Funkce tangens a kotangens

Pokud chcete tomuto článku lépe porozumět, doporučuji přečíst články Úvod do Goniometrie/Trigonometrie a Jednotková kružnice.

Tangens

Tangens je další z řady goniometrických funkcí. Tangens je definován jako poměr protilehlé strany k přilehlé straně v pravoúhlém trojúhelníku. Další možná definice této funkce je `\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}`.

Vlastnosti funkce

• Definiční obor: `\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}`
• Obor hodnot: `(-\infty;\infty)`
• lichá funkce
• neomezená
• periodická s periodou `k\pi`

Rýsování grafu

Rýsování grafu této funkce není jednoduché. Nejprve si musíme ukázat předpis této funkce: `a*\tan(b*x+c)+d`. Parametr a určuje strmost grafu, parametr b mění velikost periody, parametr c je horizontální posun na ose x a parametr d určuje velikost posunu ve vertikálním směru (tedy na ose y).

1) Narýsujte graf funkce tan x.

Nejdříve musíme zkontrolovat, zda je nějaký vertikální nebo horizontální posun. V tomto případě není. Nyní musíme zjisti, jaká je perioda této funkce → `perioda = \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{1}=\pi`. Začneme v bodě (0; 0). Další bod, který můžeme najít záleží na hodnotě parametru a. Tato hodnota je v tomto případě 1 a proto bude další bod na souřadnicích `(\frac{\pi}{4}, a)=(\frac{\pi}{4}, 1)`. V bodě `\frac{\pi}{2}` není funkce definována. Další bod je na souřadnicích `(\frac{\pi}{4}, -a)=(\frac{\pi}{4}, -1)` a graf protne osu x v bodě (π, 0). Tímto jsme dokončili jednu periodu funkce. Dál by to bylo to samé.

2) Narýsujte graf funkce 2 tan(x)-2:

Vertikální posun je v tomto případě -2, což znamená, že musíme vytvořit novou osu x. Perioda je stejná, tedy π, ale změnila se hodnota parametru a.

3) Narýsujte graf funkce `-\tan \frac{1}{2} x`:

V tomto případě se změní perioda. Tu zjistíme, pokud použijeme vzorec: `perioda = \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi`. Parametr a je záporný, tudíž bude funkce otočená kolem osy x (z bodu (0;0) povede tedy graf směrem dolů).

4) Narýsujte graf funkce `-2\tan(\frac{1}{2}(x-\pi))+1`

Tento příklad je nejtěžší - musíme si poradit z horizontálním a vertikálním posunem a změnou periody. Začneme tím, že si vytvoříme novou osu x a novou osu y.

Nový souřadný systém je tvořen zelenými přímkami. Funkce bez horizontálního posunu je tečkovaná → výsledná funkce je ten nepřerušovaný graf.

Kotangens

Funkce kotangens je definována jako poměr přilehlé a protilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku. Tato funkce se také dá definovat jako `\cot x = \frac{1}{\tan x}`.

Vlastnosti funkce

• Definiční obor: `\mathbb{R}-k\pi`
• Obor hodnot: `(-\infty;\infty)`
• lichá funkce
• neomezená
• periodická s periodou `k\pi`

Rýsování grafu

Rýsování grafu této funkce je velice podobné rýsování grafu funkce tangens. Nejprve si musíme ukázat předpis této funkce: `a*\cot(b*x+c)+d`. Parametr a určuje strmost grafu, parametr b mění velikost periody, parametr c je horizontální posun na ose x a parametr d určuje velikost posunu ve vertikálním směru (tedy na ose y).

1) Narýsujte graf funkce cot x.

Graf začneme rýsovat v bodě `(\frac{\pi}{2}, 0)`. V tomto bodě protne graf osu x. Další bod, který můžeme bez problému najít je bod `(\frac{\pi}{4}, a)=(\frac{\pi}{4}, 1)`. Poslední bod, který potřebujeme určit se nachází na souřadnicích `(\frac{\pi}{4}, -a)=(\frac{\pi}{4}, -1)`. Tímto je dokončena jedna perioda funkce → donekonečna by graf vypadal stejně (předchozí obrázek je graf této funkce).

2) Narýsujte graf funkce `2 \cot(\frac{1}{2}x-\pi)+1`

Toto je trochu těžší příklad. Perioda se změní: `perioda = \frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi`. Musíme se také postarat o vertikální a horizontální posun. Tím začneme → vytvoříme si novou osu x a novou osu y.