Trojúhelník - Vzorečky

Následující vzorce se dají aplikovat na jakýkoliv trojúhelník (pravoúhlý, rovnostranný,...)

Kosinová věta

`a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha`
`b^2=c^2+a^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta`
`c^2=b^2+a^2-2\cdot b\cdot a\cdot \cos\gamma`

Sinová věta

`a:b:c:=\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma`
`\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}= \frac{c}{\sin\gamma}`

Více v Sinová a kosinová věta

Těžnice

`t_a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (b^2+c^2)-a^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2+c^2+2\cdot c\cdot b\cdot \cos\alpha}`
`t_b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (a^2+c^2)-b^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+c^2+2\cdot c\cdot a\cdot \cos\beta}`
`t_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot (b^2+a^2)-c^2} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{a^2+b^2+2\cdot b\cdot a\cdot \cos\gamma}`

Výšky

`v_a:v_b:v_c:=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}`
`v_a=b\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin\beta`
`v_b=a\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin\alpha`
`v_c=a\cdot \sin\beta=b\cdot \sin\alpha`

Kružnice opsaná trojúhelníku

`r=\frac{a}{2\cdot \sin\alpha} = \frac{b}{2\cdot \sin\beta} =\frac{c}{2\cdot \sin\gamma}`
`r=\frac{b\cdot c}{2\cdot v_a}=\frac{a\cdot c}{2\cdot v_b}=\frac{a\cdot b}{2\cdot v_c}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}`

Kružnice vepsaná trojúhelníku

`s=\frac{a+b+c}{2}`
`\rho=\frac{S}{s}=\sqrt{\frac{(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}{s}}`
`\rho=(s-a)\cdot \tan\frac{\alpha}{2}=(s-b)\cdot \tan\frac{\beta}{2}=(s-c)\cdot \tan\frac{\gamma}{2}`
`\rho=s\cdot \tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}\cdot \tan\frac{\gamma}{2}`
`\rho=4\cdot r\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2}\cdot \sin\frac{\gamma}{2}`

Obsah Trojúhelníku

`s=\frac{a+b+c}{2}`
`S=\frac{a\cdot v_a}{2} = \frac{b\cdot v_b}{2}=\frac{c\cdot v_c}{2}`
`S=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}`
`S=\rho\cdot s`
`S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\gamma = \frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\alpha= \frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta`
`S=\frac{a^2\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma}{2\cdot \sin\alpha}=\frac{b^2\cdot \sin\gamma\cdot \sin\alpha}{2\cdot \sin\beta}=\frac{c^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\beta}{2\cdot \sin\gamma}`
`S=2\cdot r^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma`
`S=s^2\cdot \tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}\cdot \tan\frac{\gamma}{2}`
`S=\rho^2\cdot \mathrm{cotg}\frac{\alpha}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{\beta}{2}\cdot \mathrm{cotg}\frac{\gamma}{2}`

Pravoúhlý trojúhelník

Pythagorova věta: `a^2+b^2=c^2` (více v Pythagorova věta)
Euklidova věta o odvěsně: `a^2=c\cdot c_a, b^2=c\cdot c_b` (více v Euklidova věta)
Euklidova věta o výšce: `v_c^2=c_a\cdot c_b`