Jednotková kružnice

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku souřadnic `O[0;\ 0]` a s poloměrem 1. Na ní se definují goniometrické funkce pro libovolný úhel: když rameno úhlu `\alpha` protne kružnici v bodě P, je x-ová souřadnice bodu P rovna `\cos\alpha` a y-ová souřadnice rovna `\sin\alpha`.

`P = [\cos\alpha;\ \sin\alpha]`
`x^2 + y^2 = 1`

Kosinus se tedy čte na vodorovné ose, sinus na svislé. Tangens je jejich podíl, `\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}`, a na kružnici se dá přečíst na svislé tečně `x = 1`.

V pravoúhlém trojúhelníku mají sinus a kosinus smysl jen pro ostré úhly. Jednotková kružnice je rozšiřuje na úhly tupé, záporné i větší než 360°, a přitom pro ostré úhly dává přesně ty hodnoty, které znáte z trojúhelníku.

Prakticky celá kružnice se dá odvodit z pěti hodnot v prvním kvadrantu a ze znamének. Níže je obrázek celé kružnice, tabulka hodnot, postup pro libovolný úhel a řešené příklady. Pro vlastní úhel si kružnici nakreslí kalkulačka jednotková kružnice.

Sinus a kosinus na jednotkové kružnici

Úhel se na jednotkové kružnici měří od kladné poloosy `x` proti směru hodinových ručiček. Druhé rameno úhlu protne kružnici v bodě P. Spustíme z něj kolmici na osu `x` a vznikne pravoúhlý trojúhelník s přeponou `OP = 1`:

Z trojúhelníku platí `\sin\alpha = \dfrac{y}{1} = y` a `\cos\alpha = \dfrac{x}{1} = x`. Protože je přepona rovna jedné, sinus a kosinus nejsou poměry, ale přímo délky: sinus je výška bodu P nad osou `x`, kosinus jeho vzdálenost od osy `y`. Pro úhel 50° je P zhruba `[0{,}64;\ 0{,}77]`, tedy `\cos 50^\circ \doteq 0{,}64` a `\sin 50^\circ \doteq 0{,}77`.

Pro úhel mimo první kvadrant už trojúhelník nemáme, ale bod P ano. Sinus a kosinus se pak definují jako jeho souřadnice, i se znaménkem. Z toho plynou tři věci, které je dobré mít v hlavě:

• Sinus i kosinus leží vždy mezi `-1` a `1`, protože bod na kružnici o poloměru 1 dál od os nedosáhne.
• Každý bod kružnice splňuje `x^2 + y^2 = 1` (Pythagorova věta pro trojúhelník s přeponou 1), takže pro každý úhel platí goniometrická jednička `\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1`.
• Po celé otočce se bod vrátí na stejné místo, proto `\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin\alpha` a stejně kosinus. Úhel 390° má stejné hodnoty jako 30°.

Záporný úhel se měří po směru hodinových ručiček. Úhel `-45^\circ` tak končí ve 4. kvadrantu na stejném místě jako 315°.

Tangens a kotangens na jednotkové kružnici

Tangens se počítá jako podíl souřadnic bodu P:

`\begin{gathered}\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{y}{x}\\[10pt]\operatorname{cotg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{x}{y}\end{gathered}`

Na kružnici se dá i přímo ukázat. Přímku OP prodloužíme, dokud neprotne svislou tečnu kružnice `x = 1` v bodě T. Y-ová souřadnice bodu T je `\operatorname{tg}\alpha`. Plyne to z podobných trojúhelníků: výška T se k jedničce má stejně jako `y` k `x`. Kotangens se stejně čte na vodorovné tečně `y = 1`. Podrobně i s obrázkem pro ostrý úhel to ukazuje článek funkce tangens a kotangens.

U úhlů ve 2. a 3. kvadrantu je potřeba přímku OP prodloužit za počátek, na opačnou stranu, než leží bod P. Pro 150° protne tečnu pod osou `x`, a proto je tangens záporný:

`\operatorname{tg}150^\circ = \dfrac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \doteq -0{,}577`

Pro 90° a 270° je přímka OP svislá, s tečnou `x = 1` je rovnoběžná a nikdy ji neprotne. Ve vzorci je to totéž: `\cos 90^\circ = 0` a nulou dělit nelze. Tangens 90° a 270° proto neexistuje. Kotangens zase neexistuje pro 0° a 180°, kde je nulový sinus.

Jednotková kružnice se všemi hodnotami

Ve škole se pracuje s šestnácti významnými úhly: násobky 30° a 45°. Na kružnici leží takto, ve stupních i v radiánech (modře):

Radiány na obrázku nejsou náhoda. Na jednotkové kružnici je délka oblouku rovna velikosti úhlu v radiánech, celý obvod `2\pi` odpovídá 360°, a proto 180° = π. Převod tam i zpátky procvičíte v procvičování stupňů a radiánů, jednotlivé úhly převede kalkulačka stupně na radiány.

Souřadnice všech šestnácti bodů a tangens shrnuje tabulka. Kosinus je x-ová souřadnice, sinus y-ová:

Ve sloupcích sinu a kosinu jsou jen tři různá nenulová čísla menší než jedna: `\frac{1}{2}`, `\frac{\sqrt{2}}{2} \doteq 0{,}71` a `\frac{\sqrt{3}}{2} \doteq 0{,}87`. Liší se jen tím, kde stojí a jaké mají znaménko. Tabulku i s kotangentem, sekantem a kosekantem najdete v článku úvod do goniometrie, pro libovolný úhel ji spočítá kalkulačka tabulka hodnot.

Znaménka v kvadrantech

Znaménko se nemusíte učit, stačí vědět, kde bod leží. Sinus je y-ová souřadnice, takže je kladný nad osou `x` (1. a 2. kvadrant). Kosinus je x-ová souřadnice, kladný vpravo od osy `y` (1. a 4. kvadrant). Tangens je jejich podíl, takže je kladný tam, kde mají sinus a kosinus stejné znaménko (1. a 3. kvadrant).

Jak určit hodnotu pro libovolný úhel

Každý bod kružnice je zrcadlovým obrazem některého bodu v prvním kvadrantu, podle osy `x`, podle osy `y` nebo podle počátku. Stačí proto najít základní úhel, tedy ostrý úhel, který rameno svírá s osou `x`, a doplnit znaménko. Postup:

1. Pokud je úhel větší než 360° nebo záporný, přičtěte nebo odečtěte celé otočky (násobky 360°, v radiánech `2\pi`), až bude mezi 0° a 360°.
2. Určete kvadrant.
3. Spočítejte základní úhel podle tabulky níže. Vždy je to odchylka od osy `x`, nikdy od osy `y`.
4. Vezměte hodnotu základního úhlu z prvního kvadrantu.
5. Doplňte znaménko podle kvadrantu.

V radiánech pomáhá nejdřív zlomek zkrátit a porovnat ho s `\pi`. Například `\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}` je menší než `\pi` a větší než `\frac{\pi}{2}`, leží tedy ve 2. kvadrantu a jeho základní úhel je `\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}`, ne `\frac{\pi}{6}`. Kdo si není jistý, převede radiány na stupně: `\frac{2\pi}{3} = 120^\circ`.

Jednotková kružnice: řešené příklady

Příklad 1: sin, cos a tg úhlu 210°

Úhel 210° leží mezi 180° a 270°, tedy ve 3. kvadrantu. Základní úhel je `210^\circ - 180^\circ = 30^\circ`. V prvním kvadrantu je `\sin 30^\circ = \frac{1}{2}`, `\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}` a `\operatorname{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}`. Ve 3. kvadrantu jsou sinus i kosinus záporné, tangens kladný:

`\begin{gathered}\sin 210^\circ = -\dfrac{1}{2}\\[10pt]\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[10pt]\operatorname{tg}210^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{gathered}`

Kontrola: bod `\left[-\frac{\sqrt{3}}{2};\ -\frac{1}{2}\right]` leží vlevo dole a blíž ose `x` než ose `y`, jak má úhel o 30° za osou `x` ležet.

Příklad 2: hodnoty pro 5π/3

Úhel `\frac{5\pi}{3}` je větší než `\frac{3\pi}{2}` a menší než `2\pi`, leží ve 4. kvadrantu (ve stupních 300°). Základní úhel je `2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}`, tedy 60°. Ve 4. kvadrantu je kladný jen kosinus:

`\begin{gathered}\sin\dfrac{5\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[10pt]\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\\[10pt]\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}\end{gathered}`

Příklad 3: záporný úhel −45°

Úhel `-45^\circ` se měří po směru hodinových ručiček a končí ve 4. kvadrantu, na stejném místě jako `-45^\circ + 360^\circ = 315^\circ`. Základní úhel je 45°, sinus je záporný a kosinus kladný:

`\begin{gathered}\sin(-45^\circ) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[10pt]\cos(-45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}`

Obecně platí `\sin(-\alpha) = -\sin\alpha` a `\cos(-\alpha) = \cos\alpha`: bod pro `-\alpha` je obraz bodu pro `\alpha` v osové souměrnosti podle osy `x`, výška změní znaménko a vodorovná souřadnice zůstane.

Příklad 4: úhel větší než 2π

Určete `\sin\frac{10\pi}{4}`, `\cos\frac{10\pi}{4}` a `\operatorname{tg}\frac{10\pi}{4}`. Nejdřív zkrátíme: `\frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}`. Po odečtení celé otočky zbude `\frac{\pi}{2}`, tedy 90°, bod `[0;\ 1]`:

`\sin\dfrac{10\pi}{4} = 1 \qquad \cos\dfrac{10\pi}{4} = 0`

Tangens neexistuje, protože kosinus je nula. Chyba, které se tu dá snadno dopustit, je vzít z `\frac{10\pi}{4}` jen „čtvrtinu“ a počítat s `\frac{\pi}{4}`. Vždy nejdřív zkraťte a odečtěte násobky `2\pi`.

Příklad 5: kabina na ruském kole

Ruské kolo má poloměr 20 m a jeho střed je 22 m nad zemí. Kabina začíná na úrovni středu, vpravo od něj, a kolo se otočí o 210° proti směru hodinových ručiček. Jak vysoko je kabina a jak daleko od svislé osy kola?

Kolo je jednotková kružnice zvětšená dvacetkrát. Poloha kabiny vůči středu je `[20\cos 210^\circ;\ 20\sin 210^\circ]`. Z příkladu 1 víme, že `\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}` a `\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}`:

`\begin{gathered}v = 22 + 20 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 12\ \mathrm{m}\\[10pt]x = 20 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \doteq -17{,}3\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kabina je 12 m nad zemí a 17,3 m vlevo od osy kola. Kontrola: 210° je o 30° za vodorovnou polohou vlevo, takže kabina má být pod středem, ale ne o moc. Vyšlo 10 m pod středem, polovina poloměru, jak odpovídá úhlu 30°.

Jak si jednotkovou kružnici zapamatovat

Učit se šestnáct bodů nazpaměť není potřeba. Stačí první kvadrant a v něm platí jednoduchý vzor: sinus pro 0°, 30°, 45°, 60° a 90° je odmocnina z 0, 1, 2, 3 a 4, vydělená dvěma.

Kosinus je stejná řada pozpátku, protože `\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)`. Ve zbytku kružnice pak pomůže obrázek: bod blízko osy `x` (30°, 150°, 210°, 330°) má malou výšku, jeho sinus má velikost `\frac{1}{2}` a kosinus `\frac{\sqrt{3}}{2}`. Bod blízko osy `y` (60°, 120°, 240°, 300°) naopak. Body na úhlopříčkách (45°, 135°, 225°, 315°) mají obě souřadnice velikosti `\frac{\sqrt{2}}{2}`. Znaménko doplníte podle kvadrantu.

Hodnoty se nejlépe usadí opakováním. Procvičování hodnot na jednotkové kružnici se ptá oběma směry, od úhlu k hodnotě i od hodnoty k úhlu.

Časté chyby

• Prohozený sinus a kosinus. Kosinus je `x`, sinus `y`, ve stejném pořadí jako v zápisu bodu `[x;\ y]`. Kontrola: `\sin 90^\circ = 1`, protože bod pro 90° leží nahoře.
• Základní úhel měřený od osy y. Pro 120° to není 30°, ale `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`. Měří se vždy k ose `x`.
• Zapomenuté znaménko. Základní úhel dává jen velikost. Než hodnotu zapíšete, řekněte si, ve kterém kvadrantu úhel leží.
• Nezkrácený zlomek v radiánech. `\frac{4\pi}{6}` není „něco se šestinou“, je to `\frac{2\pi}{3}`, tedy 120°.
• Kalkulačka ve špatném režimu. `\sin 30` v radiánech dá `-0{,}988`. Pokud vyjde nesmysl, zkontrolujte, zda je nastaveno DEG, nebo RAD.
• Tangens 90° „je nekonečno“. Není, neexistuje. Kalkulačka ukáže chybu, a to je správná odpověď.

Příklady k procvičení

Kam dál

Hodnoty z kružnice nejrychleji usadí procvičování hodnot na jednotkové kružnici a převod úhlů procvičování stupňů a radiánů. Z kalkulaček se hodí jednotková kružnice s vaším úhlem, hodnoty goniometrických funkcí a tabulka hodnot. Základy v pravoúhlém trojúhelníku vysvětluje úvod do goniometrie, grafy funkcí ukazují články funkce sinus a kosekans, funkce kosinus a sekans a funkce tangens a kotangens a na kružnici přímo navazují goniometrické rovnice.