Úvod do Goniometrie/Trigonometrie

Goniometrie je část matematiky o goniometrických funkcích sinus, kosinus, tangens a kotangens. Její nejpoužívanější část, trigonometrie, s nimi počítá strany a úhly trojúhelníků. Celé to stojí na čtyřech poměrech stran pravoúhlého trojúhelníku:

`\begin{gathered}\sin\alpha=\dfrac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}\\[10pt]\cos\alpha=\dfrac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}\\[10pt]\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přilehlá odvěsna}}\\[10pt]\operatorname{cotg}\alpha=\dfrac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{protilehlá odvěsna}}\end{gathered}`

Slovy: sinus je protilehlá ku přeponě, kosinus přilehlá ku přeponě, tangens protilehlá ku přilehlé a kotangens přilehlá ku protilehlé. V českých učebnicích se píše tg a cotg, na kalkulačkách a v angličtině najdete tan a cot. Jde o totéž.

Slova goniometrie a trigonometrie pocházejí z řečtiny: gónia je úhel, trigónon trojúhelník a metrein měřit. V angličtině se celému oboru říká trigonometry, česká škola obvykle mluví o goniometrii.

Sinus, kosinus a tangens v pravoúhlém trojúhelníku

Vezměme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a ostrým úhlem `\alpha` u vrcholu A. Přepona c leží naproti pravému úhlu. Ze dvou odvěsen je jedna protilehlá (leží naproti úhlu `\alpha`) a druhá přilehlá (tvoří jedno z ramen úhlu `\alpha`).

Pro úhel `\alpha` tedy platí:

`\sin\alpha=\frac{a}{c}\qquad\cos\alpha=\frac{b}{c}`
`\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}\qquad\operatorname{cotg}\alpha=\frac{b}{a}`

Protilehlá a přilehlá nejsou pevné názvy stran, vždy se vztahují k úhlu, se kterým právě počítáte. Pro druhý ostrý úhel `\beta` u vrcholu B se role odvěsen prohodí: protilehlá je b, přilehlá a. Proto `\sin\beta=\frac{b}{c}=\cos\alpha`. Právě tady vzniká nejvíc chyb, takže než dosadíte, ukažte si prstem na úhel a na stranu naproti němu.

Hodnota poměru nezávisí na tom, jak velký trojúhelník je. Všechny pravoúhlé trojúhelníky s úhlem 30° jsou si podobné, takže poměr protilehlé odvěsny a přepony vyjde u malého i velkého stejně, vždy `\frac{1}{2}`. Díky tomu jsou sinus, kosinus i tangens funkcemi úhlu, ne konkrétního trojúhelníku.

Jak si to zapamatovat

• Přepona je jen ve jmenovateli sinu a kosinu. Tangens a kotangens pracují jen s odvěsnami.
• Sinus začíná protilehlou, kosinus přilehlou. Kosinus je „ko-“, tedy ten druhý: bere tu odvěsnu, kterou sinus nechal ležet.
• Kotangens je převrácený tangens: `\operatorname{cotg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}`.
• Anglická pomůcka SOH-CAH-TOA: Sine = Opposite / Hypotenuse, Cosine = Adjacent / Hypotenuse, Tangent = Opposite / Adjacent.

Definice si můžete rovnou ověřit v procvičování goniometrie v pravoúhlém trojúhelníku: ze tří stran určíte poměr a výsledek vždy vyjde přesný zlomek.

Vzorce pro výpočet stran a úhlů

Z definic stačí jednoduše vyjádřit neznámou. Podle toho, co znáte, použijete jeden z těchto vzorců:

Pro poslední řádek potřebujete kalkulačku a tlačítka sin⁻¹, cos⁻¹ a tan⁻¹. Z hodnoty sinu, kosinu nebo tangens vrátí úhel. Online to zvládnou kalkulačky arkussinus, arkuskosinus a arkustangens.

Mezi funkcemi samotnými platí několik vztahů, které se hodí pořád:

`\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1`
`\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}`
`\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha`

První z nich, goniometrická jednička, je Pythagorova věta vydělená `c^2`. Díky ní stačí znát jednu hodnotu a ostatní se dopočítají, což umí kalkulačka z sinu dopočítat kosinus a tangens. Další vzorce (součtové, dvojnásobného úhlu a jiné) najdete v článku goniometrické vzorce.

Hodnoty pro 30°, 45° a 60° bez kalkulačky

Tři úhly se v úlohách objevují tak často, že se jejich hodnoty vyplatí znát. Nemusíte se je učit nazpaměť, dají se kdykoli odvodit ze dvou trojúhelníků:

Úhel 45°. Úhlopříčka rozdělí čtverec o straně 1 na dva pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami 1 a 1. Přepona je podle Pythagorovy věty `\sqrt{2}`, a tedy `\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}` a `\operatorname{tg}45^\circ=1`.

Úhly 30° a 60°. Výška rozdělí rovnostranný trojúhelník o straně 2 na dva pravoúhlé. Přepona je 2, kratší odvěsna 1 (polovina strany) a delší `\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}`. Naproti kratší odvěsně leží úhel 30°, proto `\sin 30^\circ=\frac{1}{2}`, `\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}` a `\operatorname{tg}30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}`. U úhlu 60° se protilehlá a přilehlá prohodí.

Pomůcka pro sinus: zapište hodnoty jako `\frac{\sqrt{0}}{2},\ \frac{\sqrt{1}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{4}}{2}`. Po zjednodušení vyjde přesně řádek sinu, pod odmocninou stačí počítat 0, 1, 2, 3, 4. Kosinus má stejná čísla v opačném pořadí.

Tabulka goniometrických funkcí od 0° do 360°

Pro úhly větší než 90° už pravoúhlý trojúhelník nestačí a funkce se definují na jednotkové kružnici. Hodnoty se opakují, mění se jen znaménka podle toho, ve kterém kvadrantu úhel leží. Sinus je kladný v 1. a 2. kvadrantu, kosinus v 1. a 4., tangens a kotangens v 1. a 3.

Hodnotu pro libovolný úhel ve stupních i radiánech spočítá kalkulačka sinus, kosinus a tangens úhlu, celou tabulku vypíše tabulka hodnot goniometrických funkcí a hodnoty na kružnici si procvičíte v procvičování hodnot na jednotkové kružnici. Podrobně se jednotlivým funkcím a jejich grafům věnují články funkce sinus, funkce kosinus a funkce tangens a kotangens.

Řešené příklady

Příklad 1: všechny funkce ze dvou stran

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny `a=6` cm a `b=8` cm. Určete sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu `\alpha`, který leží naproti odvěsně a.

Nejdřív dopočítáme přeponu: `c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10` cm. Odvěsna a je k úhlu `\alpha` protilehlá, b přilehlá:

`\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\qquad\cos\alpha=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}`
`\operatorname{tg}\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\qquad\operatorname{cotg}\alpha=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}`

Kalkulačka k tomu dá úhel `\alpha=\operatorname{arctg}\frac{3}{4}\doteq 36{,}87^\circ`, tedy asi 36° 52′.

Příklad 2: odvěsna z úhlu a druhé odvěsny

V pravoúhlém trojúhelníku leží naproti úhlu 30° odvěsna dlouhá 30 cm. Jak dlouhá je druhá odvěsna z?

Známe protilehlou odvěsnu a hledáme přilehlou. Obě jsou odvěsny, takže sáhneme po tangens:

`\operatorname{tg}30^\circ=\frac{30}{z}`
`z=\frac{30}{\operatorname{tg}30^\circ}=\dfrac{30}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{90}{\sqrt{3}}`
`z=30\sqrt{3}\doteq 51{,}96\ \mathrm{cm}`

Kontrola: přilehlá odvěsna vyšla delší než protilehlá, což u úhlu menšího než 45° tak má být.

Příklad 3: sklon sjezdovky

Sjezdovka je dlouhá 3 000 m a překonává výškový rozdíl 1 500 m. Jaký průměrný úhel svírá s vodorovnou rovinou?

Délka sjezdovky je přepona, výškový rozdíl je odvěsna protilehlá k hledanému úhlu. Poměr protilehlé a přepony je sinus:

`\sin\alpha=\frac{1\,500}{3\,000}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\alpha=30^\circ`

Tady ani není potřeba kalkulačka, hodnotu `\frac{1}{2}` má sinus 30° podle tabulky výše.

Příklad 4: výška stromu podle stínu

Strom vrhá stín dlouhý 12 m. Slunce je právě 35° nad obzorem. Jak je strom vysoký?

Strom, stín a sluneční paprsek tvoří pravoúhlý trojúhelník. Stín je přilehlá odvěsna k úhlu 35°, výška stromu protilehlá:

`v=12\cdot\operatorname{tg}35^\circ\doteq 12\cdot 0{,}7002\doteq 8{,}40\ \mathrm{m}`

Příklad 5: úhel nájezdové rampy

Rampa pro vozíčkáře má stoupat nejvýš 1 : 12, tedy na každých 12 m vodorovně nanejvýš 1 m nahoru. Jaký je to úhel?

Výška a vodorovná délka jsou obě odvěsny, takže:

`\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{12}`
`\alpha=\operatorname{arctg}\frac{1}{12}\doteq 4{,}76^\circ`

Tedy necelých 5°, přesněji asi 4° 46′. Úhly z hodnot takhle spočítá kalkulačka arkustangens, celý trojúhelník i s postupem pak kalkulačky pravoúhlý trojúhelník z odvěsny a úhlu a pravoúhlý trojúhelník z přepony a úhlu.

Pozor na kalkulačku: stupně, nebo radiány

Když vám kalkulačka tvrdí, že `\sin 30^\circ\doteq -0{,}988`, není rozbitá. Je přepnutá na radiány a počítá sinus třiceti radiánů. Úhly ve stupních chtějí režim DEG (na displeji často malé D), radiány režim RAD (R). Rychlý test: `\sin 30` musí vyjít 0,5.

Radián je jiná jednotka úhlu: plný úhel 360° má `2\pi` radiánů, takže `180^\circ=\pi`. Převádět můžete kalkulačkami stupně na radiány a radiány na stupně.

Kosekans a sekans

K sinu a kosinu existují ještě převrácené funkce: kosekans `\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{\text{přepona}}{\text{protilehlá}}` a sekans `\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{\text{přepona}}{\text{přilehlá}}`. V české škole se téměř nepoužívají, protože vše, co umějí, zvládne i sinus a kosinus. Objevují se hlavně v anglické literatuře.

Když trojúhelník není pravoúhlý

Definice přes protilehlou a přilehlou odvěsnu platí jen v pravoúhlém trojúhelníku. Obecný trojúhelník se buď rozdělí výškou na dva pravoúhlé, nebo se použijí sinová a kosinová věta. Ty spočítá i kalkulačka pro trojúhelník ze tří stran nebo ze dvou stran a úhlu.

A kde se goniometrie vzala? První tabulky podobné těm dnešním sestavil kolem roku 150 př. n. l. řecký astronom Hipparchos, aby mohl počítat polohy hvězd. Místo sinu tabuloval délky tětiv v kružnici. Sinus v dnešní podobě zavedli indičtí matematici a slovo samo vzniklo omylem: arabské slovo pro tětivu si středověcí překladatelé spletli s podobně psaným slovem pro záhyb či zátoku, a to se latinsky řekne sinus.

Příklady k procvičení

Zkuste je nejdřív spočítat sami, řešení se zobrazí tlačítkem.

`\sin\alpha=\frac{5}{13}\qquad\cos\alpha=\frac{12}{13}\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}`

`b=20\cdot\cos 30^\circ=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}`
`b=10\sqrt{3}\doteq 17{,}32\ \mathrm{cm}`

`v=6\cdot\sin 70^\circ\doteq 6\cdot 0{,}9397\doteq 5{,}64\ \mathrm{m}`
`d=6\cdot\cos 70^\circ\doteq 6\cdot 0{,}3420\doteq 2{,}05\ \mathrm{m}`

`\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{100}=0{,}08\quad\Rightarrow\quad\alpha\doteq 4{,}57^\circ`

`\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}36}`
`\cos\alpha=\sqrt{0{,}64}=0{,}8`

`h=50\cdot\sin 40^\circ\doteq 50\cdot 0{,}6428\doteq 32{,}14\ \mathrm{m}`

Kam dál

Definice sinu, kosinu a tangens nejlépe usadí procvičování goniometrie v trojúhelníku. Na úhly větší než 90° navazuje jednotková kružnice, kterou si můžete i nakreslit s vlastním úhlem, a po ní goniometrické rovnice s vlastním procvičováním. Pro trojúhelníky, které nejsou pravoúhlé, slouží sinová a kosinová věta a vzorce pro všechny druhy trojúhelníků jsou v přehledu vzorců pro trojúhelník.