x = 3\cos^2 x\sin x - \sin^3 x\end{gathered}`

Na Moivreově větě stojí i řešení binomických rovnic `x^n = a` a výpočet `n`-tých odmocnin z komplexního čísla. To vysvětluje článek Rovnice s komplexními čísly.

Exponenciální tvar

Na vysoké škole a ve fyzice se goniometrický tvar zkracuje pomocí Eulerova vzorce `e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi`:

`z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi) = |z|\,e^{i\varphi}`

Pravidla pro násobení, dělení a Moivreova věta jsou pak obyčejná pravidla pro počítání s mocninami: `e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}` a `(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}`. Pro `\varphi = \pi` vyjde známá rovnost `e^{i\pi} = -1`.

Vzorce na jednom místě

Goniometrický tvar

`z = a + bi = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi)`

Absolutní hodnota a argument

`\begin{gathered}|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \\[10pt] \cos\varphi = \dfrac{a}{|z|}, \quad \sin\varphi = \dfrac{b}{|z|}\end{gathered}`

Zpět do algebraického tvaru

`a = |z|\cos\varphi, \quad b = |z|\sin\varphi`

Násobení a dělení

`\begin{gathered}z_1 z_2 = r_1 r_2\big(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big) \\[10pt] \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)\big)\end{gathered}`

Moivreova věta

`z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)`

Časté chyby

• Argument jen z tangensu. `\mathrm{arctg}\,\dfrac{b}{a}` nerozliší `-2 + 2i` od `2 - 2i`. U čísel ve 2. a 3. kvadrantu je potřeba k výsledku kalkulačky přičíst `\pi` (180°). Vždy se podívejte na znaménka `a` a `b`.
• Argument jen z kosinu. `\cos\varphi = \dfrac{1}{2}` má v jedné otáčce dvě řešení. Rozhodne až sinus.
• Imaginární jednotka pod odmocninou. `|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5`, ne `\sqrt{3^2 + (4i)^2} = \sqrt{-7}`. Do vzorce patří jen `b`, bez `i`.
• Záporné číslo před závorkou nebo minus v závorce. `-2(\cos\varphi + i\sin\varphi)` ani `2(\cos\varphi - i\sin\varphi)` nejsou goniometrický tvar, viz oddíl Co goniometrický tvar není.
• Sčítání v goniometrickém tvaru. Součet `z_1 + z_2` nemá absolutní hodnotu `r_1 + r_2` ani argument `\varphi_1 + \varphi_2`. Například `1 + i` má velikost `\sqrt{2}`, ne 2. Sčítá se v algebraickém tvaru.
• Stupně a radiány dohromady. `\dfrac{\pi}{4} + 30^{\circ}` se nesčítá. Na kalkulačce zkontrolujte režim DEG nebo RAD.
• Neupravený argument. `\cos\dfrac{25\pi}{2} + i\sin\dfrac{25\pi}{2}` je správně, ale výsledek se čeká s argumentem v `\langle 0;\ 2\pi)`, tedy `\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = i`. Bez úpravy se navíc špatně převádí zpět.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Algebraický tvar komplexního čísla - počítání s `a + bi`, sdružené číslo, absolutní hodnota a Gaussova rovina.
• Rovnice s komplexními čísly - binomické rovnice a odmocniny z komplexního čísla, kde se Moivreova věta použije naplno.
• Jednotková kružnice - odkud se berou hodnoty sinu a kosinu, ze kterých se čte argument.
• Polární systém souřadnic - stejná myšlenka, vzdálenost a úhel, pro body v rovině.
• Procvičování hodnot na jednotkové kružnici - sinus a kosinus základních úhlů na rychlost.
• Kalkulačka arkustangens a kalkulačka jednotkové kružnice - úhel z tangensu a hodnoty funkcí pro libovolný úhel.