Sinová věta
V trojúhelníku ABC s úhly α β γ platí:
Důkaz
Tuto větu dokážeme díky našim znalostem o pravoúhlých trojúhelnících. Bod P
je pata výšky na stranu c
.
|CP|=|AC|*sin(α) |CP|=|BC|*sin(β) |AC|*sin(α) = |BC|*sin(β) b*sin(α) = a*sin(β)
Díky této větě můžeme zároveň vypočítat poloměr kružnice opsané danému trojúhelníku.
Průměr =
Do tohoto vztahu můžeme samozřejmě dosadit další dvojice stran a úhlů (b
a β
, c
a γ
).
Příklady
Je dáno: β = 60°
, γ=100°
a a=2.6
. Najděte délku strany c
. Jelikož je toto článek o sinové větě, je tedy jasné, že k vyřešení tohoto problému musíme použít sinovou větu. Prvním krokem je ale nalezení velikosti úhlu α
: 180-(γ+β) = 20°
. Nyní dosadíme do vzorce:
Pokud jsou zadány dva úhly a jedna strana, situace je jednoduchá. Pokud jsou ale zadány dvě strany a úhel, který není mezi nimi, nastává malý problém. V tomto případě musíme před výpočtem testovat; buď získáme jeden, nebo dva trojúhelníky. V některých případech dokonce daný trojúhelník neexistuje. Testování probíhá následujícím způsobem:
- Tupý úhel
- Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
- Pokud je strana protilehlá k danému úhlu menší nebo rovná délce druhé strany, není žádné řešení.
- Ostrý úhel
- Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
- Pokud je délka protilehlé strany k danému úhlu menší nebo rovna než druhá strana musíme testovat (předpokládejme, že strana
b
je přilehlá strana a stranaa
je strana protilehlá):- - jedno řešení
- - existují dva trojúhelníky
- - neexistuje žádné řešení
Je dáno: α = 48°
, a=12
, b=13
. Úhel je ostrý a protilehlá strana je menší než strana přilehlá → musíme testovat. , → → existují dvě řešení. Začneme tak, že nalezneme úhel β
: . Nalezli jsme úhel β1
. Pro druhé řešení bude hodnota tohoto úhlu logicky jiná; velikost úhlu β2
je jednoduché: β2=180-β1=126.4
. Nyní by stačilo dořešit trojúhelníky, ale to už je jednoduché a proto to zde nebudu rozepisovat.
Kosinová věta
Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ platí následující věta:
Pythagorova věta je odvozena z kosinovy věty. Schválně zkuste ve vzorci c2 = b2 + a2 - 2*a*b*cos(γ)
dosadit za γ = 90°
. Jelikož cos(90) = 0
, můžeme škrtnout -2*a*b*cos(γ)
a zbude nám pouze Pythagorova věta c2 = b2 + a2
Je dáno: γ = 100.5°
, a=1.2
a b=2.6
. Najděte délku strany c
:
Je dáno: a=20
, b=18
a c=13
. Určete velikost úhlu α
.