Sinová a kosinová věta

Sinová věta říká, že v každém trojúhelníku je poměr strany a sinu protilehlého úhlu pro všechny tři strany stejný. Kosinová věta dopočítá třetí stranu ze dvou stran a úhlu, který svírají, a je to vlastně Pythagorova věta rozšířená na každý trojúhelník, nejen pravoúhlý. Slovensky se jim říká sínusová a kosínusová veta.

`\begin{gathered}\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2r \\[10pt] c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\end{gathered}`

Značení je obvyklé: strana `a` leží naproti vrcholu `A` a úhlu `\alpha`, strana `b` naproti `\beta`, strana `c` naproti `\gamma`, a `r` je poloměr kružnice opsané. Obě věty platí v ostroúhlém i tupoúhlém trojúhelníku.

Sinová věta se hodí, když znáte stranu a úhel naproti ní. Kosinová tam, kde takovou dvojici nemáte: dvě strany a úhel mezi nimi, nebo všechny tři strany.

Sinová, nebo kosinová věta?

Rozhoduje, co je v zadání. Stačí se podívat, jestli znáte nějakou stranu i s úhlem naproti ní.

Každý z těch pěti případů počítá i kalkulačka s nákresem a postupem: ze tří stran, ze dvou stran a úhlu mezi nimi, ze strany a dvou přilehlých úhlů, ze dvou úhlů a strany a ze dvou stran a úhlu proti straně. Jestli tři délky vůbec tvoří trojúhelník, ověří trojúhelníková nerovnost.

Sinová věta

V trojúhelníku `ABC` s úhly `\alpha`, `\beta`, `\gamma` platí:

`\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma}`

Jinými slovy, strany jsou v poměru sinů protilehlých úhlů: `a : b : c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma`. Pozor, v poměru sinů, ne úhlů samotných. Úhly 30°, 60° a 90° nedají strany v poměru 1 : 2 : 3, ale `1 : \sqrt{3} : 2`. Platí ale, že proti větší straně leží větší úhel, a to se hodí jako kontrola každého výsledku.

Ze sinové věty se vyjadřuje vždy tak, aby neznámá byla v čitateli. Hledáte-li stranu `b`, vynásobte rovnost `\sin\beta`:

`\begin{gathered}b = \dfrac{a \cdot \sin\beta}{\sin\alpha} \\[10pt] \sin\beta = \dfrac{b \cdot \sin\alpha}{a}\end{gathered}`

Odvození sinové věty

Na obrázku nahoře vede z vrcholu `C` výška `v_c` do paty `P`. Rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé a v obou je `v_c` odvěsna naproti známému úhlu:

`\begin{gathered}v_c = b\sin\alpha \\[6pt] v_c = a\sin\beta\end{gathered}`

Obě pravé strany se rovnají, tedy `b\sin\alpha = a\sin\beta`, a po vydělení `\sin\alpha\sin\beta` vyjde `\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta}`. Výška z vrcholu `A` dá stejně druhou rovnost pro `b` a `c`. Je-li úhel `\alpha` tupý, pata výšky leží až na prodloužení strany, ale výpočet platí dál, protože `\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha` (proč, ukazuje jednotková kružnice).

Stejná výška dává i vzorec pro obsah ze dvou stran a úhlu, který svírají: `S = \frac{1}{2}\, c\, v_c = \frac{1}{2}\, bc\sin\alpha`. Počítá ho kalkulačka obsahu ze dvou stran a úhlu.

Sinová věta a kružnice opsaná

Společná hodnota všech tří zlomků není libovolná, je to průměr kružnice opsané. Odtud poloměr:

`r = \dfrac{a}{2\sin\alpha} = \dfrac{b}{2\sin\beta} = \dfrac{c}{2\sin\gamma}`

Například pro `a = 7\ \mathrm{cm}` a `\alpha = 30^\circ` je `r = \dfrac{7}{2 \cdot 0{,}5} = 7\ \mathrm{cm}`. V pravoúhlém trojúhelníku je `\sin 90^\circ = 1` a vyjde `c = 2r`: přepona je průměr, přesně jak říká Thaletova věta. Ze tří stran spočítá poloměr kalkulačka kružnice opsané.

Příklad 1: strana a dva úhly

V trojúhelníku je `\beta = 60^\circ`, `\gamma = 100^\circ` a `a = 2{,}6\ \mathrm{cm}`. Dopočítejte strany `b` a `c`.

K sinové větě potřebujeme dvojici strana a protilehlý úhel. Strana `a` je zadaná, úhel `\alpha` dopočítáme:

`\alpha = 180^\circ - 60^\circ - 100^\circ = 20^\circ`

`\begin{gathered}\begin{aligned} b &= \dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha} = \dfrac{2{,}6 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 20^\circ} \\[8pt] &\doteq \dfrac{2{,}6 \cdot 0{,}866}{0{,}342} \doteq 6{,}58\ \mathrm{cm} \end{aligned} \\[10pt] \begin{aligned} c &= \dfrac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} = \dfrac{2{,}6 \cdot \sin 100^\circ}{\sin 20^\circ} \\[8pt] &\doteq \dfrac{2{,}6 \cdot 0{,}985}{0{,}342} \doteq 7{,}49\ \mathrm{cm} \end{aligned}\end{gathered}`

Kontrola: nejmenší úhel `\alpha = 20^\circ` leží naproti nejmenší straně `a = 2{,}6`, největší úhel `\gamma = 100^\circ` naproti největší straně `c \doteq 7{,}49`. Stejný výpočet s postupem udělá kalkulačka uus, stačí zadat `a = 2{,}6`, `\alpha = 20^\circ` a `\beta = 60^\circ`.

Příklad 2: jak široká je řeka

Na jednom břehu vyměříme úsečku `AB = 120\ \mathrm{m}`. Strom `C` na protějším břehu je vidět z bodu `A` pod úhlem 72° od směru `AB`, z bodu `B` pod úhlem 63°. Jak široká je řeka?

Úhel u stromu je `\gamma = 180^\circ - 72^\circ - 63^\circ = 45^\circ`, a ten leží naproti známé straně `c = 120\ \mathrm{m}`. Sinová věta dá vzdálenost `b = |AC|` a šířka řeky je výška z vrcholu `C`:

`\begin{gathered}b = \dfrac{c\sin\beta}{\sin\gamma} = \dfrac{120 \cdot \sin 63^\circ}{\sin 45^\circ} \doteq 151{,}21\ \mathrm{m} \\[10pt] v_c = b\sin\alpha \doteq 151{,}21 \cdot \sin 72^\circ \doteq 143{,}81\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Řeka je široká asi 144 m. Kontrola z druhé strany: `a = |BC| = \dfrac{120 \cdot \sin 72^\circ}{\sin 45^\circ} \doteq 161{,}40\ \mathrm{m}` a `161{,}40 \cdot \sin 63^\circ \doteq 143{,}81\ \mathrm{m}`, stejně. Takhle se odjakživa měří vzdálenosti, ke kterým se nedá dojít, a říká se tomu triangulace.

Dvě strany a úhel proti jedné z nich (ssu)

Jediný zrádný případ. Známe strany `a`, `b` a úhel `\alpha` proti straně `a`. Sinová věta dá `\sin\beta = \dfrac{b\sin\alpha}{a}`, jenže stejný sinus mají dva úhly, `\beta` a `180^\circ - \beta`. Kapesní kalkulačka (tlačítko sin⁻¹) ukáže jen ten ostrý. Na obrázku je vidět proč: kružnice se středem `C` a poloměrem `a` může polopřímku z vrcholu `A` protnout dvakrát.

Kolik trojúhelníků existuje, se pozná ještě před počítáním:

• Úhel `\alpha` je pravý nebo tupý: pro `a \gt b` jedno řešení, jinak žádné.
• Úhel `\alpha` je ostrý a `a \ge b`: jedno řešení.
• Úhel `\alpha` je ostrý a `a \lt b`: porovnáme `a` se vzdáleností `b\sin\alpha` bodu `C` od polopřímky. Pro `a \lt b\sin\alpha` žádné řešení, strana na polopřímku nedosáhne. Pro `a = b\sin\alpha` jedno, pravoúhlé. Pro `b\sin\alpha \lt a \lt b` dvě.

Příklad 3: dva trojúhelníky

Je dáno `\alpha = 48^\circ`, `a = 12` a `b = 13`. Úhel je ostrý a `a \lt b`, takže porovnáme s `b\sin\alpha = 13 \cdot \sin 48^\circ \doteq 9{,}66`. Platí `9{,}66 \lt 12 \lt 13`, řešení jsou dvě.

`\begin{gathered}\sin\beta = \dfrac{13 \cdot \sin 48^\circ}{12} \doteq 0{,}8051 \\[10pt] \beta_1 \doteq 53^\circ 37' \\[10pt] \beta_2 = 180^\circ - \beta_1 \doteq 126^\circ 23'\end{gathered}`

Každý trojúhelník dořešíme zvlášť. Třetí úhel do 180°, třetí strana sinovou větou:

`\begin{gathered}\gamma_1 \doteq 78^\circ 23', \quad c_1 = \dfrac{12 \cdot \sin\gamma_1}{\sin 48^\circ} \doteq 15{,}82 \\[10pt] \gamma_2 \doteq 5^\circ 37', \quad c_2 = \dfrac{12 \cdot \sin\gamma_2}{\sin 48^\circ} \doteq 1{,}58\end{gathered}`

Kontrola kosinovou větou: `13^2 + c^2 - 2 \cdot 13 \cdot c \cdot \cos 48^\circ` vyjde pro `c_1` i `c_2` rovných 144, tedy `a^2`. Oba trojúhelníky jsou správně. Kdyby místo 12 bylo `a = 5`, vyšlo by `\sin\beta \doteq 1{,}93`, a to nejde, sinus je nejvýš 1. Takový trojúhelník neexistuje a kalkulačka ohlásí chybu. Všechny tři možnosti rozebere kalkulačka ssu.

Kosinová věta

V trojúhelníku `ABC` platí pro každou stranu:

`\begin{gathered}a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \\[6pt] b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta \\[6pt] c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\end{gathered}`

Slovy: druhá mocnina strany je součet druhých mocnin zbylých dvou stran, zmenšený o dvojnásobek součinu těchto dvou stran a kosinu úhlu, který svírají. Tedy úhlu naproti té první straně.

Pro `\gamma = 90^\circ` je `\cos\gamma = 0`, poslední člen zmizí a zbude `c^2 = a^2 + b^2`: Pythagorova věta je jen zvláštní případ kosinové. Pro tupý úhel je kosinus záporný, člen se přičítá a strana naproti tupému úhlu vyjde delší, než by dala Pythagorova věta.

Odvození kosinové věty

Znovu výška `v_c` z obrázku nahoře. V pravoúhlém trojúhelníku `APC` je `|AP| = b\cos\alpha` a `v_c = b\sin\alpha`, na zbytek strany zbývá `|PB| = c - b\cos\alpha`. Pythagorova věta v trojúhelníku `PBC`:

`\begin{gathered}a^2 = v_c^2 + |PB|^2 \\[6pt] a^2 = b^2\sin^2\alpha + c^2 - 2bc\cos\alpha + b^2\cos^2\alpha \\[6pt] a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\end{gathered}`

V posledním kroku jsme použili `\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1`. Pro tupý úhel `\alpha` leží pata `P` za vrcholem `A` a vzdálenost `|PB|` je `c + b\,|\cos\alpha|`, což je totéž jako `c - b\cos\alpha`. Vzorec tedy platí beze změny.

Úhel ze tří stran

Když jsou známé všechny strany, kosinovou větu otočíme:

`\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}`

Odečítá se vždy druhá mocnina strany naproti hledanému úhlu. Znaménko výsledku rovnou prozradí druh úhlu: kladný kosinus znamená ostrý úhel, nula pravý, záporný tupý. To je výhoda proti sinové větě, která ostrý a tupý úhel nerozliší. Druh trojúhelníku podle stran určí i tato kalkulačka.

Příklad 4: dvě strany a úhel mezi nimi

Je dáno `a = 1{,}2\ \mathrm{cm}`, `b = 2{,}6\ \mathrm{cm}` a úhel `\gamma = 100{,}5^\circ` mezi nimi. Určete stranu `c` a zbylé úhly.

`\begin{gathered}c^2 = 2{,}6^2 + 1{,}2^2 - 2 \cdot 2{,}6 \cdot 1{,}2 \cdot \cos 100{,}5^\circ \\[6pt] c^2 \doteq 6{,}76 + 1{,}44 + 1{,}137 = 9{,}337 \\[6pt] c \doteq 3{,}06\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Protože `\cos 100{,}5^\circ \doteq -0{,}182`, minus krát minus dá plus a člen se přičetl. Kontrola: `c` je delší než `\sqrt{2{,}6^2 + 1{,}2^2} \doteq 2{,}86`, jak u tupého úhlu má být. Úhel `\alpha` teď z kosinové věty:

`\begin{gathered}\begin{aligned} \cos\alpha &= \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\[8pt] &\doteq \dfrac{6{,}76 + 9{,}337 - 1{,}44}{2 \cdot 2{,}6 \cdot 3{,}056} \doteq 0{,}9224 \end{aligned} \\[10pt] \alpha \doteq 22^\circ 43' \\[10pt] \beta = 180^\circ - \gamma - \alpha \doteq 56^\circ 47'\end{gathered}`

Stejný výpočet s nákresem udělá kalkulačka sus.

Příklad 5: úhly ze tří stran

Trojúhelník má strany `a = 20`, `b = 18` a `c = 13`. Určete jeho úhly.

`\begin{gathered}\cos\alpha = \dfrac{18^2 + 13^2 - 20^2}{2 \cdot 18 \cdot 13} = \dfrac{93}{468} \doteq 0{,}1987 \\[10pt] \alpha \doteq 78^\circ 32' \\[10pt] \cos\beta = \dfrac{20^2 + 13^2 - 18^2}{2 \cdot 20 \cdot 13} = \dfrac{245}{520} \doteq 0{,}4712 \\[10pt] \beta \doteq 61^\circ 53' \\[10pt] \cos\gamma = \dfrac{20^2 + 18^2 - 13^2}{2 \cdot 20 \cdot 18} = \dfrac{555}{720} \doteq 0{,}7708 \\[10pt] \gamma \doteq 39^\circ 34'\end{gathered}`

Kontrola: součet je `179^\circ 59'`, o minutu méně jen kvůli zaokrouhlení. Největší úhel leží naproti největší straně a všechny kosiny jsou kladné, trojúhelník je ostroúhlý. Ověřit si to můžete kalkulačkou sss.

Příklad 6: délka rybníka

Z bodu na břehu je to k jednomu konci rybníka 180 m, ke druhému 250 m a oba směry svírají úhel 64°. Jak dlouhý je rybník?

`\begin{gathered}d^2 = 180^2 + 250^2 - 2 \cdot 180 \cdot 250 \cdot \cos 64^\circ \\[6pt] d^2 \doteq 55\,447 \\[6pt] d \doteq 235{,}5\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kontrola: úhel je ostrý, takže `d` musí vyjít kratší než přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 180 a 250, tedy pod 308 m. A delší než rozdíl `250 - 180 = 70\ \mathrm{m}`. Obojí sedí.

Časté chyby

• Kalkulačka v radiánech. Ve stupních je `\sin 20^\circ \doteq 0{,}342`, v radiánech ukáže 0,913. V příkladu 1 by pak strana `c` vyšla záporná, asi −1,44. Než začnete, zkontrolujte na displeji DEG.
• Tupý úhel ze sinové věty. Trojúhelník se stranami 4, 5 a 8 má úhly `\alpha \doteq 24^\circ 09'`, `\beta \doteq 30^\circ 45'` a `\gamma \doteq 125^\circ 06'`. Kdo spočítá `\gamma` ze sinové věty, dostane `\sin\gamma \doteq 0{,}818` a kalkulačka vrátí `54^\circ 54'`. Chybu prozradí součet úhlů, necelých 110° místo 180°. Největší úhel (naproti největší straně) počítejte vždy kosinovou větou, nebo jako 180° minus zbylé dva.
• Zapomenutý druhý trojúhelník v případě ssu. Než odpovíte jedním trojúhelníkem, zkuste i `180^\circ - \beta` a podívejte se, jestli se se zadaným úhlem vejde do 180°.
• Strana se špatným úhlem. V sinové větě patří ke straně vždy úhel naproti ní, ne úhel u ní. V kosinové větě je úhel ten, který svírají dvě známé strany, tedy naproti té hledané.
• Přehozené znaménko v `\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}`. Kdo napíše `a^2 - b^2 - c^2` nad `2bc`, dostane kosinus s opačným znaménkem a místo ostrého úhlu jeho doplněk do 180°.
• Zaokrouhlené mezivýsledky. V příkladu 3 dá `\sin\beta \doteq 0{,}8051` úhel `53^\circ 37'`, zaokrouhlené 0,81 už `54^\circ 06'`. Nechte mezivýsledky v kalkulačce a zaokrouhlete až na konci.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačky obecného trojúhelníku s nákresem a postupem: sss, sus, usu, uus a ssu, plus kružnice opsaná.
• Sinus, kosinus a tangens v pravoúhlém trojúhelníku: procvičování, ze kterého obě věty vycházejí.
• Úvod do goniometrie a jednotková kružnice, kde je vidět, proč mají úhly α a 180° − α stejný sinus.
• Trojúhelník - vzorečky a řešené příklady na trojúhelník.
• Pythagorova věta, zvláštní případ kosinové věty.