Euklidova věta funguje pouze na pravoúhlém trojúhelníku.
Euklidova věta o výšce
Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.
vc2 = a2 - ca2 vc2 = b2 - cb2
Tato vzorce vycházejí z Pythagorovi věty a jejich důkaz není až zas tak složitý:
vc2 = a2 - ca2 vc2 = b2 - cb2 #Nyní oba vzorce sečteme 2*vc2 = a2 + b2- ca2 - cb2 2*vc2 = c2 - cb2 - (c-cb)2 2*vc2 = c2 - cb2 - (c2-2*c*cb+cb2) 2*vc2 = c2 - cb2 -c2+2*c*cb-cb2 2*vc2 = -2*cb2+2*c*cb 2*vc2 = 2*cb*(c-cb) vc2 = cb*(c-cb) #(c-cb) = ca vc2 = cb*ca
Euklidova věta o odvěsně
Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
a2 = c * ca b2 = c * cb
Důkaz je ještě jednodušší, než důkaz Euklidovy věty o výšce.
a2 = vc2 + ca2 a2 = cb*ca + ca2 a2 = ca * (ca + cb) a2 = ca * c
: