Trojúhelník - Vzorečky

Vydáno dne v kategorii Planimetrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 65 033

V tomto článku najdete rozsáhlý seznam vzorečků, které můžete použít při počítání s trojúhelníky


Následující vzorce se dají aplikovat na jakýkoliv trojúhelník (pravoúhlý, rovnostranný,...)

Trojúhelník


Kosinová věta

`a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha`
`b^2=c^2+a^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta`
`c^2=b^2+a^2-2\cdot b\cdot a\cdot \cos\gamma`

Sinová věta

`a:b:c:=\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma`
`\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}= \frac{c}{\sin\gamma}`

Více v Sinová a kosinová věta

Těžnice

`t_a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (b^2+c^2)-a^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2+c^2+2\cdot c\cdot b\cdot \cos\alpha}`
`t_b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (a^2+c^2)-b^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+c^2+2\cdot c\cdot a\cdot \cos\beta}`
`t_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (b^2+a^2)-c^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+b^2+2\cdot b\cdot a\cdot \cos\gamma}`

Výšky

`v_a:v_b:v_c:=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}`
`v_a=b\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin\beta`
`v_b=a\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin\alpha`
`v_c=a\cdot \sin\beta=b\cdot \sin\alpha`

Kružnice opsaná trojúhelníku

`r=\frac{a}{2\cdot \sin\alpha} = \frac{b}{2\cdot \sin\beta} =\frac{c}{2\cdot \sin\gamma}`
`r=\frac{b\cdot c}{2\cdot v_a}=\frac{a\cdot c}{2\cdot v_b}=\frac{a\cdot b}{2\cdot v_c}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}`

Kružnice vepsaná trojúhelníku

`s=\frac{a+b+c}{2}`
`\rho=\frac{S}{s}=\sqrt{\frac{(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}{s}}`
`\rho=(s-a)\cdot \tan\frac{\alpha}{2}=(s-b)\cdot \tan\frac{\beta}{2}=(s-c)\cdot \tan\frac{\gamma}{2}`
`\rho=s\cdot \tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}\cdot \tan\frac{\gamma}{2}`
`\rho=4\cdot r\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2}\cdot \sin\frac{\gamma}{2}`

Obsah Trojúhelníku

`s=\frac{a+b+c}{2}`
`S=\frac{a\cdot v_a}{2} = \frac{b\cdot v_b}{2}=\frac{c\cdot v_c}{2}`
`S=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}`
`S=\rho\cdot s`
`S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\gamma = \frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\alpha= \frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta`
`S=\frac{a^2\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma}{2\cdot \sin\alpha}=\frac{b^2\cdot \sin\gamma\cdot \sin\alpha}{2\cdot \sin\beta}=\frac{c^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\beta}{2\cdot \sin\gamma}`
`S=2\cdot r^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma`
`S=s^2\cdot \tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}\cdot \tan\frac{\gamma}{2}`
`S=\rho^2\cdot \mathrm{cotg}\frac{\alpha}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{\beta}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{\gamma}{2}`

Pravoúhlý trojúhelník

Pythagorova věta: `a^2+b^2=c^2` (více v Pythagorova věta)
Euklidova věta o odvěsně: `a^2=c\cdot c_a, b^2=c\cdot c_b` (více v Euklidova věta)
Euklidova věta o výšce: `v_c^2=c_a\cdot c_b`

Test

Najděte průsečíky funkce f(x)=\frac{(x+2)^2}{4x^2-1} s osou x a s osou y.


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.