Funkce tangens a kotangens

Tangens je goniometrická funkce, která úhlu přiřadí podíl jeho sinu a kosinu. V pravoúhlém trojúhelníku je to poměr protilehlé odvěsny k přilehlé. Kotangens je převrácená hodnota tangens: přilehlá odvěsna ku protilehlé, neboli kosinus lomeno sinem.

`\begin{gathered}\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\[10pt]\operatorname{cotg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}\end{gathered}`

V českých učebnicích se píše tg a cotg, na kalkulačkách a v anglické literatuře tan a cot. Jde o tytéž funkce. Kotangens na kalkulačce obvykle tlačítko nemá, spočítá se jako `1 : \operatorname{tg}x`.

Na rozdíl od sinu a kosinu nejsou tangens a kotangens omezené. Jejich hodnoty jdou od minus do plus nekonečna a graf se skládá z nekonečně mnoha oddělených větví. Obě funkce mají periodu `\pi`, tedy 180°, ne `2\pi` jako sinus a kosinus.

Tento článek navazuje na úvod do goniometrie, kde je definice v pravoúhlém trojúhelníku rozebraná podrobně, a na jednotkovou kružnici. Tady jde hlavně o to, jak tangens a kotangens vypadají jako funkce: graf, vlastnosti a jak graf narýsovat.

Tangens a kotangens na jednotkové kružnici

V pravoúhlém trojúhelníku má smysl jen ostrý úhel. Pro libovolné `x` se tangens definuje na jednotkové kružnici (kružnice se středem v počátku a poloměrem 1). Rameno úhlu `\alpha` vedené z počátku prodloužíme na celou přímku a najdeme její průsečík T se svislou přímkou `x = 1`. Jeho souřadnice `y` je právě `\operatorname{tg}\alpha`. U úhlů ve 2. a 3. kvadrantu protne přímka tečnu až za počátkem, pod osou `x` nebo nad ní, a tangens vyjde se správným znaménkem.

Přímka `x = 1` se kružnice dotýká, je to její tečna, latinsky tangens. Odtud jméno funkce. Kotangens se na obrázku čte stejně, jen na vodorovné tečně `y = 1`: souřadnice `x` průsečíku K je `\operatorname{cotg}\alpha`. Pro `\alpha = 55^\circ` vychází `\operatorname{tg}55^\circ \doteq 1{,}43` a `\operatorname{cotg}55^\circ \doteq 0{,}70`.

Z obrázku je vidět i to hlavní omezení. Při `\alpha = 90^\circ` je přímka svislá, s tečnou `x = 1` je rovnoběžná a nikdy ji neprotne. Proto `\operatorname{tg}90^\circ` neexistuje. Ve vzorci je to totéž: `\cos 90^\circ = 0` a nulou dělit nelze. Kotangens zase neexistuje pro 0° a 180°, kde je nulový sinus.

Graf funkce tangens

Grafu funkce `y = \operatorname{tg}x` se říká tangentoida. Je to řada stejných rostoucích větví. Každá leží mezi dvěma svislými asymptotami, prochází osou `x` přesně uprostřed mezi nimi a u asymptot utíká do nekonečna.

Jednu větev narýsujete ve třech krocích:

1. Asymptoty. Čárkovaně svislé přímky `x = -\frac{\pi}{2}` a `x = \frac{\pi}{2}`. V těchto bodech je kosinus nulový a funkce tam není definovaná.
2. Tři body. Střed větve `[0;\ 0]` a dva body, kde je tangens roven jedné a minus jedné: `[\frac{\pi}{4};\ 1]` a `[-\frac{\pi}{4};\ {-1}]`.
3. Tvar. Body spojte křivkou, která je kolem počátku skoro přímka se sklonem 45° a u asymptot se k nim přimyká, ale nikdy se jich nedotkne.

Další větve jsou kopie první posunuté o `\pi` doleva i doprava. Pro přesnější náčrt se hodí pár hodnot navíc. Stačí kladné `x`, protože tangens je lichá funkce a pro `-x` vyjde totéž se znaménkem minus:

Tangens libovolného úhlu, ve stupních i radiánech, spočítá kalkulačka hodnot goniometrických funkcí a celou tabulku najdete v tabulce hodnot.

Vlastnosti funkce tangens

• Definiční obor: všechna reálná čísla kromě lichých násobků `\frac{\pi}{2}`, tedy `D(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi;\ k \in \mathbb{Z}\right\}`.
• Obor hodnot: `H(f) = \mathbb{R}`. Tangens nabude libovolné hodnoty, je neomezená a nemá maximum ani minimum.
• Perioda: `\pi`, tedy `\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg}x`.
• Lichá funkce: `\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x`, graf je souměrný podle počátku.
• Monotonie: rostoucí na každém intervalu `\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)`. Na celém definičním oboru rostoucí není, viz časté chyby níže.
• Nulové body: `x = k\pi`, tedy 0°, 180°, 360°, ...
• Asymptoty: svislé přímky `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`.

Všude `k` znamená libovolné celé číslo. Co přesně znamená lichá, omezená nebo periodická funkce, vysvětluje článek vlastnosti funkcí, asymptotám se věnuje asymptota funkce.

Graf funkce kotangens

Graf funkce `y = \operatorname{cotg}x` tvoří také stejné větve s periodou `\pi`, jen klesající. Asymptoty leží tam, kde je nulový sinus, tedy v `x = 0`, `x = \pi`, `x = -\pi` a tak dál.

Rýsuje se stejně jako tangens. Asymptoty `x = 0` a `x = \pi`, uprostřed mezi nimi průsečík s osou `[\frac{\pi}{2};\ 0]`, a dva body `[\frac{\pi}{4};\ 1]` a `[\frac{3\pi}{4};\ {-1}]`. Větev jde zleva shora dolů.

Šedá čárkovaná křivka v obrázku je pro srovnání tangens. Kde má tangens nulový bod, má kotangens asymptotu, a naopak. Graf kotangens dostanete z grafu tangens tak, že ho překlopíte podle osy `y` a posunete o `\frac{\pi}{2}` doprava, protože platí `\operatorname{cotg}x = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)`.

Vlastnosti funkce kotangens

• Definiční obor: `D(f) = \mathbb{R} \setminus \{k\pi;\ k \in \mathbb{Z}\}`.
• Obor hodnot: `H(f) = \mathbb{R}`, funkce je neomezená.
• Perioda: `\pi`.
• Lichá funkce: `\operatorname{cotg}(-x) = -\operatorname{cotg}x`.
• Monotonie: klesající na každém intervalu `(k\pi;\ \pi + k\pi)`.
• Nulové body: `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`, tedy 90°, 270°, ...
• Asymptoty: svislé přímky `x = k\pi`.

Tangens a kotangens: srovnání a tabulka hodnot

Obě funkce mají vždy stejné znaménko, protože jedna je převrácená hodnota druhé: `\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{cotg}x = 1`. Kladné jsou tam, kde mají sinus a kosinus stejné znaménko, tedy v 1. a 3. kvadrantu, záporné ve 2. a 4.

Hodnoty pro nejčastější úhly je dobré znát zpaměti:

Od 180° do 360° se hodnoty opakují, protože perioda je 180°: `\operatorname{tg}210^\circ = \operatorname{tg}30^\circ`, `\operatorname{tg}315^\circ = \operatorname{tg}135^\circ = -1`. Tabulku si můžete vyzkoušet na procvičování hodnot na jednotkové kružnici.

Graf funkce y = a · tg(bx + c) + d

Ve škole se rýsují i upravené funkce tvaru `y = a\operatorname{tg}(bx + c) + d`. Každý parametr dělá s grafem jednu věc:

• `a` graf svisle natáhne. Místo bodů s hodnotou 1 a `-1` dostanete `a` a `-a`. Je-li `a` záporné, graf se navíc překlopí podle osy `x` a z rostoucích větví jsou klesající.
• `b` mění periodu. Nová perioda je `\dfrac{\pi}{|b|}`.
• `c` graf vodorovně posune. Posun ale není `c`, nýbrž `-\dfrac{c}{b}`. Nejbezpečnější je vytknout `b`: `\operatorname{tg}(2x - \pi) = \operatorname{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)` je posun o `\frac{\pi}{2}` doprava, ne o `\pi`.
• `d` graf posune svisle, o `d` nahoru.

Pro kotangens platí úplně totéž. Postup je vždy stejný: najít asymptoty, najít střed větve (bod, který vznikl z počátku) a dva body po stranách, kde má základní funkce hodnoty 1 a `-1`.

Příklad 1: y = 2 tg x − 2

Perioda i asymptoty se nemění: `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`. Střed větve se posune z počátku o 2 dolů do bodu `[0;\ {-2}]`. Body po stranách: v `x = \frac{\pi}{4}` je `y = 2 \cdot 1 - 2 = 0` a v `x = -\frac{\pi}{4}` je `y = 2 \cdot (-1) - 2 = -4`.

Graf tedy protíná osu `x` v bodě `\frac{\pi}{4}`, ne v nule. Kontrola: rovnice `2\operatorname{tg}x - 2 = 0` dává `\operatorname{tg}x = 1`, a to platí právě pro `x = \frac{\pi}{4} + k\pi`.

Příklad 2: y = −tg(x/2)

Tady je `b = \frac{1}{2}`, takže perioda je

`\dfrac{\pi}{b} = \dfrac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi`

Asymptoty najdeme z podmínky, že argument tangens nesmí být `\frac{\pi}{2} + k\pi`: `\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi`, tedy `x = \pi + 2k\pi`. Nejbližší jsou `x = -\pi` a `x = \pi`. Střed větve zůstává v počátku.

Body po stranách leží v polovině cesty k asymptotám. V `x = \frac{\pi}{2}` je `y = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1` a v `x = -\frac{\pi}{2}` je `y = 1`. Znaménko minus graf překlopilo, větve jsou klesající.

Příklad 3: y = −2 tg(½(x − π)) + 1

Nejtěžší varianta, mění se všechno najednou. Rozepíšeme si parametry: `a = -2`, perioda `2\pi`, vodorovný posun o `\pi` doprava, svislý posun o 1 nahoru.

1. Střed větve. Počátek se posune do bodu `[\pi;\ 1]`. Veďte jím pomocnou vodorovnou přímku `y = 1` a svislou `x = \pi` (v obrázku zeleně). Poslouží jako nové osy.
2. Asymptoty. Z podmínky `\frac{1}{2}(x - \pi) = \frac{\pi}{2} + k\pi` vyjde `x = 2\pi + 2k\pi`, tedy `x = 0`, `x = 2\pi`, `x = 4\pi` a tak dál. Střed `\pi` leží přesně mezi 0 a `2\pi`, což je dobrá kontrola.
3. Body po stranách. V `x = \frac{\pi}{2}` je argument `-\frac{\pi}{4}`, takže `y = -2 \cdot (-1) + 1 = 3`. V `x = \frac{3\pi}{2}` je argument `\frac{\pi}{4}` a `y = -2 \cdot 1 + 1 = -1`.

Graf klesá, protože `a` je záporné. Kdo by zapomněl na minus, dostal by rostoucí větve a bod `[\frac{\pi}{2};\ {-1}]` místo `[\frac{\pi}{2};\ 3]`.

Příklad 4: y = 2 cotg(x/2 − π) + 1

Perioda je opět `\frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi`. Po vytknutí `b` dostaneme `\operatorname{cotg}\left(\frac{1}{2}(x - 2\pi)\right)`, tedy posun o `2\pi` doprava. Jenže `2\pi` je zrovna celá perioda této funkce, takže posunutý graf splyne s neposunutým. Stejně to ukáže úprava `\operatorname{cotg}\left(\frac{x}{2} - \pi\right) = \operatorname{cotg}\frac{x}{2}`, protože kotangens má periodu `\pi`.

Rýsujeme tedy jednoduše `y = 2\operatorname{cotg}\frac{x}{2} + 1`. Asymptoty jsou tam, kde `\frac{x}{2} = k\pi`, tedy `x = 2k\pi`. Střed větve mezi asymptotami 0 a `2\pi` je `[\pi;\ 1]`, body po stranách `[\frac{\pi}{2};\ 3]` a `[\frac{3\pi}{2};\ {-1}]`. Větve jsou klesající, protože kotangens klesá a `a = 2` je kladné.

Tangens v praxi: sklon a stoupání

Stoupání silnice v procentech je tangens úhlu sklonu. Značka „12 %“ znamená, že na 100 metrů vodorovně silnice vystoupá o 12 metrů, tedy `\operatorname{tg}\alpha = 0{,}12`.

Příklad 5: silnice se stoupáním 12 %

Jaký úhel svírá silnice s vodorovnou rovinou a o kolik metrů vystoupá, když na mapě měří 1,5 km?

`\operatorname{tg}\alpha = 0{,}12`
`\alpha = \operatorname{arctg}0{,}12 \doteq 6{,}8^\circ`
`h = 1500 \cdot 0{,}12 = 180\ \mathrm{m}`

Úhel spočítá kalkulačka arkustangens, na kalkulačce je to tlačítko tan⁻¹. Kontrola rozumnosti: 12 % zní jako prudký kopec, ale úhel je necelých 7°. Stoupání 100 % by odpovídalo úhlu 45°, protože `\operatorname{tg}45^\circ = 1`. Mapa ukazuje vodorovnou vzdálenost, proto se výška počítá přímo z tangens a není potřeba sinus.

Další úlohy na tangens v trojúhelníku, například výšku stromu podle stínu, najdete v úvodu do goniometrie a procvičit je můžete v goniometrii v trojúhelníku.

Časté chyby

• Perioda `2\pi`. Sinus a kosinus mají periodu `2\pi`, tangens a kotangens jen `\pi`. Proto má rovnice `\operatorname{tg}x = 1` v intervalu `\langle 0;\ 2\pi)` dvě řešení vzdálená přesně o `\pi`: `\frac{\pi}{4}` a `\frac{5\pi}{4}`.
• „Tangens je rostoucí.“ Je rostoucí na každé větvi zvlášť, ne na celém definičním oboru. Například `\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \doteq 1{,}73`, ale `\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} \doteq -1{,}73`, i když `\frac{2\pi}{3}` je větší číslo.
• Spojování větví přes asymptotu. Graf v asymptotě nepokračuje, větve se nespojují ani nahoře, ani dole.
• tan⁻¹ není kotangens. Tlačítko tan⁻¹ je arkustangens, tedy úhel k danému tangens. Kotangens spočítáte jako 1 ÷ tan.
• Stupně a radiány. `\operatorname{tg}1^\circ \doteq 0{,}017`, ale `\operatorname{tg}1 \doteq 1{,}557` (jeden radián). Zkontrolujte, v jakém režimu kalkulačka je; pomůže převod stupňů na radiány.
• `\operatorname{tg}90^\circ` na kalkulačce. Kalkulačka ohlásí chybu, a má pravdu. Hodnota neexistuje. Pro úhly těsně pod 90° je tangens obrovský: `\operatorname{tg}89^\circ \doteq 57{,}3`.

Příklady k procvičení

Kam dál

Hodnoty tangens a kotangens pro běžné úhly usadí procvičování hodnot na jednotkové kružnici, rovnice s tangens pak procvičování goniometrických rovnic. Z kalkulaček se hodí hodnoty goniometrických funkcí, arkustangens a jednotková kružnice s vlastním úhlem. Sesterské funkce jsou popsané v článcích funkce sinus a kosekans a funkce kosinus a sekans, vztahy mezi všemi čtyřmi shrnují goniometrické vzorce a na řešení rovnic navazují goniometrické rovnice.