Euklidova věta

Euklidova věta funguje pouze na pravoúhlém trojúhelníku.

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.

vc2 = a2 - ca2
vc2 = b2 - cb2

Tato vzorce vycházejí z Pythagorovi věty a jejich důkaz není až zas tak složitý:

vc2 = a2 - ca2
vc2 = b2 - cb2
#Nyní oba vzorce sečteme
2*vc2 = a2 + b2- ca2 - cb2
2*vc2 = c2 - cb2 - (c-cb)2
2*vc2 = c2 - cb2 - (c2-2*c*cb+cb2)
2*vc2 = c2 - cb2 -c2+2*c*cb-cb2
2*vc2 = -2*cb2+2*c*cb
2*vc2 = 2*cb*(c-cb)
vc2 = cb*(c-cb)
#(c-cb) = ca
vc2 = cb*ca

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

a2 = c * ca
b2 = c * cb

Důkaz je ještě jednodušší, než důkaz Euklidovy věty o výšce.

a2 = vc2 + ca2
a2 = cb*ca + ca2
a2 = ca * (ca + cb)
a2 = ca * c