V článku Algebraický tvar komplexního čísla jsme si vysvětlili, co to komplexní číslo vlastně je a jeho zápis v algebraickém tvaru. Tento článek se zabývá jiným způsobem zápisu komplexního čísla nazývaném- goniometrický tvar komplexního čísla.

Zakreslíme-li komplexní číslo do Gaussovy roviny, můžeme jeho polohu určit pomocí dvou souřadnic - souřadnice na ose x a ose y. Další způsob, jakým by šlo polohu daného komplexního čísla určit, je, podobně jako v polárním systému souřadnic, pomocí vzdálenosti komplexního čísla od počátku a úhlu, který svírá kladná poloosa x se spojnicí komplexního čísla a počátku. Obecný vzorec pro zápis čísla v goniometrickém tvaru by tedy byl:

¨
`z=r(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)`

, kde `r` je absolutní hodnota komplexního čísla a `\varphi` se nazývá argument.

Dvě komplexní čísla se rovnají pouze tehdy, rovnají-li se jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o `2k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}`.

Rovněž platí, že jakákoliv komplexní jednotka se dá zapsat jako `z=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi`, protože `|z|=\sqrt{\cos^2\varphi+i\cdot\sin^2\varphi}=\sqrt{1}=1`

Převádění na goniometrický tvar z algebraického

Pokud bychom chtěli převést číslo z algebraického tvaru do goniometrického, stačí si nakreslit obrázek a z něho se to dá lehce určit.

Goniometrický tvar komplexního čísla

Číslo na předchozím obrázku by se pomocí algebraické tvaru zapsalo jako `1+1i`. Pokud bychom chtěli použít goniometrický tvar, museli bychom nejprve spočítat vzdálenost daného čísla od počátku. A ta je rovna absolutní hodnotě daného komplexního čísla. Další věc, co bychom museli spočítat je úhel α, který svírá kladná poloosa x se spojnicí počátku a daného komplexního čísla. V některých případech, jako je tento, není třeba nic počítat. Z obrázku je jasně vidět, že se jedná o úhel `\frac{1}{4}\pi`. Bohužel v jiných případech budeme muset použít následující vzorečku:

`z=a+b\cdot i\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}`

`z=|z|(\frac{a}{|z|}+i\cdot\frac{b}{|z|})\\
\cos\varphi=\frac{a}{|z|}, \ \ \ \sin\varphi=\frac{b}{|z|}\\z=|z|(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)`

1) Převeďte číslo `z=1-i\sqrt{3}` do goniometrického tvaru.

Použijeme postup. který jsem popsal o několik řádku výše:

`|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2`
`\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{1}{2}`
`\sin\varphi=\frac{b}{|z|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}`

Abychom nyní našli velikost úhlu `\varphi` mohli bychom použít kalkulačku. Ale většina příkladů je zadána tak, aby kalkulačka nebyla vůbec potřeba, protože některé hodnoty jednotkové kružnice (přejít na článek Jednotková kružnice) je třeba si pamatovat.

Kosinus `\frac{1}{2}` odpovídá úhlům `\frac{1}{3}\pi,\ \frac{5}{3}\pi`. Sinus `-\frac{\sqrt{3}}{2}` odpovídá úhlům `\frac{4}{3}\pi,\ \frac{5}{3}\pi`. Průnikem těchto dvou množin je úhel `\varphi=\frac{5}{3}\pi`.

Komplexní číslo z se tedy zapíše jako `z=2(\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi)`

2) V goniometrickém tvaru zapište číslo `z=1+\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi`.

Tento příklad není tak lehký, jako ten předchozí. Je třeba si uvědomit, že komplexní číslo v algebraickém tvaru má předpis `z=a+b\cdot i=(1+\cos\frac{1}{3}\pi)+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi`. Reálná část komplexního čísla se skládá ze dvou výrazů, ale to není problém. Prostě použijeme stejný vzoreček jako v předchozím příkladě. 

`|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(1+\cos\frac{1}{3}\pi\right)^2+\left(\sin\frac{1}{3}\pi\right)^2}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}`
`|z|=\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}`

`\cos\varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{1+\cos\frac{1}{3}\pi}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}`
`\sin\varphi=\frac{b}{|z|}=\frac{\sin{\frac{1}{3}\pi}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}`
`\varphi=\frac{1}{6}\pi`

Platí tedy `1+\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi=\sqrt{3}\left(\cos\frac{1}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{6}\pi\right)`

3) Vyzkoušíme si ještě opačný postup - převeďte číslo `z=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{4}\pi\right)` do algebraického tvaru.

Nejedná se o nic těžkého - pouze vyjádříme hodnoty kosinu a sinu a závorku roznásobíme:

`z=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\z=-\frac{6}{2}+i\frac{6}{2}=-3+3i`

Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Násobení čísel v algebraickém tvaru nebyl žádný oříšek, zato násobení čísel v goniometrickém tvaru je o trochu těžší úkol. Zvolíme si dvě čísla v goniometrickém tvaru: 

`z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\\z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)`
`z=z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2)\left((\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)\right)`
Druhou závorku můžeme roznásobit
`z=(r_1\cdot r_2)\left(\cos\varphi_1\cdot\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\cdot\sin\varphi_2+i(\cos\varphi_1\cdot\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\cdot\sin\varphi_1)\right)`
Nyní použijeme dva goniometrické vzorce
`\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha`

`z=\boxed{(r_1\cdot r_2)\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right)}`

Odvodili jsme si tedy vzoreček pro násobení dvou komplexních čísel.

4) Vynásobte čísla `z_1=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi)` a `z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{3}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{4}\pi)`.

`z=z_1\cdot z_2\\|z|=|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1`
`\varphi=\varphi_1+\varphi_2=\frac{1}{4}\pi+\frac{3}{4}\pi=\frac{4}{4}\pi=\pi`
`z=1(\cos\pi+i\cdot\sin\pi)`

Dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Podobně jako pro násobení si odvodíme vzoreček pro dělení dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

`z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\\z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)`
`z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1}{\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2}`
Celý zlomek vynásobíme `\cos\varphi_2-i\cdot\sin\varphi_2`
`z=\frac{r_1}{r_2}\frac{(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\cdot(\cos\varphi_2-i\cdot\sin\varphi_2)}{\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2}=\frac{r_1}{r_2}\frac{\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\cos\varphi_1\sin\varphi_2)}{1}`
Použijeme goniometrické vzorce
`\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha`

`z=\boxed{\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\cdot\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right)}`

5) Vydělte čísla `z_1=1` a `\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi`.

Nejprve musíme číslo `z_1` vyjádřit v goniometrickém tvaru: `1=\cos0+i\cdot\sin0`. Nyní stačí aplikovat vzorec, který jsme si odvodili o odstavec výše. 

`z=\frac{z_1}{z_2}=1\cdot\frac{\cos0+i\cdot\sin0}{\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi}=\cos-\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin-\frac{1}{2}\pi`

Je dobré si zapamatovat vzoreček `\frac{1}{\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi}=\cos(-\varphi)+i\cdot\sin(-\varphi)`

Moivreova věta

Už umíme komplexní čísla násobit, nyní by se hodilo je umět umocňovat. A umocňování je vlastně násobení n-krát toho samého čísla, kde n je exponent. 

`z_1z_2\ldots z_n=r_1(\cos\varphi_1+i\cdot\sin\varphi_1)\cdot r_2(\cos\varphi_2+i\cdot\sin\varphi_2)\cdot\ldots\cdot r_n(\cos\varphi_n+i\cdot\sin\varphi_n)=\\=r_1r_1\ldots r_n\left(\cos(\varphi_1+\varphi_2+\ldots+\varphi_n)+i\cdot\sin(\varphi_1+\varphi_2+\ldots+\varphi_n)\right)`
`z^n=r^n\left(\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)\right)`

Tohoto vzorce lze použít k umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru na libovolný přirozený exponent. Pokud umocňujete komplexní číslo v algebraickém tvaru na nějaký vyšší exponent, je obvykle jednoduší převést dané číslo do goniometrického tvaru a teprve pak ho umocnit.

Dosadíme-li do předchozího vzorce `r=1`, dostaneme větu, kterou v 18 století vyslovil francouzský matematika Moivre: `(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)^n=\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)`.

6) Vypočítejte `z=\left(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi\right)^{50}`

Použijeme vzorec, který jsme si odvodili před chvílí. 

`z^n=r^n\left(\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)\right)`
`z=\left(\cos(50\cdot\frac{1}{4}\pi)+i\cdot\sin(50\cdot\frac{1}{4}\pi)\right)=\left(\cos\frac{25}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{25}{2}\pi\right)`
Obvykle zapisujeme argument v intervalu `\lt 0,\ 2\pi\gt`
`z=\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi`

Procvičování

7) Vypočítejte `z=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-25}`

Nejprve se musíme zbavit zlomku
`\frac{1+i}{1-1}=\frac{1+i}{1-1}\cdot\frac{1+i}{1+1}=\frac{2i}{2}=i`
Abychom mohli použít Moivreovu větu, musíme číslo převést do goniometrického tvaru
`i=\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi`
A nyní konečně můžeme umocňovat
`z=i^{-25}=\left(\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi\right)^{-25}=\cos(-\frac{25}{2}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{25}{2}\pi)`
`z=\boxed{\cos\frac{3}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{2}\pi}`

8) V goniometrickém tvaru zapište číslo `z=2i\sin\frac{1}{4}\pi(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))`

Závorky můžeme roznásobit a první člen lze převést na číslo v algebraickém tvaru:

`2i\sin\frac{1}{4}\pi=2i\frac{\sqrt{2}}{2}=i\sqrt{2}`
`(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))=\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi`
Počítáme tedy dál
`z=2i\sin\frac{1}{4}\pi(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))=i\sqrt{2}\cdot(\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi)`
`z=i\sqrt{2}\cdot(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{i\sqrt{2}}{2}-\frac{i^2\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}`

Zápis tohoto čísla v goniometrickém tvaru by pro vás měla být již triviální záležitost a tak uvedu pouze výsledek: `z=\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{6}\pi)`. Pokud narazíte na nějaké nesrovnalosti, nebo budete mít nějaké otázky, nebojte se a ptejte se v komentářích.