Funkce tangens a kotangens

Vydáno dne 26. 10. 2008 v kategorii Goniometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 72 249

Vysvětlíme co je to tangens a kotangens a naučíme se rýsovat jejich grafy.

Pokud chcete tomuto článku lépe porozumět, doporučuji přečíst články Úvod do Goniometrie/Trigonometrie a Jednotková kružnice.

Tangens

Tangens je další z řady goniometrických funkcí. Tangens je definován jako poměr protilehlé strany k přilehlé straně v pravoúhlém trojúhelníku. Další možná definice této funkce je $tan x=\frac{sin x}{cos x}$ .

Vlastnosti funkce

Definiční obor: $\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$
Obor hodnot: $(-\infty;\infty)$
lichá funkce
neomezená
periodická s periodou $k\pi$

Rýsování grafu

Rýsování grafu této funkce není jednoduché. Nejprve si musíme ukázat předpis této funkce: a*tan(b*x+c)+d . Parametr a určuje strmost grafu, parametr b mění velikost periody, parametr c je horizontální posun na ose x a parametr d určuje velikost posunu ve vertikálním směru (tedy na ose y).

1) Narýsujte graf funkce tan x.

Nejdříve musíme zkontrolovat, zda je nějaký vertikální nebo horizontální posun. V tomto případě není. Nyní musíme zjisti, jaká je perioda této funkce → $perioda = \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{1}=\pi$ . Začneme v bodě (0; 0). Další bod, který můžeme najít záleží na hodnotě parametru a. Tato hodnota je v tomto případě 1 a proto bude další bod na souřadnicích $(\frac{\pi}{4}, a)=(\frac{\pi}{4}, 1)$ . V bodě $\frac{\pi}{2}$ není funkce definována. Další bod je na souřadnicích $(\frac{\pi}{4}, -a)=(\frac{\pi}{4}, -1)$ a graf protne osu x v bodě (π, 0). Tímto jsme dokončili jednu periodu funkce. Dál by to bylo to samé.

2) Narýsujte graf funkce 2 tan(x)-2:

Vertikální posun je v tomto případě -2, což znamená, že musíme vytvořit novou osu x. Perioda je stejná, tedy π, ale změnila se hodnota parametru a.

3) Narýsujte graf funkce $-tan \frac{1}{2} x$ :

V tomto případě se změní perioda. Tu zjistíme, pokud použijeme vzorec: $perioda = \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi$ . Parametr a je záporný, tudíž bude funkce otočená kolem osy x (z bodu (0;0) povede tedy graf směrem dolů).

4) Narýsujte graf funkce $-2tan(\frac{1}{2}(x-\pi))+1$

Tento příklad je nejtěžší - musíme si poradit z horizontálním a vertikálním posunem a změnou periody. Začneme tím, že si vytvoříme novou osu x a novou osu y.

Nový souřadný systém je tvořen zelenými přímkami. Funkce bez horizontálního posunu je tečkovaná → výsledná funkce je ten nepřerušovaný graf.

Kotangens

Funkce kotangens je definována jako poměr přilehlé a protilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku. Tato funkce se také dá definovat jako $cot x = \frac{1}{tan x}$ .

Vlastnosti funkce

Definiční obor: $\mathbb{R}-k\pi$
Obor hodnot: $(-\infty;\infty)$
lichá funkce
neomezená
periodická s periodou $k\pi$

Rýsování grafu

Rýsování grafu této funkce je velice podobné rýsování grafu funkce tangens. Nejprve si musíme ukázat předpis této funkce: a*cot(b*x+c)+d . Parametr a určuje strmost grafu, parametr b mění velikost periody, parametr c je horizontální posun na ose x a parametr d určuje velikost posunu ve vertikálním směru (tedy na ose y).

1) Narýsujte graf funkce cot x.

Graf začneme rýsovat v bodě $(\frac{\pi}{2}, 0)$ . V tomto bodě protne graf osu x. Další bod, který můžeme bez problému najít je bod $(\frac{\pi}{4}, a)=(\frac{\pi}{4}, 1)$ . Poslední bod, který potřebujeme určit se nachází na souřadnicích $(\frac{\pi}{4}, -a)=(\frac{\pi}{4}, -1)$ . Tímto je dokončena jedna perioda funkce → donekonečna by graf vypadal stejně (předchozí obrázek je graf této funkce).

2) Narýsujte graf funkce $2 cot(\frac{1}{2}x-\pi)+1$

Toto je trochu těžší příklad. Perioda se změní: $perioda = \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi$ . Musíme se také postarat o vertikální a horizontální posun. Tím začneme → vytvoříme si novou osu x a novou osu y.

Funkce tangens a kotangens

Tangens

Vlastnosti funkce

Rýsování grafu

Kotangens

Vlastnosti funkce

Rýsování grafu

Test

Hlavolam