Matematika pro každého
Pythagorova věta je nejznámější věta celé geometrie a platí v každém pravoúhlém trojúhelníku. Říká, že druhá mocnina přepony se rovná součtu druhých mocnin obou odvěsen:
`c^2=a^2+b^2`
Přepona c je strana naproti pravému úhlu a je vždy nejdelší. Odvěsny a a b jsou dvě kratší strany, které spolu pravý úhel svírají. Geometricky věta říká, že obsah čtverce sestrojeného nad přeponou je stejný jako obsahy čtverců nad oběma odvěsnami dohromady.
Pozor na písmena. Tvar `c^2=a^2+b^2` platí jen tehdy, když je pravý úhel u vrcholu C. Je-li pravý úhel jinde, třeba u vrcholu A, je přeponou strana a a věta zní `a^2=b^2+c^2`. Spolehlivější než písmena je jednoduché pravidlo: přepona stojí v rovnici vždy sama na jedné straně.
Výpočet přepony
Známe-li obě odvěsny, dosadíme je do věty a výsledek odmocníme:
`c=\sqrt{a^2+b^2}`
Příklad 1
Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku měří 6 cm a 4 cm. Jak dlouhá je přepona?
`c=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}`
`c=\sqrt{52}\doteq 7{,}21\ \mathrm{cm}`
Nejčastější chyba je odmocnit každý člen zvlášť. Jenže `\sqrt{36+16}\neq\sqrt{36}+\sqrt{16}=10`: odmocnina součtu není součet odmocnin. Kontrola je snadná, přepona musí vyjít kratší než obě odvěsny dohromady.
Výpočet odvěsny
Když známe přeponu a jednu odvěsnu, věta se jen přeskupí. Druhou mocninu známé odvěsny od druhé mocniny přepony odečteme:
`a=\sqrt{c^2-b^2}`
Příklad 2
Žebřík je dlouhý 10 m a jeho spodní konec musí stát aspoň 2 m od zdi. Dosáhne horní konec do výšky 9,5 m?
Žebřík, zeď a zem tvoří pravoúhlý trojúhelník. Žebřík je přepona `c=10`, vzdálenost od zdi odvěsna `b=2` a hledaná výška je druhá odvěsna `a`:
`a=\sqrt{10^2-2^2}=\sqrt{100-4}`
`a=\sqrt{96}\doteq 9{,}80\ \mathrm{m}`
Žebřík dosáhne asi do 9,8 m, takže 9,5 m zvládne s rezervou.
Kdo tu omylem sečte místo odečtení, dostane odvěsnu delší než přepona. I to je dobrá kontrola každého výsledku: odvěsna musí vyjít kratší než přepona.
Pythagorejské trojice
Většinou vyjde přepona jako odmocnina. Existují ale trojice celých čísel, pro které věta vychází přesně. Říká se jim pythagorejské trojice, v úlohách se objevují pořád dokola a ty nejčastější se vyplatí znát zpaměti:
| a | b | c | kontrola |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 |
Každý násobek trojice je zase trojice: z 3, 4, 5 vznikne 6, 8, 10 nebo 30, 40, 50. Úplně novou trojici dostanete ze dvou přirozených čísel `m \gt n` dosazením do vzorců `a=m^2-n^2`, `b=2mn` a `c=m^2+n^2`. Pro `m=2` a `n=1` vyjde právě 3, 4, 5, pro `m=3` a `n=2` trojice 5, 12, 13.
Na trojicích je postavené i procvičování Pythagorovy věty: deset příkladů, ve kterých výsledek vždy vyjde celé číslo, takže se dají počítat z hlavy.
Obrácená věta: je trojúhelník pravoúhlý?
Věta platí i obráceně. Pokud pro strany trojúhelníku platí `c^2=a^2+b^2`, je trojúhelník pravoúhlý a pravý úhel leží naproti straně c. Stačí tedy znát délky stran, úhel není potřeba měřit.
Když porovnáme druhou mocninu nejdelší strany se součtem druhých mocnin dvou kratších, poznáme dokonce, o jaký trojúhelník jde:
- `c^2=a^2+b^2`: pravoúhlý,
- `c^2 \lt a^2+b^2`: ostroúhlý,
- `c^2 \gt a^2+b^2`: tupoúhlý.
Příklad 3
Strany trojúhelníku měří 6, 7 a 9 cm. Jaký je to trojúhelník?
Nejdelší strana je 9, takže porovnáme `9^2=81` se součtem `6^2+7^2=36+49=85`. Protože `81 \lt 85`, je trojúhelník ostroúhlý.
Obrácenou větu používají zedníci a tesaři dodnes, když potřebují pravý roh bez úhloměru. Po jedné straně odměří 3 m, po druhé 4 m a posouvají, dokud vzdálenost obou konců není přesně 5 m. Pro libovolné tři strany to rozhodne kalkulačka Jaký je to trojúhelník?
Proč věta platí
Důkazů Pythagorovy věty jsou stovky. Nejnázornější je tento: čtverec o straně `a+b` se dá poskládat ze čtyř stejných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami a, b a z menšího čtverce uprostřed, jehož stranou je přepona c.
Obsah velkého čtverce teď spočítáme dvakrát. Jednou jako čtverec o straně `a+b`, podruhé jako čtyři trojúhelníky o obsahu `\frac{ab}{2}` plus vnitřní čtverec:
`(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2`
Po roznásobení levé strany dostaneme `a^2+2ab+b^2=2ab+c^2`. Když od obou stran odečteme `2ab`, zbude přesně `a^2+b^2=c^2`.
Pythagorova věta je také zvláštním případem kosinové věty `c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma`. Pro pravý úhel `\gamma=90^\circ` je `\cos\gamma=0` a poslední člen zmizí.
Věta nese jméno řeckého matematika Pythagora ze Samu, který žil v 6. století před naším letopočtem. Znali ji ale už dávno před ním: babylonská hliněná tabulka Plimpton 322, stará zhruba 3 800 let, obsahuje řadu čísel, která odpovídají pythagorejským trojicím.
Pythagorova věta v rovině a v prostoru
Řada vzorců, které se ve škole učí zpaměti, je Pythagorova věta v přestrojení:
- Úhlopříčka obdélníku o stranách
aabje `u=\sqrt{a^2+b^2}`, u čtverce z toho vyjde `u=a\sqrt{2}`. - Výška rovnostranného trojúhelníku o straně
a: výška ho rozdělí na dva pravoúhlé trojúhelníky s přeponouaa odvěsnou `\frac{a}{2}`, takže `v=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}`. - Vzdálenost dvou bodů v souřadnicích: rozdíly souřadnic jsou odvěsny, a tedy `|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`. Víc v úvodu do analytické geometrie.
- Tělesová úhlopříčka kvádru: věta se použije dvakrát za sebou, nejdřív na úhlopříčku podstavy a potom na trojúhelník, který tato úhlopříčka svírá s výškou. Vyjde `u=\sqrt{a^2+b^2+c^2}`.
Příklad 4
Kvádr má rozměry 3 cm, 4 cm a 12 cm. Jak dlouhá je jeho tělesová úhlopříčka?
Úhlopříčka podstavy je `u_1=\sqrt{3^2+4^2}=5` cm. S výškou 12 cm svírá pravý úhel, takže tělesová úhlopříčka je `u=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13` cm. Potkaly se tu dvě trojice z tabulky výše.
Tyhle výpočty umí i kalkulačky s rozepsaným postupem: obdélník, rovnostranný trojúhelník, vzdálenost dvou bodů, kvádr a krychle.
Příklady k procvičení
Zkuste je nejdřív spočítat sami, řešení se zobrazí tlačítkem.
1. Rovnoramenný trojúhelník má základnu 10 cm a ramena po 13 cm. Vypočítejte jeho výšku a obsah.
Výška na základnu ji rozpůlí, takže vznikne pravoúhlý trojúhelník s přeponou 13 cm (rameno) a odvěsnou 5 cm (polovina základny):
`v=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}`
`v=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}`
Obsah je `S=\frac{10\cdot 12}{2}=60\ \mathrm{cm}^2`.
2. Jsou úsečky dlouhé 9 cm, 12 cm a 15 cm stranami pravoúhlého trojúhelníku?
Nejdelší je 15, proto porovnáme `15^2=225` se součtem `9^2+12^2=81+144=225`. Čísla se rovnají, trojúhelník je pravoúhlý. Je to trojice 3, 4, 5 vynásobená třemi.
3. Televize má úhlopříčku 55 palců (139,7 cm) a obrazovku v poměru stran 16 : 9. Jak je obrazovka široká a vysoká?
Šířku označíme `16k` a výšku `9k`. Úhlopříčka je přepona:
`\sqrt{(16k)^2+(9k)^2}=139{,}7`
`k\sqrt{256+81}=k\sqrt{337}=139{,}7`
Odtud `k=\frac{139{,}7}{\sqrt{337}}\doteq 7{,}61`, šířka je asi `16\cdot 7{,}61\doteq 121{,}8` cm a výška asi `9\cdot 7{,}61\doteq 68{,}5` cm.
4. Jak dlouhá je tělesová úhlopříčka krychle o hraně 4 cm?
Krychle je kvádr se všemi rozměry stejnými, takže:
`u=\sqrt{4^2+4^2+4^2}=\sqrt{48}`
`u=4\sqrt{3}\doteq 6{,}93\ \mathrm{cm}`
5. Strom vysoký 16 m se zlomil tak, že se jeho vrchol dotkl země 8 m od kmene. V jaké výšce se zlomil?
Zlom označíme ve výšce `x`. Stojící část kmene je odvěsna `x`, vzdálenost na zemi odvěsna 8 a odlomená část přepona `16-x`:
`x^2+8^2=(16-x)^2`
`x^2+64=256-32x+x^2`
`32x=192`
`x=6\ \mathrm{m}`
Strom se zlomil ve výšce 6 m. Zkouška: `6^2+8^2=100=10^2` a odlomená část je opravdu `16-6=10` m dlouhá.
Kam dál
Pythagorovu větu si nejlépe zažijete na procvičování, přeponu i odvěsnu s postupem spočítají kalkulačky přepona ze dvou odvěsen a odvěsna z přepony. Když do pravoúhlého trojúhelníku přibudou úhly, přijdou na řadu sinus, kosinus a tangens, které si můžete vyzkoušet v procvičování goniometrie v pravoúhlém trojúhelníku. Na přeponu a odvěsny se váží také Euklidovy věty a všechny vzorce pro trojúhelník na jednom místě najdete v přehledu vzorců pro trojúhelník.