Euklidova věta

Euklidovy věty jsou dvě věty o pravoúhlém trojúhelníku. Výška `v_c` spuštěná z vrcholu pravého úhlu rozdělí přeponu `c` na dva úseky `c_a` a `c_b` a mezi výškou, úseky a odvěsnami platí:

`\begin{aligned}\text{věta o výšce:}\quad & v_c^2=c_a\cdot c_b\\[4pt] \text{věta o odvěsně:}\quad & a^2=c\cdot c_a\\[4pt] & b^2=c\cdot c_b\end{aligned}`

Úsek `c_a` leží u odvěsny `a` (u vrcholu B), úsek `c_b` u odvěsny `b` (u vrcholu A) a dohromady dávají celou přeponu, `c_a+c_b=c`. Bod P, kde výška přeponu protne, je pata výšky.

Obě věty platí jen v pravoúhlém trojúhelníku a jen pro výšku na přeponu. Hodí se všude, kde se v zadání objeví výška na přeponu nebo úseky přepony: tam samotná Pythagorova věta nestačí, protože nezná ani výšku, ani úseky.

Níže najdete obě věty s řešenými příklady, jejich důkaz, přehled, který vzorec použít podle toho, co znáte, a na konci příklady k procvičení s řešením.

Euklidova věta o výšce

Slovně: obsah čtverce sestrojeného nad výškou na přeponu je roven obsahu obdélníku, jehož strany jsou oba úseky přepony. Jako vzorec:

`\begin{gathered}v_c^2=c_a\cdot c_b\\[4pt] v_c=\sqrt{c_a\cdot c_b}\end{gathered}`

Výška je tedy odmocnina ze součinu úseků, takzvaný geometrický průměr. Známe-li výšku a jeden úsek, dostaneme druhý úsek dělením:

`c_b=\dfrac{v_c^2}{c_a}`

Příklad 1

Výška na přeponu dělí přeponu na úseky `c_a=9\ \mathrm{cm}` a `c_b=4\ \mathrm{cm}`. Jak dlouhá je výška?

`v_c=\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}`

Kontrola: přepona je `c=9+4=13\ \mathrm{cm}` a z věty o odvěsně vyjdou odvěsny `a=\sqrt{13\cdot 9}=\sqrt{117}` a `b=\sqrt{13\cdot 4}=\sqrt{52}`. Obsah trojúhelníku se dá spočítat dvakrát, jako `\tfrac{1}{2}ab` i jako `\tfrac{1}{2}c\,v_c`, takže musí platit `v_c=\dfrac{ab}{c}=\dfrac{\sqrt{117\cdot 52}}{13}=\dfrac{78}{13}=6`. Souhlasí.

Příklad 2

Výška na přeponu měří 12 cm a úsek `c_a` je 16 cm. Dopočítejte druhý úsek, přeponu a obě odvěsny.

`\begin{gathered}c_b=\dfrac{12^2}{16}=\dfrac{144}{16}=9\ \mathrm{cm}\\[10pt] c=16+9=25\ \mathrm{cm}\\[10pt] a=\sqrt{25\cdot 16}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}\\[10pt] b=\sqrt{25\cdot 9}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola Pythagorovou větou: `15^2+20^2=225+400=625=25^2`. Obě úlohy počítají kalkulačky Euklidova věta o výšce a úsek přepony z výšky, i s nákresem.

Euklidova věta o odvěsně

Slovně: obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a z úseku přepony přilehlého k této odvěsně. Pro každou odvěsnu jeden vzorec:

`\begin{gathered}a^2=c\cdot c_a\\[4pt] b^2=c\cdot c_b\end{gathered}`

Přilehlý úsek je ten, který s odvěsnou sdílí vrchol: odvěsna `a` končí ve vrcholu B a úsek `c_a` začíná také v B. Z věty jde vyjádřit odvěsna, úsek i přepona:

`\begin{gathered}a=\sqrt{c\cdot c_a}\\[10pt] c_a=\dfrac{a^2}{c}\\[10pt] c=\dfrac{a^2}{c_a}\end{gathered}`

Příklad 3

Přepona měří 20 cm a úsek `c_a` je 5 cm. Spočítejte obě odvěsny a výšku na přeponu.

`\begin{gathered}a=\sqrt{20\cdot 5}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}\\[4pt] c_b=20-5=15\ \mathrm{cm}\\[4pt] b=\sqrt{20\cdot 15}=\sqrt{300}\doteq 17{,}32\ \mathrm{cm}\\[4pt] v_c=\sqrt{5\cdot 15}=\sqrt{75}\doteq 8{,}66\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola: `a^2+b^2=100+300=400=20^2`. Kratší odvěsna má kratší přilehlý úsek, jak to má být.

Příklad 4

Odvěsna `a` měří 6 cm a přepona 10 cm. Na jaké úseky dělí přeponu výška a jak je výška dlouhá?

`\begin{gathered}c_a=\dfrac{6^2}{10}=\dfrac{36}{10}=3{,}6\ \mathrm{cm}\\[10pt] c_b=10-3{,}6=6{,}4\ \mathrm{cm}\\[10pt] v_c=\sqrt{3{,}6\cdot 6{,}4}=\sqrt{23{,}04}=4{,}8\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola: druhá odvěsna je `b=\sqrt{10\cdot 6{,}4}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}` a z obsahu `v_c=\dfrac{ab}{c}=\dfrac{6\cdot 8}{10}=4{,}8\ \mathrm{cm}`. Kalkulačky: Euklidova věta o odvěsně a úseky přepony z odvěsny.

Co věty znamenají: čtverce a obdélníky

Obrázek ukazuje větu o odvěsně tak, jak se objevuje v Eukleidových Základech. Nad přeponou stojí čtverec o straně `c`. Prodloužená výška ho rozdělí na dva obdélníky, oba s delší stranou `c`: modrý o šířce `c_b` a oranžový o šířce `c_a`. Každý z nich má stejný obsah jako čtverec nad odvěsnou stejné barvy.

Když oba obdélníky sečteme, dostaneme celý čtverec nad přeponou. Z věty o odvěsně tak přímo plyne Pythagorova věta:

`\begin{gathered}a^2+b^2=c\cdot c_a+c\cdot c_b\\[4pt] a^2+b^2=c\,(c_a+c_b)=c\cdot c=c^2\end{gathered}`

Na tomhle obrázku stojí Eukleidův důkaz Pythagorovy věty. Věta o výšce říká obdobnou věc o menším čtverci: čtverec nad výškou `v_c` má stejný obsah jako obdélník se stranami `c_a` a `c_b`.

Důkaz Euklidových vět

Z podobnosti trojúhelníků

Výška rozdělí trojúhelník ABC na dva menší pravoúhlé trojúhelníky APC a CPB. Trojúhelník APC má u vrcholu A úhel `\alpha` a u P pravý úhel, na úhel u C tedy zbývá `90^\circ-\alpha=\beta`. Stejně tak CPB má u B úhel `\beta` a u C úhel `\alpha`.

Všechny tři trojúhelníky mají úhly `\alpha`, `\beta` a `90^\circ`, takže jsou si podle věty uu podobné a poměry odpovídajících stran se rovnají.

Věta o výšce. V trojúhelníku APC leží naproti úhlu `\beta` úsek `c_b` a naproti úhlu `\alpha` výška `v_c`. V trojúhelníku CPB leží naproti `\beta` výška `v_c` a naproti `\alpha` úsek `c_a`. Stejný poměr v obou:

`\dfrac{c_b}{v_c}=\dfrac{v_c}{c_a}\quad\Rightarrow\quad v_c^2=c_a\cdot c_b`

Věta o odvěsně. Porovnáme velký trojúhelník ABC s trojúhelníkem CPB. Naproti úhlu `\alpha` leží v ABC odvěsna `a`, v CPB úsek `c_a`. Přeponou je v ABC strana `c`, v CPB strana `a`:

`\dfrac{a}{c}=\dfrac{c_a}{a}\quad\Rightarrow\quad a^2=c\cdot c_a`

Z Pythagorovy věty

Obě věty jdou dokázat i jen Pythagorovou větou, použitou na malé trojúhelníky CPB a APC:

`\begin{gathered}v_c^2=a^2-c_a^2\\[4pt] v_c^2=b^2-c_b^2\end{gathered}`

Rovnice sečteme a použijeme `a^2+b^2=c^2` a `c=c_a+c_b`:

`\begin{gathered}2v_c^2=a^2+b^2-c_a^2-c_b^2\\[4pt] 2v_c^2=(c_a+c_b)^2-c_a^2-c_b^2\\[4pt] 2v_c^2=2c_a c_b\\[4pt] v_c^2=c_a c_b\end{gathered}`

Větu o odvěsně pak dostaneme dosazením věty o výšce do prvního řádku:

`\begin{gathered}a^2=v_c^2+c_a^2=c_a c_b+c_a^2\\[4pt] a^2=c_a\,(c_b+c_a)=c\cdot c_a\end{gathered}`

Který vzorec použít

V každé úloze na Euklidovy věty vystupuje šest délek: `a`, `b`, `c`, `c_a`, `c_b` a `v_c`. Stačí znát dvě z nich a ostatní se dopočítají. Jen z přepony a výšky vyjdou oba úseky, ale ne to, který je který (poslední řádek). Podle toho, co je zadané:

Řádek `v_c=\dfrac{ab}{c}` není Euklidova věta, ale obsah trojúhelníku spočítaný dvakrát, `\tfrac{1}{2}ab=\tfrac{1}{2}c\,v_c`. Je to nejrychlejší cesta k výšce, když znáte obě odvěsny.

Příklad 5

Přepona měří 25 cm a výška na ni 12 cm. Na jaké úseky výška přeponu dělí?

Úseky mají součet 25 a součin `12^2=144`. Jsou to tedy kořeny kvadratické rovnice:

`\begin{gathered}x^2-25x+144=0\\[10pt] x_{1,2}=\dfrac{25\pm\sqrt{625-576}}{2}=\dfrac{25\pm 7}{2}\\[10pt] x_1=16\ \mathrm{cm},\quad x_2=9\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola: `16+9=25` a `16\cdot 9=144`. Pod odmocninou musí vyjít nezáporné číslo, tedy `v_c\le\dfrac{c}{2}`. Výška na přeponu nikdy není delší než polovina přepony: vrchol C leží na Thaletově kružnici nad přeponou a výš než o poloměr se nad ni dostat nemůže.

Příklad ze života

Příklad 6

Obdélníková zahrada ABCD má rozměry 16 m × 12 m (`|AB|=16`, `|BC|=12`). Přes zahradu vede úhlopříčná cesta z rohu A do rohu C. Z rohu B chceme k cestě položit co nejkratší chodníček. Jak bude dlouhý a jak daleko od A se na cestu napojí?

Nejkratší chodníček je kolmý k cestě, je to tedy výška trojúhelníku ABC. Pravý úhel je u B, přeponou je úhlopříčka AC:

`\begin{gathered}|AC|=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}\\[10pt] v=\dfrac{16\cdot 12}{20}=9{,}6\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Úsek u rohu A patří k odvěsně AB dlouhé 16 m, takže podle věty o odvěsně:

`\begin{gathered}\text{úsek u }A=\dfrac{16^2}{20}=\dfrac{256}{20}=12{,}8\ \mathrm{m}\\[10pt] \text{úsek u }C=20-12{,}8=7{,}2\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Chodníček bude dlouhý 9,6 m a na cestu se napojí 12,8 m od rohu A. Kontrola větou o výšce: `12{,}8\cdot 7{,}2=92{,}16=9{,}6^2`.

Konstrukce odmocniny

Věta o výšce dává jednoduchý způsob, jak pravítkem a kružítkem sestrojit úsečku délky `\sqrt{n}`. Výška na přeponu je `\sqrt{c_a c_b}`, takže stačí sestrojit pravoúhlý trojúhelník s vhodnými úseky. Například `\sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3}`:

1. Narýsujte úsečku AB délky 5 a na ní bod P ve vzdálenosti 2 od A.
2. Nad AB sestrojte Thaletovu půlkružnici (střed S uprostřed AB, poloměr 2,5).
3. V bodě P veďte kolmici k AB. Tam, kde protne půlkružnici, je bod C.
4. Úsečka PC má délku `\sqrt{2\cdot 3}=\sqrt{6}`.

Úhel u C je pravý podle Thaletovy věty, takže PC je opravdu výška na přeponu. Stejně jde použít věta o odvěsně: pro přeponu délky `n` a úsek délky 1 měří přilehlá odvěsna `\sqrt{n\cdot 1}=\sqrt{n}`.

Časté chyby

• Prohozené úseky ve větě o odvěsně. Platí `a^2=c\cdot c_a`, ne `c\cdot c_b`. K odvěsně patří úsek, který s ní sdílí vrchol. Rychlá kontrola: delší odvěsna musí mít delší úsek.
• Celá přepona místo úseku, nebo naopak. Ve větě o výšce jsou oba úseky, ve větě o odvěsně celá přepona krát jeden úsek. Pokud zadání dává přeponu a úsek a vy potřebujete výšku, nejdřív odečtěte druhý úsek.
• Zapomenutá odmocnina. Z `v_c^2=36` je výška 6, ne 36.
• Trojúhelník, který není pravoúhlý. V obecném trojúhelníku Euklidovy věty neplatí. Tam se počítá goniometrií, sinovou nebo kosinovou větou.
• Jiná výška než na přeponu. Věty mluví jen o výšce z vrcholu pravého úhlu. Výška na odvěsnu `a` je v pravoúhlém trojúhelníku rovna odvěsně `b`, nic se tu nepočítá.
• Výsledek, který nemůže platit. Úseky musí dát v součtu přeponu, výška musí být kratší než obě odvěsny a nejvýš polovina přepony. Kdo dostane výšku 15 při přeponě 25, má chybu v zadání nebo v postupu.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Euklidovy věty - příklady na procvičování: deset příkladů, výsledek vždy vyjde celý.
• Kalkulačky s nákresem a postupem: výška z úseků přepony, úsek přepony z výšky, odvěsny z přepony a úseku a úseky z odvěsny a přepony.
• Pythagorova věta a příklady na ni.
• Podobnost trojúhelníků, ze které se Euklidovy věty dokazují.
• Sinus, kosinus a tangens v pravoúhlém trojúhelníku.
• Trojúhelník - vzorečky a řešené příklady na trojúhelník.