Funkce kosinus a sekans

Kosinus je goniometrická funkce, která v pravoúhlém trojúhelníku přiřadí ostrému úhlu poměr přilehlé odvěsny a přepony. Pro libovolný úhel je to souřadnice `x` bodu na jednotkové kružnici. Sekans (značka sec) je převrácená hodnota kosinu: přepona ku přilehlé odvěsně.

`\begin{gathered}\cos\alpha=\dfrac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}\\[10pt]\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}=\dfrac{\text{přepona}}{\text{přilehlá odvěsna}}\end{gathered}`

Grafu funkce `y = \cos x` se říká kosinusoida. Je to vlnovka, která začíná nahoře v bodě `[0;\ 1]`, klesá k minimu `[\pi;\ {-1}]` a po `2\pi` se opakuje. Tvarem je to přesně sinusoida, jen posunutá o `\frac{\pi}{2}` doleva. Graf sekans se skládá z oddělených větví tvaru U, které leží mimo pás mezi `-1` a `1`.

V českých učebnicích se píše cos i „kosinus“, v anglické literatuře a na kalkulačkách „cosine“. Tento článek navazuje na úvod do goniometrie a jednotkovou kružnici. Tady jde o kosinus a sekans jako funkce: graf, vlastnosti a jak graf narýsovat, i když je posunutý a natažený.

Kosinus a sekans na jednotkové kružnici

V pravoúhlém trojúhelníku má smysl jen ostrý úhel. Pro libovolné číslo `x` se kosinus definuje na jednotkové kružnici, tedy kružnici se středem v počátku a poloměrem 1. Rameno úhlu `\alpha` ji protne v bodě P a jeho souřadnice `x` je `\cos\alpha`. Na obrázku je to modrá úsečka na ose `x`, „stín“ bodu P.

Sekans je na stejném obrázku červená úsečka OT: rameno úhlu prodloužené až k tečně `x = 1`. Trojúhelník s vrcholy O, T a bodem `[1;\ 0]` je pravoúhlý, přilehlá odvěsna má délku 1 a přepona je OT, takže `|OT| = \frac{1}{\cos\alpha}`. Přímka, která kružnici protíná, je sečna, latinsky secans, a odtud jméno funkce. Pro `\alpha = 50^\circ` je `\cos 50^\circ \doteq 0{,}643` a `\sec 50^\circ \doteq 1{,}556`.

Z obrázku jsou vidět dvě věci, které platí vždy. Kosinus leží mezi `-1` a `1`, protože bod na kružnici s poloměrem 1 nemůže mít souřadnici dál od nuly. A sekans je v absolutní hodnotě aspoň 1, protože přepona je delší než odvěsna.

Graf funkce kosinus (kosinusoida)

Když bod P obíhá kružnici a zapisujeme jeho souřadnici `x` v závislosti na úhlu, vznikne kosinusoida. Při úhlu 0 je bod úplně vpravo a kosinus je 1. Při `\frac{\pi}{2}` (90°) je bod nahoře a kosinus je 0. Při `\pi` (180°) je vlevo a kosinus je `-1`. Po celé otáčce `2\pi` je zpátky na začátku.

K ručnímu náčrtu stačí pět bodů na jedné periodě: maximum, nulový bod, minimum, nulový bod, maximum.

`[0;\ 1],\ \left[\tfrac{\pi}{2};\ 0\right],\ [\pi;\ {-1}]`
`\left[\tfrac{3\pi}{2};\ 0\right],\ [2\pi;\ 1]`

Body spojte oblou vlnou. U maxima a minima je graf plochý, přes osu `x` prochází nejstrměji. Další periody jsou kopie první posunuté o `2\pi`. Šedá čárkovaná křivka v obrázku je sinusoida. Kosinusoida je tatáž křivka posunutá o `\frac{\pi}{2}` doleva, protože platí

`\cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)`

Pro přesnější náčrt se hodí pár hodnot navíc. Od 180° do 360° se hodnoty kosinu opakují pozpátku, protože `\cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha`, například `\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}`.

Kosinus libovolného úhlu ve stupních spočítá kalkulačka hodnot goniometrických funkcí, a to včetně sekans. Pro úhel v radiánech, třeba `\cos 2`, je tu sinus a kosinus v radiánech, celou tabulku najdete v tabulce hodnot.

Vlastnosti funkce kosinus

• Definiční obor: `D(f) = \mathbb{R}`, kosinus existuje pro každé číslo.
• Obor hodnot: `H(f) = \langle -1;\ 1 \rangle`. Funkce je omezená shora i zdola.
• Perioda: `2\pi`, tedy `\cos(x + 2\pi) = \cos x`.
• Sudá funkce: `\cos(-x) = \cos x`, graf je souměrný podle osy `y`.
• Maximum 1 v bodech `x = 2k\pi`, minimum `-1` v bodech `x = \pi + 2k\pi`.
• Nulové body: `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`, tedy 90°, 270°, ...
• Klesající na každém intervalu `\langle 2k\pi;\ \pi + 2k\pi \rangle`, rostoucí na každém intervalu `\langle \pi + 2k\pi;\ 2\pi + 2k\pi \rangle`.

Všude `k` znamená libovolné celé číslo. Pozor na monotonii: sinus roste na `\left\langle -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right\rangle`, ale kosinus na tomto intervalu nejdřív roste a pak klesá. Co přesně znamená sudá, omezená nebo periodická funkce, vysvětluje článek vlastnosti funkcí.

Graf funkce y = a · cos(bx + c) + d

Ve škole se rýsují i upravené funkce tvaru `y = a\cos(bx + c) + d`. Každý parametr dělá s kosinusoidou jednu věc:

• `a` je amplituda, graf svisle natáhne. Vlna se pak houpe mezi `-|a|` a `|a|`. Je-li `a` záporné, graf se navíc překlopí a začíná minimem místo maxima.
• `b` mění periodu. Nová perioda je `\dfrac{2\pi}{|b|}`.
• `c` graf vodorovně posune. Posun ale není `c`, nýbrž `-\dfrac{c}{b}`. Nejbezpečnější je vytknout `b`: `\cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)` je posun o `\frac{\pi}{4}` doleva, ne o `\frac{\pi}{2}`.
• `d` graf posune svisle, o `d` nahoru. Vodorovná přímka `y = d` je nová „osa“, kolem které se vlna houpe.

Postup je vždy stejný. Najdete bod, kam se posunulo maximum `[0;\ 1]` základní kosinusoidy, spočítáte periodu, rozdělíte ji na čtyři stejné díly a v každém dílku vyznačíte další z pěti bodů. Obor hodnot upravené funkce je `\langle d - |a|;\ d + |a| \rangle`.

Příklad 1: y = 2 cos x

Amplituda je 2, perioda zůstává `2\pi` a posun žádný. Stačí vynásobit dvěma souřadnice `y` pěti bodů: `[0;\ 2]`, `[\frac{\pi}{2};\ 0]`, `[\pi;\ {-2}]`, `[\frac{3\pi}{2};\ 0]` a `[2\pi;\ 2]`. Nulové body se nemění, protože dvakrát nula je pořád nula. Obor hodnot je `\langle -2;\ 2 \rangle`.

Příklad 2: y = −3 cos x + 2

Tady je `a = -3`, takže amplituda je 3 a graf je překlopený, a `d = 2`. Nejdřív narýsujte pomocnou osu `y = 2` (v obrázku zeleně). Kolem ní se vlna houpe o 3 nahoru a dolů, tedy mezi `-1` a 5.

Kvůli znaménku minus začíná graf v `x = 0` minimem: `y = -3 \cdot 1 + 2 = -1`. V `\frac{\pi}{2}` prochází pomocnou osou, `y = -3 \cdot 0 + 2 = 2`, a v `\pi` má maximum `y = -3 \cdot (-1) + 2 = 5`.

Obor hodnot je `\langle -1;\ 5 \rangle`. Kontrola: rozdíl maxima a minima je `5 - (-1) = 6`, tedy dvojnásobek amplitudy, jak má být.

Příklad 3: y = cos(2x + π/2)

Perioda je

`\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi`

Po vytknutí dvojky je předpis `\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)`, takže se maximum z bodu `[0;\ 1]` posune o `\frac{\pi}{4}` doleva, do bodu `[-\frac{\pi}{4};\ 1]`. Tam povede pomocná svislá osa. Periodu `\pi` rozdělíme na čtyři díly po `\frac{\pi}{4}` a dostaneme body

`\left[-\tfrac{\pi}{4};\ 1\right],\ [0;\ 0],\ \left[\tfrac{\pi}{4};\ {-1}\right]`
`\left[\tfrac{\pi}{2};\ 0\right],\ \left[\tfrac{3\pi}{4};\ 1\right]`

Kontrola dosazením: v `x = \frac{\pi}{4}` je argument `2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \pi` a `\cos\pi = -1`. Sedí. Kdo by posunul graf o celé `\frac{\pi}{2}`, dostal by v `x = -\frac{\pi}{2}` hodnotu `\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0`, ne maximum. Mimochodem, tato funkce je totéž co `y = -\sin 2x`.

Příklad 4: y = −3 cos(½(x − π)) + 2

Příklad, kde se mění všechno najednou. Rozepíšeme parametry: amplituda 3, graf překlopený (minus před trojkou), perioda `\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi`, posun o `\pi` doprava a o 2 nahoru.

1. Pomocné osy. Vodorovná `y = 2` a svislá `x = \pi` (v obrázku zeleně). Bod `[\pi;\ 2]` hraje roli počátku.
2. Začátek periody. V `x = \pi` je argument nula, `\cos 0 = 1`, a kvůli minusu je tam minimum `y = -3 + 2 = -1`.
3. Dílky. Perioda `4\pi` dělená čtyřmi dává krok `\pi`. Body: `[\pi;\ {-1}]`, `[2\pi;\ 2]`, `[3\pi;\ 5]`, `[4\pi;\ 2]`, `[5\pi;\ {-1}]`.

Kontrola v bodě `x = 3\pi`: argument je `\frac{1}{2}(3\pi - \pi) = \pi`, `\cos\pi = -1`, a `y = -3 \cdot (-1) + 2 = 5`. Obor hodnot je `\langle -1;\ 5 \rangle`, stejný jako v příkladu 2, protože amplituda i svislý posun jsou stejné.

Funkce sekans

Sekans je převrácená hodnota kosinu, `\sec x = \frac{1}{\cos x}`. Značí se sec. Na kalkulačce tlačítko nemá, spočítá se jako 1 ÷ cos. Tlačítko cos⁻¹ je něco jiného, viz časté chyby níže. Ve školní matematice se sekans objevuje hlavně jako cvičení na grafy, v literatuře a ve vzorcích pro integrály ho potkáte častěji.

Názvy jsou trochu matoucí: sekans patří ke kosinu a kosekans k sinu (`\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}`), tedy „na křížek“. Kosekans a sinusoidu popisuje sesterský článek funkce sinus a kosekans.

Graf funkce sekans

Graf sekans se odvodí z kosinusoidy, protože každou její hodnotu stačí převrátit:

• Kde je `\cos x = 0`, tedy v `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`, sekans neexistuje a graf má svislou asymptotu.
• Kde je `\cos x = 1` nebo `-1`, je sekans stejný, 1 nebo `-1`. V těchto bodech se graf sekans kosinusoidy dotkne.
• Kde je kosinus malý, je sekans velký. Blízko asymptot proto větve utíkají do nekonečna.

Výsledek jsou větve tvaru U. Nad obloukem kosinusoidy nad osou `x` je větev otevřená nahoru s nejnižším bodem `[0;\ 1]`, pod obloukem pod osou je větev otevřená dolů s nejvyšším bodem `[\pi;\ {-1}]`. Větve se nápadně podobají parabolám, ale paraboly to nejsou: parabola asymptoty nemá, kdežto větev sekans se k asymptotám přimyká a nikdy se jich nedotkne.

Vlastnosti funkce sekans

• Definiční obor: všechna reálná čísla kromě lichých násobků `\frac{\pi}{2}`, `D(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi;\ k \in \mathbb{Z}\right\}`.
• Obor hodnot: `H(f) = (-\infty;\ {-1}\rangle \cup \langle 1;\ \infty)`. Hodnoty 1 a `-1` sekans nabývá, hodnoty mezi nimi nikdy.
• Perioda: `2\pi`, stejná jako u kosinu.
• Sudá funkce: `\sec(-x) = \sec x`, graf je souměrný podle osy `y`.
• Neomezená shora i zdola. Nemá žádné nulové body, protože zlomek s čitatelem 1 nulu nedá.
• Monotonie: rostoucí na `\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right)` i na `\left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right\rangle`, klesající na `\left\langle \pi;\ \frac{3\pi}{2}\right)` i na `\left(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right\rangle`, vše s periodou `2\pi`.
• Asymptoty: svislé přímky `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`. Více o nich v článku asymptota funkce.

Příklad 5: y = 2 sec x + 2

Graf sekans se rýsuje přes pomocnou kosinusoidu se stejnými parametry, tady `y = 2\cos x + 2` (v obrázku šedě čárkovaně). Její pomocná osa je `y = 2`.

1. Asymptoty vedete tam, kde pomocná kosinusoida protíná svou osu `y = 2`, tedy kde `\cos x = 0`: `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`. Posun o 2 nahoru na jejich polohu nemá vliv.
2. Vrcholy větví jsou maxima a minima pomocné kosinusoidy: `[0;\ 4]` a `[2\pi;\ 4]` pro větve nahoru, `[\pi;\ 0]` a `[-\pi;\ 0]` pro větve dolů.
3. Větve vedete od vrcholu k asymptotám, pryč od pomocné osy.

Kontrola: v `x = \frac{\pi}{3}` je `\sec\frac{\pi}{3} = 2`, takže `y = 2 \cdot 2 + 2 = 6`, a bod `[\frac{\pi}{3};\ 6]` opravdu leží na větvi nad vrcholem `[0;\ 4]`. Obor hodnot je `(-\infty;\ 0\rangle \cup \langle 4;\ \infty)`: pás mezi 0 a 4 zůstane prázdný.

Kosinus v praxi

V trojúhelníku kosinus spočítá odvěsnu, která leží u známého úhlu. Jako funkce popisuje všechno, co se pravidelně opakuje a v čase nula začíná nahoře nebo dole: kmitání, střídavý proud, výšku sedačky na ruském kole.

Příklad 6: žebřík u zdi

Žebřík dlouhý 5 m je opřený o zeď a se zemí svírá úhel 70°. Jak daleko od zdi stojí jeho pata? Vzdálenost od zdi je odvěsna přilehlá k úhlu 70°, žebřík je přepona:

`\cos 70^\circ = \dfrac{d}{5}`
`d = 5 \cdot \cos 70^\circ \doteq 5 \cdot 0{,}342 \doteq 1{,}71\ \mathrm{m}`

Kontrola rozumnosti: při úhlu 60° by pata stála přesně v polovině délky žebříku, 2,5 m, protože `\cos 60^\circ = \frac{1}{2}`. Strmější žebřík musí stát blíž, a 1,71 m je méně. Stejný výpočet udělá kalkulačka pravoúhlého trojúhelníku z přepony a úhlu. V obecném trojúhelníku se kosinus uplatní v kosinové větě, viz sinová a kosinová věta.

Časté chyby

• Kosinusoida začíná v nule. Nezačíná. V nule je `\cos 0 = 1`, graf začíná nahoře v bodě `[0;\ 1]`. Počátkem prochází sinusoida.
• Posun o `c` místo o `-\frac{c}{b}`. U `\cos(2x + \pi)` je posun `\frac{\pi}{2}` doleva, ne `\pi`. Vytkněte `b` a ověřte jeden bod dosazením.
• Záporné `a` jako záporná amplituda. Amplituda je vždy kladná, `|a|`. Znaménko minus jen graf překlopí, takže `y = -3\cos x` začíná minimem `[0;\ {-3}]`.
• cos⁻¹ není sekans. Tlačítko cos⁻¹ je arkuskosinus, tedy úhel k danému kosinu: `\arccos 0{,}5 = 60^\circ`. Sekans je `\sec 60^\circ = 1 : \cos 60^\circ = 2`. Úhel z kosinu spočítá kalkulačka arkuskosinus.
• Stupně a radiány. `\cos 1^\circ \doteq 0{,}9998`, ale `\cos 1 \doteq 0{,}540` (jeden radián). Zkontrolujte režim kalkulačky; pomůže převod stupňů na radiány.
• Obor hodnot sekans s otevřenými závorkami. `\sec 0 = 1`, takže jednička do oboru hodnot patří: `(-\infty;\ {-1}\rangle \cup \langle 1;\ \infty)`.
• Větve sekans nejsou paraboly. Mají svislé asymptoty a u nich rostou nade všechny meze. Parabola nic takového nemá.

Příklady k procvičení

Kam dál

Hodnoty kosinu pro běžné úhly usadí procvičování hodnot na jednotkové kružnici, rovnice s kosinem pak procvičování goniometrických rovnic a úlohy s trojúhelníkem goniometrie v trojúhelníku. Z kalkulaček se hodí hodnoty goniometrických funkcí, arkuskosinus a jednotková kružnice s vlastním úhlem. Sesterské funkce popisují články funkce sinus a kosekans a funkce tangens a kotangens, vztahy mezi nimi shrnují goniometrické vzorce a na řešení rovnic navazují goniometrické rovnice.