Trojúhelník - Vzorečky

Pro každý trojúhelník platí tři vzorce, se kterými se spočítá většina úloh: obvod je součet stran, obsah je polovina součinu strany a výšky na ni a obsah lze spočítat i ze dvou stran a úhlu, který svírají. Vnitřní úhly mají vždy dohromady 180°.

`\begin{gathered}o = a + b + c \\[10pt] S = \frac{a \cdot v_a}{2} \\[10pt] S = \frac{1}{2}\, a b \sin\gamma \\[10pt] \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\end{gathered}`

Níže jsou vzorce pro obecný trojúhelník, tedy libovolný, nejen pravoúhlý nebo rovnostranný: obsah (i Heronův vzorec ze tří stran), sinová a kosinová věta, výšky, těžnice, kružnice opsaná a vepsaná. Pak zvlášť pravoúhlý, rovnostranný a rovnoramenný trojúhelník, tabulka, podle které se pozná, který vzorec použít, a řešené příklady. Každý vzorec si můžete ověřit v kalkulačkách pro trojúhelník, které ukážou celý postup.

Označení v trojúhelníku

Vrcholy se značí velkými písmeny `A, B, C`, strany malými a každá strana leží naproti vrcholu stejného písmene: strana `a = |BC|` je proti vrcholu `A`, `b = |AC|` proti `B`, `c = |AB|` proti `C`. Úhel `\alpha` je u vrcholu `A`, tedy také naproti straně `a`. Na tomhle párování stojí sinová i kosinová věta, takže se vyplatí ho mít v ruce.

Dál se používá `v_a, v_b, v_c` pro výšky, `t_a, t_b, t_c` pro těžnice, `r` pro poloměr kružnice opsané, `\rho` (čteme „ró“) pro poloměr kružnice vepsané a `s` pro polovinu obvodu:

`\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}`

Pozor, některé učebnice a také naše kalkulačky značí poloměr opsané kružnice `R` a vepsané `r`. Vzorce jsou stejné, liší se jen písmena.

Tři vlastnosti platí pro každý trojúhelník a dají se použít jako kontrola výsledku:

• Součet vnitřních úhlů je `180^\circ`. Chybějící úhel tedy není potřeba počítat sinovou větou, stačí ho odečíst (kalkulačka na třetí úhel).
• Trojúhelníková nerovnost: součet každých dvou stran je větší než třetí strana, `a + b \gt c`, `a + c \gt b`, `b + c \gt a`. Ze stran 3, 4 a 8 cm trojúhelník nesestrojíte (ověření online).
• Proti větší straně leží větší úhel. Největší úhel je tedy vždy naproti nejdelší straně.

Přehled vzorců pro trojúhelník

Všechno podstatné na jednom místě. Vzorce pro `b` a `c` dostanete z těch pro `a` tak, že písmena posunete dokola: `a \to b \to c \to a` a zároveň `\alpha \to \beta \to \gamma \to \alpha`.

Obsah trojúhelníku

Který vzorec pro obsah použít, záleží jen na tom, co je zadané.

Strana a výška na ni. Trojúhelník je polovina rovnoběžníku se stejnou základnou a výškou, proto se dělí dvěma. Výška musí patřit k té straně, se kterou násobíte: `a` s `v_a`, nikdy `a` s `v_b`. (kalkulačka)

`\displaystyle S = \frac{a \cdot v_a}{2} = \frac{b \cdot v_b}{2} = \frac{c \cdot v_c}{2}`

Dvě strany a úhel, který svírají. Výška na stranu `b` je `c \sin\alpha`, a když ji dosadíte do předchozího vzorce, dostanete (kalkulačka)

`\displaystyle S = \frac{1}{2}\, b c \sin\alpha = \frac{1}{2}\, a c \sin\beta = \frac{1}{2}\, a b \sin\gamma`

Tři strany, žádný úhel. Heronův vzorec, kde `s` je polovina obvodu (kalkulačka):

`\displaystyle S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}`

Z poloměrů kružnic. `S = \rho \cdot s` a `S = \dfrac{abc}{4r}`. Oba vzorce se častěji používají obráceně, k výpočtu `\rho` a `r`.

Méně časté vzorce, které se hodí, když znáte hlavně úhly:

`\begin{gathered}S = \frac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2\sin\alpha} \\[10pt] S = 2r^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma \\[10pt] S = s^2 \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} \\[10pt] S = \rho^2 \operatorname{cotg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{cotg}\frac{\beta}{2}\operatorname{cotg}\frac{\gamma}{2}\end{gathered}`

A pokud máte souřadnice vrcholů, obsah se spočítá přímo z nich, viz článek souřadnice vrcholů trojúhelníku nebo kalkulačka obsahu ze souřadnic.

Příklad 1: trojúhelníkový pozemek

Pozemek má tvar trojúhelníku se stranami 25 m, 39 m a 56 m. Jakou má výměru a kolik metrů plotu je potřeba na jeho oplocení?

Plot je obvod: `o = 25 + 39 + 56 = 120\ \mathrm{m}`. Úhel ani výšku neznáme, takže na obsah Heronův vzorec:

`s = 120 : 2 = 60\ \mathrm{m}`
`S = \sqrt{60 \cdot 35 \cdot 21 \cdot 4}`
`S = \sqrt{176\,400} = 420\ \mathrm{m^2}`

Kontrola: výška na nejdelší stranu je `v = 2 \cdot 420 : 56 = 15\ \mathrm{m}`. Pata výšky dělí stranu 56 m na dva úseky, které dopočítáme Pythagorovou větou: `\sqrt{25^2 - 15^2} = 20` a `\sqrt{39^2 - 15^2} = 36`. A opravdu `20 + 36 = 56`. Pozemek je mimochodem tupoúhlý: `56^2 = 3136` je víc než `25^2 + 39^2 = 2146`.

Sinová věta

Poměr strany a sinu protilehlého úhlu je v trojúhelníku stejný pro všechny tři strany a rovná se průměru kružnice opsané:

`\begin{gathered}\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r \\[10pt] a : b : c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma\end{gathered}`

Použije se, když znáte stranu a úhel naproti ní, plus ještě jeden údaj. Typicky jsou zadané dva úhly a strana (třetí úhel se dopočítá do 180°). Podrobněji s odvozením v článku sinová a kosinová věta.

Příklad 2: strana a dva úhly

V trojúhelníku je `a = 10\ \mathrm{cm}`, `\beta = 65^\circ`, `\gamma = 75^\circ`. Dopočítejte zbylé strany.

Nejdřív třetí úhel: `\alpha = 180^\circ - 65^\circ - 75^\circ = 40^\circ`. Teď známe dvojici `a` a `\alpha`, takže ze sinové věty:

`\begin{gathered}b = \frac{a \sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 40^\circ} \doteq 14{,}10\ \mathrm{cm} \\[10pt] c = \frac{a \sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \doteq 15{,}03\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola: největší úhel `\gamma = 75^\circ` leží naproti největší straně `c`, nejmenší `\alpha` naproti nejmenší `a`. Zadání „strana a oba úhly na ní“ počítá i kalkulačka usu.

Kosinová věta

Kosinová věta je Pythagorova věta rozšířená na každý trojúhelník. Pro pravý úhel je `\cos 90^\circ = 0` a poslední člen zmizí.

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha`
`b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta`
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma`

Použije se ve dvou situacích. Když znáte dvě strany a úhel, který svírají, dopočítá třetí stranu. A když znáte všechny tři strany, dopočítá libovolný úhel, stačí vzorec otočit:

`\displaystyle \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}`

Znaménko výsledku rovnou prozradí druh úhlu: kladný kosinus znamená ostrý úhel, nula pravý, záporný tupý. Proto se u tří stran vyplatí počítat úhly kosinovou větou, sinová věta tupý úhel nerozliší. Druh trojúhelníku podle stran určí i tato kalkulačka.

Příklad 3: dvě strany a úhel mezi nimi

Je dáno `b = 8\ \mathrm{cm}`, `c = 5\ \mathrm{cm}` a úhel `\alpha = 60^\circ`, který svírají. Určete stranu `a` a obsah.

`a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ`
`a^2 = 64 + 25 - 80 \cdot 0{,}5 = 49`
`a = 7\ \mathrm{cm}`

`\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt{3} \doteq 17{,}32\ \mathrm{cm^2}`

Kontrola Heronovým vzorcem: `s = 10` a `\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}`. Stejný výpočet s postupem udělá kalkulačka sus.

Výšky trojúhelníku

Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu (nebo na její prodloužení). Každý trojúhelník má tři výšky a protínají se v jednom bodě, ortocentru. U tupoúhlého trojúhelníku padnou dvě výšky mimo něj a ortocentrum leží venku.

Výšku nejsnáze spočítáte z obsahu, jinak z pravoúhlého trojúhelníku, který výška odřízne:

`\begin{gathered}v_a = \frac{2S}{a} \\[10pt] v_a = b \sin\gamma = c \sin\beta \\[10pt] v_b = a \sin\gamma = c \sin\alpha \\[10pt] v_c = a \sin\beta = b \sin\alpha\end{gathered}`

Z `a \cdot v_a = b \cdot v_b = c \cdot v_c = 2S` plyne, že výšky jsou nepřímo úměrné stranám: k nejkratší straně patří nejdelší výška.

`\displaystyle v_a : v_b : v_c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}`

Všechny tři výšky ze tří stran spočítá kalkulačka výšek.

Těžnice a těžiště

Těžnice spojuje vrchol se středem protější strany. Na obrázku výše je vidět, že to je jiná úsečka než výška, splývají jen v rovnoramenném trojúhelníku na základnu. Délka těžnice:

`\begin{gathered}t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \\[10pt] t_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \\[10pt] t_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\end{gathered}`

Když za `a^2` dosadíte kosinovou větu, dostanete tvar s úhlem: `t_a = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc\cos\alpha}`.

Těžnice se protínají v těžišti `T` a to každou z nich dělí v poměru `2 : 1`, delší díl je u vrcholu. Vzdálenost těžiště od vrcholu `A` je tedy `\frac{2}{3} t_a`. Souřadnice těžiště jsou průměrem souřadnic vrcholů. Počítá to kalkulačka těžnic a těžiště ze souřadnic.

Kružnice opsaná a vepsaná

Kružnice opsaná prochází všemi třemi vrcholy. Její střed `O` je průsečík os stran a u tupoúhlého trojúhelníku leží mimo něj. Poloměr (kalkulačka):

`\begin{gathered}r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma} \\[10pt] r = \frac{abc}{4S} = \frac{bc}{2v_a} = \frac{ac}{2v_b} = \frac{ab}{2v_c}\end{gathered}`

Kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. Její střed `I` je průsečík os úhlů a leží vždy uvnitř. Poloměr (kalkulačka):

`\begin{gathered}\rho = \frac{S}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} \\[10pt] \rho = (s - a)\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \\[10pt] \rho = 4r \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\end{gathered}`

Vzorec `\rho = S / s` má jednoduché odvození: spojte střed `I` s vrcholy a trojúhelník se rozpadne na tři menší s výškou `\rho`. Jejich obsahy dají dohromady `\frac{\rho a}{2} + \frac{\rho b}{2} + \frac{\rho c}{2} = \rho s`.

Řešený příklad: všechno ze tří stran

Trojúhelník má strany `a = 13\ \mathrm{cm}`, `b = 14\ \mathrm{cm}`, `c = 15\ \mathrm{cm}` (je to ten z obrázků). Spočítáme obsah, výšky, úhly, těžnici a obě kružnice.

Obsah. `s = 42 : 2 = 21` a

`S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\ \mathrm{cm^2}`

Výšky. `v_a = \frac{2 \cdot 84}{13} \doteq 12{,}92\ \mathrm{cm}`, `v_b = \frac{168}{14} = 12\ \mathrm{cm}`, `v_c = \frac{168}{15} = 11{,}2\ \mathrm{cm}`. Nejdelší výška patří nejkratší straně.

Úhly kosinovou větou:

`\begin{gathered}\cos\alpha = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{252}{420} = 0{,}6 \\[10pt] \alpha \doteq 53{,}13^\circ \\[10pt] \cos\beta = \frac{13^2 + 15^2 - 14^2}{2 \cdot 13 \cdot 15} = \frac{198}{390} \\[10pt] \beta \doteq 59{,}49^\circ \\[10pt] \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \doteq 67{,}38^\circ\end{gathered}`

Kontrola obsahu jiným vzorcem: `\sin\alpha = 0{,}8` (protože `0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 1`) a `\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0{,}8 = 84`. Sedí.

Těžnice na stranu `a`:

`\begin{gathered}t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 196 + 2 \cdot 225 - 169} \\[10pt] t_a = \frac{1}{2}\sqrt{673} \doteq 12{,}97\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kružnice.

`\begin{gathered}r = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \mathrm{cm} \\[10pt] \rho = \frac{84}{21} = 4\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola sinovou větou: `\frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{13}{1{,}6} = 8{,}125`. Celý tenhle výpočet, včetně nákresu v měřítku, provede kalkulačka pro trojúhelník ze tří stran.

Pravoúhlý trojúhelník

V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem u vrcholu `C` je `c` přepona, `a` a `b` odvěsny, a všechny obecné vzorce výše platí dál. K nim přibývají jednodušší:

`a^2 + b^2 = c^2`
`a^2 = c \cdot c_a \qquad b^2 = c \cdot c_b`
`v_c^2 = c_a \cdot c_b`

První je Pythagorova věta, další dva Euklidovy věty o odvěsně a o výšce (`c_a` a `c_b` jsou úseky přepony, na které ji rozdělí pata výšky). Úhly se počítají přes goniometrické funkce:

`\displaystyle \sin\alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}`

A obsah, výška a kružnice:

`\begin{gathered}S = \frac{a \cdot b}{2} \qquad v_c = \frac{a \cdot b}{c} \\[10pt] r = \frac{c}{2} \qquad \rho = \frac{a + b - c}{2}\end{gathered}`

Střed opsané kružnice leží ve středu přepony, to je Thaletova věta. Proto je těžnice na přeponu vždy polovina přepony. Kalkulačky: přepona ze dvou odvěsen, odvěsna z přepony a strany z odvěsny a úhlu.

Rovnostranný a rovnoramenný trojúhelník

Rovnostranný trojúhelník má všechny strany `a` a všechny úhly `60^\circ`. Výšky, těžnice i osy splývají a středy obou kružnic leží v jednom bodě, v těžišti (kalkulačka).

`\begin{gathered}v = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\[10pt] r = \frac{a\sqrt{3}}{3} \qquad \rho = \frac{a\sqrt{3}}{6}\end{gathered}`

Poloměr opsané kružnice je dvě třetiny výšky, vepsané jedna třetina, protože těžiště dělí těžnici v poměru `2 : 1`.

Rovnoramenný trojúhelník se základnou `z` a rameny `a`: výška na základnu ji půlí, takže vzniknou dva pravoúhlé trojúhelníky s přeponou `a` a odvěsnou `z/2` (kalkulačka).

`\displaystyle v = \sqrt{a^2 - \frac{z^2}{4}} \qquad S = \frac{z \cdot v}{2}`

Úhly při základně jsou stejné, takže když znáte jeden, druhé dva jsou hned jasné. Příklady na to jsou ve cvičení úhly v trojúhelníku.

Který vzorec použít

Trojúhelník je určen třemi údaji, z nichž aspoň jeden je strana. Podle toho, které to jsou, se volí postup. Značení je stejné jako u vět o shodnosti: s je strana, u úhel.

Tři úhly trojúhelník neurčí: všechny podobné trojúhelníky mají stejné úhly a různou velikost.

Časté chyby

• Obsah jako `\frac{a \cdot b}{2}` u obecného trojúhelníku. Tenhle vzorec platí jen pro odvěsny pravoúhlého trojúhelníku. Obecně je potřeba výška nebo sinus úhlu mezi stranami.
• V Heronově vzorci obvod místo poloviny. Do vzorce patří `s = \frac{a+b+c}{2}`. S celým obvodem vyjde nesmyslně velké číslo: pro strany 3, 4 a 5 místo obsahu 6 skoro 78.
• Úhel, který nepatří ke straně. V kosinové větě `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha` je úhel naproti straně vlevo, tedy ten, který svírají `b` a `c`. V sinové větě se dělí vždy dvojice strana a úhel naproti ní.
• Dvě řešení u ssu. Pro `a = 6`, `b = 8`, `\alpha = 40^\circ` vyjde `\sin\beta \doteq 0{,}857`, a tomu odpovídá `\beta \doteq 58{,}99^\circ` i `\beta \doteq 121{,}01^\circ`. Oba trojúhelníky existují. Tlačítko sin⁻¹ na kalkulačce vrátí jen ten ostrý, druhý úhel je 180° minus první. Obě možnosti ukáže kalkulačka ssu.
• Kalkulačka v radiánech. `\cos 60` v radiánech je `-0{,}95`, ne `0{,}5`. Než začnete, zkontrolujte, že je nastavené DEG.
• Výška a těžnice zaměněné. Výška je kolmá na stranu, těžnice míří do jejího středu. Stejné jsou jen u rovnoramenného a rovnostranného trojúhelníku.

Příklady k procvičení

Kam dál

Všechny vzorce z tohoto přehledu počítá s postupem sada kalkulaček pro trojúhelník, nejvíc najednou trojúhelník ze tří stran. Procvičit si je můžete ve cvičeních obvod a obsah, Pythagorova věta, goniometrie v trojúhelníku a úhly v trojúhelníku. Podrobný výklad jednotlivých vět je v článcích sinová a kosinová věta, Pythagorova věta a Euklidova věta, slovní úlohy najdete v článku trojúhelník - řešené příklady.